北京大学数学院高代期中考试题
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
北京市名校高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．的值为( ) ()sin 150-︒A ．B ．C ． D12-12【答案】A【分析】由诱导公式可得答案.【详解】.()()o o o o1sin 150sin150sin 18030sin 302-︒=-=--=-=-故选：A 2．已知，则 ( ) 1tan 3α=tan 2α=A ． B ．C ．D ．1383412【答案】B【分析】根据二倍角的正切公式计算即可.【详解】因为，所以， 1tan 3α=222tan 33tan 211tan 419ααα===--故选：B.3．已知向量且，则 (1,2),(,4),a b x =-= //,a ba b -=A ．B ． C．D ．【答案】B【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.b a b -详解：因为，所以，即；//,a b24x -=2x =-所以； ()36，-=-a b 所以-=a b 点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力.解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示； 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算. 4．下列函数中最小正周期为的是（ ） π①； ()cos sin f x x x =⋅②；()cos sin f x x x =+③； ()sin cos xf x x=④()22sin f x x =A ．①② B ．②④ C ．①③④ D ．①②④【答案】C【分析】根据同角三角函数关系、三角恒等变换化简函数，从而可判断各三角函数的最小正周期，即可得答案.【详解】解：①，则的最小正周期为，故①符合； ()1cos sin sin 22f x x x x =⋅=()f x 2ππ2=②，则的最小正周期为()πcos sin 4f x x x x x x ⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 2π2π1=，故②不符合； ③，则的最小正周期为，故③符合； ()sin tan cos xf x x x==()f x π④，则的最小正周期为，故④符合. ()22sin 1cos 2f x x x ==-()f x 2ππ2=故选：C.5．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD E AB F CE AF =A ．B ．3144AB AD +1344AB AD +C ．D ． 12AB AD + 3142AB AD + 【答案】D【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】AF = 1122EF AB A EC E +=+11()22AB EB BC +=+111222AB AB BC ⎛⎫+ ⎪+⎭=⎝=. 3142AB AD +故选：D ．6．在中，角的对边分别为，若，则一定是( ) ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a b C =ABC A A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.【详解】因为，所以由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin 0B C B C -=即，所以. ()sin 0B C -=B C =故选：D.7．已知角的终边上有一点，则的值为( )α()1,3P ()sin π3πsin 2αα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．3 B ．C ．1D ．3-1-【答案】B【分析】首先求出的值，然后将所求的式子利用诱导公式进行化简，然后可得答案.tan α【详解】依题意得，则， tan 3yxα==()sin sin tan 3cos sin 2παααπαα-==--⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B.8．已知实数“”是“”的（ ） ,,αβ+2,k k Z αβπ=∈()sin +sin sin αβαβ=+A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】当时，，+2,k k Z αβπ=∈()sin +0αβ=且，充分性成立； sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβααπαα+=+-+=-=当时，未必有，()sin +sin sin αβαβ=++2,k k Z αβπ=∈例如时，此时，但不满足. ,0απβ==()sin +sin sin 0αβαβ=+=+2,k k Z αβπ=∈所以实数“”是“”的充分而不必要条件. ,,αβ+2,k k Z αβπ=∈()sin +sin sin αβαβ=+故选：A.9．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )A ．79米B ．157米C ．113米D ．189米【答案】B【分析】先求摩天轮的角速度，从而得到两人相差的角度，再建立人距离地面的高度关于转动角θ之间的函数关系，从而得到所在的高度之和的函数模型，再利用三角函数性质求出最值. 【详解】因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，所以摩天轮的角速度为， 2ππ189=又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，所以两人相差的角度为，π2π693⨯=设第二个人进仓后转动角时对应的高度为， θh 因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米， 所以， (14)cos 5743cos h r r θθ=+-=-因为甲乙两人相差的角度为， 2π3所以甲乙两人所在的高度之和为：， 122π5743cos 5743cos()3h h θθ+=-+-+所以， 122π2π11443cos 43(cos cossin sin 33h h θθθ+=---所以，12111443(cos )2h h θθ+=+-化简可得，12π11443sin()6h h θ+=+-又根据题意可知，所以， 4π[0,]3θ∈ππ7π[,666θ-∈-所以当时，即时，取得最大值. ππ62θ-=2π3θ=12h h +11443157+=故选：B.10．已知对于任意角，均有公式，设的内角,αβ()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ+=+-ABC A 满足，面积满足，角的对边分别,,A B C ()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+S 13S ≤≤,,A B C 为.给出下列四个结论： ,,a b c①；②③④. 1sin sin sin 8A B C =4sin sin sin a b cA B C ++≤≤++8abc ≤≤()8ab a b +>其中正确结论的序号是( ) A ．②③ B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【分析】首先可由得到，然后()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+1sin 2sin 2sin 22A B C ++=利用所给公式结合和差公式、倍角公式可化得，然后结合可求得外接圆1sin sin sin 8A B C =13S ≤≤半径的范围，然后可判断②③④.【详解】因为，()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+所以，即，1sin 2sin 2sin 22A B C +=-+1sin 2sin 2sin 22A B C ++=因为， ()()()22sin cos 2s sin in 2sin cos B A B A B A B A C =++-=-所以()()()2s 2in 1222sin cos 2sin cos sin cos cos 4sin s s in s n in 2in si B C C A B C C C A B A B A B C A +=-+=+--+==⎡⎤⎣⎦，所以，故①正确； 1sin sin sin 8A B C =设的外接圆半径为，ABC A R因为，所以，2211sin 2sin sin sin 324R S ab C R A B C ≤===≤2R ≤≤所以②正确； 42sin sin sin a b cR A B C++≤=≤++③错误，3388sin sin sin abc R A B C R ≤==≤，故④正确，()8ab a b abc +>≥故选：B二、填空题11．已知向量，向量，则向量与向量的夹角为__________．a =12b ⎛=- ⎝ a b 【答案】/3π60︒【分析】由平面向量夹角公式代入即可得出答案.【详解】，，设向量与向量的夹角为，13122a b ⋅=-+= 2=1= b ab θ，所以向量与向量的夹角为. 1cos 2a b a b θ⋅==⋅a b 3π故答案为：.3π12．在△中，，则________，△的面积____． ABC 14,2,cos 4b c A ====a ABC ABC S =A 【答案】4【分析】根据余弦定理可得值，先求得 a sin A 【详解】，，14,2,cos 4b c A ===22221641cos 42164b c a a A a bc +-+-===∴=，由可得1cos 4A =sin A=411sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=A 故答案为：413．若，，则___________0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin α=【分析】先由已知条件求出，然后利用两角差的正弦公式计算sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可得到答案．【详解】，，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,336ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛⎫+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314sin sin sin cos cos sin 333333525ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦三、双空题14．已知函数，那么函数的最小正周期是_____：若函数在()()sin 2()2f x x πϕϕ=+<()f x ()f x 上具有单调性，且，则________. 5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦526f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ=【答案】π3π-【解析】（1）利用周期公式求解即可. （2）对代入化简可求出的正切值，写出表达式，根据范围确定的值. 526f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ϕϕ【详解】（1） 22T ππ==（2）由可得，利用诱导公式化简可得 526f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5sin sin 3ππϕϕ⎛⎫+=-+⎪⎝⎭，展开得，sin sin 3πϕϕ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1sin sin 2ϕϕϕ=tan ϕ∴=，又，()3k k Z πϕπ∴=-+∈2πϕ<3ϕπ∴=-【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图2Tπω=ωϕ象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点0x 00x ωϕ+=0x ωϕπ+=ϕ的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对ωϕ,A ω的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.ϕ四、填空题15．已知的外心是O ，其外接圆半径为1，设，则下列论述正确的是ABC A OA OB OC λμ=+____________.①若，，则为直角三角形； 1λ=-0μ=ABC A ②若，则为正三角形；1λμ==-ABC A③若，，则为顶角为的等腰三角形； 1λ=-μ=ABC A 30︒④若，，则. 32λ=-2μ=-54OA OB OB OC OC OA ⋅+⋅+⋅=-【答案】①②③【分析】对于①②，利用平面向量的知识得出O 的位置，结合三角形的性质得出判断即可；对于③④，还需要利用向量数量积的公式求出数量积或者夹角才能正确判断.【详解】若，，则，所以O 是AB 的中点，又O 是的外心，从而1λ=-0μ=OA OB =-ABC A 为直角三角形，故①正确；ABC A 若，则，即，所以O 是的重心，又O 是1λμ==-=--OA OB OC 0OA OB OC ++= ABC A ABCA 的外心，从而为等边三角形，故②正确；ABC A若，，则，即. 1λ=-μ=OA OB =- OA OB +=取AB 的中点D ，则,从而，2OA OB OD +=2OD = 所以O 是中线CD 上一点，又因为O 是的外心，即O 是中垂线的交点， ABC A ABC A 所以，从而是等腰三角形.CD AB ⊥ABC A由得，OA OB =- OA OB += 两边平方得（*）.22223OA OB OA OB OC ++⋅= 因为且，1OA OB OC ===cos cos OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠ 所以（*）式化为，所以，1cos =2AOB ∠=60AOB ∠ 由圆周角是圆心角的一半可得，即为顶角为的等腰三角形，故③正确；=30ACB ∠ ABC A 30︒若，，则，32λ=-2μ=-322OA OB OC =-- 两边平方得，2229+4+64OA OB OC OB OC =⋅因为，所以； 1OA OB OC === 7=8OB OC ⋅- 从而OA OB OA OC OB OC ⋅+⋅+⋅ ()OA OB OC OB OC =⋅++⋅()322OB OC OB OC OB OC⎛⎫=--⋅++⋅ ⎪⎝⎭22332222OB OB OC OB OC OC OB OC =--⋅-⋅-+⋅,故④错误.3572228⎛⎫=--⨯-- ⎪⎝⎭21=16-故答案为：①②③.五、解答题16．已知函数.()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)某同学利用五点法画函数在区间上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，请你帮()f x π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；(2)已知函数. ()()(0)g x f x ωω=>①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间； ()g x 2π3()g x ②若函数在上无零点，求的取值范围(直接写出结论).()g x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωxπ3 5π6 11π6 7π3 π3x -π 3π22π ()f x 0 2 0 0【答案】(1)答案见详解(2)①； ② ()252,183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()0,1【分析】（1）令为可完善表格，描点可得图象； π3x -π3π0,,π,,2π22（2）①先求出的解析式，根据周期可得，然后可得单调区间； ()g x ω②先求的范围，再根据没有零点列出限制条件，可得范围.π3x ω-【详解】（1）表格填写如下： x3π56π 43π 116π73π 3x π-2ππ 32π2π ()f x 02-2图象如下：（2）①由题意，()π()2sin 3g x f x x ωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，即.223T ππω==3ω=()π2sin 33g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令,解得. 232232k x k πππππ-+≤-≤+252183183k k x ππππ-+≤≤+所以g(x )的单调递增区间为. ()252,183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎣⎦Z ②， 时，，()π2sin 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,333x ωω-⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为函数在上无零点，所以，解得， ()g x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ033ω--<<01ω<<所以的取值范围为(0，1) .ω17．在中，，，，P 为所在平面内的一个动点，且. ABC A 4AB =4AC =π2BAC ∠=ABC A 1PA =(1)求； AC AB + (2)求的取值范围.PB PC ⋅【答案】(1)(2)[1,1]-【分析】（1）利用数量积的运算可求得，即可得出答案；2AC AB + （2）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设P 点坐标为，则可得的表达式，利用三角函数的性质即可得结果．(cos ,sin )ααPB PC ⋅ 【详解】（1），()2222232AC AB AC AB AC AB AC AB +=+=++⋅=所以AC AB += （2）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．B 点坐标为，C 点坐标为，设P 点坐标为．(4,0)(0,4)(cos ,sin )αα所以，， ()4cos ,sin PB αα=-- (cos ,4sin )PC αα=--所以， π4sin 4cos 114PB PC a αα⋅=--+=-++所以的取值范围是．PB PC ⋅ [1,1]-18．已知函数，再从条件①、条件②、条件③()2cos cos f x x x x m ωωω=+(0,R)m ω>∈这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.()f x 条件①：函数的最小正周期为；()f x π条件②：函数的图象经过点； ()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭条件③：函数的最大值为. ()f x 32(1)求的解析式及最小值；()f x (2)若函数在区间上有且仅有2条对称轴，求t 的取值范围.()f x []0,(0)t t >【答案】(1)答案见解析(2) 2π7π,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①②：由周期得出，由得出，进()f x ω()102f =m 而求出的解析式及最小值；选择①③：由周期得出，由的最大值为得出，进而()f x ω()f x 32m 求出的解析式及最小值；选择②③：由得，又因为函数的最大()f x ()1012f m =+=12m =-()f x 值为，所以，与矛盾，不符合题意. 3322m +=0m =12m =-（2）因为，所以，由题意得，求解即可． []0,x t ∈2πππ2,666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦3π5π2262πt ≤+<【详解】（1）由题可知， ()2cos cos f x x x x m ωωω=+. 