受约束的回归及检验例题
中级计量经济学讲义_第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验
第六章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212*********这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
5约束条件的检验
( ESS RSS
U
ESS
R
)/q
/( n ( k q 1 ))
~ F ( q , n ( k q 1 ))
Ｆ统计量的另一个等价式
F ( RU R R ) / q
2 2
(1 R U ) /( n ( k q 1 ))
2
讨论：
如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, …, Xk+q对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；
kX
k 1
k
kq
(*)
X
kq
0
1
kX
X
k 1
(**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归：
H0：
k 1 k 2 k q 0
相应的Ｆ统计量为：
F ( RSS RSS
U R
RSS
U
)/q
/( n ( k q 1 ))
b x
j
ij
b x
k
ik
u
i
2 .约束回归： a
i
b x
1
i1
b x
2
i2
b（ x
j
ii
x
ij
）
b x
k
ik
u
i
3 .进行 F 检验： F
RSS
( r ) RSS ( u ) / 1
RSS ( u ) /( n k 1 )
~
例 城镇居民对食品的人均消费需求实例中，对 零阶齐次性检验： 无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数kU - kR=3-2=1
受约束回归模型
但是，如果约束条件 受约束回归 但是 如果约束条件为真，则受约束回归 如果约束条件为 无约束回归模型具有相同的解释能力 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 可用 根据数理统计学的知识：
Y1 X 1 = Y X 2 2 0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数β的估计， β 而γ不外是用后n2个样本测算的预测误差X2(α - β) γ α
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 无约束回归模型 则可写出如下无约束回 无约束回
Y1 X 1 = Y 0 2 0 β μ + 1 X 2 α μ 2
(*)
如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对 α β 如下假设进行检验： H0: α=β β
这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + β k +1 X k +1 + L β k + q X k + q + µ
(*) (**)
RSSU / σ 2 ~ χ 2 (n − kU − 1)
RSS R / σ 2 ~ χ 2 (n − k R − 1)
《受约束回归》课件
多项式回归案例
总结词
多项式回归是一种扩展的线性回归模型 ，适用于非线性关系的数据。
VS
详细描述
多项式回归通过引入多项式项来扩展线性 回归模型，以适应非线性数据。它通过增 加自变量的幂次来构建更高阶的多项式， 从而更好地拟合数据的复杂模式。例如， 二次多项式回归模型可以表示为 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_1^2 + beta_3 x_2 + beta_4 x_2^2 + ...)。
自适应学习率调整
根据模型训练过程中的表现，动态调 整学习率。
避免学习率过高导致模型发散或学习 率过低导致模型训练缓慢的问题。
深度学习与受约束回归的结合
利用深度学习技术，提取高层次特征，提高受约束回归模型的性能。
结合深度学习中的优化算法，解决受约束回归中的复杂约束条件问题。
谢谢聆听自定义约束条件01约束条件形式
根据用户需求设定
02 03
约束条件描述
自定义约束条件是指用户可以根据自己的需求和假设，自 定义一些约束条件。这些约束条件可以是任何形式和逻辑 ，只要能够满足用户的需求和问题的要求。
实例
在预测产品销售量时，用户可以根据自己的经验和市场情 况，自定义一些约束条件，如“产品销售量与广告投入成 正比”、“产品销售量不会超过某一阈值”等。这些约束 条件可以作为自定义约束条件加入回归模型中。
约束条件的形式
线性约束
线性约束条件是指对回归系数施 加线性限制，如限制回归系数的 总和、平均值或范围等。
非线性约束
非线性约束条件是指对回归系数 施加非线性限制，如限制回归系 数的平方和、立方和等。
稀疏性约束
计量经济学--受约束回归和参数的稳定性检验
（一）不对参数施加零次齐次的约束
• 在出现的对话框中的 • Equation specification中输入被解释变量和解释变 量log(q) c log(x) log(p1) log(p0) • Sample输入1981 1994 • 也可直接输入命令ls log(q) c log(x) log(p1) log(p0) 在出现的Equation中点击Estimate将Sample修改 为1981 1994
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
二、人均食品消费的时间趋势图
• 采用两种方式均可得到如下窗口。在Specific中选 择line & symbol，并点击“确定”。或者直接输 入命令 line q并回车。
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
（三）检验约束条件的真实性
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
（一）Chow稳定性检验
• 在eq03窗口的菜单中依次选择View/Stability Tests/Chow Breakpoint Test…，在对话框中输入分割点1995。
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
（一）Chow稳定性检验
• 点击OK以后得到Chow Breakpoint检验的结果，发现 F=10.33821
• 给定=5;临界值，拒绝参数稳定的原假设，表明中国 城镇居民食品人均消费需求在1994年前后发生了显著变化。 • 也可根据伴随概率（0.0005）判断出结果。
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
三、模型的估计（1981-1994）
• （一）不对参数施加零次齐次的约束
第三章受约束回归问题
F
(RSSR RSSU ) /(kU kR ) RSSU /(n kU 1)
~
F (kU
kR , n kU
1)
5/18/2020
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
5/18/2020
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
Y 0 1X1 2 X 2 k X k
Q
AX
P P 1 2 3 10
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
5/18/2020
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
§3.6 受约束回归
= e X(β β)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 为无约束样本回归模型的残差平方和 样本回归模型的残差平方 受约束与无约束模型都有相同的 受约束与无约束模型都有相同的TSS 模型都有相同的 由（*）式 ） 从而 RSSR ≥ RSSU ESSR ≤ ESSU
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + + β k X k +
Y = β 0 + β 1 X 1 + + β k X k + β k +1 X k +1 + β k + q X k + q +
(*) (**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归： 式可看成是（ ）式的受约束回归 受约束回归： 式可看成是
这意味着， 通常情况下， 这意味着 ， 通常情况下 ， 对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。 条件会降低模型的解释能力。
根据数理统计学的知识： 根据数理统计学的知识：
( RSS R RSSU ) /(kU k R ) F= ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
(**)
如果对（**）式回归得出
β 0 , β 1 , β 3 ,, β k 1
β k = β k 1
则由约束条件可得： β 2 = 1 β 1
主要介绍F检验 主要介绍 检验 在同一样本下， 无约束样本回归模型为 在同一样本下，记无约束样本回归模型为 Y = Xβ+ e 受约束样本回归模型为 受约束样本回归模型为
§3.6 受约束回归
计量经济学-受约束回归检验-、Eviews6
数学与统计学院实验报告院（系）：数学与统计学学院学号：姓名：实验课程：计量经济学指导教师:实验类型（验证性、演示性、综合性、设计性）：综合性实验时间：2017年3月22日一、实验课题受约束回归检验二、实验目的和意义1. 表6.1.2是英国1946～1963年居民储蓄与收入数据，单位是百万英镑。
表6.1.2（1）试建立储蓄关于收入的回归模型，并检验。
（2）试分析（1）中建立的模型的参数稳定性。
a. 构造约束回归的F统计量进行检验；b. 构造LR统计量进行检验；c. 构造WD统计量进行检验；d. 构造LM统计量进行检验；e. 用Chow检验法或Chow预测检验法检验。
Ps：要求写出详细操作步骤、计算结果及结果的分析。
三、解题思路1、首先画散点图，观察两变量是否存在一定相关关系；再运用spss 进行回归模型检验（输入x、y两变量—quick—estimate equation—yc x）2、通过散点图，明显发现该模型存在结构性变化，断点在1958年；即对数据进行分段参数检验。
并用F、LR、WD、LM检验的理论知识进行验算。
四、实验过程记录与结果1、试建立储蓄关于收入的回归模型，并检验。
●散点图：两变量为正相关，所以存在一定关系。
●有条件约束模型：所以回归模型为：Y=-1.082071+0.117845*X2、试分析（1）中建立的模型的参数稳定性。
无条件约束模型：（以19658年为断点）（1）1946-1957年（2）1958-1963年3、Chow检验：4、Chow forecast test：五、结果的讨论和分析1、通过spss检验，发现该结构具有显著性的结构变化。
（四1）RSS R≈0.572、以1958年为断点，分别得到两个模型。
（四2）RSS U=RSS1+RSS2≈0.23+0.14●F检验：F=*~F(k+1,(n1+n2)-2(k+1),)=*≈3.78~F(2,14)=3.74F>F0.05,即可拒绝原假设，所以该模型存在结构性变化●LR检验LR=n*㏑(1+x)~x2(1) x==18*㏑[1+(0.57-0.37)/0.37] ≈7.78~x2(1)=3.84通过数据，可以发现，LR检验为显著性检验，即模型具有结构性变化●WD检验WD=n*x=9.73> x2(1)通过数据，可以发现，WD检验也为显著性检验，即模型具有结构性变化LM检验LM=n*（x/（1+x））=6.32>x^2（1）通过数据，可以发现，LM检验也为显著性检验，即模型具有结构性变化3、Chow检验法或Chow预测检验法检验（四（3、4））通过chow检验法可以得出用理论知识手算检验与用计算机检验所得的检验统计量是大致相同的，即该模型存在结构性变化六、实验小结通过本次实验，让我对四种检验方法理论有了进一步的了解，掌握了每个检验方法的统计思想。
第五章_约束回归
(**)
如果对（**）式回归得出
ˆ ˆ ˆ ˆ β 0 , β 1 , β 3 ,L, β k −1
