《21.2.1第1课时直接开平方法》同步习题(含答案).doc
初中数学(冀教版)九年级-同步习题(有答案)(课件免费下载)
21．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx ＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B ) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值． 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___． 6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___． 7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___． 13．用公式法解下列方程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程 1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___． 5．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0； 解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0； 解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．用适当的方法解方程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___． 13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x ＝x －4； 解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)． 解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6； 解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m )与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0； 解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程： (1)2(x －3)2＝x 2－9； 解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用 (一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba___，x 1x 2＝__ca___．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．4 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D ) A ．－8 B ．－4 C ．8 D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11 (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B ) A ．b ＞0 B ．b ＝0 C ．b ＜0 D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C ) A ．1，2 B ．2，4 C ．4，8 D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－1 10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )A ．两根之和为2B ．两根之积为2C ．两根的平方和为0D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )A ．x 2＋6x ＋8＝0B ．x 2－6x ＋8＝0C ．x 2－6x －8＝0D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值．解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。
21.2.1 第1课时 直接开平方法(含答案)-2021-2022学年九年级数学上册(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法分点训练知识点1可化为“x2＝p(p≥0)”型方程的解法1. 方程x2－16＝0的根为( )A. x＝4B. x＝16C. x＝±4D. x＝±82. 方程x2－3＝0的根是.3. 解下列方程.(1)7x2＝343；(2)2x2－16＝0.知识点2形如“(mx＋n)2＝p(p≥0)”的方程的解法4. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根5. 解下列方程.(1)(x－3)2－9＝0；(2)2(x－1)2＝4；(3)4(x＋1)2＝14；(4)(2x＋1)2＝25.强化提升6. 若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( )A. 2B. －2C. ±2D. 不能确定7. 若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为( )A. 8B. 8或－2C. －2D. 288. 若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝.9. 解下列方程.(1)x2－6x＋9＝4；(2)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.10. 已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根.11. 如图所示，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余的面积时，求正方形的边长.参考答案1. C2. x1x23. 解：(1)x2＝49，x＝±7，x1＝7，x2＝－7.(2)2x2＝16，x2＝8，x1＝，x2＝－4. D5. 解：(1)(x－3)2＝9，x－3＝±3，x－3＝3或x－3＝－3，x1＝6，x2＝0.(2)(x－1)2＝2，x－1＝x－1或x－1x11，x2 1.(3)(x＋1)2＝116，x＋1＝±14，x＋1＝14或x＋1＝－14，x1＝－34，x2＝－54.(4)2x＋1＝±5，2x＋1＝5或2x＋1＝－5，x1＝2，x2＝－3.6. C7. A8. ±1 29. 解：(1)(x－3)2＝4，x－3＝±2，x－3＝2或x－3＝－2，x1＝5，x2＝1.(2)[2(3x－1)]2＝9(3x＋1)2，2(3x－1)＝±3(3x＋1)，2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，x1＝－53，x2＝－1 15.10. 解：∵方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，∵(3－1)2＝k2＋2，解得k＝∵原方程为(x－1)2＝4，∵另一个根为x＝－1.11. 解：(1)ab－4x2；(2)由题意得，ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入上式，得x2＝3，解得x1x2舍去)，即正方形的边长为3.。