1112cos 2sin 22262πx x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭选择①②：因为，所以， 2ππ2T ω==1ω=又因为，所以. ()1012f m =+=12m =-所以. ()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，即时，， ππ22π,Z 62x k k +=-∈ππ,Z 3x k k =-∈()1f x =-所以函数的最小值为－1. ()f x 选择①③：因为，所以， 2ππ2T ω==1ω=又因为函数的最大值为，所以. ()f x 3322m +=0m =所以， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，即时，. ππ22π,Z 62x k k +=-∈ππ,Z 3x k k =-∈πsin 216x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以函数的最小值为. ()f x 11122-+=-选择②③：因为，所以. ()1012f m =+=12m =-又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意. ()f x 3322m +=0m =12m =-（2）因为，所以， []0,x t ∈2πππ2,666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦又因为在区间上 上有且仅有2条对称轴，()f x []0,t 所以，所以，所以. 3π5π2262πt ≤+<2π7π36t ≤<2π7π,36t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭19．在中，角的对边分别为.ABC A ,,A B C ,,a b c ()sin b C C =(1)求角的大小；B (2)若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值. π3A =D ABC A 4DB =2CD =ABDC【答案】(1)π3(2)8【分析】（1，即可得解； sin B B =（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边2B D C =4sin BDC S D =A 形，进而可得最值.ABCD S【详解】（1， ()sin b C C =()sin sin A B C C =+， ()sin sin cos B C B C B C +=sin sin sin B C B C =因为，即sin 0C ≠sin B B =tan B =因为，所以. ()0,πB ∈π3B =（2）在中，，，BCD △4BD =2CD =所以， 22242242cos 2016cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-又，则为等边三角形，， π3A =ABC A 21πsin 23ABC S BC D =⨯=A 又， 1sin 4sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=A所以， π4sin 8sin 3ABDC S D D D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为. 5π6D =ABDC 820．给定正整数，设为n 维向量的集合.2n ≥{}{}12,,,)|(,0,1,2,,,1k n M t t t k n t αα==∈=……01-α对于集合M 中的任意元素和，定义它们的内积为()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= .1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ设.且集合，对于A 中任意元素，，若A M ⊆(){}12|,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα==- …,i αj α则称A 具有性质. ,,,,i j p i j q i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩(),H p q (1)当时，判断集合是否具有性质？说明理由；3n =()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()2,0H (2)当时，判断是否存在具有性质的集合A ，若存在求出，若不存在请证明；4n =(),H p q ,p q (3)若集合A 具有性质，证明：.(),1H p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++== 【答案】(1)不具有(2)存在，，或，1p =0q =3p =2q =(3)证明见详解【分析】（1）根据新定义验证即可判断；（2）分别讨论，根据新定义验证具有性质的集合是否存在即可得解； 1,2,3,4p =(),H p q （3）根据集合A 具有性质，分类讨论，由特殊到一般思想，利用反证法证明结论.(),1H p 【详解】（1）因为，()()1,1,01,1,01111002⋅=⨯+⨯+⨯=同理，()()()()1,0,11,0,10,1,10,1,12⋅=⋅=又，同理.()(1,1,0)1,0,11110011⋅=⨯+⨯+⨯=()()()()1,1,00,1,11,0,10,1,11⋅=⋅=所以集合A ={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}不具有性质.(2,0)H （2）当时，集合A 中的元素个数为4，4n =由题意知显然，，否则集合A 中的元素个数少于4个.0p q >≥0p ≠4p ≠①当时A ={(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，,0)，(0，0，0，,1)}，具有性质H (1，0). 1p =③当时，A {(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，2p =⊆(0，0，1，1)}若，则(1，1，0，0)和(1，0，0，1)至多一个在A 中；(0，1，1，0)和(0，1，0，1)至多一个在0q =A 中；(1，0，1，0)和(0，0，1，1)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4.若，则(1，1，0，0)和(0，0，1，1)至多一个在A 中；(1，0，1，0)和(0，1，0，1)至多一个在1q =A 中；(1，0，0，1)和(0，1，1，0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4.④当时A={(1,1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)}，具有性质H (3，2). 3p =综上，，或，.1p =0q =3p =2q =（3）记，则，12(1,2,...,)j j j nj c t i t j n =+++= 12n c c c np +++=L 若，则A ={(0，0，…，0)}，矛盾.0p =若，则A ={(1，0，0，…，0)}，矛盾.1p =故.2p ≥假设存在j 使得，不妨设，即.1j c p +≥1j =11c p +≥当时，有或成立.1c n =j c =01(2,3,)j c j n ==…，所以，，…，中分量为1的个数至多有.1α2αn α()1212n n n n np +-=-<≤当时，不妨设，.11p c n +<≤11211,11p t i t +==== 10n t =因为，所以的各分量有p 个1，不妨设.n n p αα⋅=n α23,11n n n p t t t +====L 由时，可知，，中至多有1个1，i j ≠1i j αα⋅={}2,3,,1q p ∀∈+…121,,,,q q p q t t t +…即，，…，的前个分量中，至多含有个1.1α2α1p α+1p +121p p p ++=+又，则，，…，的前个分量中，含有1(1,2,,1)i n i p αα⋅==+…1α2α1p α+1p +个1，矛盾.()()1122p p p +++=+所以.()1,2,,j c p j n ≤= 因为，12n c c c np +++=…所以.()1,2,,j c p j n == 所以.()121,2,,j j nj t i t p j n +++== 【点睛】难点点睛：要证明，化抽象为具体，各个击破的思路求()121,2,,j j nj t t t p j n +++== 解，先分析特殊情况验证不合题意知，利用反证法证明，假设存在j 使得，不0,1p =2p ≥1j c p +≥妨设，即，分析可知假设错误，得出正确结论，推理较难. 1j =11c p +≥。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(章节题库 λ-矩阵)
，则
，从而
，于是
由于
的若当标准形依次为
故 A*的若当标准形为
7．求 A 的全体零化多项式集，其中
解：将特征矩阵化为标准形
得 A 的最小多项式为
，故 A 的零化多项式的集合为
最小多项式有着广泛的用途，例如求矩阵的若当标准形，判定
矩阵能否对角化等等．
8．设实数域 R 上矩阵
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标准形为
A 的初等因子是 A+3，（λ-1）2；不变因子是
由
，故 A 的有理标准形为
4．已知
（1）求 A 的不变因子，初等因子和最小多项式．（2）求 A 的若当标准形． 解：（1）用初等变换将 λE-A 化为标准形，
于是 A 的不变因子是 1）2，（λ-1）2；最小多项式为（λ-1）2．
（2）A 的若当标准形为
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（1）求 A 的特征多项式 f（λ）． （2）f（λ）是否为 R 上不可约多项式?（3）求 A 的最小多项式，要写出理由；（4） A 在 R 上可否对角化? 解：将 λE-A 化为标准形
故 A 不变因子为
（1）A 的特征多项式
（2）由 R 上的不可约多项式仅有 2 次，2 次多项式，故 f（λ）在 R 上可约．
故 a=b=c．由
，即
故 A 至少有两个特征值为 0． 3．设
求矩阵 A 的不变因子，初等因子，若当标准形，有理标准形． 解：因为
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故 A 的特征值为 λ2=3，λ2=1（2 重），1 的几何重数为 3-r（E-A）=1，故 A 的若当
北京市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年（上）高三期中考试数学试卷（答案在最后）班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效.3．考试结束后，考生应将答题卡交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<【答案】C 【解析】【分析】利用“0,1分段法”来确定正确答案.【详解】ln1ln 2ln e,01a <<<<，0.20221c =>=，π2π,cos 202b <<=<，所以b ac <<.故选：C3.设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.4.将y =cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A.sin 2y x =B.cos 2y x= C.cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数平移变换结论求解.【详解】将cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选：D ．5.已知函数()21x f x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A.(],2-∞ B.[]0,1 C.[)1,+∞ D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】将不等式()f x x ≤转化为两个函数12y y ，，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为()21xf x =-，所以()f x x ≤，即21x x ≤+，令122,1xy y x ==+，且均为增函数，则不等式为12y y ≤，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，又当0x =时01221,011y y ===+=，当1x =时，11222,112y y ===+=，所以由图像可知：12y y ≤的解集为： im ，故选：B.6.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,4【答案】B 【解析】【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案.【详解】()f x 的定义域是 i 9∞，()1e xf x x='-， 在区间 i 9∞上单调递增，()120,1e 102f f ⎛⎫=''=- ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在区间()00,x 上()()0,f x f x '<在()00,x 单调递减，在区间()0,x ∞+上()()0,f x f x '>在()0,x +∞单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点，所以1,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B7.在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A.94B.4C.92D.6【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()0,3CB = ，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯=故选：C8.已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A.6B.7C.9D.10【答案】B 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的首项和公比，由此化简2024n n S a +>并求得正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12111626a q a a q a q =⎧⎨++=⎩，123a q =⎧⎨=⎩或11813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以()121323,3113n n nn na S --=⋅==--.由1123123024531nn n n n S a --+>=-+⋅=⋅-，13405n ->，5632434057293=<<=，所以n 的最小值为7.故选：B9.设R c ∈，函数(),0,22,0.xx c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A.()0,1 B.{}[)01,+∞ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移，以及对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩可由,0,()2,0.xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c =时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意；当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点；当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥；综上可得c 的取值范围是{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】转化题给条件为27725ab a b ++=，再由,a b 皆为正整数分类讨论即可求解.【详解】由题意知，8n =，于是得最底层小球的数量为(7)(7)cd a b =++，即7c a =+，7d b =+.从而有8[(27)(214)(7)7]2406b b a b b a ⋅+++++++=，整理得(27)(214)(7)7180b b a b b a +++++++=，(37)(314)(7)173b a b a ++++=，373142198173ab a ab a b +++++=，6212175ab a b ++=，27725ab a b ++=，由于,a b 皆为正整数，所以（i ）当1,1a b ==时，21171711625⋅⋅+⋅+⋅=<，当1,2a b ==时，212717225⋅⋅+⋅+⋅=，（iii ）当1,3a b ==时，21371733425⋅⋅+⋅+⋅=>，（iv ）当2,2a b ==时，22272723625⋅⋅+⋅+⋅=>只有1,2a b ==符合题意，即ab 的值为2.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定27725ab a b ++=是解决本题的关键.分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的a 值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =________．【答案】【解析】【分析】根据复数运算求得正确答案.【详解】()()()()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，z ==故答案为：12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =________．【答案】8-【解析】【分析】求得等差数列{}n a 的公差，进而求得8S .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则261261260,2a a a d d d +=+=+==-，所以8182848568S a d =+=-=-.故答案为：8-13.在ABC V 中，222a c b +=．则B ∠的值是________；cos y A C =+的最大值是________．【答案】①.π4##45︒②.1【解析】【分析】利用余弦定理求得cos B ，从而求得B ；利用三角恒等变换的知识求得cos y A C =+的最大值.【详解】由222a cb +=+，得2222cos 22a cb B ac +-==，所以B 为锐角，且π4B =.πcos cos4y A C A A ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭πsin cos sin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3π04A <<，πππ44A <+<，所以当ππ42A +=，即π4A =时，cos y A C =+取得最大值为1.故答案为：π4；114.设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是________．【答案】①.0②.(][),02,-∞⋃+∞【解析】【分析】①根据函数解析式求得((10))f f .②对a 进行分类讨论，根据()f x 零点的个数求得a 的取值范围.【详解】①，0a =时，()()21,1lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()10lg101f ==，所以()((10))1lg10f f f ===.②，令()0f x =，可得:当1x <时，()()110x a x -++=，所以1x =-或1x a =-，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x -++=在(),1-∞上有唯一解1x =-，当0a <或02a <<时，方程()()110x a x -++=在(),1-∞上的解为1x =-或1x a =-，当1x ≥时，lg 0x a -=，所以当0a ≥时，10a x =，当0a <时，方程lg 0x a -=在[)1+∞，上无解，综上，当0a <时，函数()f x 有两个零点1,1a --，当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1-，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a --，当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a -，因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤，所以a 的取值范围是(][),02,-∞⋃+∞.故答案为：0；(][),02,-∞⋃+∞15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0t =时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y 可得x <<，由0y >' 可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0xh x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()qx 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =（1）求ADC ∠的值；（2）求BC 的长度；（3）求BCD △的面积．