ˆ ˆ β k = β k −1
ˆ ˆ 则由约束条件可得： β 2 = 1 − β 1
例 3.6.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求 实例中，对零阶齐次性 零阶齐次性检验： 实例中 零阶齐次性
这里的F 这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验 如：多元回归中对方程总体线性性 方程总体线性性的F检验： 方程总体线性性 H0： βj=0 j=1,2,…,k
这里：受约束回归模型为
Y = β 0 + µ*
上述参数稳定性检验要求n2>k。 如果出现n2<k ，则往往进行如下的邹氏预测检 邹氏预测检 验（Chow test for predictive failure）。
分别以β、α 表示第一与第二时间段的参数，则 β
Y1 = X 1β+ μ 1 Y2 = X 2α+ μ = X 2β+ X 2 (α− β)+ μ = X 2β+ γ+ μ α 2 2 2
受约束回归
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性 *四、非线性约束 四
一、模型参数的线性约束
对模型
Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β k X k + µ
(*)
施加约束
β1 + β 2 = 1
β k −1 = β k
06受约束回归
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0 受约束回归模型为： j=1,2,…,k
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 从而 RSSR RSSU ESSR ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低 模型的解释能力。
但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ˆ XY ˆ Y 这里，运用了ESSR ＝0。 0 1 0 0 1 2 ESS (Y ˆ ˆ )2 0 ˆ Y ) ( 0 0
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个 Y 0 1 X 1 k X k 回归模型： (*)
2 2 2 2 2 ~ 2 (n k 1) RSS / RSS / ~ ( n k 1 ) U (U RSS R RSS U ) /( k U k R ) R(R U R R ) /(k UR k R )
受限约束回归的检验
若 j j 则可写为:
(结构有变化)
Y1 Y2
=
X1 0
0 X2
β α
+
u1 u2
(实际做的是两段回归)
其中: β, α 为参数列向量，Y1, Y2 为列向量，X1, X2 为矩阵
这是 β α 情况下的无约束模型。 17
如果在时间 n1前后模型没有显著的结构变化，参数具
或
Y
*
1
2
X
* 2
L
m X m X m1 m1 L
k
1
X
* k 1
u*
其中
Y*
Y
X
3
，X
* 2
X2
X3
，
X* k 1
X k 1
Xk
与无约束模型（U）相比，这是受约束模型（R） 4
3. 对模型参数的非线性约束
相对于无约束模型（U）：
Y 1 2 X 2 3 X 3 L m X m X m1 m1 L X k1 k1 k X k u
这种情况下计算的F统计量其数值的平方根与对k 作t
检验的统计量相同，作受约束回归检验与作t检验等价
14
2. 解释变量的联合显著性检验
（U） Y 1 2 X 2 L m X m X m1 m1 L k X k u （R） Y 1 v 这里的（R）模型施加了除截距项外的所有解释变量的参
(RSSR ESSU ) 2 服从 2分布，自由度为 (kU kR )
两个独立 2 变量的比值服从F分布，则
F
(RSSR RSSU ) (kU RSSU (n kU )
kR )
~
F (kU
kR,n
kU
)
2020届高考压轴题系列之 回归分析与独立性检验(文) 教师版
例1．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客 40 10 女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】（1）男顾客0.8，女顾客0.6；（2）有95%的把握认为． 【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8； 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．例2．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件， 并测量其尺寸(单位：cm )．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 23 45 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.98 10.04 抽取次序910111213141516零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95精选压轴题回归分析与独立性检验压轴题系列经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，，16．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．【答案】（1）见解析；（2）①需对当天的生产过程进行检查；②均值为10.020.09≈． 【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑，由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）①由于9.97x =，0.212s ≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09≈．1．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性 26 2450 女性 302050合计56 44100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的 人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率． 附：2()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）没有95%的把握认为；（2）“微信控”有3人，“非微信控”有2人；（3）35． 【解析】（1）由列联表可得：222()100(26203024)500.649 3.841()()()()5050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人．模拟精做（3）抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A，B，C；“非微信控”2人分别记为D，E．则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共有10种；抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共有6种，所求为63105P==．2．目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如下图．有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”，已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”．（1）完成下面的22⨯列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？（2）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为；（2）35．【解析】（1）根据题意可得22⨯列联表如下：由表中数据可得()()()()()()21002430406 4.76 3.84130706436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．（2）由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为1A ，2A ，3A ，4A ， 1人为“非年轻用户”，记为B ． 则从这5人中随机抽取2人的基本事件有12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，1(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，2(,)A B ，34(,)A A ，3(,)A B ，4(,)A B ，共10个基本事件，其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，23(,)A A ，24(,)A A ，34(,)A A ，共6个，所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为63105P ==． 3．某电器店周年庆举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该电器店老板对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数(按四舍五入取到整数)．参考公式与参考数据：51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅． 【答案】（1）ˆ 5.3 2.9y x =-；（2）29．【解析】（1）依题意：1(12345)35x =++++=，1(46102322)135y =++++=， 所以51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑22222(13)(413)(23)(613)(33)(1013)(43)(2313)(53)(2213)=5.3(13)(23)(33)(43)(53)--+--+--+--+--=-+-+-+-+-， ˆ13 5.33 2.9a=-⨯=-， 故所求回归直线方程为ˆ 5.3 2.9yx =-． （2）将6x =，代入ˆ 5.3 2.9yx =-中，得ˆ 5.36 2.928.929y =⨯-=≈， 故预测第八天的参加抽奖活动的人数为29．4．某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y 表示保费为x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）； （1）根据上面的数据求出y 关于x 的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x 定为5元？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni ii nii x y nxybxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-， 参考数据：表中x 的5个值从左到右分别记为12345,,,,x x x x x ，相应的y 值分别记为12345,,,,y y y y y ，经计算有51()()19.2i i i x x y y =--=-∑，其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑．【答案】（1）0.01920.976y x =-+；（2）能． 【解析】（1）由已知得300.4x y ==，，()51()19.2iii x x y y =--=-∑，521()1000ii x x =-=∑，所以55121()ˆ0.0192()()iii ii bx y y x x x ==---==-∑∑，ˆˆ0.976a y bx=-=， y 关于x 的回归直线方程为0.01920.976y x =-+．（2）能把保费x 定为5元．理由如下：若保费x 定为5元，则估计0.019250.9760.88y =-⨯+=， 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为620000000.88520000000.880.2%2000100010000.7610⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=⨯元76=（万元）70>（万元）． ∴把保费x 定为5元．。
