1因式分解配方法课件
用因式分解法求解一元二次方程 课件 数学九年级上册
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程
x2＝3x.但他们的解法各不相同．
由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.
因此x＝ 3 9 ， x1＝0，x2＝23. 所以这个数是0或3.
方程x2＝3x两边 同时约去x，得 x＝3. 所以这个数是3.
新课导入
由方程x2＝3x，得 x2－3x＝0， 即x(x－3)＝0. 于是x＝0，或x－3＝0. 因此x1＝0，x2＝3. 所以这个数是0或3.
第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方 程
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点）
新课导入
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
讲授新课
解方程：x2+5x-6=0.
x2 5x 6 (x 6)(x 1)
x
6 步骤：
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0.
∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
x
①竖分二次项与常数项
1
x 6x 5x ②交叉相乘，积相加
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+2x=4
x2+3x-4=0
x2+2x+1=5
分解因式，得
(x+1)2=5
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程
第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。
一元二次方程解法——因式分解、配方法
3 2 B． （2-5x）+（5x-2） =0，∴（5x-2） （5x-3）=0，∴x1= ，x2= 5 5
2
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ） ． A．x2+1=0 B． （2x+1）2=0
C． （x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 2．下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x2=1 是同解方 程；③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1） （x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3，其中正确的命题有（ ） ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2-mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（ ） ． A．-
解：设 6x+7=y
1 1 1 1 y+ ，x+1= y6 6 2 2 1 1 1 1 依题意，得：y2（ y+ ） （ y- ）=6 6 6 2 2
则 3x+4= 去分母，得：y2（y+1） （y-1）=72 2 2 4 2 y （y -1）=72， y -y =72
1 2 289 ）= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
p ，达到降次转化之目的．若 p＜0 则方程无解
自主练习：1：用直接开平方法解下列方程： （1） x 225 ；
2
（2） ( x 1) 9 ；
2
1 ． 2
（3） (6 x 1) 25 0 ．
2
2 （4） 4( x 2) 81 0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
课件《因式分解》课件PPT_人教版1
x=
（b2-4ac≥0）
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
5 ， x2=5.
导入新知
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
a b c (∵2ax＝∵＋31，)(b2＝＝x－－314，，)=c0＝. －＝1，－4， ＝－1，
②(x－1)2＝3；
把方程左边因式分解，
y y x①b=2x－∴2－4ax3c＝x=＋(－1－＝100)；－（2－b240-=41±a0c0≥0）－24×2－3 4×3×－1＝2±3
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程．
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是很简单？
探究新知
【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方 程降为一次的？
x(10-4.9x)=0 ①
x=0或10-4.9x=0 ②
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解.
x1=6, x2=-2.
人教九年级数学上册《因式分解法》课件
5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2 (2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 解：x1＝1，x2＝53
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
2．解一元二次方程，首先看能否用___直__接__开__平__方__法______；再看 能否用____因__式__分__解__法______；否则就用____公__式__法_____；若二次项 系数为1，一次项系数为偶数可先用__配__方__法_____．
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
22＋2，x2＝－
2＋2 2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2 (4)(x＋5)2＋x2＝25.
