九年级数学航海问题同步练习
【最新】九年级数学下册第七章锐角函数坡度和航海问题的整理试题pdf无答案新版苏科版
苏州中考分类汇编—解直角三角形考点：利用直角三角形解决航海问题命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．例1如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）例2如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，已知AB＝5km．(1)求景点B与景点为C的距离；（结果保留根号）(2)为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km.3＝1.735 2.24）例3如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在近似看作直线的海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝75°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．(1)判断AB、AE的数量关系，并说明理由：(2)求两个岛屿A和B之间的距离（结果保留根号）．（参考数据：sin75°＝4，cos75°＝4，tan75°＝2例4钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）考点：利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1．利用直角三角形解决坡度问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．例1为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE。
人教版九年级下册数学：例5 航海——方位角 (6)
解直角三角形 (3)
例题.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
解：∵由方位角北偏东60°，北偏东30° ∴∠ABF=30°，∠ADF=60°
∵在Rt△ADF中， ∠ADF=60°，设AF=x
tanADFBiblioteka AFBDFtan 60 x DF
x
3
DF tan 60 3 x
∵在Rt△ABF中， ∠ABF=30°，AF=x
tanABF AF
BF
tan30 x BF
x BF tan30 3x
∵BF-DF=BD
3x 3 x 12 3
∵X=d＞r
x6 3
∴直线与圆相离，故没有危险
A DF
小结
1.阅读题目将题目中的已知条件（显 性和隐性）标注在实物图中 2.分析实际问题建立数学模型找出要 解决的是怎么样的数学问题
3.根据条件，运用数学知识得出答案
4.进而得到实际问题的答案
练习、 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有 暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行， 行至A点处测得灯塔P在它的北偏东 方6向0上，继 续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的 北偏东 方向4上5 ，如果海轮不改变方向继续前进， 有没有触礁的危险？
北
P
A
B
东
多为成功找方法 再见
数学九年级上华东师大版25.3解直角三角形(4)同步练习.
1. 能识别航海问题中的象限角、方位角.2. 会解决航海中的有关测量问题.［基础巩固提优］（夯实基础，才能有所突破……）1•轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°那么同时从B?处观测到轮船的方向是（）.A.南偏西65 °B.东偏西65 °C.南偏东65°D.西偏东65°2. _________________________________________ 如图，机器人从点A沿着西南方向行了4 2个单位，到达点B后观察到原点0在它的南偏东60°的方向上，则原来点A的坐标为 .（结果保留根号）（第2题）3. 如图，在高出海平面100 m的小山顶上，测得正南与正北的两艘船的俯角分别是45。
与30°则这两艘船间的距离为___________ .（第3题）4. 小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为________ 米.5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40.2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____________海里.（结果保留根号）6. 一海上巡逻艇在A处巡逻，突然接到上级命令，在北偏西30。
方向且距离A处20海里的B港口，有一艘走私快艇正沿着正东方向以每小时50海里的速度驶向公海，务必进行拦截.巡逻艇马上沿北偏东45。
的方向快速追击，恰好在临近公海的P处将走私快艇拦截住•如图，试求巡逻艇的速度.（结果取整数，参考数据：.2疋1.414，.3~ 1.732，6疋2.449）第4课时解直角三角形（4）c --- f（第5题）（第6题）7.如图，在直角坐标系中， P 是第一象限的点，其坐标是，op 与x 轴的正半轴的夹 （x,8）OP A角为：.，且 4，求：tana =3 （1）x 的值； （2） 角：.的余弦值.y |-P8. 在东西方向的海岸线 I 上有一长为1 km 的码头MN （如图），在码头西端 M 的正西19.5 km 处有一观察站 A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时10分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东60°且与A 相距8 3 km 的 C 处.（1）求该轮船航行的速度；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头9. 如图，甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60方向的B 处，如果此时乙船正以每小时 10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是每小时 10 3海里，这时甲船朝什么方向行驶才能最快追上乙船?MN 靠岸？请说明理由.（第8题）10. 如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区•取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°已知MB = 400 m,通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？并说明理由.（第10题）11. 如图，台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时, 受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P有320千米.（1）说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.（第11题）12. *（2011 •湖北武汉/如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，/ QON=30 °公路PQ 上A 处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）（第12题）A. 12 秒B. 16 秒.C. 20 秒D. 24 秒13. ＜（2011 •江苏扬州》如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向, 则从C 岛看A、B两岛的视角/ ACB=（第13 题）14. 1（2011 •湖北襄阳）・在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示）, 为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工•从AC上的一点B,取/ ABD= 140° BD=1 000 m , / D= 50°为了使开挖点E在直线AC上，那么DE= m.（供选用的三角函数值：sin50 ° 0.7660, cos50 = 0.6428, tan50 = 1.192）（第14题）15. 1（2011 •广东河源*某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动.如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处，测得B在点C的南偏西60°的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据北南（第15 题）16. ＜（2011 •广东湛江卩五一期间，小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动，在景点P 处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东600方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离.（结果精确到0.1 米）(第16 题)第4课时解直角三角形(4)( 逮)I. C 2. 0, 4 + 33. . (100羽+ 100) m4.200 35. 40 3+ 406. 45 海里/时7. 连结OP,过P作PH丄x轴于点H,在厶OPH 中，PH=8, 4，tan :3所以OH=6,即x=6.又因为PH=8，OH=6，所以OP=1O,3 .COS：二一5968. (1)^.7⑵能.作BD丄I，垂足为点D, CE丄I，垂足为E.设直线BC交I于点F，贝U AD = AB c os/ BAD = 20, CE = AC sin/ CAE = 4 . 3, AE = AC cos/ CAE = 12, BD = 20.3.BD 丄I, CE 丄I,/ BDF = / CEF = 90°又 / BFD = / CFE ,/. △ BDF CEF.DF BDEF =CE.EF + 32 20 , 3EF —4 3EF = 8.AF = AE + EF = 20.AM v AF v AN ,•••轮船不改变航向继续航行，正好能行至头MN靠岸.9. 北偏东30°的方向10. 不会穿过居民区II. (1)会影响•作BA丄PQ.由题意知/ APB= 30° BA= 160 m v 200 m.(2)8小时12.B 13.105°14.642.815.在Rt A ABC中，/ BAC=900,AC=200,tan600= AB ,ACAB=200X 3 〜200 X 1.732 ~0米6 .16.过P作PD _ AB，垂足为D,则AB 二AD BD ,在Rg ADp中，/A=60：ZAPD=303且PA=100米，所以AD=50米• 在Rg BDP中，B_- DPB ，而DP“ 1002二502=50、. 3, 所以AB =50 50、、3 136.6（米）.=45，所以DB=DP。
初三解直角三角形航海问题1
1 初三解直角三角形航海问题1
1．我市欲在相距2千米的A 、B 两厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：41.12≈ 73.13≈）
2．海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
3．如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，
行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东30°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?