数学人教版九年级上册同步教学课件：21.2.1第1课时 直接开平方法
解：(1)a2－4mn (a＝±17，∵a＞0， ∴a＝17，则正方形的边长a的值是17
方法技能：
用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的步骤 是：开方、降次，得两个一元一次方程，分别解出即可．
易错提示：
1．对形如(mx＋n)2＝p的一元二次方程一定要p≥0才可直接开方 ，否则没有实数根．
第二十一章 一元二次方程
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法
1．(例题变式)方程x2－25＝0的根为( C ) A．x＝5 B．x＝－5
C．x1＝5，x2＝－5
D．x＝25
2．方程x2＋a＝0有实数根的条件是( D)
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
5 3．(原创题)方程3(y2－3)＝y2－5的实数根的个数是( C ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D．3个
4．(2015· 泉州)方程x2＝2的解是
x1＝ 2，x2＝－ 2
；
若x2－4＝0，则方程的解为 x1＝2，x2＝－2 ．
5．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中 一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D) A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
10．若2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x的值为( D ) A ．2 1 B. 2 1 D．±2
C．±2
x2－1 －1 ． 11．若分式 的值为0，则x＝____ x－1
12．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－ b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为
x1＝6，x2＝－6
．
3 ． 13．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝____
数学【人教版】九年级上册同步教学课件：21.2.1第1课时 直接开平方法
1．对形如(mx＋n)2＝p的一元二次方程一定要p≥0才可直接开方 ，否则没有实数根．
2．整理方程时常数项移到右边要变号和注意开方不要出错．
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
12、你们要学习思考，然后再来写作。——布瓦罗 13、在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。——华罗庚
14、许多年轻人在学习音乐时学会了爱。——莱杰 15、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基 16、我们一定要给自己提出这样的任务：第一，学习，第二是学习，第三还是学习。——列宁 17、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东
九年级上册数学 《21.2.1第1课时直接开平方法》同步习题(含答案)
21．2.1 第1课时 直接开平方法01 基础题知识点1 用直接开平方法解形如x 2＝p(p ≥0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A)A ．x 2＝4B ．4x 2－4x －3＝0C ．x 2－3x ＝0D ．x 2－2x －1＝92．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x 2－9＝0的根为(C)A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝33．若代数式3x 2－6的值是21，则x 的值是(B)A ．3B ．±3C ．－3D ．±34．若一个圆的面积是100π cm 2，则它的半径r ＝10cm.5．关于x 的一元二次方程x 2＋a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是a ＞0．6．用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－25＝0;解：x 2＝25，x 1＝5，x 2＝－5.(2)4x 2＝1；解：x 2＝14， x 1＝12，x 2＝－12.(3)0.8x 2－4＝0;解：0.8x 2＝4，x 2＝5，x 1＝5，x 2＝－ 5.(4)4.3－6x 2＝2.8.解：6x 2＝1.5，x 2＝14， x 1＝12，x 2＝－12.知识点2 用直接开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程7．(丽水中考)一元二次方程(x ＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A ．x －6＝4B ．x －6＝－4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－48．(鞍山中考)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是(C)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根9．对形如(x ＋m)2＝n 的方程，下列说法正确的是(C)A ．直接开平方得x ＝－m±nB ．直接开平方得x ＝－n±mC ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m±nD ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n±m10．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x ＋1)2＝13； 解：(x ＋1)2＝19，x ＋1＝±13， x 1＝－23，x 2＝－43.