3.4生活中的优化问题举例

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3-4 生活中的优化问题举例

能力拓展提升一、选择题11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43 D.83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r .此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．16．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题17．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？[解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x >0)， y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时，y ′<0；在x ＝1 000附近右侧时，y ′>0；故当x ＝1 000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240) ＝300x －25 000－x 240. ∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0；当x 在6 000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr 2)＝rS－2πr32，V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS 3π.。

3.4生活中的优化问题举例

第七页，编辑于星期一：十四点十二分。
变式训练
2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元，(2假设桥x)墩x等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
费用最省、用料最少问题
例2.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中的速度为多少？
第十三页，编辑于星期一：十四点十二分。
第十四页，编辑于星期一：十四点十二分。
第十二页，编辑于星期一：十四点十二分。
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案．注：在将实际问题转化成数学问题时，要注意所设变量的取值范围．
第九页，编辑于星期一：十四点十二分。
变式训练
3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告

3-4 生活中的优化问题举例

基础巩固强化一、选择题1．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B.2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当4<x≤8时，y′>0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[答案] A[解析]设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()[答案] A[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R[答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R ，当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大，故应选C.6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8 [答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1. 二、填空题7．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR ，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3， ∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.三、解答题10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析]设水箱底边长为x cm，则水箱高为h＝60－x2(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－x32(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－32x 2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：数V(x)的最大值．将x＝80代入V(x)，得最大容积V＝802×60－8032＝128 000(cm3)．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128 000cm3.。

高中数学选修1-1优质学案：§3.4 生活中的优化问题举例

§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小．又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0，解得x ＝6或x ＝－6(舍去)．当0<x <6时，y ′>0；当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。

3.4生活中的优化问题举例(用)

R2
R
R
令
s( R)
2V R2
+4πR=0,
解得，R= 3
V
2
，
从而 h= V = V = 3 4V =2 3 V 即 h=2R
R2 (3 V )2
2
∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值新疆王新敞奎屯
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省新疆王新敞奎屯
变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，
解：设版心的高为x dm，则版心的
宽为 128 dm，此时四周空白面积为
x
S
x
=
x
+
4
128 x
+
2
-
128
S='2xx+
512
=x2
-+58x1,2x2
>.02
x
2
512 x2
2(x 16)(x 16) x2
令S(x) 0 解得x 16 (x 16舍去)
当x∈(0,16)时，S' x > 0; 当x∈(16,+∞)
当 r (0, 2) 时 , f '(r) 0
当 r (2, 6) 时 , f '(r) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。

为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。

在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。

什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。

通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。

在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。

生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。

我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。

以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。

2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。

这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。

3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。

这样可以提高效率，并避免时间的浪费。

4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。

2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。

以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。

合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。

2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。

根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。

3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。

合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。

4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。

3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。

2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。

3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。

4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。

5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。

6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。

7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。

8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。

9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。

10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。

高中数学_选修1教学设计学情分析教材分析课后反思

3.4 生活中的优化问题举例一、教学目标：1．对比二次函数最值求法，基本不等式求最值，体会导数在实际问题中的应用.2．对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用.3．利用导数知识解决实际中的最优化问题.（重点）4．将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.（难点）二、教学过程学情分析在此之前，学生已学习高中阶段求最值的所有知识，思维整合度、思维广度和深度上都有很大进步。

为本节课学习奠定了必要的知识基础、思维基础。

经过长期的训练，学生已具备了一定的数学整合能力，并能进一步迁移、发散、证明、解决问题。

这为本节课的学习奠定了良好的思想基础和能力基础，但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面还有待加强。

建模是本节课的难点，所以在回顾例题，例1，例2的处理上多花点心思，对学生的引导循循善诱，让学生稳步上台阶。

【效果分析】该节课很好的达成了本节课教学目标：知识上强化了学生对生活中的优化问题举例的理解；能力上增强了利用导数求函数最值的分析和解决问题的能力；在观察、分析、探求、解决问题的过程中，让学生体验到学习的乐趣使学生的情感价值观得以提升。

课堂上体现新课程理念下的以人为本的思想,充分发挥了学生的主体作用，教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色。

教师和学生是本课的共同参与者,共同努力完成了这一节课的教学活动。

在这节课上,学生的积极性被充分调动起来,从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦.案例中的教学活动体现了研究性学习、探索性学习的方法以及导学式自主合作学习的模式与理念，是一节成功的课例。