4．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距
3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）
5．某省将地处A 、B 两地的两所大学并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路．如图所示，经测量在A 地北偏东60°方向、B 地北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
西 东
A B P 北 东。
2022-2023学年全国初中九年级下数学人教版同步练习(含答案解析)033617
2022-2023学年全国初中九年级下数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离的长是 A.海里B.海里C.海里D.海里2. 如图，从山顶望地面，两点，测得它们的俯角分别是和，已知米，点位于上，则山高 等于( )A.米B.米C.米D.米3. 如图，钓鱼竿长，露在水面上的鱼线长，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则鱼竿转过的角度是（ ）P 55∘2A AB ()2sin55∘2sin55∘2cos55∘2cos55∘C D 45∘30∘CD =100C BD AB 100503–√502–√50(+1)3–√AC 6m BC 3m 2–√AC AC ′B'C'3m 3–√A.B.C.D.4. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为( )A.B.C.D.5. 如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达 处，这时轮船与小岛的距离是，此时轮船位于灯塔的( )方向.A.南偏东B.南偏东C.北偏西60∘45∘15∘90∘BC =5m AB 1:3–√AB 10m10m3–√5m5m3–√C 60∘60nmile A B A (30+30)nmile 3–√C 45∘30∘45∘D.北偏西6. 如图，在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，则塔的高为（ ）A.B.C.D.7. 如图，要测量点到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则点到河岸的距离为 A.米B.米C.米D.米8. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为厘米，宽度为厘米，那么斜面的坡比为（ ）A.B.C.30∘AB C 30∘C B 100m D 45∘AB 50m3–√100m3–√50(−1)m3–√50(+1)m3–√B AD A ∠BAD =30∘C ∠BCD =60∘AC =100B AD ()50503–√1002003–√31525AB 5:33:53:7D.：二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸，小聪在河岸上点处用测角仪测得河对岸小树位于东北方向，然后沿河岸走了米，到达处，测得河对岸电线杆位于北偏东方向，此时，其他同学测得米．请根据这些数据求出河的宽度为________米．（结果保留根号）10. 今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如图）．已知立杆高度是，从侧面点测得警示牌顶端点和底端点的仰角和分别是，．那么路况警示牌的高度为________．11. 如图，要在宽为米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂与灯柱成角，灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中心线（即为的中点）时照明效果最佳，若米，则路灯的灯柱高度应该设计为________米．12. 某同学沿着坡度＝：的斜坡前进了米，那么他升高了________米．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量，位于的北偏东的方向上，位于的北偏东的方向上，且．求景点与的距离；为了方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点向公路修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）58EF //MN MN A C 30B D 30∘CD =10AD 4m C A B (∠ACD ∠BCD)60∘45∘AB AB 20CD BC 120∘DO CD DO O AB CD =3–√BC i 1200l A B C C A 60∘C B 30∘AB =10km (1)B C (2)C C l14. 年月日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园处的俯角为，处的俯角为，如果此时直升机镜头处的高度为米，点，，在同一条直线上，则，两点间的距离为多少米？（结果保留根号）15. 图为我们日常生活中常见的马扎，图是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿，点是它们的中点，为使人能够舒适地坐着马扎，匠工李师傅将撑开后的马扎高度设计为．若，求布面的长．若，马扎上的布面 易损坏，某人臀宽，李师傅能否制作出适合这个人的马扎．（，且布面 不易损坏）（参考数据：，）16. 图①所示是一种简易画板，其侧面示意图如图②所示，为画板主架， 为可收放的支撑架，点为连接主架与支撑架的固定支撑点，现测得画板的主架长 (其中支撑点以上部分长为，点、在水平地面上．（1）调节，当，求的长；（结果精确到（2）一小女孩执画笔的手平举时到地面的距离为，当支撑点到地面的距离在时，她绘画顺手，调节，使点到地面的距离为，此时小女孩绘画是否顺手？2020412A 30∘B 45∘C CD 200A B D A B 12AB =CD O 32cm (1)∠AOD =90∘AD (2)∠AOD >100∘AD 40cm AD ≥40cm AD sin ≈0.7750∘sin ≈0.64,tan ≈1.1940∘50∘AB CD C 100cm 40cm)B D CD ∠D =，∠BCD =60∘45∘CD 0.1cm ，≈1.41，≈2.45）2–√6–√45cm 40cm ∼50cm CD A 80cm参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级下数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】首先由方向角的定义及已知条件得出＝，＝海里，＝，再由，根据平行线的性质得出＝＝．然后解，得出＝＝海里．【解答】解：如图，由题意可知，，海里，．∵，∴．在中，∵，，海里，∴（海里）．故选.2.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】∠NPA 55∘AP 2∠ABP 90∘AB//NP ∠A ∠NPA 55∘Rt △ABP AB AP ⋅cos ∠A 2cos55∘∠NPA =55∘AP =2∠ABP =90∘AB//NP ∠A =∠NPA =55∘Rt △ABP ∠ABP =90∘∠A =55∘AP =2AB =AP ⋅cos ∠A =2cos55∘D直角与直角有公共边，若设，则在直角与直角就满足解直角三角形的条件，可以用表示出与的长，根据，即可列方程求解．【解答】解：设，在中，，∴．在中，，∴，∴.∵，∴，解得，故山高 等于米．故选．3.【答案】C【考点】解直角三角形的应用【解析】因为三角形和三角形均为直角三角形，且、都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出，，然后可以求出，即求出了鱼竿转过的角度．