配方法(课件1)
配方法可以用于求解一元二次方程和某些一元高 次方程，将其转化为容易求解的形式。
03 函数极值
配方法可以用于求函数的极值，通过将函数转化 为完全平方的形式，可以更容易地找到极值点。
配方法的基本步骤
步骤1
步骤3
将多项式转化为完全平方的形式，可 以通过加上或减去适当的常数来实现。
利用直接开平方法求解，得到原多项 式的解。
01
02
03
解的求解过程
通过对方程进行配方，将 其转化为完全平方形式， 然后利用直接开平方法求 解。
解的表示
解可以表示为 $x=hpmsqrt{k}$的形式， 其中$h$和$k$是常数， $sqrt{k}$是方程的解。
解的验证
解出方程后，需要验证解 的正确性，确保解满足原 方程。
03
多元一次方程组的配方法
开方得到：$x - 2 = pm 1$
解得：$x_1 = 3, x_2 = 1$
THANKS
感谢观看
步骤2
对完全平方进行因式分解，得到两个 相同的因式。
02
一元二次方程的配方法
方程的转化
转化形式
将一元二次方程转化为$a(xh)^2+k$的形式，其中$h$和$k$ 是常数，$a$是方程的二次项系数。
配方过程
通过移项、配方等步骤，将一元二 次方程转化为完全平方的形式。
配方技巧
利用完全平方公式，将方程中的项 进行组合，使其成为完全平方项。
02
01
03
将方程两边同时除以二次项 系数，使二次项系数为1。
将方程两边同时加上一次项 系数一半的平方。
04
05
化简得到一个完全平方项。
配方法的应用实例
人教版数学九年级上册第21章解一元二次方程21.2.3因式分解法教学设计课件
21.2.3因式分解法1.认识因式分解法的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,领会“降次”化归的思想方法.2.经过灵巧选择解方程的方法,领会解决问题的灵巧性和多样性.1.经过研究因式分解法解一元二次方程,学会与别人合作,能与别人沟通思想的过程和结果的能力.2.经历研究知识的形成过程,培育学生主动研究的精神与踊跃参加的意识.【要点】用因式分解法解一元二次方程.【难点】依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.【教师准备】预料学生解一元二次方程中选择灵巧方法的困难.多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习总结学过的解一元二次方程的方法.导入一:复习发问:1.因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问,学生回答,教师评论.2.将以下各式分解因式.(1)5x2-4x;2-4x+4;(2)x(3)4x(x-1)-2+2x;(4)x2-4;2-x2.(5)(2x-1)【师生活动】学生独立达成,小组内沟通答案,对出现的错误组长帮忙解决,老师评论易错点.导入二:(教材问题2)依据物理学规律,假如把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地2面的高度(单位:m)为10x-4.9x,依据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保存小数点后两位)?学生口答所列方程为10x-4.9x2=0,思虑怎样解这个方程.(配方法、公式法)[设计企图]经过复习有关知识,有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解,进而降低本节课的难度,为学习新知识打下基础;以与物理学有关的实质问题导入新课,让学生领会各学科知识之间的联系,感觉数学与生活之间的联系,激发学生学习的兴趣.[过渡语]除配方法和公式法之外,可否找到更简单的方法解这个方程?一、共同研究2=0?思虑:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x思路一教师指引学生思虑回答以下问题.(1)上边方程中有没有常数项?(2)等式左侧的各项有没有同样因式?能不可以分解因式?(3)假如AB=0,那么;假如(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或,即x=-1或. (4)试试将方程左侧分解因式,看能不可以达到降次的目的.【师生活动】学生在教师的指引下逐个思虑回答以下问题,教师实时增补,而后让学生勇敢试试解方程,对出现的问题教师有针对性地解决.思路二复习发问:假如AB=0,那么.方程能不可以化成这类形式?小组合作沟通,勇敢试试,教师对解决问题有困难的学生实时赐予帮助,并将小组沟通结果展现,对学生展示结果教师提出怀疑,并指引学生解决.解:将方程左侧分解因式,得x(10-4.9x)=0,∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=≈2.04.∴物体经过2.04秒落回地面.[设计企图]经过小组议论或教师指引,察看方程的特色,而后找到解决的门路,让学生亲身经历知识的形成过程,培育学生察看问题、剖析问题的能力和研究精神.二、思虑(1)上述解方程的方法第一步是怎样变形的?(2)上述解法是怎样达到降次的目的的?(3)什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通,教师实时指引,师生共同得出结论.第1页我们能够发现,上述方程的解法不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,进而实现降次,这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.[过渡语]依据方才解方程的思路和因式分解法解方程的观点,你能不可以总结因式分解法解方程的步骤是什么?【师生活动】学生思虑回答,教师增补,归纳后以课件展现.【课件1】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.