《3.4 生活中的优化问题举例》教材分析1、教材的地位和作用：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题，并与二次函数最值求法，基本不等式求最值进行对比。

生活中的优化问题举例

A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h
解析：设将这批货物全部运到最快需 t 小时，依题意 t ＝4v00＋16·2vv02＝4v00＋1460v0≥8.当且仅当4v00＝1460v0，即 v＝ 100 km/h 时，最快需 8 小时，故选 B.
答案：B
4．一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 50 元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费，则房租定为________元时可获得最大收入．
因此乙方取得最大利润的年产量 t＝(10s00)2(吨)．
(2)设甲方净收入为 v 元，则 v＝st－0.002t2.
将 t＝(10s00)2 代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v＝10s002－2×1s40003.
又 v′＝－10s0202＋8×1s50003＝10002×s85000－s3，令 v′＝0，得 s＝20. 当 s<20 时，v′>0；当 s>20 时，v′<0，所以 s＝20 时，v 取得最大值．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以，当 x≥1 时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且 x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少.
费用最省问题例 2 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时用料最省(精确到 0.001 m)?
因此甲方向乙方要求赔付价格 s＝20(元/吨)时，获最大净收入．

3.4.1生活中的优化问题举例

解：设每瓶饮料的利润为y，则 4 3 2 y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r 2 - 2r ) 0，得r = 2
r f '( r ) f (r) (0，2)
-
减函数↘
变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大，、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (L)关于行驶速度 x (km/h)的函数解析式可以表示为：
1 3 3 y x x 8(0 x 120). 128000 80
若甲、乙两地相距100 km，则当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为h(x) L，则
令 h '( x) 0, 得 x 80.
当 x (0,80) 时， h '( x) 0, h( x) 是减函数；当 x (80,120] 时， h '( x) 0, h( x) 是增函数。
当 x 80 时， h( x) 取到极小值 h(80) 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值，所以它是最小值。
2 0 -1.07p
(2，6]
+
增函数↗
1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
2
25000 x 2 200 250 x 40 25000 x 当且仅当，即x 1000时等号成立 x 40 ∴每天应生产1000件产品

生活中的优化问题举例课件

跨部门协作
加强部门间的沟通和协作，打破信息孤岛，提高整体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长，合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导员工对工作任务进行优先级排序，确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励员工积极承担工作任务，提高工作积极性和满意度。
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优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
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学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
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避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日、每周和每月的工作计划，确保工作有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品的质量、品牌、售后服务等因素，权衡性价比，选择最优惠的价格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。

3-4 生活中的优化问题举例

1．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.ab B.a 2b C.b a D.b 2a[答案] C [解析]如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bVR 2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝ba .2．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)． L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．4．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大？[分析] 利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．[解析] 收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，所以L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值，最大值为782. 答：当产量为84时，利润取得最大值782.5．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎪⎫200x ＋136x 3＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件) 又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．。

生活中最优化问题案例

生活中最优化问题案例在我们的日常生活中，最优化问题无处不在。

从如何规划购物以节省开支，到安排工作任务以提高效率，再到选择出行方式以节省时间和费用，这些都是最优化问题的体现。

下面，让我们通过一些具体的案例来深入了解生活中的最优化问题。

案例一：购物省钱策略假设你要为家庭购买一周的生活用品，附近有两家超市 A 和 B。

超市 A 正在进行满 100 减 20 的活动，而超市 B 则对部分商品进行打折销售。

为了实现购物最优化，即花费最少的钱买到所需的商品，你需要对两家超市的商品价格和优惠政策进行详细比较。

首先，列出家庭一周所需的生活用品清单，包括食品、清洁用品等。

然后，分别到两家超市查看这些商品的价格。

对于超市 A，计算在满足满减条件后的实际支付金额。

对于超市 B，计算打折商品的折后价格。

在比较价格时，还需要考虑商品的质量、保质期等因素。

如果某些商品在两家超市的价格差异不大，但超市 A 的商品质量更好或保质期更长，那么即使在价格上稍微高一些，也可能是更优的选择。

此外，还需要考虑购物的便利性，比如超市的距离、交通状况等。

如果为了去一家稍微便宜但距离较远的超市而花费过多的时间和交通费用，可能并不划算。

通过综合考虑价格、质量、便利性等因素，最终做出最优化的购物决策，以达到省钱的目的。

案例二：工作任务安排假设你是一个项目负责人，手头上有多个任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有不同的优先级和所需时间。

