近世代数第5讲

第5讲
§2.2 单位元、逆元、消去律
( Identity inverses cancellation law )
一、单位元、逆元、
定理1 群G 中有且仅有一元e 具有性质：
a ea ae G a ==∈∀,。

证明：存在性由上节（p33）群的第二定义可得。

唯一性：若有G e e ∈,,，则
,,e ee e ==。

定义1 单位元： 群G 中具有性质：
a ea ae G a ==∈∀,
的元素e 称为群G 的单位元。

注：如果G 是加法群时，G 中的单位元换叫做“零元”， 记为“0”
定理2 群G 中任一个元素a 有且仅有一个元素b 具有性质：
ab ba e ==.
证明：若有1212,,,b b G ab ab e ∈==
则11121222()b b e b ab b a b eb b =====（）。

定义2 对于群G 中一个元素a ，G 中元素b 具有性质： e ba ab ==.
称b 为a 的逆元,记为1-a 。

例1、2. p36-37
二、元素的阶
前面（p34），我们已介绍了群的阶：
G G =中所含元素的个数.
下面利用单位元e ，能引入另一个新概念:
定义3：设G 为群，而G a ∈. 如果有整数k ，使e a k =， 那么使这个等式成立的最小正整数m 叫做a 的阶， 记为m a =. 如果这样的m 不存在，则称a 的阶是无限的， 记为a =+∞.
例 加法群},{+Z 中，0是单位元. 10=∴， 而其它元素a a ,=+∞.
例 乘法群},{⋅∙R 中，1是单位元，21,11=-=∴，
而其它元素的阶都是无限.
注：加法群{}+,G 中，元素的阶的定义自然需做相应的变化： 设G a ∈，能够使0=ma 的最小正整数m 叫做a 的阶，若这样 的m 不存在，则称a 的阶是无限的，a 的阶仍记为a . 例3 设},,{210εεε=G 是由13=x 的三个复根组成的集合， 而G 中的代数运算“ ”是通常的乘法，那么},{ G 必为一个乘 法群. 其中习惯上记为3G ，叫做3次单位根群。

这里
2
31,231,1210---=-+-=
=εεε. 事实上
（1）G G j i j i j i j i ∈⇒=⨯==∈∀εεεεεεεε111)(,,333.
（2）结合律显然成立（因为复数集C 中满足结合律）.
（3）10=ε是G 中的单位元.
（4）0ε的逆元是0ε，1ε与2ε互为逆元. 不仅如此，我们还知：3,1210===εεε.
三、消去律
定理3：每一个群G 都适合消去律：
ab ab b b ''=⇒=*
ca c a c c ''=⇒=**
证明：设G b b a ∈',,且有b a ab '=，那么用a 的逆元1-a 左乘上 等式两端：1111()()()()a ab a ab a a b a a b b b ----'''=⇒=⇒=⇒* 成立。

同理知**也成立。

（注：*叫做左消去律，**叫做右消去律） 推论 在一个群里，方程 b ya b ax ==,有唯一解。

§2.3有限群的另一定义
1. 问题的提出：若G 是群，则G 必满足
（1）结合律；（2）消去律。

但如果G 是一个有代数运算的的集合，且能满足（1）和（2），是否可断定G 就是群呢？先看下面的例子：
代数系统},{⋅Z 显然满足（1）结合律（3）消去律，
但},{⋅Z 不是群（因为除了1和1-外，其他元素都没有逆元）. 上例所以不能成为群，关键是Z 为无限集，如果是有限集，那情形就不一样了。

定理1设G 是一个有限集，若代数系统},{ G 满足
（1）结合律，（2）左、右消去律，那么},{ G 是一个群。

证明：（只需证明b ax =方程b ya =和在G 中有解）
先证b ax =在G 中有解，G b a ∈∀,.
因为G 是有限集，不妨设n G =，即},,,{21n a a a G =， 现用a 左乘G 中的每个元素，得到12{,,,}n G aa aa aa G '=⊆ . 又由于（2），只要j i ≠，则i j aa aa ≠。