【答案】（1）π4（2（3）3(31)4-【解析】【分析】（1）在ADC △中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出ACD BCD ∠=∠，判断出ABC V 为等腰三角形，进而求得BC .（3）根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC A=∠∠，所以2πsin 3sin 2AC A ADC CD⋅∠∠===，因为π03ADC ∠<<，所以π4ADC ∠=；【小问2详解】由（1）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=，由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC V 为等腰三角形，所以π2cos6BC AC =⨯⨯.【小问3详解】ππ321262sin 3422224⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，所以BCD △的面积11πsin 2212BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯=V .17.已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎝⎭的最小正周期为π．（1）若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6ϕ=（2）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】【分析】（1）根据条件，代入()2,01A f ==，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为2A =，()01f =，则12sin 1,sin 2ϕϕ==，且π02ϕ<<，则π6ϕ=.【小问2详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，则2ω=，若选①②，则2A =，且5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π02ϕ<<，则5π5π4π663ϕ<+<，则5ππ6ϕ+=，则π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择①③，则2A =，且ππ2sin 126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 62ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02ϕ<<，则ππ2π663ϕ<+<，则ππ63ϕ+=，则π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择②③，由②可知，π6ϕ=，由③可知，πππsin 12662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.()π2sin 22cos 22cos 26h x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .18.为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台 6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．（1）从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；（3）从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103E Z =（3）2018年和2019年【解析】【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a ，b 的值，在确定X ，Y 的所有可能值，进一步得Z 的所有可能的取值，再求Z 的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1详解】记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年．所以()49P A =．【小问2详解】因为18.7a =，15.4b =，所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为234,,．2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ．所以Z 的分布列为：Z234P 11581525故Z 的数学期望()18210234151553E Z =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】2018年和2019年．19.已知椭圆2222:1x y E a b +=过点()2,1P -和()Q .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=（2）2y x =+或0x =【解析】【分析】（1）两个点()()2,1,P Q -代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GM GN ⋅=是否成立；斜率存在时把l 设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率k 来表示，然后GM GN ⋅用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】将点()()2,1,P Q -坐标代入椭圆E 的方程，得222411,81,a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得228,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22182x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 重合，B 和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,，此时((222GM GN ⋅=-⨯+=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，()()(11221,,2A x y B x y x ≠-且)22x ≠-，联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22411680k x kx +++=，()()()2222116324132410,,4k k k k ∆=-+=->∴>即12k >或12k <-11212221216841411PA y k x x x x k k k x --+=⋅==+++，所以直线PA 的方程为()111212y y x x -=+++，取0x =得()11210,12y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得()22210,12y N x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭由2GM GN ⋅=得()()121221*********y y x x --+-⋅+-=++，即()()1212212111222y y x x ---⋅-=++，所以()2121221222x x k x x -⋅=++，即()()212121221224x x k x x x x -=+++，即()222284121283244141k k k k k +-=-++++即()22211483k k k -=-+，因为12k >，所以得21123k k -=-，即1k =，经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+综上所述，直线l 的方程为2y x =+或0x =.20.已知函数()ln ()x a f x x -=．（1）若1a =，求函数()f x 的零点：（2）若1a =-，证明：函数()f x 是 i 9∞上的减函数；（3）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．【答案】（1）2（2）证明见解析.（3）0.【解析】【分析】（1）直接解方程即可求出零点；（2）利用导数证明函数的单调性；（3）先由()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，得到()ln 11a a a-=-，用图像法求出a =0.【小问1详解】当1a =时，()ln 1()x f x x -=.令()ln 1()0x f x x -==，解得：x =2.即函数()f x 的零点是2.【小问2详解】当1a =-时，()ln 1()x f x x +=定义域为()()1,00,-+∞ .所以()()()21ln 1()1x x x f x x x -++'=+.令()()()1ln 1g x x x x =-++，则()()ln 1g x x '=-+当 i 9∞时，()0g x '<恒成立，所以()g x 在 i 9∞上单调递减，所以当0x >时，都有()()00g x g <=.所以()0f x '<在 i 9∞上恒成立，所以函数()f x 是 i 9∞上的减函数.【小问3详解】()()()2ln ()x x a x a f x x x a ---'=-.所以()()11ln 1(1)1a a k f a ---'==-.因为()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，所以()()11ln 1(1)11a a k f a ---'===-.即()ln 11a a a-=-.记()()()ln 111a h a a a a=--<-，则()()21a h a a '=-.当0a <时，()()201ah a a '=<-，所以()h a 单调递减；当01a <<时，()0h a '>，所以()h a 单调递增.而()0ln100h =-=，所以a =0是方程()ln 11a a a -=-的唯一解.故a =0.21.已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．（1）判断数列45:1,0.1,1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;（2）若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;（3）给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =（2）证明见解析（3）3n -【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a -=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出5T ;(2)“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.(3)设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d -≥+,以此类推可得44n d d n ≥+-,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥-,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1,1.2,0.5A --,即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===-=-因为32 1.31a a -=>,所以4A 不具有性质P ,由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a =====因为21324311,0.51,11,a a a a a a -=≤-=≤-=≤54510.51,11,a a a a -=≤-=≤故5A 具有性质P ,因为41420.51,0.51,a a a a -=≤-=≤523501,0.51,a a a a -=≤-=≤故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =;【小问2详解】“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中,则有31421,1,a a a a ->->不妨设12a a ≤,若23a a >,则由()()313221a a a a a a -=-+-,可得3111a a -≤-<,与311a a ->矛盾,故23a a ≤,同理34a a ≤,从而1234a a a a ≤≤≤,所以()()01414221421a a a a a a a a a a -=-=-+-≥->,与4A 具有性质P 矛盾,所以假设不成立,即4T ≠∅;【小问3详解】设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤- 规定1k =时,1k n a a -=,k n =时,11k a a +=,则[]11,,1k k k k a a a a -+∈+,所以111k k a a +--≤,考虑数列311:,,k k k B a a a -+,112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a --+ ,由题设可知,他们均具有性质P ,设n T 中元素个数最小值为n d ,所以11n n d d -≥+,所以124124n n n d d d d n --≥+≥+≥≥+- ,由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥-,当21n m =+时,令()()31,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+-=+ ,当2n m =时,令()()11,2,,,1,2,,2i m i a i i m a m i i m +===+-= ,此时均有3n d n =-,所以n T 中元素个数的最小值为3n -.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(名校考研真题 λ-矩阵)
第8章 λ-矩阵一、分析计算题1．设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同．求证：，使得为v的一个基．[北京大学2007研]解：据题设，设的最小多项式与特征多项式同为则的前个不变因子为l ，1，…，1，第n 个不变因子为，容易知道，矩阵的不变因子也为，所以存在V 的一个基，使得A 在这个基下的矩阵为A ，即现在令，则，因此a 为V 的一个基．2．证明：矩阵不能用相似变换对角化．[中国科技大学研]证明：由于有一个一阶子式为非零常数，因此有即A 的最小多项式为，它有重根，所以A 不能对角化．3．设有一个6阶矩阵其中a ，b 都是实数，且6≠o，试求AE A的不变因子与初等因子，以及A 的若当标准形．[武汉大学研]解：因为特征矩阵①在①的右上角有一个5阶子式等于，而所以从而λE－A 的不变因子为A 的初等因子为A 的若当标准形为4．设A 是n 级幂等阵，且秩为r ，试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由；（2）计算[清华大学研]解：（1）因为A2＝A，从而A有无重根的零化多项式由于无重根，所以A相似于对角阵，且特征值只能是l或0．再由秩A＝r，所以存在可逆阵T，并有A的相似标准形为：其中Er，为r级单位阵．5．已知是6阶方阵A的极小多项式，且tr（A）=6，试求（1）A的特征多项式f（λ）及若当标准形．（2）A的伴随矩阵A*的若当标准形．[华东师范大学研]解：（1）设A的不变因子为（A），i=1，2， (6)由于A的极小多项式是A的最后一个不变因子，所以又A的特征多项式为6次多项式，且tr（A）=6，所以从而A的特征多项式A 有初等因子λ－1，λ－1，（λ－1+i ）2，（λ－1+i ）2，（λ－1－i ）2．A 的若当标准形为（2）由（1）知，存在可逆阵P ，使又显见| A |=4，所以有由于所以A*的若当标准形为6．设A为n阶复方阵．证明：存在一个n维向量α，使α，线性无关的充要条件是A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量．[南京大学研]证明：：由于α，使n维向量组α．线性无关，所以可令取，则P是可逆矩阵，且由可得由此可得A的不变因子为．所以令则A的初等因子为，从而有A的若当标准形可见所以A的每个特征子空间的维数均为1，即A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量．：如果A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A的任一特征根右，从而A的若当标准形中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A的特征多项式与最小多项式相等．设A的最小多项式为则A与有相同的不变因子，因而A与B相似．令，且则即。
北京大学高等代数_I 2017 期中考试题-答案
北京大学数学学院期中试题考试科目 高等代数I 考试时间 2017年11月8日一． 1）（10分）叙述向量空间K n 的线性子空间的维数和基底的定义 ：若α1 , ... , α r 是K n 的子空间V 中的一组向量，满足以下两条件 （1） α1 , ... , α r 线性无关；（2） α1 , ... , α r 能线性表出子空间V 的每个向量；则称α1 , ... , α r 是子空间V 的一组基， 称基底包含的向量个数r 为 子空间V 的维数 （V 的不同基底包含的向量个数是一样的）。
2）（10分）已知向量组α1 , ... , α s 的秩为r , 且部分组α1 , ... , α r 的能线性表出α1 , ... , α s . 证明: α1 , ... , α r 线性无关 . 证：若部分组α1 , ... , α r 线性相关，则α1 , ... , α r 的秩 < r .另一方面, 部分组α1 , ... , α r 能线性表出α1 , ... , α s , 故 α1 , ... , α r 的秩 ≥ α1 , ... , α s 的秩 = r , 矛盾! 故α1 , ... , α r 线性无关 .二．（10分）计算n 阶行列式222222101000010*******000100001a aa a a a a a a a a a a a ++++++.解: 记此n 阶行列式为D n .我们用数学归纳法证明 D n = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n . 显然, D 1 = 1 + a 2 , 此时命题成立;以下假设公式对低于n 阶的行列式都成立, 考察n 阶行列式的情况.对D n 的第一列作代数余子式展开 :D n = ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a22210100100a a a a a a a a a+++= ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a a D n-2= ( 1 + a 2 ) ( 1 + a 2 +... + a 2n-2 ) + ( –1 ) ( a 2 + a 4 + ... + a 2n-2 ) （归纳假设） = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n .故此公式对任意n 阶行列式成立。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.是等差数列的前项和，若，则（）A．15B．18C．9D．124.设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题5.若是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )•( OC-OA )=0，则一定是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（）A．B．C．D．7.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8.已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.函数的递增区间是______.2.向量，满足，且，，则，夹角的余弦值等于______.3.已知函数的最小正周期是，则正数______.4.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.6.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题1.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求的面积.2.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）当时,求函数的最大值,最小值.3.（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.4.（本小题满分13分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和5.（本小题满分14分）已知函数处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.6.（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为=，=，所以，故选B。
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北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集,集合,则A．B．C．D．2.设命题,则为A．B．C．D．3.为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.若实数满足，则的最大值为（）A．0B．1C．D．25.已知等比数列满足则（）A．21B．42C．63D．846.已知,则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.定义在上的偶函数满足,且在区间上单调递增,设,,,则大小关系是A．B．C．D．8.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.设是虚数单位,则_______.2.执行如图所示的框图,输出值______.3.若等差数列满足，，则当时的前项和最大.4.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为______.5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.6.已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1) 若函数,则=______;(2)若函数,则的最小正周期为______.三、解答题1.集合,,,其中.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.2.已知数列是等差数列, 满足,数列满足,且数列为等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.3.已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调减区间;(Ⅱ)求函数在上的最大值与最小值.4.已知函数,其中.(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)若的最小值为1,求的取值范围.5.设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,求的最大值;(Ⅲ)证明函数的图象与直线没有公共点.6.对于集合,定义函数对于两个集合,定义集合. 已知,.(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的个数,求的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对,满足,且?北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知全集,集合,则A．B．C．D．【答案】B【解析】∵全集,集合∴故选：B2.设命题,则为A．B．C．D．【答案】C【解析】∵命题∴为：故选：C3.为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】因为，所以得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故C正确．【考点】1对数的运算;2图像平移．4.若实数满足，则的最大值为（）A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】由上图可得在处取得最大值，即，故选D.5.已知等比数列满足则（）A．21B．42C．63D．84【答案】B【解析】，即，解得，而，故选B.6.已知,则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，当时，，因此“”是“”的充分不必要条件故选：A点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”7.定义在上的偶函数满足,且在区间上单调递增,设,,,则大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以,所以偶函数的周期为2，又函数在区间上单调递增,所以函数在区间上单调递减,又,, ,所以故选：D点睛：本题解题的关键是利用周期性与奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，大小显而易见.8.已知函数，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立，,当时，恒成立，所以，当时，函数取得最大值，所以，当时，，为减函数，当时，，所以，综上所得：，故选D.【考点】1.分段函数；2.恒成立问题.【方法点睛】考察了恒成立问题，属于中档题型，本题考查的是一道恒成立的问题，只是函数是分段函数以及含绝对值，所以从形式上来说比较复杂，但对于恒成立的问题，首先选择参变分离的方法，通过讨论的范围，将绝对值去掉，转化为恒成立，那么，恒成立，那么.二、填空题1.设是虚数单位,则_______.【答案】【解析】， 故答案为：2.执行如图所示的框图,输出值______.【答案】12【解析】运行程序：x=1;x =2;x =4,x =5;x =6;x =8,x =9;x =10;x =12,此时满足条件，循环结束，输出x =12. 故答案为：12点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3.若等差数列满足，，则当 时的前项和最大. 【答案】8【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大． 【考点】等差数列的性质，前n 项和4.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】设,因为是定义在上的奇函数，所以是上的偶函数，且,时,解不等式可得x >4,所以不等式的解集为故答案为：5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.【答案】1600【解析】设长方体的底面的长为x m，则宽为m，总造价为y元，则，当且仅当，即x=2时，等号成立，故答案为1600元点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误6.已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1) 若函数,则=______;(2)若函数,则的最小正周期为______.【答案】 2 2【解析】(1)若函数,则点P(t,t),Q(x,x),因为，所以，化简可得,即,即,因为，所以；(2)若函数,此时，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q(),如图所示：当点P 在A点时，点O在曲线OAB上，,，当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，逐渐减小，当点P在曲线上从C接近D时，逐渐增大，,，当点P在曲线上从D接近E时，逐渐减小，，，依次类推，发现的最小正周期为2，因此，本题正确答案为2.故答案为：2,2.三、解答题1.集合,,,其中.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.【答案】(1); (2).【解析】（1）简化集合得：；;所以;（2），即，对m分类讨论确定C的集合，利用子集关系求实数的取值范围.试题解析：(Ⅰ);;所以;(Ⅱ),若,则,若,则;若,则,不满足,舍;若,则,不满足,舍;综上.2.已知数列是等差数列, 满足,数列满足,且数列为等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由等差数列的定义可求得的通项公式，设等比数列的公比为,由等比数列的定义可求得的值，进而得到的表达式，则可得到的通项公式；（2）根据（1）中的通项公式所具有的特征，等差数列和等比数列之和，故可采用分组求和得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为,由题意得,设等比数列的公比为,由题意得,解得,.（2）由（1）知,,.【考点】（1）求数列的通项公式；（2）数列求和.3.已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调减区间;(Ⅱ)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)函数的单调减区间为. (2)取最小值;最大值.【解析】（1）化简函数，令，解得单调减区间；（2）,所以 ,从而得到在上的最大值与最小值.试题解析：,.(Ⅰ)令,解得,所以函数的单调减区间为.(Ⅱ)因为,所以,所以 ,于是 ,所以.当且仅当时取最小值;当且仅当,即时最大值.4.已知函数,其中.(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)若的最小值为1,求的取值范围.【答案】(1)时,的单调增区间为,减区间为. (2)【解析】(1)时，，所以的单调增区间为,减区间为； (2)，分类讨论a以决定函数的单调性，从而得到的取值范围.试题解析：定义域为..(Ⅰ)若,则,令,得 (舍).所以时,的单调增区间为,减区间为.(Ⅱ),∵∴当时,在区间∴在单调递增,所以.当时,由解得,由解得∴的单调递减区间为,单调递增区间为所以在处取得最小值,注意到,所以不满足综上可知,若得最小值为1,则的取值范围是5.设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,求的最大值;(Ⅲ)证明函数的图象与直线没有公共点.【答案】(1) (2)（3）见解析【解析】（1）利用导函数的几何意义求出;（2）.（3）函数的图象与直线没有公共点等价于，即证的最小值大于的最大值.试题解析：，，(Ⅱ).(Ⅲ)又于是函数的图象与直线没有公共点等价于，。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合,，则等于（）A．B．C．D．2.已知数列为等差数列，且，，则（）A．45B．43C．42D．403.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．3B．4C．5D．64.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．6.如图，向量等于（）A．B．C．D．7.已知正数、满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．8.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量,，，且为锐角，则角=__________．2.已知向量与的夹角是，，则_________________．3.在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是．4.在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则；5.函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则__________．6.在平面直角坐标系中，点集，，则①点集所表示的区域的面积为________；②点集所表示的区域的面积为．三、解答题1.（本小题满分13分）设函数，．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若时，，求函数的最大值，并指出取何值时，函数取得最大值．2.（本小题满分13分）在等比数列中，且，是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，（），求数列的前项和．3.（本小题满分13分）设函数，其中常数．（Ⅰ）求函数的单调区间及单调性；（Ⅱ）若当时恒成立，求实数的取值范围．4.（本小题满分13分）如图，港口在港口正东方海里处，小岛在港口北偏东方向和港口北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的方向以每小时海里的速度驶离港口，一艘快艇从港口B出发，以每小时海里的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要小时，问快艇驶离港口后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？5.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求的取值范围．6.（本小题满分14分）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，．（Ⅰ）设数列为，写出,,的值；（Ⅱ）设（）是公比大于的等比数列，且．证明：是等比数列；（Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且．证明：是等差数列．北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合,，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式的解集，所以，不等式的解集为，所以，为交集指的是公共部分【考点】本题考查不等式的解集和集合的交运算点评：求一元二次方程的根小于取中间，对数不等式化成同底的对数，用单调性，注意真数部分大于02.已知数列为等差数列，且，，则（）A．45B．43C．42D．40【答案】C【解析】，【考点】本题考查等差数列通项公式点评：将已知条件用基本量表示出来，解方程求出公差，转化为基本量3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】，，输出【考点】本题考查程序框图点评：注意循环条件，以及循环体的运行次序4.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则，所以是充分条件由正弦定理可得，，若，则a=b，，所以是必要条件【考点】本题考正弦定理点评：在三角形中这是充要条件，如果把三角形条件去掉，就是充分不必要条件5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题解析：将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到【考点】本题考三角函数的平移点评：注意左右平移是针对x的变化，所以要把系数提出来，让x+，用二倍角公式或降幂扩角化简6.如图，向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知【考点】本题考查平面向量基本定理点评：是两个单位向量，从图上将用单位向量表示出来7.已知正数、满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】，所以要求z的最小值，只需要求的最小值，设，画出表示的平面区域，可得最小值在两直线交点（1,2）处取得，所以最小值为【考点】本题考查线性规划，对数运算性质点评：任然是线性规划，指示目标函数用指数运算化简后，可以找到8.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），并且与抛物线y=x2+4x+2在（-∞，m]上的部分有两个交点B、C由，联解得B（-1，-1），C（-2，-2）∵抛物线y=x2+4x+2在（-∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点∴实数m的取值范围是-1≤m＜2【考点】本题考查数形结合点评：画出图像，让区间的分界点m变起来，找到m的取值范围二、填空题1.已知向量,，，且为锐角，则角=__________．【答案】【解析】，因为A为锐角，所以A=【考点】本题考查向量垂直的充要条件点评：两向量垂直的充要条件是2.已知向量与的夹角是，，则_________________．【答案】4【解析】即，【考点】本题考查向量数量积点评：将两个向量和的模平方可得关于的方程，注意展开式中间项是数量积3.在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是．【答案】【解析】设等比数列的公比为q，则，所以，当且仅当【考点】本题考查基本不等式点评：将用首项和公比表示出来，用基本不等式求最值4.在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则；【答案】【解析】，所以，由余弦定理得，有正弦定理可得【考点】本题考查正余弦定理点评：有三角形面积公式求出，由余弦定理可求c，有正弦定理可求得sinA5.函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则__________．【答案】8【解析】，所以周期，所以P，,所以，【考点】本题考查三角函数图像，解三角形点评：通过三角函数的解析式找到O,P,Q三点坐标，求出各边长度，求出角的余弦，再求正弦6.在平面直角坐标系中，点集，，则①点集所表示的区域的面积为________；②点集所表示的区域的面积为．【答案】，+18【解析】A表示圆心在原点，半径为1的圆内部B表示中心在原点，边长为2的正方形内部①表示圆上所有点向左移动3个单位，向上平移1个单位，得到的还是圆，面积不变还是②x=x1+x2，y=y1+y2也就是说，把半径为1的圆的圆心，在B的三角形边长上移动一周，得到的就是Q的边界即圆角三角形S=5+6+4+3+=+18【考点】本题考查三角函数图像，解三角形点评：把x=x1+x2，y=y1+y2，中的x1，y1代入x2+y2≤1，可得点集Q的轨迹方程，然后求出点Q所表示的区域的面积．三、解答题1.（本小题满分13分）设函数，．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若时，，求函数的最大值，并指出取何值时，函数取得最大值．【答案】，【解析】（1）所以：因为：所以单调递增区间为：（2）因为：当时，，所以【考点】本题考查三角函数周期，单调区间，最值点评：用二倍角公式降幂扩角公式将函数化成，然后求最小正周期，单调区间，最值2.（本小题满分13分）在等比数列中，且，是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，（），求数列的前项和．【答案】，【解析】（1）因为，所以，又因为所以解得所以（2）所以【考点】本题考查数列的通项公式，及求和点评：将已知条件用基本量得到两个方程，求出首项和公差，先将的通项公式写出来，再判断类型求和3.（本小题满分13分）设函数，其中常数．（Ⅰ）求函数的单调区间及单调性；（Ⅱ）若当时恒成立，求实数的取值范围．【答案】在上单调递增；解得在上单调递减；【解析】（Ⅰ），因为，所以令，解得在上单调递增；令，解得在上单调递减；（Ⅱ）由已知只需即可．由（Ⅰ）可知只需且，解得，即．【考点】本题考查导数判断单调性求最值点评：求导之后出现两个极值点，注意对极值点的大小讨论，再讨论单调性，恒成立问题转化为求最值4.（本小题满分13分）如图，港口在港口正东方海里处，小岛在港口北偏东方向和港口北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的方向以每小时海里的速度驶离港口，一艘快艇从港口B出发，以每小时海里的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要小时，问快艇驶离港口后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？【答案】3【解析】由图可知OB=120，BC=60.OC=快艇从B到C需要1小时，然后装物资需要1小时，所以考察船已经走了两小时设快艇从C到A需t小时；则OA="40+20t,CA=60t," ，由余弦定理可得：共3小时【考点】本题考查余弦定理点评：将应用题的条件标出图上各个边长及角度，然后用余弦定理计算5.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求的取值范围．【答案】，0＜a≤8【解析】定义域：（Ⅰ）当a=1时，，，所以在点处的切线斜率为，所以切线为：（Ⅱ）两根为（Ⅲ）设g （x ）=f （x ）+2x ，则g （x ）=ax 2-ax+lnx ， 只要g （x ）在（0，+∞）上单调递增即可， 而g′（x ）=2ax-a+=当a=0时，g′（x ）=＞0，此时g （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，只需g′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， 因为x ∈（0，+∞），只要2ax 2-ax+1≥0， 则需要a ＞0，对于函数y=2ax 2-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=＞0，只需△=a 2-8a≤0，即0＜a≤8，【考点】本题考查导函数点评：用导函数求单调区间和切线方程，构造新函数，利用导函数求新函数的最值6.（本小题满分14分）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，．（Ⅰ）设数列为，写出,,的值；（Ⅱ）设（）是公比大于的等比数列，且．证明：是等比数列；（Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且．证明：是等差数列． 【答案】d 2= 1，d 3=3，d 4=3【解析】（Ⅰ）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1=A 1-B 1=2-1=1， d 2=A 2-B 2=2-1=1，d 3=A 3-B 3=4-1=3，d 4=A 4-B 4=4-1=3．（Ⅱ）充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n-1）d ， ∴A n =a n =a 1+（n-1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n -B n =-d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n =A n -B n =-d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k -a k-1＜0的项， 则d k =A k -B k =a k-1-B k ≥a k-1-a k ＞0，这与d n =-d≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列． ∴d n =A n -B n =a n -a n+1=-d ，即 a n+1-a n =d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，否则d 1=2-0=2，矛盾． 而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，则d m =A m -B m =a m -1＞1， 这与已知d n =1相矛盾，故假设不对，即{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k =A k -B k =2-2=0，矛盾， 故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【考点】本题考查数列最值，等差数列和等比数列，推理论证能力，数据处理能力 点评：充分利用所给信息反复推理论证，用定义法证明数列是等差数列或等比数列。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则( )A．B．C．D．2.下列函数中，为奇函数的是( )A．B．C．D．3.已知向量，且，则实数的值为( )A．B．C．D．4.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C． 5D．66.若函数在上单调递增，则实数的取值范围( )A．B．C．D．7.若函数存在极值，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．8.已知点，是函数图象上不同于的一点.有如下结论：①存在点使得是等腰三角形；②存在点使得是锐角三角形；③存在点使得是直角三角形.其中，正确的结论的个数为( )A．0B．1C．2D．3二、填空题1.函数的定义域是____________.2.已知，则________.3.已知等差数列的前n项和为，若，则公差___________.4..函数的图象如图所示，则______________，__________.5.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数__________.6.定义在上的函数满足：①当时，②.（ⅰ）；（ⅱ）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_____________.三、解答题1.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的取值范围.2.在中，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.3.已知等比数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和公式.4.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.5.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数没有零点，求的取值范围.6.已知数列的首项其中，令集合.（Ⅰ）若，写出集合中的所有的元素；（Ⅱ）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（Ⅲ）求证：.北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以，，选B.【考点】集合的运算2.下列函数中，为奇函数的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】判断函数的奇偶性，首先要注意定义域关于原点对称，排除A,B;由，故选D.【考点】函数的奇偶性3.已知向量，且，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，向量，且，所以，，选C.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量.4.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，即成立；反之，时，或，所以，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充要条件5.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C． 5D．6【答案】B【解析】因为，数列的前项和为，且，所以，此数列为等差数列，通项公式为，其中，为负数，开始以后各项均为正数，所以，数列的前项和的最小值是，选B.【考点】数列的单调性，数列的通项.6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，函数在上单调递增，在是增函数，所以，在是增函数，且，即，解得，，故选A.【考点】函数的单调性，分段函数.7.若函数存在极值，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数存在极值点，∴有解，∴∴∵时，，∴，故选A．【考点】应用导数研究函数的单调性、极值.8.已知点，是函数图象上不同于的一点.有如下结论：①存在点使得是等腰三角形；②存在点使得是锐角三角形；③存在点使得是直角三角形.其中，正确的结论的个数为( )A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】做出函数图象（如图），如果存在点使得是直角三角形.那么只有.但由，函数在点的切线斜率为1，所以，这是不可能的③错；因为函数图象是下凹的，点越远离，越大，为钝角，所以，②错；以为圆心，为半径画弧，与函数图象相交，此点即为使得是等腰三角形，即只有①正确，故选B.【考点】指数函数的图象，导数的几何意义.二、填空题1.函数的定义域是____________.【答案】【解析】求函数的定义域，一般考虑偶次根式下面的式子非负、分式的分母不等于0、对数的真数与底数大于0且底数不等于1等.由解得，或，故答案为.【考点】函数的定义域2.已知，则________.【答案】1【解析】因为，，所以，，，故答案为1.【考点】对数的性质及对数运算3.已知等差数列的前n项和为，若，则公差___________.【答案】3【解析】因为，等差数列的前n项和为，且，所以，，解得，故答案为3.【考点】等差数列的通项公式、求和公式4..函数的图象如图所示，则______________，__________.【答案】,【解析】观察图象可知，函数的周期为3，即，，将点代入得，所以，，故答案为,.【考点】正弦型函数的图象和性质5.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数__________.【答案】3【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，，所以，，由，得，故答案为3.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积.6.定义在上的函数满足：①当时，②.（ⅰ）；（ⅱ）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_____________.【答案】3，【解析】因为，定义在上的函数满足：①当时，；②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；所以，（i）；（ii）当时，的零点从小到大依次满足，所以，【考点】分段函数，函数的零点，等比数列的求和.三、解答题1.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）这是一类相当典型的题目，首先应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简为正弦型函数，由即得最小正周期.（Ⅱ）注意从，确定得到，进一步得到取值范围.试题解析：解：（Ⅰ） 2分4分6分最小正周期为， 8分（Ⅱ）因为，所以 10分所以 12分所以，所以取值范围为. 14分【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.2.在中，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.3.已知等比数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和公式.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）为求数列的通项公式，关键是求等比数列的公比为，根据已知条件，建立的方程即可得到.（Ⅱ）首先由（Ⅰ）得到的通项公式，直接运用等比数列求和公式可得.该题突出对基础知识的考查，较为容易.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由得① 2分由得② 4分两式作比可得，所以， 5分把代入②解得， 6分所以. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 8分易得数列是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得. 13分【考点】等比数列的通项公式、求和公式4.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.5.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数没有零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）切线方程为；（Ⅱ）单调减区间为，单调增区间为；（Ⅲ）当时，没有零点.【解析】（Ⅰ）应用导数的几何意义，在切点处的导函数值，等于在该点的切线的斜率，求得斜率，利用直线方程的点斜式，求得曲线方程.（Ⅱ）应用导数研究函数的单调性，遵循“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”.利用“表解法”形象直观，易以理解.解答此题，也可以通过解，分别确定函数的增区间、减区间.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数的单调区间及函数取得极值的情况.注意讨论的不同取值情况、、，根据函数的单调性即极值情况，确定的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）当时，， 1分， 3分所以切线方程为 5分（Ⅱ） 6分当时，在时，所以的单调增区间是； 8分当时，函数与在定义域上的情况如下：0+↘（Ⅲ）由（Ⅱ）可知①当时，是函数的单调增区间，且有，，所以，此时函数有零点，不符合题意； 11分②当时，函数在定义域上没零点； 12分③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，所以，当，即时，函数没有零点 13分综上所述，当时，没有零点. 14分【考点】导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值.6.已知数列的首项其中，令集合.（Ⅰ）若，写出集合中的所有的元素；（Ⅱ）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（Ⅲ）求证：.【答案】（Ⅰ）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1.（Ⅱ）首项的所有可能取值的集合为{,}.（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）将代入，依次写出集合的所有元素.（Ⅱ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，关键是理解好“如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.”得到结论：该7项的等比数列的公比为. （Ⅲ）分“被3除余1，被3除余2,，被3除余0”加以讨论，确定得到的关系为：，从而利用进一步得到，所以.数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）并对,,加以讨论，得到,.此题较难，对考生逻辑思维能力要求较高试题解析：（Ⅰ）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1.. 3分（Ⅱ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.所以，该7项的等比数列的公比为.又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得因为，所以或.由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2014的各项只有：或,或,所以首项的所有可能取值的集合为{,}. 8分（Ⅲ）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2,则由已知可得,,；若被3除余0，则由已知可得,；所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.因为，所以.所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）若,结论得证.若,则；若,则,所以. 13分【考点】集合的概念，递推数列，等比数列的通项公式.。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，且，那么的值可以是A．B．C．D．2.等比数列中，，则=A．B．C．D．3.在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是A．B．C．D．4.已知向量，若与垂直，则A．B．C．2D．45.执行如图所示的程序框图，输出的值是A．4B．5C．6D．76.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A．12B．24C．36D．487.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是A．B．8.在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为A．0B．3C．4D．6二、填空题1.复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= .2.过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .3.若，则= .4.设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 .5.如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么= ，= .6.已知函数则（ⅰ）= ；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题1.在中，角，，的对边分别为，且，，成等差数列.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）设，求的最大值.2.在四棱锥中，//，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证：//；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．3.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）4.已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.6.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数.（ⅰ）求证：当取得最小值时，；（ⅱ）求的最小值北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，且，那么的值可以是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m>1,故选D2.等比数列中，，则=A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为3.在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】解：4.已知向量，若与垂直，则A．B．C．2D．4【答案】C【解析】解：因为，5.执行如图所示的程序框图，输出的值是A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】解：n=16,k=1;n=8,k=2,n=4,k=3,n=2,k=4,n=1,k=5,输出k 的值即为56.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 A ．12 B ．24 C ．36D ．48【答案】D【解析】解：写出所有的没有选上甲的排列就是，那么甲不在排头的情况有，，这样所有的情况共有48种7.已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．或【答案】A【解析】解：根据x 的范围确定函数f （x 1）的值域和f （x 2）的值域，进而根据f （x 1）= f （x 2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时求得a 的范围，进而可求得当集合的交集非空时a 的范围。
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北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．R2.命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3.设，则是的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12D ．146.已知函数，，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．7.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） A ．B ．C ．D ．8.函数在区间上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知函数，则，，的大小关系是A．B．C．D．10.定义一种新运算：已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A．B．C．D．二、填空题1.若，则 .2.在各项均为正数的等比数列中，若，则．3.已知平面向量，满足，，则与的夹角为．4.在中，，，，则； .5.设函数，若，则实数= ．6.如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。
设顶点P（，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为。
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。
沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。
类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