(2)(3x ＋2)2＝25；解：3x ＋2＝5或3x ＋2＝－5，x 1＝1，x 2＝－73.(3)(x ＋1)2－4＝0;解：（x ＋1）2＝4，x ＋1＝2或x ＋1＝－2，x 1＝1，x 2＝－3.(4)(2－x)2－9＝0.解：（2－x ）2＝9，2－x ＝3或2－x ＝－3，x 1＝－1，x 2＝5.易错点 概念不清11．用直接开平方法解一元二次方程4(2x －1)2－25(x ＋1)2＝0.小明的解答如下：移项，得4(2x －1)2＝25(x ＋1)2.①直接开平方，得2(2x －1)＝5(x ＋1)．② 小明的解答有无错误？若有，错在第②步，原因是 解：正确的解答过程为：移项，得4(2x －1)2＝25(x ＋1)2.直接开平方，得2(2x －1)＝±5(x ＋1)．所以x 1＝－7，x 2＝－13.02 中档题12．若a 为方程(x －17)2＝100的一根，b 为方程(y －4)2＝17的一根，且a ，b 都是正数，则a －b 的值为(B)A ．5B ．6 C.83 D ．10－1713．若(a 2＋b 2－2)2＝25，则a 2＋b 2＝7．14．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则代数式3＋x x 2的值为23或0． 15．若关于x 的一元二次方程(a ＋12)x 2－(4a 2－1)x ＋1＝0的一次项系数为0，则a 的值为12． 16．若一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是m ＋2与2m －5，则b a＝9． 17．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x －3)2－14＝0； 解：移项，得(2x －3)2＝14. ∴2x －3＝±12. ∴x 1＝74，x 2＝54.(2)4(x －2)2－36＝0；解：移项，得4(x －2)2＝36.∴(x －2)2＝9.∴x －2＝±3.∴x 1＝5，x 2＝－1.(3)x 2＋6x ＋9＝7；解：方程整理，得(x ＋3)2＝7.∴x ＋3＝±7.∴x 1＝－3＋7，x 2＝－3－7.(4)4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.解：移项，得4(3x －1)2＝9(3x ＋1)2，即[2(3x －1)]2＝[3(3x ＋1)]2.∴2(3x －1)＝±3(3x ＋1)，即2(3x －1)＝3(3x ＋1)或2(3x －1)＝－3(3x ＋1)．∴3x ＋5＝0或15x ＋1＝0.∴x 1＝－53，x 2＝－115.18．已知方程(x －1)2＝k 2＋2的一个根是3，求k 的值和另一个根．解：把x ＝3代入方程，得(3－1)2＝k 2＋2.∴k 2＝2.∴k ＝±2.再将k 2＝2代入方程，得(x －1)2＝4.∴x 1＝3，x 2＝－1.∴方程的另一个根为－1.19．在实数范围内定义运算“”，其法则为＝a 2－b 2，求方程＝24的解． 解：∵＝a 2－b 2， ∴＝(42－32＝＝72－x 2.∴72－x 2＝24.∴x 2＝25.∴x ＝±5.03 综合题20．(整体思想)若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是(B)A．x1＝－6，x2＝－1B．x1＝0，x2＝5C．x1＝－3，x2＝5D．x1＝－6，x2＝2。
21.2.1《第1课时直接开平方法》同步习题(含答案)
21．2.1第1课时直接开平方法知识点1用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是()A．x2＝4 B．4x2－4x－3＝0C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝92．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x2－9＝0的根为()A．x＝3 B．x＝－3C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝33．若代数式3x2－6的值是21，则x的值是()A．3 B．±3C．－3 D．±34．若一个圆的面积是100πcm2，则它的半径r＝cm.5．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是．6．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)0.8x2－4＝0; (4)4.3－6x2＝2.8.知识点2用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程7．(丽水中考)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是()A．x－6＝4 B．x－6＝－4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－48．已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根9．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是()A．直接开平方得x＝－m±n B．直接开平方得x＝－n±mC．当n≥0时，直接开平方得x＝－m±n D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n±m10．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x －3)2－14＝0； (2)4(x －2)2－36＝0；(3)x 2＋6x ＋9＝7； (4)4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.11．用直接开平方法解一元二次方程4(2x －1)2－25(x ＋1)2＝0.小明的解答如下：移项，得4(2x －1)2＝25(x ＋1)2.①直接开平方，得2(2x －1)＝5(x ＋1)．①小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程．12．若a 为方程(x －17)2＝100的一根，b 为方程(y －4)2＝17的一根，且a ，b 都是正数，则a －b 的值为( )A ．5B ．6 C.83 D ．10－1713．若(a 2＋b 2－2)2＝25，则a 2＋b 2＝ ．14．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则代数式3＋x x 2的值为 ． 15．若关于x 的一元二次方程(a ＋12)x 2－(4a 2－1)x ＋1＝0的一次项系数为0，则a 的值为 ．16．若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋2与2m －5，则b a＝ ． 17．(整体思想)若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解是 ．。
