数学建模网络挑战赛题目

数学建模网络挑战赛

承诺书

我们仔细阅读了第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们允许数学中国()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛报名号为：

参赛队员 (签名) ：

队员1：荣齐辉

队员2：农岸松

队员3：凡

参赛队教练员 (签名)：

参赛队伍组别：

数学建模网络挑战赛

编号专用页

参赛队伍的参赛：（请各个参赛队提前填写好）：1197 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2010年第三届“ScienceWord杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

题目聪明的汽车

关键词侧位停车初等几何方法平行泊车自动寻轨算法

摘要：

本问题要求我们建立合理模型，判断汽车能否在该处顺利停入，以及给出为进入停车位应选取的位置和角度，并将理想线路及允许的偏差显示在图中。对这些问题我们运用了初等几何分析方法和平行泊车自动寻轨算法来建立模型，解决问题。

就问题一，我们先将问题抽象成直观的平面几何图形，通过运用初等几何知识，建立了两个模型来计算，为保证本车顺利停入，停车位所需的最小长度和最小宽度（由该车的相关参数确定）。我们得出结论：只有本车车长和宽度分别大于停车位的最小长度和最小宽度，它才能在该处顺利停入，否则，它不能在该处侧位停车。

就问题二，我们先讨论了侧位停车的两种理想线路即经过两次泊车最终停

R，一种是在车位正中央。一种是两相切圆弧的半径均为汽车的最小转弯半径

min

两相切圆弧的切点固定，根据这两种情况，我们分别求出了侧位停车的初始位置及偏向角度，并用matlab画出了这种理想线路。然后，针对与理想线路有偏差的情况，根据车位尺寸求出了侧位停车的初始位置的允许的偏差围。接着，对这个围的任一点，运用自动泊车原理和自动泊车寻轨算法，可求出以该点为初始位置的泊车轨迹，从而得到在初始位置的偏差围，汽车泊车线路的允许偏差围，并在图上显示出来。

参赛队号 1197 Array

所选题目 A

一、问题的重述

在狭窄的空间里把车停放在合适的位置，或在短小的停车位上侧位停车，一直是考验驾驶员技术与信心的问题。如果驾驶员对自己的停车技术缺乏自信，这一方面影响人的驾驶体验，一方面也使停车空间不能得到充分的利用。在此，请你协助驾驶员来解决停车的问题。具体要求如下：

（1）建立合理的模型，以判断本车是否能在该处侧位停车。

（2）给出本车为了进入停车位，应当从哪个位置和角度进入。将理想线路以及容许的偏差显示在图上。

二、模型的假设

1、地面是平坦的；

2、车身可看作一个长方体, 侧位停车过程中,汽车的运动轨迹可看作其几何中心的运动轨迹；

3、车轮与地面无打滑情况；

4、汽车的最小转弯半径和前轮最大转角由汽车本身确定，为常数；

5. 停车位事长方形,停车位的长宽和汽车的长宽给定；

6. 停车时汽车的速度足够小；

7．汽车在侧位停车前与车位保持平行，且汽车与车位之间的距离一定。

8．为了研究方便，我们假定汽车几何中心在y轴上，车位底边在x轴上。

三．符号说明

四、问题的分析、模型的建立及求解

4.1 问题一的分析与模型的建立： 4.1.1 模型一

问题分析

已知：车位长1l ,车位宽1w ,车长2l ,车宽2w ,汽车的最小转弯半径min R ,前轮的最大偏转角max ϕ,汽车与后车障碍物的最小允许距离m,前后车轴距d ，车尾部与后轮距的距离a 等参数

要求：建立合理模型，以判断本车是否能在该处侧位停车。 分析：该问题要求建立合理模型，以判断本车是否能在该处的车位进行侧位停车，即判断出汽车能否顺利停入的区域。从日常的操作经验及简单的几何分析可知， 停车位的尺寸必须大于车辆的长度。更重要的是一个合适的车位还应该考虑到停车的可操作性，即驾驶员可以通过正常的驾驶操作，将汽车无碰撞地驶入车位。侧位停车的轨迹路线是一个可逆的路线，可以从侧位停车的过程的逆过

程，即将车辆无碰撞地驶出停车位的过程。

模型一的建立与求解：

图1－1侧位停车的车为长度尺寸示意图

如上图，一辆长为2l ，宽为2w 的小车停泊在车I 和车II 两车之间。为了驶出车位，首先将小车后退至与I 车距离为m （即与后车障碍物的最小允许距离）的位置，而后把小车前轮向左侧偏转到最大角度max ϕ，小车低速前进，直到小车右前角Q 到达停车位的左边缘线上，即图1-1中的'Q 位置；最后，小车可以继续前进离开车位。从图可以看出，要确保小车驶出时不与I ，II 车碰撞，则停车位的长度

1l 应该满足以下条件：

1l 〉D+2m （1.1）

其中D 的定义如图1-1所示。因小车转向运动时，可看作是围绕某一点作圆周运动。在图1-1中，点O 是小车运动轨迹的圆心点，点N 及'N 是小车后轮轴与前

轮轴的中点。'NON ∠的大小等于前轮偏转角度max ϕ，线段ON 的长度定义为最小转弯半径min R ，则由简单的几何关系，可列出以下等式：

min max 2

min 22221min 222

1cot 2()()2R d w r R w

R R l a D R r a ϕ=⎧

⎪⎪=-⎪

⎨⎪=-+-⎪

⎪=-+⎩

（1.2）

在上个式子中，d 是前后车轴距，a 是车尾部与后轮距的距离，r 是线段OP 长度，

1R 是线段OQ 或线段'OQ 的长度。综合上列（1.1） （1.2）两个式子得，侧位

停车时车位的最小长度 1

l min

=22max 12cot ()2dw l a a m ϕ+-++ （1.3）

图1-2：车位宽度分析示意图

对于侧位停车的车位宽度要求，如图1－2所示。小车右边后角A 移动至OP 延长线上的点'A 时，与车位右边的距离应该大于m （即与障碍物的最小允许距离）。