三、解答题1.（本小题共13分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，平面，且，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：．2.（本小题满分13分）设函数f（x）=x3–3ax2+3bx的图象与直线12x+y–1=0相切于点（1，–11）．（1）求a，b的值；（2）求函数f （x）的单调区间．3.（本小题共13分）已知函数.（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求在区间上的最大值和最小值．4.（本小题共14分）如图，四边形与均为菱形，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．5.（本小题共14分）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.6.（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，则等于（）A．B．C．D．R【答案】B【解析】由题意可知，，故选B【考点】本题考查集合的交集运算点评：解决本题的关键是掌握集合的交集的定义2.命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由题意可知，命题的否定是“”，故选C【考点】本题考查命题的否定点评：解决本题的关键是掌握全称命题的否定是特称命题3.设，则是的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，但，解得a<0或a>1，所以得不出a>1，所以是充分条件，故选A【考点】本题考查充分条件、必要条件、充要条件点评：解决本题的关键是正确解分式不等式4.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D【解析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，【考点】本题考查三视图点评：解决本题的关键是在空间坐标系中作出几何体的形状5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12D ．14【答案】C【解析】由题意可知，解得，∴公差d= 2，∴ ，故选C ．【考点】本题考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等差数列的性质 点评：解决本题的关键是求出数列的公差6.已知函数，，若，则（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．【答案】A【解析】由题意可知，∴，解得a=1【考点】本题考查求函数值点评：解决本题的关键是求出g （1），再求f[g （1）]的值7.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，，因为 ，所以 ，解得【考点】本题考查向量平行的充要条件，向量的坐标运算 点评：解决本题的关键是熟练掌握向量平行的充要条件 8.函数在区间上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可知，在同一直角坐标系中画出函数在[0,2π]的图象，根据图象，可得这两个图象有2个交点，则f （x ）在[0,2π]上的零点的个数为2，故选B 【考点】本题考查函数的零点的个数判断点评：解决本题的关键是零点的个数问题，常借助于图象，转化为两个图象交点个数的问题9.已知函数，则，，的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数∴f（-0.5）=f（0.5）∵f′（x）=2x+sinx，则函数f（x）在[0，0.6]上单调递增，所以f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），即f（0）＜f（-0.5）＜f（0.6）故选A【考点】本题考查函数的奇偶性、单调性，比较函数值的大小点评：解决本题的关键是灵活应用函数的奇偶性，注意函数的单调性与导数的关系10.定义一种新运算：已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，，画出函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是（1,2），故选B【考点】本题考查函数的零点与方程的根的关系点评：解决本题的关键是考虑零点的个数问题，常借助于图象，转化为两个图象交点个数的问题二、填空题1.若，则 .【答案】【解析】由，可得是第三象限角，所以【考点】本题考查同角三角函数之间的基本关系，三角函数各象限角的符号点评：解决本题的关键是根据，判断出所在的象限2.在各项均为正数的等比数列中，若，则．【答案】2【解析】由，又数列是等比数列，所以【考点】本题考查等比数列的性质，对数式的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质3.已知平面向量，满足，，则与的夹角为．【答案】【解析】因为，设与的夹角为α所以，因为，所以【考点】本题考查平面向量的数量积的运算点评：解决本题的关键是根据，再利用平面向量的数量积的定义求夹角4.在中，，，，则； .【答案】2，【解析】由余弦定理得，所以c=2；由，由正弦定理得【考点】本题考查余弦定理，正弦定理点评：解决本题的关键是熟练掌握余弦定理，正弦定理5.设函数，若，则实数= ．【答案】-4或2,【解析】由题意可知，当α≤0时，则f（α）="-" α=4，解得α=-4；当α>0时，f（α）=，解得α=2或α=-2（舍去）【考点】本题考查分段函数点评：解决本题的关键是注意对α分情况讨论6.如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）A．B．C．，D．，3.设，，若，则（）A．B．C．D．4.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．5.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12B．40C．60D．807.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查；项目③：打开过程中（如图2），检查；项目④：打开后（如图3），检查；项目⑤：打开后（如图3），检查．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤二、填空题1.若等比数列满足，，则公比__________，前项和__________．2.已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．3.在中，．①__________；②若，则__________．4.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为__________．5.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是__________．6.已知实数，，，满足，则的最大值是__________．三、解答题1.已知是函数的一个零点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.2.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．3.已知函数，其中实数．（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．4.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．5.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．（Ⅰ）写出，的值；（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A.2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）A．B．C．，D．，【答案】D【解析】,所以为纯虚数即,故选D.3.设，，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A项,若异号不成立,错误;B项,为递增函数,故正确;C项,若则无意义,错误;D项,函数不单调,故无法判断大小关系;综上可知选B.4.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以,故选C.5.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线化为普通方程为:,由，可得点在以为直径的圆上,又在曲线上,即直线与圆存在公共点,故圆心到的距离小于等于半径,根据点到直线的距离公式有:,解得,故选C.6.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12B．40C．60D．80【答案】D【解析】先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人,共有种选法,其中丙在两端,有种选法,剩余两个位置乙丙全排,有种,剩余两个位置给丁、戊,有种,所以排法种数为=80,故选D.点睛:本题考查排列组合问题的应用,属于中档题目. 求排列应用题的主要方法有：1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．2．特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置.3．排列、组合混合问题先选后排的方法．4．相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．5．不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．6．分排问题直排处理的方法．7．“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．8．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．9．正难则反，等价转化的方法．7.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查；项目③：打开过程中（如图2），检查；项目④：打开后（如图3），检查；项目⑤：打开后（如图3），检查．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤【答案】B【解析】A项,项目②和项目③可推出项目①,所以判断项目②和项目③,若,则较低, 较高,所以不平行,错误;B项,面面,平行底面,面,所以桌面平行于底面,故正确;C项,由图3的正视图可得,,但与是否相等不确定,所以不确定与是否平行,又因为,所以不确定与是否平行,故错误;D项,,但不确定与的关系,所以无法判断与底面的关系,错误;综上所述,应选B.点睛:本题考查空间点、线、面的位置关系以及线面平行和面面平行的判断，需要学生结合所学知识与实际应用相联系,并结合选项判断,属于难题. 其中线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如a∥α，a∥β不一定得到α∥β，同时a∥α，b∥α也不一定得到a∥b.二、填空题1.若等比数列满足，，则公比__________，前项和__________．【答案】 2【解析】;又,故填.2.已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】根据双曲线的定义可得:长轴长,半焦距,由,解得,故方程为,应填.点睛:本题考查学生的是由定义法求曲线的轨迹方程问题,属于基础题目. 求动点的轨迹方程的一般步骤:(1)建系—建立适当的坐标系． (2)设点—设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式—列出动点P所满足的关系式．(4)代换—依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明—证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3.在中，．①__________；②若，则__________．【答案】 90【解析】由正弦定理得:,又,,即, 故填;,故填.4.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为__________．【答案】120【解析】因为,所以因此,又,所以夹角为,故填.5.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是__________．【答案】【解析】时,令,解得或 (舍),满足在内;时,令,解得:且,即在轴左边距离轴最近的零点为,若关于的方程在内有唯一实根，即图象最多往右平移个单位,故填6.已知实数，，，满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】根据题意画出可行域如图所示:根据柯西不等式可得: 因为表示三角形可行域内的点与原点距离的平方,所以当经过时距离的平方最大,最大值为8,又,当且仅当时等号成立,故填.点睛:本题考查的是简单的线性规划与柯西不等式的综合应用,属于中档题目. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.三、解答题1.已知是函数的一个零点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．【解析】试题分析: （Ⅰ）由题意，可得a值; （Ⅱ）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式对函数解析式化简整理, 由，，求得x的范围,进而确定函数的单调递增区间.试题解析:（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数的递增区间为，．由，，得，，所以，的单调递增区间为，．2.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．【答案】（Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大;（Ⅱ）;（Ⅲ）的数学期望．【解析】试题分析: （Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大; （Ⅱ）根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和超过55百万吨的月份个数,根据古典概型计算出概率; （Ⅲ）根据数学期望的公式求出即可.试题解析:（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，．（Ⅲ）的数学期望．点睛:本题考查学生的是古典概型求概率以及离散型随机变量的期望与方差,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．3.已知函数，其中实数．（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）是函数的极值点；（Ⅱ） .【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得, 1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．， 令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点， 所以是函数的极值点． （Ⅱ）已知，因为，又因为，所以， 所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立； 所以时，有在区间恒成立．点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目.导数与极值点的关系：(1)定义域D 上的可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，并且f ′(x )在x 0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f (x )在点x 0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y ＝|x |，结合图象，知它在x ＝0处有极小值，但它在x ＝0处的导数不存在；(3)f ′(x 0)＝0既不是函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．4.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率； （Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出直线的方程,与椭圆联立,解出中点的坐标,进而求出直线的斜率. （Ⅱ）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时不成立,斜率存在时联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出弦长的表达式以及中点的坐标,直线的方程联立椭圆的方程，得点坐标，则可求出,又，将坐标代入解出,即可求出直线的方程.试题解析:（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，设，，由解得所以中点，于是直线的斜率为．（Ⅱ）假设存在直线，使得成立． 当直线的斜率不存在时，的中点，所以，，矛盾；故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，，则，，于是，点的坐标为，.直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，由题知，，即，化简，得，故，所以直线的方程为，.5.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．（Ⅰ）写出，的值；（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则，.，,即可求得，.（Ⅱ）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时，的最大值为．试题解析:（Ⅰ），.（Ⅱ）先证必要性：因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；再证充分性：因为，，，…，为正整数数列，故有，，，，…，，所以，又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）．假设存在，且为最小的正整数．依题意，则，，又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（，，…，）成立．因此，即，所以．因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即.此时可构造集合.因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；……故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，所以当取最小值11时，的最大值为．。