为了确保项目按时完成并提高工作效率，需要对任务进行合理的安排。

首先，对所有任务进行优先级排序。

将那些紧急且重要的任务排在前面，优先处理。

然后，根据每个任务所需的时间和团队成员的能力，合理分配任务。

在分配任务时，要考虑团队成员的专长和工作负荷。

避免将过多的任务分配给某一个成员，导致其压力过大而影响工作质量和效率。

同时，也要给一些相对复杂的任务预留足够的时间，以保证能够高质量地完成。

此外，要合理安排任务的执行顺序。

3.4生活中的优化问题举例课件人教新课标3

从图中，你还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
因此，当x=1时，y取最大值，得y最大=-2+2.2+1.6=1.8，这时容器的高为3.2-2x=1.2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
9
练习3、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm，则另一边长为 (x+0.5)m，容器的高为 [14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义，要求x>0，3.2-2x>0，解得x的取值范围是0<x<1.6.
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
问题：(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
3.4 生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例

3.4 生活中的优化问题举例1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点)2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.(难点)[基础·初探]教材整理优化问题阅读教材P101第一自然段，完成下列问题.1.优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.2.用导数解决优化问题的基本思路甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3-4-1所示：图3-4-1现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有()A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】由图象可知，②④是正确的.【答案】 B[小组合作型]先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3-4-2).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【导学号：97792051】图3-4-2【精彩点拨】设自变量(高)为x―→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数―→利用导数求出容积的最大值―→结论【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则：V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24).所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36).令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去).当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的.因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3).因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值.2.实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等.[再练一题]1.已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.【解】设矩形边长AD ＝2x (0<x <2)，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)， ∴S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去).当0<x <233，S ′>0，当233<x <2时，S ′<0，所以，当x ＝233时，S 取得最大值，此时S max ＝3239.即矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大.10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【精彩点拨】先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费用之和.【自主解答】设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041 000x ＝1 280x 元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1 280x ＝800＋160ln x ＋1 280x (x ＞0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x ＞0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0＜x ＜8时，g ′(x )＜0，当x ＞8时，g ′(x )＞0，所以x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值. 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.[再练一题]2.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v .(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.【解】 (1)Q ＝P ·400v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100). (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0＜v ＜80时，Q ′＜0；当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).[探究共研型]探究【提示】关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【精彩点拨】(1)利用题中等量关系列出y与x的函数关系式，将x＝100代入所求关系式判断y>0还是y<0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值.【自主解答】(1)由题意，每年销售Q万件，成本共计为(32Q＋3)万元.销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q＋3－x)＝12⎝⎛⎭⎪⎫32×3x＋1x＋1＋3－x＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，∴所求的函数关系式为：y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0).因为当x＝100时，y<0，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由y＝f(x)＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，得f′(x)＝－x2－2x＋632(x＋1)2(x≥0).令f′(x)＝0，则x2＋2x－63＝0.∴x＝－9(舍去)或x＝7.又∵当x∈(0,7)时，f′(x)>0；当x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值.2.解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误.[再练一题]3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)【导学号：97792052】【解】每月生产x 吨时的利润为 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0). 由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去).因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为 f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000 ＝3 150 000(元).所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( )A.2033 cmB.100 cmC.20 cmD.203 cm【解析】设圆锥的高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2)×h ，所以V ′(h )＝13π(400－3h 2). 令V ′(h )＝0，得h 2＝4003，所以h ＝2033.故选A. 【答案】 A2.某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台【解析】利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，求导得y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6或x ＝0(舍去).因0<x <6时，y ＝18x 2－2x 3递增， x >6时，y ＝18x 2－2x 3递减， ∴x ＝6时利润最大，故选C. 【答案】 C3.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为________.【解析】设其中一段长为x ，则另一段长为16－x ，设两正方形的面积分别为S 1，S 2，面积之和为S ，则S ＝S 1＋S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫16－x 42＝116x 2＋116x 2－2x ＋16 ＝18x 2－2x ＋16(0<x <16). 令S ′＝14x －2＝0，得x ＝8.即x＝8时，S有最小值，最小值为8.【答案】84.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的售价为________元时，利润最大.【解析】利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x ＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大.【答案】1155.某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元).求：(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？【导学号：97792053】【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N且x∈[1,20]).(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x＋9)(x－12)(x∈N且x∈[1,20])，当1≤x≤12时，P′(x)＞0，P(x)单调递增；当12＜x≤20时，P′(x)＜0，P(x)单调递减；∴x＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船公司的年利润最大.。