任意角的概念与弧度制 PPT课件

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任意角和弧度制ppt课件人教版

弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
∏r
逆时针方向
∏
2∏r
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度把弧度换算成角度
弧度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应
正角零角负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
3、例题讲解
题型二用弧度制表示角的集合例2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 (1)∵－1 480°＝－1 148800π＝－749π＝－10π＋169π，又 0≤196π≤2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π.
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间的换算

任意角和弧度制PPT课件

轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转方向确定；旋转量大于0°小于360°的角称为正角，旋转量大于360°的角称为负角。
正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性，其周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
图像
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像分别呈正弦波、余弦波和直线形状，且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。

任意角和弧度制课件PPT

②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零 . ③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
§1.1 任意角和弧度制
内容索引
01 明目标
知重点
填要点记疑点
02
03
探要点究所然
当堂测查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
反思与感悟当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化成最简的形式.
明目标、知重点
跟踪训练3 求终边在直线y＝－x上的角的集合S. 解由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～ 360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°， k∈Z} ＝ {α|α ＝ 2k·180° ＋ 135° ， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180° ＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
明目标、知重点
1234
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解终边落在x轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β ＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.

任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件

(2)在0～2π范围内，终边在直线y＝ 3 x上的角有两
个：π3 、4π 3 .
π 因此，终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝ 3 ＋2k
π，k∈Z}∪{α|α＝
4π 3
＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝
π 3
＋kπ，
k∈Z}．
工具
第三章三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人
(1)如果角α是第三象限角，那么角－α，π－α，π ＋α的终边在第几象限？
(2)写出终边落在直线y＝ 3x上的角的集合．
工具
第三章三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人
1．角的有关概念
角的特点从运动的角度看从终边位置来看
角的分类角可分为正角、负角和零角 . 可分为象限角和轴线角
α与β角的终边相同
5 ．若 α ＝ k·180° ＋ 45° ， k∈Z ，则 α 为第 ________ 象限角．
解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k＝2n＋1时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角．答案：一或三
工具
第三章三角函数、解三角形
栏目导引

弧度制PPT课件

0,
2
2 ,
2
2
[0, )
2
(, )
2
[0,)
[0,2)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135° 150°
弧度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
作业：
3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
r 3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
(弧长计算公式)
l
5、弧度与角度的换算若L=2 π r，则∠AOB=
L r
= 2π弧度
此角为周角即为360°
L=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8）0 °≈ 57．30°= 57°18′ π
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。
解：
6730'
671

《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)

对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目导引
第五章三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目导引
第五章三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________．解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目导引
第五章三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内的角的集合．解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分 (不包括边界 )所表示的角的集合为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )

5.1任意角和弧度制PPT课件(人教版)

理论迁移例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
－950°12′=129°48′－360°× 3 第二象限角.
小结
1、角的定义
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
2、任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。即零角的始边和终边重合。
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向,
o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°,405°,210°, -200°, －450°分别是第几象限的角？
y
y
y
y
210°
x
x
o
－50° o 405°
x o
x o
－200°
4×-3176700°o+=3300°o+（--54）××33660°0o+30o
……，
……，
相差360o的整数倍
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－ 30°角在内，可构成一个集合S，
你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β= 30° ＋k·360°, k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

弧度制ppt课件

• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π，所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0，所以当k＝－3时，γ＝－269π；当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)．又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π，所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1．所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4．当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去；当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．

数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件

144 6
l
,

120 5
r
96
6 180
(
) ( )

5

课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60

( mm )
简析：角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60

3
, l R

高中数学《弧度制》精品PPT课件

则M，N之间的关系是__________
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3

（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的弧度数的绝对值是

任意角完整公开课PPT课件

正切函数的周期性
正切函数不是周期函数，但其值在每个开区间$( - frac{pi}{2} + kpi, frac{pi}{2} + kpi), k in Z$内呈周期性变化。
05
任意角与弧度制的关系
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角大小的单位，它表示的是弧长与半径的比值。具体来说，一个圆的弧度数是2π，半圆的弧度数是π，四分之一圆的弧度数是π/2。
在平面几何中，角度通常用度（°）或弧度（rad）来表示。
角度的大小是由两条射线或线段所形成的空间张角来确定的。
角度的度量单位
度（°）
是最常用的角度度量单位，它表示角度的大小。
弧度（rad）
是另一种常用的角度度量单位，它表示圆周的弧长与半径之比。
角度的分类
锐角
直角
钝角
平角
角度在0°到90°之间，小于90°的角称为锐角。
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汇报人：可编辑 2023-12-27
目录
• 任意角的概念 • 任意角的三角函数 • 任意角的三角函数的应用 • 任意角的三角函数的图像和性质 • 任意角与弧度制的关系 • 任意角与三角函数的关系在实际生活中的应用
01
任意角的概念
角度的定义
角度是描述两条射线或线段之间夹角的大小的量度。
03
在区间$[0, pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[pi, 2pi]$
上，余弦函数是单调递增的。
正切函数的图像和性质
正切函数的定义域
正切函数只在开区间$( - frac{pi}{2} + kpi, frac{pi}{2} + kpi), k in Z$内有定义。