2023-2024学年北京大学附中惠新校区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京大学附中惠新校区高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．设集合M＝{0，1，2，3}，集合N＝{2，3，4}，则M∩N＝（）A．{0，1，4}B．2，3C．{2，3}D．{0，1，2，3，4}2．“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x+|x|≥0B．∀x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|＜0D．∃x∈R，x+|x|≤03．函数f（x）=√2x+1的定义域是（）A．（−∞，−12]B．[−12，+∞）C．（−∞，12]D．（﹣∞，+∞）4．下列函数中与函数y＝|x|是同一个函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y=√x2D．y＝（√x）25．已知x∈R，则“x2＞1“是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3x B．f(x)=1C．f(x)=√x D．f（x）＝|x|x7．f（x）的定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，则f（x）＝﹣2x2+6x的值域为（）A．[0，92]B．[92，+∞)C．(−∞，92]D．{0，4}8．已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，则f[g（2）]的值为（）A．3B．0C．1D．29．函数f（x）＝x−9在下列哪个区间存在零点（）x2A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）11．不等式x2﹣x﹣6≤0的解集为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3+x+1，则f（﹣1）＝；f（1）＝．13．已知函数f（x﹣3）＝x2﹣4x+6，则f（1）＝；f（x）＝．14．已知函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集是．15．定义：min{a，b}={a，a≤bb，a＞b，那么对于x∈（0，6]，设函数f（x）＝min{x，x2﹣2x}，则f（x）＝（用分段函数表示）；函数y＝f（x）的值域为．16．已知函数f（x）＝x+ax，给出下列结论：①∀a∈R，f（x）是奇函数；②∃a∈R，f（x）不是奇函数；③∀a∈R，方程f（x）＝﹣x有实根；④∃a∈R，方程f（x）＝﹣x有实根．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共3个小题，每小题10分，共30分）17．（10分）已知函数f （x ）＝2x +1x ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数f （x ）在区间（√22，+∞）上是增函数； （3）判断函数f （x ）在（﹣∞，−√22）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案不要求写证明过程）18．（10分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +2．（1）求f （x ）在区间[12，3]上的最大值和最小值； （2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调函数，求m 的取值范围．19．（10分）二次函数f （x ）满足f （0）＝1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题．条件①：f （x +1）﹣f （x ）＝2x ；条件②：不等式f （x ）＜4+x 的解集为（﹣1，3）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）在区间（﹣2，﹣1）上，函数h （x ）＝f （x ）﹣m 有零点，试确定实数m 的取值范围；（3）设当x ∈[t ，t +2]（t ∈R ）时，函数f （x ）的最小值为g （t ），求函数g （t ）的解析式．2023-2024学年北京大学附中惠新校区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．设集合M＝{0，1，2，3}，集合N＝{2，3，4}，则M∩N＝（）A．{0，1，4}B．2，3C．{2，3}D．{0，1，2，3，4}解：集合M＝{0，1，2，3}，集合N＝{2，3，4}，则集合M∩N＝{2，3}．故选：C．2．“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x+|x|≥0B．∀x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|＜0D．∃x∈R，x+|x|≤0解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：B．3．函数f（x）=√2x+1的定义域是（）A．（−∞，−12]B．[−12，+∞）C．（−∞，12]D．（﹣∞，+∞）解：由2x+1≥0，解得x≥−1 2．∴函数f（x）=√2x+1的定义域是[−12，+∞）．故选：B．4．下列函数中与函数y＝|x|是同一个函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y=√x2D．y＝（√x）2解：对于A，y＝x（x∈R），与y＝|x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，y＝﹣x（x∈R），与y＝|x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数；对于C，y=√x2=|x|（x∈R），与y＝|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于D，y=(√x)2=x（x≥0），与y＝|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数．故选：C．5．已知x∈R，则“x2＞1“是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由x2＞1得，x＞1或x＜﹣1，所以{x|x＞1}⫋{x|x＜﹣1或x＞1}，故“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．6．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3x B．f(x)=1xC．f(x)=√x D．f（x）＝|x|解：对于A：f（x）＝3x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣3x＝﹣f（x），f（x）在（0，+∞）上为增函数，故A正确；对于B：f（x）=1x，定义域为{x|x≠0}，f（x）在（0，+∞）上为减函数，故B错误；对于C：f（x）=√x，定义域为[0，+∞），则f（x）是非奇非偶函数，故C错误；对于D：f（x）＝|x|，函数定义域为R，f（﹣x）＝|x|＝f（x），故D错误．故选：A．7．f（x）的定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，则f（x）＝﹣2x2+6x的值域为（）A．[0，92]B．[92，+∞)C．(−∞，92]D．{0，4}解：∵f（x）的定义域为A＝{0，1，2，3}，∴f（x）的值域为{0，4}．故选：D．8．已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，则f[g（2）]的值为（）A．3B．0C．1D．2解：由题图可知g（2）＝1，由题表可知f（1）＝2，故f[g（2）]＝2．故选：D．9．函数f（x）＝x−9x2在下列哪个区间存在零点（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：根据题意，f（x）＝x−9x2在（0，+∞）上单调递增，因为f（1）＝1﹣9＜0，f（2）＝2﹣4＜0，f（3）＝3﹣1＞0，f（4）＝4﹣16＞0，所以f（x）的零点所在区间为（2，3）．故选：C．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）11．不等式x2﹣x﹣6≤0的解集为{x|﹣2≤x≤3}．解：不等式x2﹣x﹣6≤0，即（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x ≤3，所以该不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤3}．故答案为：{x |﹣2≤x ≤3}．12．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x 3+x +1，则f （﹣1）＝ ﹣1 ；f （1）＝ 1 ．解：根据题意，当x ＜0时，f （x ）＝x 3+x +1，则f （﹣1）＝（﹣1）+（﹣1）+1＝﹣1，又由f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （1）＝﹣f （﹣1）＝1．故答案为：﹣1；1．13．已知函数f （x ﹣3）＝x 2﹣4x +6，则f （1）＝ 6 ；f （x ）＝ x 2+2x +3 ．解：依题意，f （4﹣3）＝f （1）＝42﹣4×4+6＝16﹣16+6＝6，令x ﹣3＝t ，则x ＝t +3，所以f （t ）＝（t +3）2﹣4（t +3）+6＝t 2+2t +3，所以f （x ）＝x 2+2x +3．故答案为：6；x 2+2x +3．14．已知函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集是 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ．解：∵f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）内是减函数，又f （﹣3）＝0，则f （3）＝0，由f （x ）＞0得x ∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．15．定义：min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，那么对于x ∈（0，6]，设函数f （x ）＝min {x ，x 2﹣2x }，则f （x ）＝{x 2−2x ，0＜x ≤3x ，3＜x ≤6（用分段函数表示）；函数y ＝f （x ）的值域为 [﹣1，6] ． 解：因为f （x ）＝min {x ，x 2﹣2x }，x ∈（0，.6]，当x 2﹣2x ≤x ，即0＜x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣2x ；当x 2﹣2x ＞x ，即3＜x ≤6时，f （x ）＝x ；所以f （x ）={x 2−2x ，0＜x ≤3x ，3＜x ≤6，因为当0＜x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣2x ，易知f （x ）开口向上，对称轴为x ＝1，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，3]上单调递增，则f （x ）≥f （1）＝﹣1，又f （0）＝0，f （3）＝3，所以f （x ）max ＝f （3）＝3，即f （x ）∈[﹣1，3]，当3＜x ≤6时，f （x ）＝x ，故f （x ）∈（3，6]；综上：f （x ）∈[﹣1，6]，即f （x ）的值域为[﹣1，6]．故答案为：{x 2−2x ，0＜x ≤3x ，3＜x ≤6，[﹣1，6]．16．已知函数f （x ）＝x +a x ，给出下列结论：①∀a ∈R ，f （x ）是奇函数；②∃a ∈R ，f （x ）不是奇函数；③∀a ∈R ，方程f （x ）＝﹣x 有实根；④∃a ∈R ，方程f （x ）＝﹣x 有实根．其中，所有正确结论的序号是 ①④ ．解：根据题意，对于函数f （x ）＝x +a x ，其定义域为{x |x ≠0}，则f （x ）的定义域关于原点对称，又由f （﹣x ）＝﹣x −a x =−f （x ），则∀a ∈R ，f （x ）是奇函数，故①正确，②错误；方程f （x ）＝﹣x ，即x +a x =−x ，变形可得a ＝﹣2x 2，当a ≤0时，方程f （x ）＝﹣x 有实根，所以∃a ∈R ，方程f （x ）＝﹣x 有实根，故③错误，④正确．故答案为：①④．三、解答题（共3个小题，每小题10分，共30分）17．（10分）已知函数f （x ）＝2x +1x ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数f （x ）在区间（√22，+∞）上是增函数；（3）判断函数f （x ）在（﹣∞，−√22）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案不要求写证明过程）解：（1）根据题意，函数f （x ）＝2x +1x 为奇函数，理由如下：f （x ）＝2x +1x ，其定义域为{x |x ≠0}，而f （x ）＝﹣2x −1x =−（2x +1x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）是奇函数；（2）证明：设x 1＞x 2＞√22，则f （x 1）﹣f （x 2）＝2x 1+1x 1−2x 2−1x 2=2（x 1﹣x 2）+1x 1−1x 2=（x 1﹣x 2）（2x 1x 2−1x 1x 2）， 又由x 1＞x 2＞√22，则x 1﹣x 2＞0，x 1x 2＞0，2x 1x 2﹣1＞0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，则f （x ）在（√22，+∞）上是增函数； （3）根据f （x ）是奇函数，且f （x ）在（√22，+∞）上是增函数， 则函数f （x ）在（﹣∞，−√22）上单调递增．18．（10分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +2．（1）求f （x ）在区间[12，3]上的最大值和最小值； （2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调函数，求m 的取值范围．解 （1）∵f （x ）＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1，其对称轴x ＝1，∵x ∈[12，3]， ∴f （x ）的最小值是f （1）＝1，又f （12）=54， f （3）＝5，所以，f （x ）的最大值是f （3）＝5，即f （x ）在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1． （2）∵g （x ）＝f （x ）﹣mx ＝x 2﹣（m +2）x +2，其对称轴x =m+22， 要使f （x ）在[2，4]上是单调函数，则m+22≤2或m+22≥4，即m ≤2或m ≥6．故m 的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．19．（10分）二次函数f （x ）满足f （0）＝1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题．条件①：f （x +1）﹣f （x ）＝2x ；条件②：不等式f （x ）＜4+x 的解集为（﹣1，3）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）在区间（﹣2，﹣1）上，函数h （x ）＝f （x ）﹣m 有零点，试确定实数m 的取值范围；（3）设当x ∈[t ，t +2]（t ∈R ）时，函数f （x ）的最小值为g （t ），求函数g （t ）的解析式．（1）若选①：由已知可设，f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），则f （x +1）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ＝ax 2+（2a +b ）x +a +b +c ，所以f （x +1）﹣f （x ）＝2ax +a +b ＝2x ，f （0）＝c ＝1，所以2a ＝2，a +b ＝0，解得a ＝1，b ＝﹣1，所以f （x ）＝x 2﹣x +1；若选②：由已知可设，f （x ）＝a 2+bx +c （a ≠0）．则f （0）＝c ＝1，所以c ＝1，f （x ）＝ax 2+bx +1由f （x ）＜x +4，可得ax 2+bx +1＜x +4，即a 2+（b ﹣1）x ﹣3＜0的解集为（﹣1，3）．所以，﹣1和3是方程ax 2+（b ﹣1）x ﹣3＝0的两个根，由韦达定理得，{−1+3=−b−1a −1×3=−3a，解得a ＝1，b ＝﹣1， 所以函数的解析式为f （x ）＝x 2﹣x +1；（2）由题意可得：h （x ）＝x 2﹣x +1﹣m 在（﹣2，﹣1）上单调递减，所以有h （﹣1）＜h （x ）＜h （﹣2），即3﹣m ＜h （x ）＜7﹣m ，因为函数h （x ）＝f （x ）﹣m 在（﹣2，﹣1）上有零点，则{3−m ＜07−m ＞0，解得3＜m ＜7， 所以实数m 的取值范围为{m |3＜m ＜7}；（3）f （x ）＝x 2﹣x +1对称轴为x =12，当t +2＜12，即t ＜−32时，f （x ）＝x 2﹣x +1在[t ，t +2]上单调递减，g （t ）＝f （t +2）＝t 2+3t +3；第11页（共11页） 当t ≤12≤t +2，即−32≤t ≤12时，g （t ）＝f （12）=34， 当t ＞12时，f （x ）＝x 2﹣x +1在[t ，t +2]上单调递增，g （t ）＝f （t ）＝t 2﹣t +1综上所述，g （t ）={ t 2+t +3，t ＜−3234，−32≤t ≤12t 2−t +1，t ＞12．。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.抛物线上的点到其焦点的最短距离为（）A．4B．2C．1D．3.已知向量与向量的夹角为，，则（）A．B．C．D．4.“”是“角是第一象限的角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（）A．B．C．D．6.若满足则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．7.某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）8.某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年二、填空题1.已知，其中是虚数单位，那么实数= ．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为______．3.已知是等差数列，那么=______；的最大值为______．4.在中，若，则的大小为．5.社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是．（用数字作答）6.设若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围是．三、解答题1.（本小题满分13分）已知函数．（1）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）求的单调递减区间．2.（本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．3.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，四边形是正方形．将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）判断直线与的位置关系，并说明理由．4.（本小题满分13分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若（其中），求的取值范围，并说明．5.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在菱形，同时满足下列三个条件：①点在直线上；②点，，在椭圆上；③直线的斜率等于．如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由．6.（本小题满分14分）有限数列同时满足下列两个条件：①对于任意的（），；②对于任意的（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项．[来（1）若，且，，，，求的值；（2）证明：不可能是数列中的项；（3）求的最大值．北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得，故【考点】集合的运算2.抛物线上的点到其焦点的最短距离为（）A．4B．2C．1D．【答案】C【解析】由已知焦点为，故抛物线上的点到焦点的距离为，当然也可作图，利用抛物线的定义【考点】抛物线3.已知向量与向量的夹角为，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，当然也可数形结合【考点】向量的模4.“”是“角是第一象限的角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能推出角是第一象限的角，如，充分性不满足，由角是第一象限的角能推出，必要性满足，故“”是“角是第一象限的角”的必要而不充分条件【考点】充分条件、必要条件5.圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离为1，故圆心角为，故劣弧长为【考点】直线与圆的位置关系、弧长公式6.若满足则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故【考点】线性规划7.某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）【答案】C【解析】第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型．【考点】三视图8.某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年【答案】A【解析】由图可知3-4-5这一段，增长率明显偏低，5-6虽然高，但“分散到”六年平均就不高了．【考点】年平均增长率二、填空题1.已知，其中是虚数单位，那么实数= ．【答案】2【解析】由已知，故【考点】复数的运算2.执行如图所示的程序框图，输出的值为______．【答案】4【解析】第一次：；第二次: ；第三次:，结束循环，输出【考点】程序框图3.已知是等差数列，那么=______；的最大值为______．【答案】16；16【解析】由已知得，故，【考点】等差数列的性质及基本不等式4.在中，若，则的大小为．【答案】或【解析】由正弦定理得：，故或，当时，；当时，【考点】解三角形5.社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是．（用数字作答）【答案】24【解析】首先小红必须与2位老人都相邻有2种排法，将三人看成一个整体，从剩下的3名志愿者中选出两人排在两端有种，剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有种，根据分步计数原来可得不同的排法种数种【考点】排列与组合6.