[设计企图]以问题的形式指引学生思虑,降低了新知识的难度,小组的议论沟通,让学生体验知识的形成过程,在讲堂上发挥主体作用,体验成功的快乐,使本节课要点进一步获取加强,同时研究过程培育了学生疏析问题的能力和归纳总结的能力.三、例题解说【课件2】(教材例3)解以下方程.(1)x(x-2)+x-2=0;2-2x-=x2-2x+.(2)5x【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案,教师课件展现,规范做题格式.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.2-1=0,(2)移项、归并同类项,得4x因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,∴x1=-,x2=.[知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式,方程的右侧为0时,经常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法,要会灵巧运用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用次序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,一般先考2=b(b≥0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特虑用因式分解法,假如是特别形式(x+a)殊要求时一般不用.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.1.方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=2分析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.应选C.2.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是()A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=71=5,x2=7.分析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左侧提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x 应选D.3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程,求解.分析:方程左侧提公因式得(x+3)(5-2x)=0,因此x+3=0或5-2x=0.答案:x+3=05-2x=02-16=0的解是.4.方程x分析:方程左侧用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,因此x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.5.用因式分解法解以下方程.2+x=0;(1)x2-2x=0;(2)x2-6x=-3;(3)3x(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;第2页2=(5-2x)2.(6)(x+4)解:(1)将方程左侧分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0.∴x1=0,x2=-1.(2)将方程左侧分解因式,得x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0.∴x1=0,x2=2. 2-6x+3=0,将方程左侧分解因式,得3(x-1)2=0∴x(3)移项,得3x1=x2=1.(4)将方程左侧分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0.∴x1=-,x2=.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左侧分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0.∴x1=-,x2=.2-(5-2x)2=0,(6)移项,得(x+4)将方程左侧分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,∴-x+9=0或3x-1=0.∴x1=9,x2=.21.2.3因式分解法一、共同研究二、思虑因式分解法解一元二次方程的步骤三、例题解说一、教材作业【必做题】教材第14页练习的1题.【选做题】教材第14页练习的2题.二、课后作业【基础稳固】2-2x=0的解是()1.一元二次方程5xA.x1=0,x2=B.x1=0,x2=-C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-2.方程3x(x+1)=3x+3的解为()A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=-1D.x1=1,x2=-13.若对于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程能够为()A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=04.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对5.方程x(x-1)=x的解是.6.将二次三项式x2+20x-96分解因式的结果为;假如令x2+20x-96=0,那么它的两个根是. 7.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是.第3页8.若(m+n)(m+n+5)=0,则m+n=. 9.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为. 10.