【初中数学】21.2.1 第1课时 直接开平方法.docx(练习题)
21.2.1 第1课时直接开平方法直接开平方法1.一元二次方程x2−9=0的根是( )A.x=√3B.x=3C.x1=√3，x2=−√3D.x1=3，x2=−32.方程12x2=8的根是( )A.x=2B.x=4C.x=±2D.x=±43.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A.x2−2=0B.x2=0C.x2+4=0D.−x2+1=04.解方程：4x2−64=0.解：移项，得.二次项系数化为1，得.直接开平方，得.则x1=，x2=.5.解下列方程:(1)16x2−49=0；(2)49−x2=0.6.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是（）A.x−6=−4B.x−6=4C.x+6=4D.x+6=−47.方程(9x−1)2=1的根是( )A.x1=x2=13B.x1=x2=29C.x1=0，x2=29D.x1=0，x2=−298.关于x的方程(x+a)2=b能直接开平方求解的条件是（）A.a≥0，b≥0B.a≥0，b≤0C.a为任意实数或b<0D.a为任意实数且b≥09.解下列方程：(1)(2t−1)2=16；(2)4(2x+1)2−1=24；10.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=10cm，点P从点B出发，沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时从点B出发，那么s后△PBQ的面积等于8cm2.11.如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为.12.若关于x的方程a(x+m)2+b=0（a，m，b均为常熟，a≠0）的根是x1=2，x2=−1，则方程a(−x−m+1)2+b=0的根是（）A.x1=1，x2=−2B.x1=1，x2=0C.x1=3，x2=−2D.x1=3，x2=013.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，则b=．a14.解下列方程:(1)64(1+x)2=100；(2)(x−3)2−9=0；(3)4(2x+1)2−1=24；(4)(3x−1)2=(3−2x)2.15.给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n−1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=36的解是（）A.x1=x2=0B.x1=2√3，x2=−2√3C.x1=2，x2=−2D.x1=4，x2=−416.若(x2+y2−1)2=4，则x2+y2=.参考答案1.【答案】:D2.【答案】:D3.【答案】:C4.【答案】:4x 2=64；x 2=16；x =±4；4；−45(1)【答案】解：16x 2−49=016x 2=49x 2=4916所以x 1=74，x 2=−74.(2)【答案】原方程可化为x 2=49 根据平方根的意义，得x =√49或x =−√49， 因此，原方程的根为x 1=7，x 2=−7.6.【答案】:D【解析】:将方程(x +6)2=16两边直接开平方， 得x +6=±4，则x +6=4或x +6=−4.故选D ．7.【答案】:C【解析】:因为(9x −1)2=1，所以9x −1=−1或9x −1=1，解得x 1=0，x 2=29.故选：C .8.【答案】:D9(1)【答案】解：因为(2t −1)2=16， 所以2t −1=±4，即2t −1=4或2t −1=−4，解得t 1=52，t 2=−32.(2)【答案】4(2x +1)2−1=24， 4(2x +1)2=25，(2x +1)2=254，开平方，得2x +1=±52，解得x 1=34，x 2=−74.10.【答案】:2√2【解析】:设xs 后△PBQ 的面积等于8cm 2, 则PB =x cm ，BQ =2x cm .依题意,得12x ·2x =8，即x 2=8.解得x 1=2√2，x 2=−2√2(不合题意，舍去). 所以2√2s 后△PBQ 的面积等于8cm 2.11.【答案】:4或−212.【答案】:D【解析】:因为a(−x −m +1)2+b =0， 所以a(x +m −1)2+b =0又因为关于x 的方程a(x +m)2+b =0（a ，m ，b 均为常熟，a ≠0）的根是x 1=2，x 2=−1, 所以方程a(x +m −1)2+b =0中x −1=2或x −1=−1, 解得x 1=3，x 2=0.13.【答案】:4【解析】:∵ax 2=b(ab >0)，∴x 2=b a (ab >0)，∴x =±√b a ，∴方程的两个根互为相反数， ∴m +1+2m −4=0，解得m =1， ∴关于x 的一元二次方程ax 2=b(ab >0)的两个根分别是2，−2，∴√b a =2，∴b a =4. 故答案为414(1)【答案】解：64(1+x)2=100(1+x )2=10064 1+x =±108解得：x 1=14，x 2=−94.(2)【答案】(x −3)2−9=0(x −3)2=9x −3=±3 解得：x 1=0，x 2=6.(3)【答案】4(2x +1)2−1=244(2x +1)2=25(2x +1)2=2542x +1=±52解得：x 1=34，x 2=−74.(4)【答案】(3x −1)2=(3−2x )2 3x −1=3−2x 或3x −1=2x −3， 解得：x 1=45，x 2=−2.15.【答案】:B16.【答案】:3【解析】:两边开平方，得x 2+y 2−1=±2，所以x2+y2=3或x2+y2=−1，因为x2+y2≥0,所以x2+y2=3.故答案为3.。
21.2.1第1课时用直接开平方法解一元二次方程课件
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
∴原方程的根为 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5；
(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得 y－2＝±2 2， ∴原方程的根为 y1＝2＋2 2，y2＝2－2 2； (3)原方程可化为 4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得 2(3x －1)＝±3(3x＋1)， ∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或 2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
∴x1＝－53，x2＝－115.