高中数学统计案例--回归分析 例题解析
统计案例--回归分析 例题解析【要点梳理】1、称为是确定性函数，中，的关系与εεbx a bx a y x y +++= ；称为ε++=bx a y .2、直线x b a y ∧∧∧+=对数据的称为n ，此直线方程即为线性回归方程；=∧a b a 的估计值其中, x b y ∧-，=∧b ∑∑∑∑====--=---ni ini iini ini i ix n xyx n yx x xy y x x1221121)()())((，=x ，=y ，称为∧a ，称为∧b ，称为∧y .3、),(,),,(),,(2211n n y x y x y x n y x 对数据随机抽取到与对于变量，检验统计量是样本相关系数=r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----∑∑∑∑∑∑======212212111221)()()()())((ni i ni i ni ii n i ni i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x并且具有以下性质：,1≤r r r 越接近于1,线形相关程度越 ； r 越接近于0,线形相关程度越 .4、检验的步骤如下：（1）作统计假设： .(2)根据小概0.05与2-n 在附表中查出r 的一个临界值05.0r . (1)根据样本相关系数计算公式算出的r 值(2)作统计推断，如果05.0r r >，表明有 的把握认为x 与y 之间具有线形相关关系.如果 ，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的.【典型例题】例1、 关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如 下的统计资料：如由资料可知y 对x 呈线形相关关系. 试求：（1） 线形回归方程；（2） 估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解：（1）55.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x ∑∑====515123.112,90i i i i iy x x()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧xx yx yx b i i i ii 于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .所以线形回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y （2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y 即估计使用10年是维修费用是12.38万元.点评：已知y x 与呈线性相关关系，就无须进行相关性检验.否则，应先进行相关性检验，若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的. 例2、一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，（1）？是否具有线性相关关系与x y（2）如果.回归直线方程具有线形相关关系，求与x y（3） 并据此估计加工200个零件所用的时间为多少？解：（1）5510100908070605040302010=+++++++++=x 7.9110122115108102958981756862=+++++++++=y∑∑∑======1011011012255950,87777,38500i i i i i i iy x y x.于是：()()()()9998.07.9110877775510385007.91551055950101010221012210122101≈⨯-⨯-⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∑===i i i i i ii y y x x yx yx r又查得相应于显著性水平0.05和2-n 的相关系数临界值632.005.0=r ，由.05.0具有相形相关关系与知，x y r r >（2）设所求的回归直线方程为a bx y +=∧，同时，利用上表可得()668.0551*******.915510559501010222≈⨯-⨯⨯-=--=∑∑∧x x y x y x b ii i ，96.5455668.07.91=⨯-=-=∧∧x b y a .即所求的回归直线方程为96.54668.0+=∧x y .(3)当200=x 时，y 的估计值56.18896.54200668.0=+⨯=∧y189≈.故加工200个零件时所用的工时约为189个. 点评：作相关性检验有时也用画散点图，观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近，这样做既直观又方便，因而对解相关性检验问题常用，但在许多实际问题中，有时很难说这些点是不是分布在一条直线的附近，这时就很难判断两个变量之间是否有相关关系，这时就应该利用样本的相关系数对其进行相关性检验；这种方法虽然较为繁琐，但却非常准确.在计算中应该特别注意要细心，不可出现计算的错误，也可借助于计算器等进行有关计算.例3、 为了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所试对x 与y 进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为162cm 时女儿的身高为多少？