第2讲参数方程 (1)

第2讲 参数方程

1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1

(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m .

(1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；

(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围.

解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆；

直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0，

圆心C 到直线l 的距离为d ＝

|1＋1|12＋1

2＝2＝r ， 所以直线l 与圆C 相切.

(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤32

2，解得－1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[－1，5].

2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.

(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；

(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值.

解 (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，

消去θ， 得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.

又直线l 过点P (1，2)，且倾斜角α＝π6.

所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，

y ＝2＋t sin π6.

即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，

y ＝2＋12t

(t 为参数). (2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，

y ＝2＋12t

代入x 2＋y 2＝16， 得⎝

⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0， 所以t 1t 2＝－11.

由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.

3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α

(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.

解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).

设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2 α－44.

由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.

所以l 的斜率为153或－153.

4.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等

的长度单位.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α

(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值. 解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，

∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .

(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x 得到t 2sin 2α－4t cos α－4＝0.

设A ，B 两点对应的参数分别是t 1，t 2，

则t 1＋t 2＝4cos αsin 2 α，t 1t 2＝－4sin 2α

. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝

4sin 2α

≥4，当α＝π2时取到等号. ∴|AB |min ＝4，即|AB |的最小值为4.

5.(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为

极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；

(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).

可得C 的参数方程为

⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t

(t 为参数，0≤t ≤π). (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1，0)为圆心，

1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，

所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，32. 6.(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，

直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.

(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；

(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值.

解 (1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α

消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.

由ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.

(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，

即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t

(t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，

Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，

设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，

则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，

所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.