例3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的 值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6 练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( C )
提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm ，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列 出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程 x2＝25吗？本题中负 值为什么要舍去？
探究
对照上面解方Biblioteka （1）的过程，你认为应怎样解方程(x+3)²=5？
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
九年级数学上册学案：21.2.1 第1课时 直接开平方法1【精品】
21.2.1 配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p ≥0)或（m+n）=p(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）2－2＝0; （2）162－25＝0.
（3）（＋1）2－4＝0；（4）12（2－）2－9＝0.
总结归纳
如果方程能化成=p或（m+n）=p(p≥0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）2＝169；（2）45－2＝0；
（3）2-12=0 （4）2-2=0
（9）2+2+1=0 （10）2+4+4=0（11）2-6+9=0 （12）2++=0。
九年级数学上册学案：21.2.1 第1课时 直接开平方法1【精品】
21.2.1 配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p ≥0)或（m+n）=p(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）2－2＝0; （2）162－25＝0.
（3）（＋1）2－4＝0；（4）12（2－）2－9＝0.
总结归纳
如果方程能化成=p或（m+n）=p(p≥0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）2＝169；（2）45－2＝0；
（3）2-12=0 （4）2-2=0
（9）2+2+1=0 （10）2+4+4=0（11）2-6+9=0 （12）2++=0。
九年级数学上册学案：21.2.1 第1课时 直接开平方法1【精品】
21.2.1 配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p ≥0)或（m+n）=p(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）2－2＝0; （2）162－25＝0.
（3）（＋1）2－4＝0；（4）12（2－）2－9＝0.
总结归纳
如果方程能化成=p或（m+n）=p(p≥0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）2＝169；（2）45－2＝0；
（3）2-12=0 （4）2-2=0
（9）2+2+1=0 （10）2+4+4=0（11）2-6+9=0 （12）2++=0。
21.2.1 第1课时 直接开平方法 同步练习 2020——2021人教版九年级数学上册
21.2.1第1课时直接开平方法知识点1用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程1.关于x的方程x2=p:(1)当p>0时,方程有的实数根;(2)当p=0时,方程有的实数根;(3)当p<0时,方程.2.解方程:4x2-64=0.解:移项,得.二次项系数化为1,得.直接开平方,得,即x1=,x2=.3.用直接开平方法解下列方程:(1)x2-144=0;(2)9x2=25;(3)121y2+7=2;(4)7x2+8=92.知识点2用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程4.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是.5.解方程:4(x-2)2-25=0.解:移项,得.方程左右两边同除以4,得.直接开平方,得,即x-2=或x-2=-.解得x1=,x2=.6.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为(写出一个即可).7.解下列方程:(1)(x-3)2=9;(2)2(x+1)2-4=0.【能力提升】8.[2019·甘肃]若关于x的一元二次方程x2-2kx+k2=0的一个根为-1,则k的值为 ()A.-1B.0C.1或-1D.2或09.若(m2+n2-1)2=9,则m2+n2=.10.若一元二次方程mx2=n的两根为±3,而所求的一元二次方程的两根分别是这个方程两根的三倍,则所求的一元二次方程的一般形式是.11.解下列方程:(1)5(x+3)2=;(2)(2t-1)2=16;(3)y2+10y+25=3;(4)4(x+3)2=25(x-2)2.12.解下列方程:(1)t2-45=0;(2)4.3-6x2=2.8;(3)(x-3)2-49=0; (4)(6x-1)2=25;(5)(3y-1)2-8=0; (6)(x-3)2=(5-2x)2.答案1．(1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无实数根2．4x 2＝64 x 2＝16 x ＝±4 4 －43．解：(1)移项，得x 2＝144.直接开平方，得x ＝±12，即x 1＝12，x 2＝－12.(2)整理，得x 2＝259. 直接开平方，得x ＝±53， 即x 1＝53，x 2＝－53. (3)整理，得121y 2＝－5，所以原一元二次方程无实数根．(4)移项、合并同类项，得7x 2＝84.系数化为1，得x 2＝12.直接开平方，得x ＝±2 3，即x 1＝2 3，x 2＝－2 3.4．x ＋6＝－45．4(x －2)2＝25 (x －2)2＝254x －2＝±52 92 －126．答案不唯一，例如5(c ≥0时方程都有实数根)7．解：(1)直接开平方，得x －3＝±3.所以x 1＝6，x 2＝0.(2)移项，得2(x ＋1)2＝4.系数化为1，得(x ＋1)2＝2.开平方，得x ＋1＝±2.所以x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2.8．A [解析] 把x ＝－1代入方程，得1＋2k ＋k 2＝0，即(k ＋1)2＝0，解得k 1＝k 2＝－1.9．410．x 2－81＝011．解：(1)(x ＋3)2＝110. 开平方，得x ＋3＝±1010. 解得x 1＝1010－3，x 2＝－1010－3. (2)因为(2t －1)2＝16，所以2t －1＝±4， 即2t －1＝4或2t －1＝－4，解得t 1＝52，t 2＝－32. (3)配方得(y ＋5)2＝3.开平方，得y ＋5＝±3.解得y 1＝－5＋3，y 2＝－5－ 3.(4)4(x ＋3)2＝25(x －2)2，直接开平方，得2(x ＋3)＝±5(x －2)，解得x 1＝163，x 2＝47. 12．解：(1)t 1＝3 5，t 2＝－3 5.(2)6x 2＝1.5，x 2＝14， 所以x 1＝12，x 2＝－12. (3)x 1＝10，x 2＝－4.(4)x 1＝1，x 2＝－23. (5)移项，得12(3y －1)2＝8，(3y －1)2＝16， 所以3y －1＝±4，所以3y －1＝4或3y －1＝－4，所以y 1＝53，y 2＝－1. (6)方程两边开平方，得x －3＝±(5－2x)， 即x －3＝5－2x 或x －3＝－(5－2x)，所以x 1＝83，x 2＝2.。
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21． 2.1第1课时直接开平方法1基础题
知识点 1用直接开平方法解形如x2＝ p(p≥ 0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A)
A ． x2＝ 4 B． 4x 2－ 4x－ 3＝ 0
C．x2－ 3x＝ 0 D． x2－ 2x－1＝ 9 2．(阳泉市平定县月考)一元二次方程 x2－ 9＝ 0 的根为 (C)
A ． x＝ 3 B． x＝－ 3
C．x1＝ 3， x2＝－ 3 D ． x1＝0， x2＝ 3
3．若代数式3x 2－ 6 的值是21，则 x 的值是 (B)
A ． 3 B．±3
C．－ 3 D．± 3
4．若一个圆的面积是
2，则它的半径 r＝ 10cm. 100 π cm
5．关于x的一元二次方程x2＋ a＝ 0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是a＞ 0．6．用直接开平方法解下列方程：
(1)x 2－ 25＝0;
解： x2＝ 25，
x1＝ 5， x2＝－ 5.
(2)4x 2＝ 1；
2
1
解： x ＝，
x1＝1
， x2＝－
1
.
2 2
(3)0.8x 2－ 4＝ 0; 解： 0.8x 2＝ 4，
x2＝ 5，
x1＝5，x2＝－ 5.
(4)4.3 － 6x2＝ 2.8.
解： 6x2＝ 1.5，
1
2
x ＝，
1 1
x1＝2， x2＝－2.
知识点 2用直接开平方法解形如(mx＋ n)2＝ p(p ≥0) 的一元二次方程
7．(丽水中考)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x＋ 6＝ 4，则另一个一元一次方程是(D)
A ． x－ 6＝ 4 B． x－6＝－ 4
C．x＋ 6＝ 4 D ． x＋6＝－ 4
8．(鞍山中考)已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1) 2＝ b 的根的情况是 (C) A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
9．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是(C)
A ．直接开平方得x＝－ m±n
B．直接开平方得x＝－ n±m
C．当n≥ 0 时，直接开平方得x＝－ m±n
D．当n≥ 0 时，直接开平方得x＝－ n± m
10．用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x ＋ 1)2＝ 1；
3
解： (x＋ 1)2＝ 19，
1
x＋ 1＝±，
3
x 1＝－ 2， x 2＝－ 4
.
3 3
(2)(3x ＋ 2)2＝ 25；
解： 3x ＋ 2＝ 5 或
3x ＋ 2＝－ 5，
7
x 1＝ 1， x 2＝－ 3.
(3)(x ＋ 1)2－ 4＝ 0;
解：（ x ＋ 1） 2＝ 4，
x ＋ 1＝ 2或 x ＋ 1＝－ 2，
x 1＝ 1， x 2＝－ 3.
(4)(2 － x)2－ 9＝ 0.
解：（ 2－ x ） 2＝ 9，
2－ x ＝ 3或 2－ x ＝－ 3，
x 1＝－ 1， x 2＝ 5.
易错点
概念不清
11．用直接开平方法解一元二次方程
4(2x －1) 2－ 25(x ＋ 1)2＝ 0.
小明的解答如下：
移项，得
4(2x － 1)2＝ 25(x ＋ 1)2.①
直接开平方，得 2(2x － 1)＝ 5(x ＋ 1)．②
小明的解答有无错误？若有，错在第②步，原因是
a 2＝ |a|，写出正确的解答过程．
解：正确的解答过程为：
移项，得 4(2x － 1) 2
2
＝ 25(x ＋ 1) . 直接开平方，得 2(2x － 1)＝ ±5(x ＋ 1)．
1
所以 x 1＝－ 7，x 2 ＝－ 3.
2 中档题
12．若 a 为方程 (x －
17)2＝ 100 的一根， b 为方程 (y －4) 2＝ 17 的一根，且 a ， b 都是正数，
则 a － b 的值为 (B)
A ． 5
B ． 6
C. 83
D ．10－ 17
13．若 (a 2＋ b 2－ 2)2＝ 25，则 a 2＋b 2＝ 7．
2
2
3＋ x 2
或 0． 14．若 2(x ＋ 3)的值与 3(1－ x )的值互为相反数，则代数式
x 2 的值为 3
15．若关于 x 的一元二次方程 (a ＋1
)x 2－ (4a 2－ 1)x ＋ 1＝ 0 的一次项系数为 0，则 a 的值为 1．
2 2 16．若一元二次方程 ax 2
＝ b(ab ＞ 0)的两个根分别是 m ＋ 2 与 2m － 5，则 b
＝ 9．
a
17．用直接开平方法解下列方程：
2
1
(1)(2x － 3) － ＝ 0；
2
1
解：移项，得 (2x － 3) ＝ .
1
∴2x － 3＝ ±2.
∴x 1＝ 7， x 2＝ 5
.
4 4
(2)4(x － 2)2－ 36＝0；
解：移项，得 4(x － 2)2＝ 36.
∴ (x － 2)2 ＝9.
∴ x － 2＝ ±3.
∴ x 1＝ 5， x 2＝－ 1.
(3)x 2＋ 6x ＋9＝ 7；
解：方程整理，得 (x ＋ 3)2＝ 7.
∴x＋ 3＝± 7.
∴x1＝－ 3＋ 7， x2＝－ 3－ 7.
(4)4(3x － 1)2－ 9(3x ＋1) 2＝ 0.
解：移项，得4(3x － 1)2＝ 9(3x ＋ 1)2，
即[2(3x －1)] 2＝ [3(3x ＋ 1)]2.
∴2(3x － 1)＝±3(3x ＋ 1)，
即 2(3x － 1)＝ 3(3x ＋1) 或 2(3x － 1)＝－ 3(3x＋ 1)．
∴3x ＋ 5＝0 或 15x ＋1＝ 0.
5 1
∴x1＝－3， x2＝－15
.
18．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是3，求 k 的值和另一个根．解：把 x＝3 代入方程，得(3－ 1)2＝ k2＋ 2.
∴k2＝ 2.∴ k＝±2.
再将 k2＝ 2 代入方程，得 (x－ 1)2＝4.
∴x1＝ 3， x2＝－ 1.
∴方程的另一个根为－ 1.
19．在实数范围内定义运算“”，其法则为
2 2
＝ 24 的解．＝ a － b ，求方程
解：∵＝ a2－b2，
∴＝ (42－ 32 ＝＝ 72－ x2.
∴72－ x2＝ 24.
∴x2＝ 25.
∴x＝±5.
3综合题
20．(整体思想)若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，
x2＝ 2，则方程m(x ＋h－ 3)2＋ k＝ 0 的解是 (B) A ． x1＝－ 6， x2＝－ 1
B． x1＝ 0，x2＝5
C． x1＝－ 3， x2＝ 5
D． x1＝－ 6， x2＝ 2。