【解答】∵，∴＝．∵，∴＝．∴＝＝，鱼竿转过的角度是．4.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题△ABC △ABD AB AB =x △ABC △ABD x BC BD BD−BC =CD AB =x Rt △ACB ∠ACB =45∘BC =AB =x Rt △ABD ∠D =30∘tanD ==AB BD 3–√3BD ==x AB tan30∘3–√BD−BC =CD x−x =1003–√x =50(+1)3–√AB 50(+1)3–√D ABC AB'C'BC B'C'∠CAB ∠C'AB'∠C'AC sin ∠CAB ===BC AC 32–√62–√2∠CAB 45∘sin ∠A ===C ′B ′B ′C ′AC 33–√63–√2∠C'AB'60∘∠CAC'−60∘45∘15∘15∘勾股定理【解析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长.【解答】解：，，，解得：，则.故选.5.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点作，则在中易得、的长，再在直角中求出，根据可得，即可得．【解答】解：过作于点，，．在中，，，AC AB ∵i=1:3–√BC =5m ∴==BC AC 5AC 13–√AC =5(m)3–√AB ===10(m)B +AC 2C 2−−−−−−−−−−√+52(5)3–√2−−−−−−−−−−√A C CD ⊥AB Rt △ACD AD CD △BCD BD tan ∠DCB =DB CDtan ∠DCB ∠1C CD ⊥AB D ∴∠ACD =30∘∵AC =60Rt △ACD cos ∠ACD ==CD AC 3–√2∴CD =AC ⋅cos ∠ACD =60×=303–√23–√D =AC ⋅sin ∠ACD =60×=301，在中，，，，即此时轮船位于灯塔的南偏东方向．故选．6.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题锐角三角函数的定义【解析】本题根据等腰直角三角形，特殊的锐角三角函数值及锐角三角函数的定义，解直角三角形得到答案.【解答】解：在中，，，在中，，，，，，.故选．7.【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解析】过作，根据三角形内角与外角的关系可得，再根据等角对等边可得AD =AC ⋅sin ∠ACD =60×=3012Rt △DCB DB =AB−AD =(30+30)−30=303–√3–√∴tan ∠DCB ===1DB CD 303–√303–√∴∠DCB =45∘∴∠1=−∠DCB =90∘45∘C 45∘A Rt △ABD ∠ADB =45∘∴BD =AB Rt △ACB ∠C =30∘∴=tan AB BC 30∘∴BC ==AB AB tan30∘3–√∵CD =100∴BC −BD =AB−AB =CD =1003–√∴AB =50(+1)(m)3–√D B BM ⊥AD ∠ABC =30∘，然后再计算出的度数，进而得到长，最后利用勾股定理可得答案．【解答】解：过作，∵，∴，∴，∵，，∴，∴(米)，∴(米)，∴(米).故选．8.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】楼梯的垂直高度为厘米，水平距离为厘米.∴斜面的坡比为.【解答】解：楼梯的垂直高度为厘米，水平距离为厘米，∴斜面的坡比为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】BC =AC ∠CBM CM B BM ⊥AD BM ⊥AD ∠BMC =90∘∠CBM =30∘∠BAD =30∘∠BCD =60∘∠ABC =30∘AC =CB =100CM =BC =5012BM =CM =503–√3–√B 15×6=9025×6=150AB 90：150=3：515×6=9025×6=150AB 90:150=3:5B (30+10)3–√解直角三角形的应用-方向角问题【解析】如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，设，根据列出方程即可解决问题．【解答】解：如图作，，垂足分别为，，则四边形是矩形.设，∵，，∴，∴，，∴.在中，，，∴，即，解得，∴河的宽度为米.故答案为：.10.【答案】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】在中，根据已知求出，在中，再根据，求出，最后根据，代入计算即可．【解答】∵，，，∴，在中，，∴，BH ⊥EF CK ⊥MN H K BHCK CK =HB =x tan =30∘HD BH BH ⊥EF CK ⊥MN H K BHCK CK =HB =x ∠CKA =90∘∠CAK =45∘∠CAK =∠ACK =45∘AK =CK =x BK =HC =AK −AB =x−30HD =x−30+10=x−20Rt △BHD ∠BHD =90∘∠HBD =30∘tan =30∘HD HB =3–√3x−20x x =30+103–√(30+10)3–√(30+10)3–√m12−43–√3Rt △ACD CD Rt △BDC tan =45∘BD CDBD AB =AD−CD Rt △ACD ∠DCA =60∘AD =4m CD =m 43–√3Rt △BDC ∠BDC =45∘tan ==145∘BD CD D =m 4–√∴，∴．∴路况警示牌的高度为．11.【答案】【考点】解直角三角形的应用【解析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得、，再相减即可求得长．【解答】如图，延长，交于点．∵，，米，米，∴在直角中，，（米），∵，，∴，∴，∴（米），∴（米）．12.【答案】【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）BD =m 43–√3AB =AD−CD =m 12−43–√3AB m 12−43–√383–√PB PC BC OD BC P ∠ODC =∠B =90∘∠P =30∘OB =10CD =3–√△CPD DP =DC ⋅tan =3m 60∘PC =CD÷(sin )=230∘3–√∠P =∠P ∠PDC =∠B =90∘△PDC ∽△PBO =PD PB CD OB PB ===10PD ∗OB CD 3×103–√3–√BC =PB−PC =10−2=83–√3–√3–√10013.【答案】解：由题意得，，∴，∴，∴，即景点，相距的路程为．过点作于点，∵，位于的北偏东的方向上，∴，在中，．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）先根据方向角的定义得出，，由三角形内角和定理求出，则，根据等角对等边求出．；（2）首先过点作于点，然后在中，求得答案．【解答】解：由题意得，，∴，∴，∴，即景点，相距的路程为．过点作于点，∵，位于的北偏东的方向上，∴，在中，．14.【答案】(1)∠CAB =30∘∠ABC =+=90∘30∘120∘∠C =−∠CAB−∠ABC =180∘30∘∠CAB =∠C =30∘BC =AB =10km B C 10km (2)C CE ⊥AB E BC =10km C B 30∘∠CBE =60∘Rt △CBE CE =BC =5km 3–√23–√∠CAB =30∘∠ABC =120∘∠C =−∠CAB−∠ABC =180∘30∘∠CAB =∠C =30∘BC =AB =10km C CE ⊥AB E Rt △CBE (1)∠CAB =30∘∠ABC =+=90∘30∘120∘∠C =−∠CAB−∠ABC =180∘30∘∠CAB =∠C =30∘BC =AB =10km B C 10km (2)C CE ⊥AB E BC =10km C B 30∘∠CBE =60∘Rt △CBE CE =BC =5km 3–√23–√解：∵，∴，，.∵于点，∴在中，，，∴.在中，，，∴，∴，故，两点间的距离为米.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加减求差即可．【解答】解：∵，∴，，.∵于点，∴在中，，，∴.在中，，，∴，∴，故，两点间的距离为米.15.【答案】解：如图，过点作于点，∵点为，的中点，，∴ ；又∵，EC//AD ∠A =30∘∠CBD =45∘CD =200CD ⊥AB D Rt △ACD ∠CDA =90∘tanA =CD AD AD ==2002003√33–√Rt △BCD ∠CDB =90∘∠CBD =45∘DB =CD =200AB =AD−DB =200−2003–√A B (200−200)3–√EC//AD ∠A =30∘∠CBD =45∘CD =200CD ⊥AB D Rt △ACD ∠CDA =90∘tanA =CD AD AD ==2002003√33–√Rt △BCD ∠CDB =90∘∠CBD =45∘DB =CD =200AB =AD−DB =200−2003–√A B (200−200)3–√(1)O OE ⊥AD E O AB CD AB =CD OA =OD =OC =OB∠AOD =∠BOC A ==∠ABC−∠AOD 180∘∴，∴在与中，，∴，∴点到的距离等于点到的距离．∵马扎的高度为，∴；∵，∴点为的中点．∵，∴ .当∠时，∵，∴，在中，，∴.∴，当时，变小，∴李师傅不能制作出合适这个人的马扎．【考点】全等三角形的性质与判定解直角三角形的应用解直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】∠A ==∠ABC −∠AOD180∘2AD//BC.△AOD △COB ∠AOD =∠BOC,OA =OC,OD =OB △AOD ≅△COB(SAS)O AD O BC 32cm OE =16cm OE ⊥AD,OA =OD E AD ∠AOD =90∘AD =2OE =32cm (2)AOD =100∘OE ⊥AD,OA =OD ∠AOE ==∠AOD 250∘Rt △AOE tan ∠AOE =AE OE AE =OE ⋅tan ∠AOE =16tan ≈16×1.19=19.0450∘AD =2AE =38.08<40∠AOD <100∘AD解：如图，过点作于点，∵点为，的中点，，∴ ；又∵，∴，∴在与中，，∴，∴点到的距离等于点到的距离．∵马扎的高度为，∴；∵，∴点为的中点．∵，∴ .当∠时，∵，∴，在中，，∴.∴，当时，变小，∴李师傅不能制作出合适这个人的马扎．(1)O OE ⊥AD E O AB CD AB =CD OA =OD =OC =OB ∠AOD =∠BOC ∠A ==∠ABC −∠AOD180∘2AD//BC.△AOD △COB ∠AOD =∠BOC,OA =OC,OD =OB △AOD ≅△COB(SAS)O AD O BC 32cm OE =16cm OE ⊥AD,OA =OD E AD ∠AOD =90∘AD =2OE =32cm (2)AOD =100∘OE ⊥AD,OA =OD ∠AOE ==∠AOD 250∘Rt △AOE tan ∠AOE =AE OE AE =OE ⋅tan ∠AOE =16tan ≈16×1.19=19.0450∘AD =2AE =38.08<40∠AOD <100∘AD16.【答案】解：(1)如解图①，过点作，垂足为点，∴∴ ；(2)如解图②，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵在范围内，∴此时小女孩绘画顺手．【考点】解直角三角形的应用相似三角形的性质与判定B BE ⊥CD E ∴∠D =，∠BCD =，AB =60∘45∘100cm ，AC =40cm ，∴BC =60cm ，∴BE =CE =BC ⋅sin =3045∘2–√（cm)，ED ===10(cm)，BE tan60∘302–√3–√6–√CD =CE+ED =30+10≈2–√6–√66.8(cm)A AE ⊥BD E C CF ⊥BD F ．∠AEB =∠CFB =90∘∠B =∠B △ABE ∼△CBF =CF BC AE AB AB =100cm ，AE =80cm ，BC =60cm =，∴CF =48cm CF 608010048cm 40cm ∼50cm【解析】略略【解答】解：(1)如解图①，过点作，垂足为点，∴∴ ；(2)如解图②，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵在范围内，∴此时小女孩绘画顺手．B BE ⊥CD E ∴∠D =，∠BCD =，AB =60∘45∘100cm ，AC =40cm ，∴BC =60cm ，∴BE =CE =BC ⋅sin =3045∘2–√（cm)，ED ===10(cm)，BE tan60∘302–√3–√6–√CD =CE+ED =30+10≈2–√6–√66.8(cm)A AE ⊥BD E C CF ⊥BD F ．∠AEB =∠CFB =90∘∠B =∠B △ABE ∼△CBF =CF BC AE AB AB =100cm ，AE =80cm ，BC =60cm =，∴CF =48cm CF 608010048cm 40cm ∼50cm。
【课课练】九年级数学下册 1.4 船有触礁的危险吗测试题
４．船有触礁的危险吗㊀１．进一步熟知直角三角形边角之间的关系．㊀２．能看懂实际问题中的有关角的运用,如方位角等．㊀３．应学会通过构造直角三角形处理非直角三角形的问题．㊀４．能够进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明．㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.１．若C D 是R t әA B C 斜边A B 上的高,A D ＝４,B D ＝１,则t a n B 的值是㊀㊀㊀㊀．２．三角形的两个角分别为１０５ʎ,４５ʎ,且４５ʎ角所对的边长为２,则该三角形的周长为㊀．３．某人沿倾斜角为β的斜坡上升了１０米,则他前进的最大距离是(㊀㊀)．A．１０s i n β米B ．１０s i n β米C ．１０c o s β米D．１０c o s β米㊀重难疑点,一网打尽.４．如图,从山顶A 望地面C ㊁D ,测得它们的俯角分别为６０ʎ,４５ʎ,已知C D ＝１００m ,点C 在B D 上,则山高A B 等于(㊀㊀)．A．１００mB ．５０３mC ．５０２m D．５０(３＋１)m(第４题)㊀㊀㊀(第６题)㊀㊀㊀(第７题)５．某人沿着有一定坡度的坡面前进了１０米,此时他与水平地面的垂直距离为２５米,则这个坡面的坡比为㊀㊀㊀㊀．６．如图,燕尾槽的横断面是等腰梯形,其中燕尾角B 是５５ʎ,外口宽A D 是１８０m m ,燕尾槽的深度A E 是７０m m ,则它的里口宽B C ＝㊀㊀㊀㊀．(结果精确到１m m ,已知t a n ３５ʎʈ０．７００２)７．如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ,已知点C 周围２００米范围内为原始森林保护区,在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东４５ʎ方向上,从A 向东走６００米到达B 处,测得C 在点B 的北偏西６０ʎ方向上．MN 是否穿过原始森林保护区,答:㊀㊀㊀㊀．(填 穿过 或 不穿过 )(参考数据:３ʈ１．７３２)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.８．在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度．如图(１),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角θ,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(２),设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角θ１减至θ２,这样楼梯占用地板的长度由d１增加到d２,已知d１＝４米,øθ１＝４０ʎ,øθ２＝３６ʎ．求楼梯占用地板的长度增加了多少米? (计算结果精确到０．０１米,参考数据:t a n４０ʎʈ０．８３９,t a n３６ʎʈ０．７２７)(１)㊀㊀㊀㊀(２) (第８题)９．一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图,汽车在一条南北走向的公路上向北行驶,当在A处时,车载G P S(全球卫星定位系统)显示村庄C在北偏西２６ʎ方向,汽车以３５k m/h的速度前行２h到达B处,G P S显示村庄C在北偏西５２ʎ方向．(１)求B处到村庄C的距离;(２)求村庄C到该公路的距离．(结果精确到０．１k m,参考数据:s i n２６ʎʈ０．４３８４,c o s２６ʎʈ０．８９８８,s i n５２ʎʈ０．７８８０, c o s５２ʎʈ０．６１５７)(第９题)㊀㊀１０．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向２２０k m 的B 处有一台风中心,其中心最大风力为１２级,每远离台风中心２０k m 风力就会减弱１级．该台风中心现正以１５k m /h 的速度沿北偏东３０ʎ方向往C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过六级,则称受台风影响．(１)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由?(２)若受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(３)该城市受到台风影响的最大风力为几级?㊀瞧,中考曾经这么考!１１．(２０１２ 湖北恩施州)新闻链接:据ʌ侨报网讯ɔ外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退．２０１２年５月１８日,某国３艘炮艇追袭５条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的 中国渔政３１０ 船人船未歇立即赶往北纬１１度２２分㊁东经１１０度４５分附近海域护渔,保护１００多名渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正疾速驰救中国渔船,立即掉头离去．解决问题:如图,已知 中国渔政３１０ 船(A )接到陆地指挥中心(B )命令时,渔船(C )位于陆地指挥中心正南方向,位于 中国渔政３１０ 船西南方向, 中国渔政３１０船位于陆地指挥中心南偏东６０ʎ方向,A B ＝１４０６３海里, 中国渔政３１０ 船最大航速２０海里/时．根据以上信息,请你求出 中国渔政３１０ 船赶往出事地点需要多少时间．(１)㊀㊀㊀(２)(第１１题)４．船有触礁的危险吗１．２㊀２．３＋３＋２㊀３．A㊀４．D５．１ʒ２㊀６．２７８m m㊀７．不穿过８．由题意,øA C B＝øθ１,øA D B＝øθ２,在R tәA C B中,A B＝d１t a nθ１＝４t a n４０ʎ,在R tәA D B中,A B＝d２t a nθ２＝d２t a n３６ʎ,得４t a n４０ʎ＝d２t a n３６ʎ,ʑ㊀d２＝４t a n４０ʎt a n３６ʎʈ４．６１６．ʑ㊀d２－d１＝４．６１６－４＝０．６１６ʈ０．６２．故楼梯占用地板的长度增加了０．６２米．９．如图,过点C作C DʅA B,交A B的延长线于点D．(第９题)(１)ȵ㊀øC B D＝５２ʎ,øA＝２６ʎ,ʑ㊀øB C A＝２６ʎ．ʑ㊀B C＝A B＝７０,即B处到村庄C的距离为７０k m．(２)在R tәC B D中,C D＝C Bˑs i n５２ʎ＝７０ˑ０．７８８０ʈ５５．２．即村庄C到该公路的距离约为５５．２k m．１０．(１)过点A作B C的垂线,垂足为D．A D＝１１０k m,而１１０２０＝５．５,即１２－５．５＝６．５级,所以受台风影响．(２)影响时间为６．３９小时．(３)最大风力为６．５级．１１．过点A作A DʅB C于点D,在R tәA B D中,ȵ㊀A B＝１４０６３,øB＝６０ʎ,ʑ㊀A D＝A B s i n６０ʎ＝７０２．在R tәA D C中,A D＝７０２,øC＝４５ʎ,ʑ㊀A C＝２A D＝１４０．ʑ㊀ 中国渔政３１０ 船赶往出事地点所需时间为１４０ː２０＝７(小时)．。
北师大版九年级下册数学1.4 船有触礁的危险吗 同步练习2
第一章 直角三角形的边角关系船有触礁的危险吗(起始: 时 分 秒 完成：时 分 秒)阶梯一 基础训练1.如图1所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水坡AB 长13米，且12tan 5BAE ∠=，则河堤的高BE 为 米．2.如图2,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,则大树的长是米.(精确到0.1米).3.如图3，一人乘雪橇沿坡比1距离S （米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 米.4.如图，电线杆AB C 的中点处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45，若点D 到电线杆底部点B a 的距离为，则电线杆AB 的长可表示为（Ａ．a Ｂ．2a Ｃ．32a Ｄ．52a5.如图5是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD AB ⊥，CD =m ，60CAD CBD ∠=∠=，则拉线AC 的长是 （ ） A. 32米 B.33米 C.6米 D.63米6.如图6，在山坡上种树，已知∠A =30°，AC =3米，则相邻两株树的坡面距离AB =（ ）Ａ．6米Ｃ． Ｄ．米7. 如图7，河对岸有一铁塔AB ．在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高．阶梯二 能力应用8.如图8，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为 30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一 处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火 点B 的距离。
（结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒）.阶梯三 拓展训练9.两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图9，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图9(2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图9(3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值.温馨提示：由平移性质可得CF ∥AD ，CF =AD沙场练兵 巩固练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，b ＝12，则cos A ＝ ，sin B ＝ ， tan B ＝ ，2.等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 .3. 化简＝ .4.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图10所示，则cos α的值是（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 54 5.如图11，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin 2A =B ．1tan 2A =C ．cos 2B =D ．tan B = 6.王英同学从A 地沿北偏西60?方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )（A ）150m （B ）m （C ）100 m （D ）m7.如图12，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，求灯塔P 到环海路的距离PC （用根号表示）．。
九年级数学下册高频考点专训1.4_船有触礁的危险吗_同步练习1
九年级数学下册考点专题训练1.4 船有触礁的危险吗 同步练习1. (10分)有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.2. (10分)如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).光线3. (210分)如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.N4. (10分)如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).BDA C E F 5. (12分)如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).6. (12分)某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.F30北A 60C7. (12分)以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?B30DA60 C E 8. (12分)如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.。
航行海里的初三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 船只在海上航行，速度为每小时10海里，行驶了5小时，则船行驶的总路程是：A. 50海里B. 100海里C. 150海里D. 200海里2. 船从A地出发，先向东航行40海里，再向北航行30海里，到达B地。
则A、B两地的直线距离是：A. 50海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里3. 船在海上航行，速度为每小时15海里，行驶了3小时后，船在北纬40°的经线上。
此时船位于：A. 北纬40°B. 北纬45°C. 南纬40°D. 南纬45°4. 船在海上航行，速度为每小时20海里，行驶了6小时后，船位于东经120°的经线上。
此时船位于：A. 东经120°B. 东经135°C. 西经120°D. 西经135°5. 一艘船从A地出发，先向东航行60海里，再向北航行80海里，到达B地。
若要使船行驶的总路程最短，则船应：A. 直接从A地到B地B. 先向东航行40海里，再向北航行40海里，最后向东航行80海里C. 先向东航行60海里，再向北航行60海里，最后向东航行80海里D. 先向东航行80海里，再向北航行60海里，最后向东航行60海里6. 一艘船从A地出发，先向东航行100海里，再向北航行80海里，到达B地。
若要使船行驶的总路程最短，则船应：A. 直接从A地到B地B. 先向东航行60海里，再向北航行100海里，最后向东航行40海里C. 先向东航行100海里，再向北航行60海里，最后向东航行80海里D. 先向东航行80海里，再向北航行100海里，最后向东航行60海里7. 船在海上航行，速度为每小时30海里，行驶了5小时后，船位于北纬60°的纬线上。
此时船位于：A. 北纬60°B. 北纬70°C. 南纬60°D. 南纬70°8. 船在海上航行，速度为每小时40海里，行驶了4小时后，船位于东经90°的经线上。
全国初三初中数学同步测试带答案解析
全国初三初中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin 55°海里C．2cos 55°海里D．2tan 55°海里2.如图,一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上,则灯塔B到船所在的航线AC的距离是()A．(18+16)千米B．(19+18)千米C．(20+20)千米D．(21+22)千米3.如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船航行的速度应该是()A．10海里/小时B．5海里/小时C．10海里/小时D．5海里/小时4.小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米,那么他下降了()A．1米B．米C．2米D．米5.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC="10" m,则坡面AB的长度是()A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m6.如图,某人在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i为1∶,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H,B,C在同一条直线上,且PH⊥HC.则A,B两点间的距离是()A. 15米B. 20米C. 20米D. 10米二、解答题1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan53°≈1.33,≈1.41)2.如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)3.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)4.如图,某市对位于笔直公路AC上两个小区A,B的供水路线进行优化改造,供水站M在笔直公路AD上,测得供水站M在小区A的南偏东60°方向,在小区B的西南方向,小区A,B之间的距离为300(+1)米,求供水站M分别到小区A,B的距离.(结果可保留根号)5.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑梯的倾斜度由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平地面上且共线.求:改善后滑梯会加长多少米?(精确到0.01米)6.如图,某大楼的顶部有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶,AB=10米,AE=15米(i=1∶是指坡面的铅直高度BH与水平长度AH的比).(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732)7.如图,海中两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A,B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值)8.如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1∶,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高度.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)9.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处.(1)求该轮船航行的速度(结果保留根号);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.10.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，≈1.73)三、填空题如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A=____°.全国初三初中数学同步测试答案及解析一、选择题1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin 55°海里C．2cos 55°海里D．2tan 55°海里【答案】C【解析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．故选C．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．2.如图,一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上,则灯塔B到船所在的航线AC的距离是()A．(18+16)千米B．(19+18)千米C．(20+20)千米D．(21+22)千米【答案】C【解析】设BD=x，由题意可知：∠BAD=30°，∠BCD=45°，AC=20×2=40千米，在Rt△BCD中，∠BCD=45°得BD=CD=x，则AD=(40+x)千米，在Rt△ABD中，tan30°===，解得：x=20+20，故选：C.3.如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船航行的速度应该是()A．10海里/小时B．5海里/小时C．10海里/小时D．5海里/小时【答案】A【解析】根据题意得AB=10海里，∠ADC=75°，∠BDC=60°,DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10海里.∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC="BD·sin" ∠DBC=10×=5(海里)，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷=10(海里/小时)，故选：A.4.小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米,那么他下降了()A．1米B．米C．2米D．米【答案】A【解析】如图，AB=2，∠C=90°，∠A=30°.∴他下降的高度BC=ABsin30°=1(米).故选：A.5.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC="10" m,则坡面AB的长度是()A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m【答案】D【解析】在Rt△ABC中，BC＝10m，，∴ (m)，∴．故选D．6.如图,某人在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i为1∶,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H,B,C在同一条直线上,且PH⊥HC.则A,B两点间的距离是()A. 15米B. 20米C. 20米D. 10米【答案】B【解析】根据题意得：∠APB=60°−15°=45°,∠PBH=60°，∵PH⊥HC，PH=30米，∴PB= ==20 (米)，∵tan∠ABC==，∴∠ABC=30°，∴∠ABP=180°−∠PBH−∠ABC=180°−60°−30°=90°，∴∠PAB=∠APB=45°，∴AB=PB=20 (米).即A. B两点间的距离是：20米。
数学人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用航海---方位角测评练习
28.2解直角三角形及其应用航海---方位角测试题1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。
（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。
2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险3.如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路1.732 1.414）4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位）5． 台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°．已知B 在A 的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C 的距离．如图1．6． 甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v （精确到0.1海里／小时）．（参考数据： sin32°＝0.53，C os32°＝0.85，t A n32°＝0.62，C ot32°＝1.60）7． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．ABF E P45°30°东l。
2018年秋沪科版九年级数学上册23.2.3方向角问题同步练习
23.2 第3课时方向角问题一、选择题1．如图36－K－1，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的路程AB是() A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里图36－K－12．［2019·合肥包河区期末］如图36－K－2，一只船沿正东方向航行，上午7时在灯塔A的正北方向C处，上午9时到达灯塔的北偏东60°的B处，已知船的航行速度为每小时20千米，那么A，B之间的距离是()A. 10 33千米 B.20 33千米C. 40 33千米 D.80 33千米图36－K－23．［2019·百色］如图36－K－3，在距离铁轨200 m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这个时段动车的平均速度是() A．20(3＋1)m/s B．20(3－1)m/sC．200 m/s D．300 m/s图36－K－34．［2019·合肥市庐江县月考］如图36－K－4，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为()A．30 2海里B．30 3海里C．60海里D．30 6海里图36－K－4二、填空题5．如图36－K－5，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD ＝6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB＝________km.图36－K－56．如图36－K－6，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为________.图36－K－6三、解答题7．［2019·宣城期末］如图36－K－7，A，B两城市相距80 km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以点P为圆心，50 km为半径的圆形区域内，则计划修建的这条高速公路会不会穿过保护区，为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)图36－K－78．