多自由度系统近似计算方法

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。

本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法
由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：
0KX X
M =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X X
D =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=
位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：
0)()1(1
11
1=++++---n n n n
n
a a a λλ
λ
D tr d d d a nn -=+++-=)(22111
例：
02221
1211=--λ
λd d d d
0)]()([)1(2112221122112
2
=-++--d d d d d d λλ
当 M 为对角阵时：
)(FM D tr tr =∑
==
n
i i
ii m f 1
特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ
有：∑=-=n
i i a 1
1λtrD -=∑=-=n
i i ii m f 1
∑
∑===
n
i i
ii n
i i
m f 1
1
λ
∑
∑
===
n
i i ii n
i i
m f 1
1
2
1
ω
如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：
i
ii i
i i m f m k 12
=
=
ω
例：两自由度系统
柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=211
11
1111
1k k k k k
F （1）只保留 m 1 时
1
111k f =
，1
121m k =
ω
（2）只保留 m 2 时
12
2
1
22111k k k f =
+
=
，2
1222m k =ω
将2
i ω代入：2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
n
n
i i
ωωωω+
++
=
∑
=
对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：
222
2
1
2
1
1
1
1
1
n
ω
ω
ωω
+
++
≈
例：三自由度系统
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00022
231012
20
010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：
m k /3730
.01=ω，m k /3213
.12=ω，m k /0286
.23=ω
邓克利法
当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω
当 m3 单独存在时：
k
k k k k 2511113
2
1
123
=++
=
，5
2123k k =
，m
k 523=
ω
代入邓克利法公式：2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
n
ωωωω+
++
≈
，m
k /3535
.01=ω
2、瑞利法
瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

n 自由度保守系统：
0KX X
M =+ n R ∈X 主振动 ：)sin(ϕω+=t φX 动能与势能：X
M X T
T 2
1=，KX X T
V 2
1=
最大值：φφM T
T 2
max 2
1ω=
，φφK T
V 2
1
max =
max
max V T =得2
)(
ω
==φ
φφφφM K T
T
R 成为瑞利商。

对于第 i 阶模态：
2
)
()()()()
()(i i T
i i T
i i R ω==
φ
φ
φ
φφM K
当φ为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则模态的线性组合：
)()
2(2)
1(1n N
N N
N
a a a φ
φ
φ
＋ ++==ϕφ∑==
n
j j N
j
a 1
)(φ
a
ΦN =
其中],,,[
)()2()1(n N N N N φφφ =Φ，T n a a a ],,,[21 =a 代入瑞利商：
a
M ΦΦa a K ΦΦa N T
N T
N T
N T
R =
)(ϕIa
a Λa a T
T =
∑∑===
n
j j
n j j
j
a
a
1
21
22ω
可以证明：21ω和 2n ω分别为瑞利商的极小值和极大值，即：221)(n R ωϕω≤≤ 分析：若将瑞利商右端分子内的所有j ω换为1ω，由于1ω是最低阶固有频率，因此：
2
11
21
21
2
)(ωω
ϕ=≥
∑∑==n
j j n
j j
a
a
R
由瑞利商公式知，当)1(φ=ϕ确为第一阶模态时，有：21)(ωϕ=R 。

因此，瑞利商的极小值为21ω，同理可证明，瑞利商的极大值为2
n ω 如果ϕ接近第 k 阶真实模态)(k φ=ϕ，比起 a k ，其它系数很小
k
j n j a a k j j ≠==,,,2,1 ，ε ，1<<j ε
代入，得：∑=-+≈n
j j k j
k
R 1
2
222
)()(εωωωϕ 例如 k ＝1，n j a a j j ,,21 ==，ε
2
2
22
12
2
2
22
22
12
1)(n
n
n a a a a a a R ++++++=
ωωωϕ2
1
2
2
12
22
12
2122221222121a a a a a a n n
n εεωεωεω++++++=
约去a 1
()222
2
22222211n
n
n R ε
ε
ωεωεωϕ++++++=
分子上加减1项
())
1/()()(2
22212212321222
122123212222222221n n n n n R εεωεωεωεωεωεωεωεωεωϕ+++⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++-+++++++= 222
2
21
22
222211)
()1(n
n
i i i
n
ε
εωωε
εεω+++-+
+++=
∑= 222
2
2
1222
11)
(n
n
i i i ε
εωωε
ω+++-+
=∑=
∑=-+
≈n
i i i 2
2
12
221
)(ωωε
ω
因此，若ϕ与)(k φ的差异为一阶小量，则瑞利商与2k ω的差别为二阶小量。