解：(),8.158157160159101=+++=x (),1.159156159158101=+++= y()()∑=⨯-+++=-6.478.1581015716015910222222 xx i(),2.371.1598.1581015615715916015815910=⨯⨯-⨯++⨯+⨯=-∑ y x y x i i()()∑=⨯-+++=-,9.561.1591015615915810222222 y y i所以.71.09.566.472.37≈⨯=r而由附表查得632.005.0=r ，因为05.0r r >，从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.回归系数.92.348.158782.01.159,78.06.472.37≈⨯-=≈=∧∧a b 所以y 对x 的回归直线方程是.78.092.34x y +=∧回归系数0.78反映出当母亲身高每增加1cm 时，女儿身高平均增加0.78cm ，92.34=∧a 可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.当161=x 时，5.16016178.092.34=⨯+=∧y ，这就是说当母亲身高为161cm 时，女儿的身高大致也接近161cm。
应用回归分析证明题及答案
应用回归分析证明题及答案一. 证明残差满足的约束条件：10ni i e ==∑，10ni i i x e ==∑。
证明：由偏导方程即得该结论：1101ˆ1001ˆ11ˆˆ2()0ˆˆ2()0ββββββββββ0====∂∣=---=∂∂∣=---=∂∑∑ni i i n i i i i Q y x Q y x x证毕.二. 证明平方和分解式：SST SSR SSE =+。
证明：221122111ˆˆ()()ˆˆˆˆ()()2()()======-=-+-=-+-+--∑∑∑∑∑n ni i i i i i nnni i i i i i i i i SST y y y yy y yy y y y y y y011110111ˆˆˆ22()0ˆˆ20n n ni i i i ii i i n ni i i i i e y e y e x e x e ββββ=====⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑上式第三项2211ˆˆ()()即===-+-=+∑∑nni i i i i SST yy y y SSR SSE证毕.三. 证明三种检验的关系：（1）；(2) 2212ˆ/1F= == t ˆ/(2)xx L SSR SSE n βσ-证明：由于22ˆ SSR ,β⎡=====⎣L r r SST 22ˆ22σ-==--∑ie SST SSRn n所以===t 212ˆ/1.ˆ/(2)βσ==-xx L SSR F SSE n证毕.四．证明：222()1()1 ()σ⎡⎤-=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑i i i x x Var e n x x 。
证明：由于0111ˆˆˆ()ˆ()()1()βββ==-=-+=----=---∑∑i i i i iiin i i i i ii xxe y y y x y y x x x x y y y x x n L于是()121112()1()()()1()()12,2,()()12,()σ====⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=++-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤-⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=+∑∑∑∑∑∑∑∑n i i i i i i i xx n i i i i i i xx n i i i i i i i xx n i i i ii xx x x y Var e Var y y x x n L x x y Var y Var y Var x x n L x x y Cov y y Cov y x x n L x x y Cov y x x n L 22222222()()1122()11σσσσσ--+--⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦i i xx xxi xx x x x x n L n L x x nL证毕.五．证明：在一元回归中，201ˆˆ(,)xxx Cov L ββσ=-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8.214154 8.462293 7.687186 7.839825 8.021896 7.692857 8.58762 8.48357 8.929247 6.766088 8.436285 5.137562 5.785455
8.718191 9.130025 7.960899 7.842133 8.473847 8.088037 9.003277 8.567924 8.92516 6.892154 9.832364 6.41495 7.328562
K 3078.22 1684.43 2742.77 1973.82 5917.01 1758.77 939.1 694.94 363.48 2511.99 973.73 516.01 3785.91 8688.03 2798.9 1808.44 1118.81 2052.16 6113.11 9228.25 2866.65 2545.63 4787.9 3255.29 8129.68 5260.2 7518.79 984.52 18626.94 610.91 1523.19
L 113 67 84 27 327 120 58 31 16 66 58 28 61 254 83 33 43 61 240 222 80 96 222 163 244 145 138 46 218 19 45