设若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由已知若存在实数，使得函数有两个零点，则函数不是单调函数，数形结合可知当时，函数是单调递增的，故要使有两个零点，则或【考点】函数的性质、函数与方程三、解答题1.（本小题满分13分）已知函数．（1）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）求的单调递减区间．【答案】（1），，（2）．【解析】（1）由已知可得，所以的最小正周期为，令，得：对称轴的方程为；（2），令可得的单调递减区间为试题解析：解：（1）因为 2分．所以． 4分令，得：． 6分所以的最小正周期为，对称轴的方程为．（2）． 9分令，得：．所以的单调递减区间为． 13分【考点】三角函数的性质2.（本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．【答案】（1），；（2）0．42；（3）0．9．【解析】（1）由各小矩形面积和为1可得到，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20—30箱，故；（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，．所以．（3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3．，，．所以的数学期望为试题解析：（1）； 2分． 4分（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，． 6分所以． 8分（3）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3． 9分，，，．所以的分布列为所以的数学期望．13分另解：由题意可知．所以的数学期望． 13分【考点】概率与统计3.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，四边形是正方形．将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解析】（1）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）建系来做，需要求出相应的方向向量及法向量，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，易得平面的一个法向量为，故与平面所成角为，；（3）直线与直线平行．通过坐标运算可得，所以．试题解析：（1）证明：因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 2分因为平面，所以． 4分（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．所以，，． 6分设平面的一个法向量为．由得令，得，所以． 8分设与平面所成角为，则．所以与平面所成角的正弦值为． 10分（3）解：直线与直线平行．理由如下： 11分由题意得，．所以．所以． 13分因为，不重合，所以． 14分另解：直线与直线平行．理由如下：取的中点，的中点，连接，，．所以且．因为为的中点，四边形是正方形，所以且．所以且．所以为平行四边形．所以且．因为四边形为梯形，，所以且．所以四边形为平行四边形．所以且．所以且．所以是平行四边形．所以，即． 14分【考点】空间立体几何4.（本小题满分13分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若（其中），求的取值范围，并说明．【答案】（1）（2）见解析．【解析】（1），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是．当时，令，得．的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）由（1）知：当时，函数至多存在一个零点，不符合题意．当时，必须，即，所以试题解析：（1）． 2分（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是．3分（ⅱ）当时，令，得．当变化时，,的变化情况如下表所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 5分（2）由（1）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意． 6分当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即．所以． 7分当时，．令，则．当时，，所以，在上是增函数．所以当时，．所以． 9分因为，，，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为． 11分因为在内是减函数，在内是增函数，所以．综上所述，的取值范围是． 12分因为，，所以． 13分【考点】导数与函数的综合5.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在菱形，同时满足下列三个条件：①点在直线上；②点，，在椭圆上；③直线的斜率等于．如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意得：解得：，所以椭圆的方程为；（2）假设存在满足题意的菱形．设直线的方程为，，，线段的中点，点．由得，由，解得，，点的纵坐标，而点在椭圆上，所以．这与矛盾．试题解析：（1）由题意得： 3分解得：所以椭圆的方程为． 4分（2）不存在满足题意的菱形，理由如下： 5分假设存在满足题意的菱形．设直线的方程为，，，线段的中点，点． 6分由得． 8分由，解得． 9分因为，所以． 11分因为四边形为菱形，所以是的中点．所以点的纵坐标． 12分因为点在椭圆上，所以．这与矛盾． 13分所以不存在满足题意的菱形．【考点】与圆锥曲线有关的存在性问题6.（本小题满分14分）有限数列同时满足下列两个条件：①对于任意的（），；②对于任意的（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项．[来（1）若，且，，，，求的值；（2）证明：不可能是数列中的项；（3）求的最大值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最大值为【解析】（1）由①，得．由②，当，，时．,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得；（2）假设是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且．由①，．对于数，由②可知：；对于数，由②可知：所以，这与①矛盾．试题解析：（1）由①，得．由②，当，，时．,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得．经检验，当时，符合题意． 3分（2）假设是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且．由①，． 4分对于数，由②可知：；对于数，由②可知：． 6分所以，这与①矛盾．所以不可能是数列中的项． 7分（3）的最大值为，证明如下： 8分（1）令，则符合①、②． 11分（2）设符合①、②，则：（ⅰ）中至多有三项，其绝对值大于1．假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中．则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项．同理：也是数列中的项．但，．所以．所以，这与①矛盾．（ⅱ）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．（ⅲ）中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）中至多有一项等于0．综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9项．14分由（1），（2）可得，的最大值为9．【考点】与数列有关的新定义问题。
北京高三高中数学期中考试带答案解析
北京高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，集合, 则A．B．C．D．2.命题“”的否定是A．B．C．D．3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A．B．C．D．4.已知数列满足，则A．B．C．D．5.在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则点的横坐标为A．B．C．D．6.已知向量是两个单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为A．B．C．D．8.若函数的值域为，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.已知等差数列满足，则公差=_____.2.已知向量，，若与平行，则的值为______.3.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时, ，则.4.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.5.能够说明“设是实数.若，则” 是假命题的一个实数的______.6.已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为_______ .三、解答题1.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.2.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和.3.如图，△为正三角形，，，.（1）求的值；（2）求，的长.4.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值；（3）求证：存在唯一的，使得.5.已知数列满足，，（N*）.（1）写出的值；（2）设，求的通项公式；（3）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.6.已知函数.（1）求证：1是函数的极值点;（2）设是函数的导函数，求证：.北京高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，集合, 则A．B．C．D．【答案】C【解析】，由交集的定义得到：故答案选择C.2.命题“”的否定是A．B．C．D．【答案】D【解析】命题“”的否定是:;根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可。
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Problem Set 21. Suppose that Natasha’s utility function is given by u(I) = I0.5, where I represents annual income in thousands of dollars.1) Is Natasha risk loving, risk neutral, or risk averse? Explain.2) Suppose that Natasha is currently earning an income of $10,000 (I = 10) and can earn that income next year with certainty. She is offered a chance to take a newjob that offers a 0.5 probability of earning $16,000, and a 0.5 probability of earning $5,000. Should she take the new job?3) In (2), would Natasha be willing to buy insurance to protect against the variable income associated with the new job? If so, how much would she be willing to pay for that insurance? (Hint: What is the risk premium?)1。
假设娜塔莎的效用函数是由u给予（我）= I0.5，在这里我代表以百万美元.1）年收入数千娜塔莎风险爱好者，风险中性，或风险规避？解释.2）假设娜塔莎是当前收入是10,000元（收入我= 10），而且可以肯定地赚取收入明年。
她提供了一个机会，采取一种新的工作，提供了16,000元的收入为0.5的概率，以及0.5入5,000元的概率。
她应该采取新的工作?3）在（2），将娜塔莎愿意购买保险，以保障对收入，与工作相关的新的变数？如果是这样，多少钱，她愿意付出该保险？（提示：什么是风险溢价?)2．Suppose that the process of producing lightweight parkas by Polly’s Parkas is described by the function Q = 10K0.8(L-40)0.2, where Q is the number of parkas produced, K is the number of machine hours, and L is the number of person-hours of labors.a) Derive the cost-minimizing demands for K and L as a function of Q, wage rates (w), and rental rates on machines (r). Use these to derive the total cost function.b) This process requires skilled workers, who earn $32 per hour. The rental rate is $64 per hour. At these factor prices, what are total costs as a function of Q? Does this technology exhibit decreasing, constant, or increasing returns to scale?c) Polly’s Parkas plans to produce 2000 parkas per week. At the factor prices given above, how many workers should they hire (at 40 hours per week) and how many machines should they rent (at 40 machine-hours per week)? What are the marginal and average costs at this level of production?2。
假设生产由Polly的Parkas轻量级parkas过程由函数描述为Q = 10K0.8（长- 40）0.2，其中Q是parkas生产数量，K为机时数，而L是人小时劳动者人数.一）推导的成本最小化作为Q的函数K和L的要求，工资率( W），和机器上的租金率（R）的。
使用这些推导出总成本函数.二）这个过程需要熟练的工人，谁挣每小时$ 32。
租金率是每小时64$。
在这些要素的价格，什么是Q的函数作为总成本？这一技术是否展览下降，常数或规模收益递增?三）Polly的Parkas计划生产2000每周parkas。
在上述因素既定价格，要多少工人，他们聘请（按每周40小时），以及有多少机应他们的租金（40机每星期小时）？什么是边际和平均生产水平在这个成本?3. A firm has the production functionQ = 20K 0.75L , where Q is the output, L is the working hours of labor and K the rental capital (measured by hours as well). The market wage per hour is 6, and the rental price of capital per hour is 8.a) Characterize the returns to scale of the production technology of the firm;b) Suppose that the firm is currently employing 20 hours of labor and 54 hours of rental capital. Is this allocation optimal for the firm? Why?4. The short-run cost functions of two firms are given by21 1 C = 100 + y and 22 2 2 C = 16 + 8y + y .a) Suppose the two firms are plants of the same firm in a competitive market. If the firm wants to produce 24 units of output, how much should it produce in each plant? Why not produce this output simply in one plant? Briefly explain.Intermediate MicroeconomicsFall 2010b) Suppose the two firms act independently. What is the short-run supply curve of the two firms?c) If the price is 6, what is the number of firms active in the market in the short run? Explain why.3。
一个公司拥有生产functionQ = 20K的0.75，其中Q是输出，L是工作时间的劳动和资本K的租金（按小时计算以及）。
市场每小时工资为6，每小时的资本租赁价格为8 .一）特点的规模收益的企业;**%%生产技术** b）假设该公司目前雇用20小时的劳动和资本的54租金小时。
这对公司分配最优的吗？为什么?4。
两个公司的短期成本函数都是通过21 1架C = 100 + Y和2 2 2 2ç = 16 + 8y + Ÿ .一）假设两个企业处于竞争市场的同一家公司的植物。
如果公司希望生产24单位的产出，它产生多少应该在每个工厂?为什么不能产生这样的输出只是一个工厂？简要解释.中级微观经济学2010年秋季b）假设两家公司独立行事。
什么是两家公司的短期供给曲线?三）如果价格是6，什么是企业在市场上活跃在短期内是多少？** ％％**解释为什么.5．A firm produces a product with labor and capital and its production function is described by Q = LK, where L denotes labor and K denotes capital. Suppose that the price of labor (w) equals 2 and the price of capital (r) equals 1. Derive the equations for the long-run total cost curve and the long-run average cost curve。
6. Suppose the market for widgets can be described by the following equations Demand: P = 10 – Q; Supply: P = Q – 4.where Q is the quantity in thousands of units and P is the price in dollars per unit.a) What is the equilibrium price and quantity?b) Suppose the government imposes a tax of $1 per unit to reduce widget consumption and raise government revenues. What will the new equilibrium quantity? What price will the buyer buy? What amount per unit will the seller receive?c) Suppose the government has changed its mind and decide to remove the tax and grant a subsidy of $1 per unit to widget producers. What will equilibrium quantity be? What amount per unit (including the subsidy) will the seller receive? What will be the total cost to the government?5.A企业生产劳动，资本和生产功能的产品是由Q =劲，其中L表示劳动和K表示资本描述。