对于基频的特殊情况，令k ＝1，则由于)~2(02
1
2n j j
=>-ωω瑞利商在基频处取
极小值。

利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限，ϕ愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。

例题：接上例
m
k /3730
.01=ω，采用邓克利法，基频：m k /3535.01=ω
取在2m 质量上施加力P 所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型，即：
T
]5.2,2,1[=ϕ
代入瑞利商公式：
m
k R 142857
.0)(=ϕ，m
k 3780
.01=ω与精确值相比，相对误差1.34%。

3、里茨法
里兹法是瑞利法的改进，用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态，瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限，里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。

里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：
ΠA η
η
η
η
==
+⋯++=∑=r
j j j
r r a
a a a 1
)
()
()
2(2)
1(1ϕ，1)(⨯∈n i R η
r
n r R
⨯∈=],,,[)
()
2()
1(ηηη
Π ，121],,,[⨯∈=r T r R a a a A
代入瑞利商：
)()(ΠA R R =ϕA
M ΠΠA A K ΠΠA T
T
T
T =
A
M A A K A T T
=2
ω
=
r r T
R
⨯∈=K ΠΠK ，r r T R ⨯∈=M ΠΠM
由于()ϕR 在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元素应当从下式确定：
)2,1(,
0r j a R j
⋯⋯==∂∂。

代入：
),,2,1(,
0)()(2
r j a a T
j
T
j
⋯==∂∂-∂∂A M A A K A ω
)
,,2,1(,2)(
2)(
)()(r j a a a a T
j
T
j
j
T
T
j
T
j ⋯==∂∂
=
∂∂+∂∂=∂∂A K e A K A A K A A K A A K A
其中j e 是 r 阶单位矩阵的第 j 列。

上面 r 个方程可合成为：
A
K A K A A
2)(=∂∂T
表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量A
∂∂。

同理，有：
A
M A M A A
2)(=∂∂T
两项代入得：0A M K =-)(2ω
由于M K 、的阶数 r 一般远小于系统自由度数 n ，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多，因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法，M K 、就是自由度缩减为 r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵。

可求出 r 个特征根2
2221,,r ωωω⋯，，及相应的特征向量)()2()1(,,,r A A A ⋯，
原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为：),,2,1(,2
2r j j j ⋯==ωω，相应的前 r
阶主振型近似取为：),,2,1(,)()(r j j j ⋯==ΠA ϕ。

正交性分析
j
i j T
i j T T
i j T
i ≠===当 0)
()()
()()
()(A
M A
A
M ΠΠA
M ϕ
ϕ
即：00)()()()(==j T i j T i A K A A M A ，
因此：得出的近似主振型式关于矩阵 M 和 K 相互正交。

例题：接前例
采用常规方法，固有频率：
m
k /3730
.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286
.23=ω
采用邓克利法，基频：m k /3535.01=ω，采用瑞利法，基频：
m k /3780.01=ω。

将假设的振型取为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1322
11
][21－＝＝）
（）
（ηη
Π 缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=k k
k k 20444T
K ΠΠΚ＝，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--==m m
m m T
T 723M ΠΠM 特征值问题：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+-+--0072044234αα
αα
，k
m 2
ωα=
139853.01=α，860147.22=α，
[]
T
1,927547.4)
1(=A
，[]T 1,018449.0)2(-=A
固有频率：
m
k m
k 373969.01
11==
=αωω，
m
k m
k 691197
.12
22===αωω
主振型：
[]
T
1860147.0430073
.01)
1()
1(βϕ
==ΠA
[]
T
1860148
.1930074
.02)
2()
2(--==βϕ
ΠA
主振型精确值：
[]
T
18608
.04626.0)
1(=φ
，
[]
T
17458
.09339
.2)
2(--=φ
里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳。