金融工程 第七章 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
布莱克舒尔斯默顿期权定价模型
• dz项可以消除。
其它方程
•BSM 微分方程
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
• BSM 期权定价公式
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
10.2 股票价格的变化过程
•人们通常用形如公式
dS dt dz
的几S何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程。
这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主 要的假设。 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因 素。通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维纳过程（Wiener Process)。
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• 由特征1知道，z 本身也具有正态分布。均 值为零，标准差为 t ，方差为 t
• 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有 独立增量的性质。
维纳过程的性质
进一步发现，变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。用 z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，即N个长度为 t的小时
间间隔中z的变化总量，其中N=(T-t)/t
N
z(T ) z(t) i t i1
• Z(T) − Z(t) 也服从正态分布
Z(T) − Z(t)均值等于0
方差等于N t =T − t
标准差等于√T − t
方差可加性
可知
• 1）在任意长度的时间T-t中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为
√T − t。 • 2)在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可
• 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱克)& Myron Scholes(梅隆.舒尔 斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提 出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票 期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响 ；同年，Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地 提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
7 布莱克--斯克尔斯期权定价模型
S 2 ln( ) (r g )T 2 d1 T d2 K T
2 外币期权
rf代表国外利率。则： Ｃ=Ｓe- rf T· Ｎ(ｄ1)-K· -rＴ· ｅ Ｎ(ｄ2)
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d1 T
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d2 d1 T T
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经 济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院 教授罗伯特· 默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒ ｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦· 斯克尔 斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们 创立和发展的布莱克———斯克尔斯期 权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏｌｅ ｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄ ｅｌ)
2、如果ＳＴ<K,则期权所有人放弃购买权力, 期权以虚值(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ) 失效,且有: ｍａｘ(ＳＴ-K,0)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K]+(1-Ｐ)× Ｏ=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K)]
其中: Ｐ—(ＳＴ>K)的概率 Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]—既定(ＳＴ>K)下ＳＴ的期望值将 Ｅ[CT]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴现,得 期权初始合理价格: Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]-K)(*) 这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]。
①求ｄ1: ②求ｄ2: ③查标准正态分布函数表 ④求Ｃ:
因此理论上该期权的合理价格 为5.78。如果该期权市场实际价 格是5.25,那么这意味着该期权 有所低估。在没有交易成本的 条件下,购买该看涨期权有利可 图。
(三)看跌期权定价公式的推导 Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根 据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌ ｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出看跌期权的 定价模型: P=-S×N(-d1)+K×N(-d2) ×e(-rT)
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用： ❖ 边界条件：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
❖ 股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
❖ 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几何布朗运动
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility） ❖ ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： ❖ 在短时间 后，证券价格比率的变化值
为：
❖ 因此： 方差为
❖ 即：
也具有正态分布特征，其均值为 ， ，标准差为
表示均值为m ，标准差为s的正态分布
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖ 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
三、BS定价公式的基本扩展 无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行 是不合理的，因此C=c 无收益资产美式看涨期权的定价公式是：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-1
在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分： 期权有效期内已知现金收益的现值部分 一个有风险部分
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
)dt
G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G