所以，G '中也含有n 个元素。

于是G G ='。

又由于G b ∈，即b G '∈。

因此，(1)k k n ∃≤≤，使得b ax a b aa k k =∴=是,的解.
同理可以证明b ya =有解.
作业：
P38。

ex2，4
思考题及课堂训练：
1、若G =+∞，即使},{ G 能满足封闭性、结合律和消去律， 则},{ G 也不可能成为群，这种说法对吗？
2、设G 是群，那么
（1）G a ∈∀，若存在+∈Z m ，使m a e a m |⇒=
（可知a 的阶是有限的）。

（2）1-=⇒∈∀a a G a 。

3、设G 为群，那么111)(,---=⇒∈∀a b ab G b a .
4、For each of the following rules in a group G , tell us which is right.
(1) If e x =2, then e x =; (2) If 22a x =, then a x =;
(3) 222)(b a ab =；(4) If x x =2, then e x =;
(5) If e a k =, then k a =.
5、Let c b a ,, and x be elements of a group G , On each of the following, solve for x in terms of b a , and c
(1) If c axb =, then =x .
(2) If c xa b x 12-=, then =x .
(3) 12-=bxc b x and xac acx =, then =x .
(4) If b ax =2 and e x =3, then =x .
(5) If 22a x = and e x =5, then =x .
(6) If bx xax =3)( and 12)(-=xa a x , then =x .
6、Every element of group G is finite order if G is finite group. 证明：设},,,{21m a a a G =，若G a ∈且a =∞132,,,,+⇒n a a a a 都是G 中的非零元，如果j i a a =且
i r i i r i j a a a a a a r i j j i =⇒==⇒+=⇒<+，
由消去律e a r =，这与a 无限矛盾，这说明只要
132,,,,+∴≠⇒≠n j i a a a a a a j i 是两两不同的，这与n G =矛盾.
由上讨论可知：“若<∈∀⇒=a G a n G ,+∞”.这个命题的逆命题成立吗？也就是说，“若G a ∈∀且<a +∞<⇒G +∞”回答是否定的.
[反例]：设}1{=∈∈=n x N n C x G 使存在，可以验证：G 是一个乘法群且1
是的单位元.显然, G 中每个元的阶都有限. 但确有 +∞=G .
7、If every element x in group G , has e x =2, then G is a commutative group.
证明：1112,,.,---==⇒∈∀∈∀=⇒=b b a a G b a G x x x e x , 而G ba ab ba ba b a ab ⇒=∴===---111)(是可换群.
8、在有限群中，阶数大于2 的元的个数一定是偶数。

证明：取有限群G 中一个阶2>的元⇒a
⎪⎩
⎪⎨⎧≠⇒≠≠-12a a e a e a 且
而)2(||||1由题-=a a 说明G 中阶2>的元是成对出现的。

由此知阶2>的元的个数 是偶数。

9、偶数阶有限群中阶数=2的元个数是奇数。

证明：阶数2≤的元也必是偶数（G 是偶数），但1=e ， 且e 只有一个，阶=2的元的个数为奇数.
关于G 中元素的阶我们有如下结论：
结论1设G a ∈且n a =,那么 e a m n m =⇔.
证明：“⇐”.
“⇒” ng m m n =⇒∴ ()e e a a a g g
n ng m ====∴.
结论2. 设G b a ∈,且n b m a ==,,令 [],l m n =(最小公倍数) 又设ba ab =。

那么： (1) |ab l ， (2) 当(),1m n ab mn l =⇒==
证明：(1) [],g m n m l n l =⇒ 且
().l l l ab a b ee e ∴===
(2) 令k ab =,
()()km km km m k km k b eb b a ab e e ab ====⇒=∴km n ⇒. 同理, kn m , ()k mn k m k n n m ⇒⇒=且1, , 而 ()e b a ab m n m n m n == k mn mn k =⇒∴.
(两个阶互素的可换元的乘积的阶等价于阶之积) 结论3. 若交换群G 中存在阶最大元素a , m x G x m a .∈∀⇒=.
证明： 若G b ∈∃.r r b 且=不整除m ,ba ab = .
由结论2[]m r d G d ,=∈∃⇒使 ,
而 m r m d ∴⇒↑, .。