Unrestricted regression lnY lnK lnL 8.222204 8.032107 4.727388 7.274147 7.429183 4.204693 7.468724 7.916724 4.430817 7.280208 7.587726 3.295837 8.546616 8.685587 5.78996 7.736814 7.47237 4.787492 7.204276 6.844922 4.060443 6.487334 6.543826 3.433987 5.913989 5.895724 2.772589 7.371716 7.828831 4.189655 6.424399 6.881134 4.060443 6.426391 6.246126 3.332205 8.395972 8.239042 4.110874 8.656785 9.069701 5.537334 7.485138 7.936982 4.418841 7.125339 7.50022 3.496508 6.700362 7.020021 3.7612 7.549451 7.626648 4.110874
t Stat 1.586004 3.454149 1.789741
P-value 0.123969 0.001776 0.084317
lnY=1.153994+0.609236lnK+0.360796lnL
Restrict: α +β =1 代入，化简，移项，右边只保留lnA和有回归系数的项，得到约束条件下新的回归模型为 Y'=lnY-lnL=lnA+α ln(K/L) lnY-lnL 3.494817 3.069454 3.037908 3.984371 2.756656 2.949322 3.143833 3.053347 3.141401 3.182061 2.363956 3.094187 4.285098 3.11945 3.066297 3.628832 2.939162 3.438577 2.733515 3.059616 3.305159 3.275477 2.619219 2.599107 3.090452 3.506836 4.001994 2.937447 3.05179 2.193123 1.978792 ln(K/L) 3.304719 3.22449 3.485907 4.291889 2.895626 2.684878 2.784479 3.109838 3.123136 3.639176 2.820691 2.913922 4.128168 3.532367 3.518141 4.003712 3.258821 3.515774 3.237552 3.727347 3.578873 3.277785 3.07117 2.994286 3.506109 3.591191 3.997907 3.063513 4.447869 3.470511 3.5219
4.195972
可见计算出的F统计量明显小于临界值，不拒绝原约束条件表示α +β =1是
Significance F 8.03E-11
Lower 95%Upper 95% 下限 95.0% 上限 95.0% -0.33645 2.644439 -0.33645 2.644439 0.247942 0.970529 0.247942 0.970529 -0.05214 0.773738 -0.05214 0.773738
Significance F 0.001511
Lower 95%Upper 95% 下限 95.0% 上限 95.0% -0.19448 2.246576 -0.19448 2.246576 0.25311 0.963173 0.25311 0.963173
拒绝原约束条件表示α +β =1是合理的，可接受的
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.899958 R Square 0.809925 Adjusted R Square 0.796348 标准误差 0.425538 观测值 31 方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F 2 21.60493 10.80246 59.65501 28 5.070303 0.181082 30 26.67523
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.545313 R Square 0.297366 Adjusted R Square 0.273138 标准误差 0.418891 观测值 31 方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F 1 2.153586 2.153586 12.27328 29 5.088613 0.175469 30 7.242199
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Intercept 1.026048 0.596769 1.719339 0.096211 X Variable 10.608141 0.17359 3.503324 0.001511
lnY-lnL=1.026048+0.608141ln(K/L) lnY=1.026048+0.608141lnK+0.391859lnL F= F0.05(1,28)= (RSSR-RSSU)/kU-kR RSSU/n-kU-1 = 0.101118
5.480639 5.402677 4.382027 4.564348 5.402677 5.09375 5.497168 4.976734 4.927254 3.828641 5.384495 2.944439 3.806662
Coefficients 标准误差 Intercept 1.153994 0.727611 X Variable 10.609236 0.176378 X Variable 20.360796 0.201591
Y 3722.7 1442.52 1752.37 1451.29 5149.3 2291.16 1345.17 656.77 370.18 1590.36 616.71 617.94 4429.19 5749.02 1781.37 1243.07 812.7 1899.7 3692.85 4732.9 2180.23 2539.76 3046.95 2192.63 5364.83 4834.68 7549.58 867.91 4611.39 170.3 325.53