G x
x
G t
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
深圳大学 金融工程课程教学大纲
第一节期权市场概述
第二节期权价格的特性
第三节期权交易策略
第四节期权组合盈亏图的算法
教学要求
识记：金融期权合约的定义和种类。
掌握：金融期权的交易；股票期权和认股权证的区别；期权交易和期货交易的区别；
期权合约的盈亏分布；期权价格的影响因素；期权价格的上、下限；提前执行美式期权的合理性；期权价格曲线的形状；看涨期权和看跌期权之间的平价关系；期权交易策略。
5.学分分配：3学分
（二）开设目的
本课程为金融专业必修课，金融专业和保险专业选修课。课程目的和基本任务为：通过授课，使学生掌握远期、期货、期权、互换等衍生金融产品的基本原理；掌握衍生金融产品定价的基本原理；掌握运用衍生金融产品进行套期保值的基本原理；掌握金融工程的基本理论和技术，初步学会运用工程技术的方法，如数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等设计、开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题；同时通过授课、作业、案例分析和基本培训，培养学生的金融工程思维，并进行相应金融职业道德的教育。
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号
课程名称金融工程
课程类别专业必修
教材名称金融工程
制订人郭城铭
审核魏正红
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1.课程类别：专业必修课
2.适应专业：数学与应用数学专业（金融数学方向）
3.开设学期：每学期
4.学时安排：周学时3，总学时54
第四节内嵌衍生工具
第五节策略的评估
教学要求
识记：动态复制策略；静态复制策略；内嵌衍生工具；金融创新。
领会：购买交易所的期权；购买OTC市场交易的期权；金融产品的生命周期；金融创新的利润；金融产品的供给分析。
第七章：布莱克——舒尔期期权定价公式的扩展
第七章：布莱克——舒尔期期权定价公式的扩展教学目标：1、了解布莱克——舒尔期期权定价模型的缺陷；2、理解波动率微笑和波动率期限结构；3、掌握GARCH模型；4、熟悉崩盘模型。
教学重点：1、波动率微笑和波动率期限结构；2、GARCH模型。
教学难点：1、GARCH模型；2、崩盘模型。
课时建议：3课时教学主要内容：7.0引言：布莱克－舒尔斯期权定价公式是在一系列假定条件下推导获得的，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的。
本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。
7.1布莱克——舒尔期期权定价模型的缺陷无论在学术上还是商业上，布莱克-舒尔斯期权定价模型都是非常成功的。
但是，理论模型和现实生活终究会有差异，对于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型的主要缺陷所在，BS模型也不例外：1.成本的假设；2.交易波动率为常数的假设；3.不确定的参数；4.资产价格的连续变动7.2交易成本BS期权定价公式的一个重要假设就是没有交易成本，在此基础上，BS公式的分析过程要求对股票和期权组合进行连续的调整再平衡，以实现无风险定价策略。
在实际生活中，这个假设显然是难以成立的。
即使交易成本很低，连续的交易也将导致很高的交易费用；即使只进行离散的保值调整，但只要进行交易，投资者就必须承担或多或少的交易成本。
一般来说，交易成本在以下两种情形下是尤其重要的：1.在一个交易费用很高的市场中进行保值操作，比如股票市和新兴证券市场。
2.组合头寸经常需要进行调整。
其中包括处于平价状态附近的期权和即将到期的期权，这样的期权的套期比率对标的资产价格的变动最为敏感，从而导致调整频率较高。
交易成本的存在，会影响我们进行套期保值的次数和期权价格：交易成本一方面会使得调整次数受到限制，使基于连续组合调整的BS模定价成为一种近似；另一方面，交易成本也直接影响到期权价格本身型，使得合理的期权价格成为一个区间而不是单个数值，同时许多理论上值得进行的策略，一旦考虑交易成本之后，就变得不可行。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
其中：D表示期权有效期内红利的现值
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一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
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3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
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二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
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Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
Chapter布莱克休尔斯莫顿期权定价模型精讲
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
8
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
f ( f S f 1 2 f 2 S 2 )t f Sz
S
t 2 S 2
S
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为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则：
f f S x
在 t 时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值
等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应 选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味
着：
11 －0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头 和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元 还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
布莱克舒尔斯定价
对于布莱克—舒尔斯期权定价方法来说，资产收益 的瞬时波动性起重要作用，因此要求对瞬时期望收 益和瞬时波动性的估计应尽可能的精确。这涉及对 资产价格历史样本数据合理选取的问题。理论上， 在其它情况保持相同的条件下，资产价格数据的样 本数m越大，估计得到的瞬时期望收益和瞬时波动 性会越好。但是实际上，过分陈旧的资产价格数据， 对估计资产的未来价格或价格走势基本上没有什么 实质性的贡献。因此，一个通用的选取样本数m的 准则为用于估计瞬时期望收益和瞬时波动性的时间 跨度大致等于应用这一估计的时间长度。
一个随机变量如果服从伊藤过程，则它满足随 机微分方程
dxt a( xt , t )dt b( xt , t )dyt
随机变量的 漂移率 随机变量的 变异率
如果G是满足伊藤过程的随机变量
的函数，则G服从由随机微分方程
2
xt 和时间t
G G 1 G 2 G dG ( a b )dt bdyt 2 xt t 2 xt xt 确定的过程，
表明资产价格在时段 t 的变化率服从以 t 为均值、 t 为标准差的正态分布。 由上式可得:
St t St [1 t z t ] St exp(t z t )
此即为前面得到的资产价格的方程
2). 布莱克--舒尔斯 定价公式
期权的预期价值应该等于其可能取得的任何价 值乘以获取该价值的概率后总和的现值. 欧式买入期权在到期日的预期价值为
1. 95
2. 25
0. 3
0. 6
0. 9
1. 2
1. 5
1. 8
2. 1
股价
模拟股票价格频率分布直方图
(1)模拟的次数越多，所得的股票价格的分布越 接近于真实的对数正态分布。 (2) 对数正态分布只取正值(没有小于0.45的股 票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟 有可能产生负的价格.