用因式分解法解以下方程.(1)(x-1)(x-2)=0;2-3x=0;(2)x2-4x+4=0;(3)x2-5x+4=0.(4)x【能力提高】的长方形养鸡场. 为了节俭资料 ,养鸡场的一边靠着原有的一面墙 ,墙211. 某养鸡专业户建一个面积为 150 m长a m,另三边用篱笆笆围成,假如篱笆的长为35 m,那么养鸡场的长与宽各为多少?(此中a≥20)2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0便可转变为(x-a)(x-b)=0,请你用上边的方法解下12.我们知道x列方程.(1)x2-3x-4=0;2-7x+6=0;(2)x2+4x-5=0.(3)x【拓展研究】2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们能够将x2-1视为一个整体,而后设x2-1=y,则y2=(x2-1)213.为解方程(x,原方程化为22222y-5y+4=0,解此方程,得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,x=2,∴x=±.当y=4时,x-1=4,x=5,∴x=±.∴原方程的解为x1=-,x2=,x3=-,x4=.以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,表现了转变的思想.4-3x2-4=0;(1)运用上述方法解方程x2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解(1)中的方程吗?(2)既然能够将x【答案与分析】1.A(分析:将方程左侧分解因式,得x(5x-2)=0,∴方程的解为x1=0,x2=.应选A.)2.D(分析:由已知得3x(x+1)-3(x+1)=0,∴3(x+1)(x-1)=0,∴x+1=0或x-1=0,∴x1=1,x2=-1.应选D.)3.A(分析:∵(x+5)(x-7)=0,∴x+5=0或x-7=0,∴x1=-5,x2=7.应选A.)2-x=21,∴=,∴x=.应选D.)4.D(分析:∵(x+4)(x-5)=1,∴x5.x1=0,x2=2(分析:∵x(x-1)=x,∴x(x-1)-x=0,∴x(x-1-1)=0,即x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.)6.(x+24)(x-4)-24,4(分析:x2+20x-96=(x+24)(x-4).∵x2+20x-96=0,∴(x+24)·(x-4)=0,∴x+24=0或x-4=0,∴x1=-24,x2=4.)7.x1=3,x2=-2(分析:移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,∴(x+2)(x-1-2)=0,∴x1=3,x2=-2.故填x1=3,x2=-2.)8.0或-5(分析:由题意得m+n=0或m+n+5=0,∴m+n=0或m+n=-5.故填0或-5.)2=0,因此2x+3y+2=0,即2x+3y=-2.故填-2.)9.-2(分析:把2x+3y当作一个整体,有(2x+3y+2)2=0,∴x10.解:(1)x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.(2)x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3.(3)(x-2)1=x2=2.(4)(x-1)(x-4)=0,∴x-1=0或x-4=0.∴x1=1,x2=4.11.解:设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则与墙相对的边的长为(35-2x)m,依题意,得x(35-2x)=150,即2-35x+150=0,因此(2x-15)·(x-10)=0,因此x=7.5或x=10,当x=7.5时,35-2x=20,当x=10时,35-2x=15,由于a≥ 2x20,因此两根都知足条件.答:养鸡场的长与宽分别为20 m,7.5 m或15 m,10 m.212.解:(1)∵x-3x-4=(x-4)(x+1),∴(x-4)·(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x1=4,x2=-1.2-7x+6=(x-6)(x-1),∴(x-6)(x-1)=0,∴x-6=0或x-1=0,∴x(2)∵x1=6,x2=1.2+4x-5=(x+5)(x-1),∴(x+5)(x-1)=0,∴x+5=0或x-1=0,∴x(3)∵x1=-5,x2=1.4-3x2-4=0.设x2=y,则y2=x42-3y-4=0,解此方程,得y2=4,∴x=±2.13.解:(1)x,原方程化为y1=-1,y2=4.当y=4时,x2=-1,无实数解.∴原方程的解为x2+1)(x2-4)=0,∴x2+1=0或当y=-1时,x1=-2,x2=2.(2)因式分解,得(xx1=2,x2=-2.2-4=0,x2+1=0无解,∴原方程的解为x在本节课的教课过程中,先对因式分解进行复习,而后由实质问题引出新方程,解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,而新知识与旧知识一元一次方程有内在联系,指引学生用比较、归纳的方法获取新知识.整节课都是以问题形式层层深入,在老师的指引下,学生自主研究结论,因此学生在讲堂上发挥了主体作用,老师在讲堂上不过指挥家、引领者的身份,这样有益于培育学生剖析问题、解决问题的能力和创新精神.后边的例题稳固提高了本节课的要点,例题的解决不是老师解说达成的,而是学生在独立思虑的基础上由小组合作、共同沟通达成,提高了学生解决问题的灵巧性,建立了学习的信心.在讲堂中有时办理问题过于焦躁,过分关注学生的学习结果,而忽视了过程,办理有些知识点时,给学生留有思虑的时间太少,造成练习解方程时,部分学生出现计算错误许多.并且对于学生出现的问题不过实时的加以加强,没有再出近似的问题让学生解决,不可以更有效地表现讲堂教课的实效性.不可以关注到每一位学生,在讲堂上比较活跃的仍是部分学生,应当让人人学到有价值的数学.第4页数学教课的真理是数学思想过程的教课,因此教课方案要着重培育学生正确运用所学新知识来剖析问题、解决问题,用新方法解方程时,给学生足够思虑时间,同时重视指引学生思虑怎样对所学新知识加以复习、稳固,进一步认识这部分知识在解决问题时所起的作用.教课自己就是一个动向生成的过程,在解题过程中, 尽量让有典型问题的学生进行展现,这样正好是教师的第一手资料,以使教课更能有效进行.练习(教材第14页)1.解:(1)x1=0,x2=-1.2+x=0,x(x+1)=0,∴x2- 2 x=0,x(x- 2 )=0,∴x 2- 6x=-3,x2- 2x+1=0,(x- 1) (2)x 1=0,x2=2 . (3)3x 2=0,∴x1=x2=1.1=x2=1.2-121=0,(2x-11)·(2x+11)=0,∴x(4)4x1=,x2=-.(5)3x·(2x+1)=4x+2,3x(2x+1)-2(2x+1)=0,(2x+1)(3x-2)=0,∴x1=-,x2=.2=(5- 2x)2 (6)(x- 4) ,(x- 4) 2- (5- 2x)2=0,(x- 4+5- 2x)·(x- 4- 5+2x)=0,(1-x )( 3x- 9)=0,∴x 1=1,x2 =3.1=1,x2=3.2.解:设小圆形场所的半径为R m,则大圆形场所的半径为(R+5)m,依题意得2=π(R+5)2 2=(R+5)2 2πR ,2R ,( R) 2- (R+5)2 =0,( R+R+5)( R-R-5)=0,∴R 1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的半径为(5+5)m.1.本节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程,解法的基本思路是将一元二次方程转变为一元一次方程,而达到这一目的,我们主要利用了因式分解“降次”,经过本节课的学习,要指引学生逐渐深入、领悟、掌握“转变”这一数学思想方法.2.在教课过程中,对配方法和公式法进行复习,再由实质问题引入新方程,要解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,把本节课的要点内容设计成问题串的形式,指引学生自主研究、合作沟通,自然地掌握了本节课的要点,同时培育了学生剖析问题、解决问题的能力及合作和研究精神.3.因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法,在解一元二次方程时,应依据方程的构造特色,选择合适的方法去解,这是本节课的难点,并且直接开平方法与因式分解法中都包含着由二次方程向一次方程转变的思想方法.一般状况下,独自使用这类方法,学生运用的比较娴熟,但假如综合在一同,学生运用的就不太娴熟,因此在练习中,给学生足够的时间沟通,共同研究方程知足什么特色能够用什么方法,达到顺利打破难点的目的.用因式分解法解方程x(x-1)=2.有学生给出以下解法:∵x(x-1)=2=1×2=(-1)×(-2),∴或或或解上边第一、四个方程组,无解;解第二、三个方程组,得x=2或x=-1.∴x=2或x=-1.请问:这个解法对吗?试说明你的原因.假如你感觉这个解法不对,请你求出方程的解.解:解法不对.原因:用因式分解法解一元二次方程,方程左侧一定为两个一次因式的乘积,而方程右侧一定为0,明显这位同学的做法不切合这样的要求,故解法错误.正确解法以下:2-x-2=0,原方程可化为x即(x-2)(x+1)=0,则x-2=0或x+1=0,1=2,x2=-1.解得x第5页。
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版
(3)3x 2 ? 6 x ? ? 3 移项，得： 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 提公因式得： 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 所以 3( x ? 1) 2 ? 0 有 ( x ? 1) 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 1 .
另一解法 :
(4)4x2 ?121? 0
移项：4x2 ? 121
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a 2+2ab+b 2=(a+b)2.
” （3）“x2+(a+b)x+ab 型:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
思考 ?
根据物理学规律,如果把一个物体从地 面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗？（精确到0.01S）
刻物体的高度是0m．
以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 ①
x ? 0 或 10 ? 4.9x ? 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：x(x?2)??x?2?? 0,
解 : 移项,合并同类项,得：
?x?2?x??1?? 0.
人教版数学九年级(上)因式分解法(17张)-公开课
如果ab=0，则a=0或b=0.
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【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3 因式分解法(共17张PPT)-公开课课 件（推 荐）
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
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5. 用适当方法解下列方程：