［2019·芜湖期末］如图36－K －8，小岛A 在港口B 的北偏东50°方向，小岛C 在港口B 的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B 出发向小岛A 航行，经过5小时到达小岛A ，这时测得小岛C 在小岛A 的北偏西70°方向，求小岛A 距离小岛C 有多少海里．(结果精确到1海里．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图36－K －89．［2019·锦州］超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为．如图36－K －9，在一条笔直的高速公路MN 上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C ，现测得一辆小型车在监测点C 的南偏西30°方向的A 处，7秒后，测得其在监测点C 的南偏东45°方向的B 处，已知BC ＝200米，B 在A 的北偏东75°方向，则这辆车超速了吗？通过计算说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图36－K －910阅读理解背景材料：近年来由于世界各国大力发展海洋经济、加强海洋能力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．解决问题：(1)如图36－K －10，我国渔船(C )在某岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国海政310”船(A )接到陆地指挥中心(B )护渔命令时，渔船(C )位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310”船西南方向，“中国海政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB ＝140 63海里，“中国海政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多长时间；(2)如果(1)中条件不变，此时位于“中国海政310”船(A )南偏东30°海域有一某国军舰(O )，AO ＝560 2海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只军舰的打击范围？图36－K －101．C2．[解析] D 由题意，得CB ＝40千米，∠BAC ＝60°，则AB ＝40sin 60°＝80 33(千米)． 3．[解析] A 过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴AD ＝BD·tan ∠ABD ＝200 3 m ；在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴CD ＝BD ＝200 m ，则AC ＝AD ＋CD ＝(200＋200 3)m ，这个时段动车的平均速度为200＋200 310＝20(3＋1)m /s . 4．[解析] A 如图，过点P 作PC ⊥AB 于点C.在Rt △PAC 中，∵PA ＝60海里，∠PAC＝30°，∴CP ＝12AP ＝30海里．在Rt △PBC 中，∵CP ＝30海里，∠PBC ＝∠BPC ＝45°，∴PB ＝2CP ＝30 2海里，即海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为30 2海里．5．[答案] 3 3[解析] 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，可求出DE ＝3 km ，AB ＝CE ＝3 3 km .6．[答案] 2 2 km[解析] 如图所示，过点A 作AD ⊥OB 于点D.在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∠AOD ＝30°，OA ＝4 km ，∴AD ＝12OA ＝2 km . 在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝∠CAB －∠AOB ＝75°－30°＝45°，∴BD ＝AD ＝2 km ，∴AB ＝2AD ＝2 2 km .即该船航行的距离(即AB 的长)为2 2 km .故答案为2 2 km .7．解：不会穿过保护区．理由：过点P 作PM ⊥AB 于点M ，如图．由题意得AE ∥PM ∥BF ，∴∠APM ＝30°，∠BPM ＝45°，∴PM ＝AM tan ∠APM ＝3AM ，BM ＝PM. 设BM ＝PM ＝x km ，则AM ＝33x km ，33x ＋x ＝80， 解得x ＝120－40 3≈50.72＞50.故这条高速公路不会穿过保护区．8．解：由题意得，AB ＝20×5＝100(海里)，∠ABC ＝25°＋50°＝75°，∠BAC ＝180°－70°－50°＝60°，则∠C ＝45°.如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°，则BD ＝AB·sin 60°＝100×32＝50 3(海里)，AD ＝AB·cos 60°＝100×12＝50(海里)． 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD ＝50 3海里，∴AC ＝AD ＋CD ＝50＋50 3≈137(海里)．故小岛A 距离小岛C 约137海里．9．[解析] 根据特殊锐角构造直角三角形，如图，利用特殊角的三角函数关系分段得出AB 的长，进而求出汽车的速度，进而可判断这辆车是否超速．解：这辆车超速了．理由如下：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.由题意易知∠ACB ＝30°＋45°＝75°，∠CAB ＝75°－30°＝45°，∴∠ABC ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝60°.在Rt △BCD 中，∵BC ＝200米，∠ABC ＝60°，∴BD ＝BC ·cos 60°＝100米，CD ＝BC·sin 60°＝100 3米．在Rt △ACD 中，∵∠CAB ＝45°，∴AD ＝CD ＝100 3米，∴AB ＝AD ＋BD ＝(100 3＋100)米， ∴这辆车的速度为100 3＋1007≈39(m /s )． ∵120 km /h ≈33.3(m /s )＜39 m /s .∴这辆车超速了．10 [解析] (1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，通过AB ＝140 63海里，∠B ＝60°求出AD 的长；再通过AD 的长，∠DAC ＝45°，求出AC 的长；根据路程和最大速度，求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置至少需要的时间；(2)延长BC ，过点O 作OE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点A 作AF ⊥OE 于点F.将点O 到航线BC 的距离分为两段EF ，FO 来求：一是证明EF ＝AD ，二是通过解直角三角形AOF ，求出FO ，再和杀伤半径500海里作比较，从而判断是否会驶进这只军舰的打击范围．解：(1)如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝140 63海里，∠B ＝60°，∴sin B ＝AD AB， ∴AD ＝AB·sin 60°＝140 63·32＝70 2(海里)． 在Rt △ADC 中，AD ＝70 2海里，∠ACD ＝45°，∴AC ＝70 2×2＝140(海里)，∴“中国海政310”船赶往海船所在位置进行护渔至少需要140÷20＝7(时)．(2)如图，延长BC ，过点O 作OE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点A 作AF ⊥OE 于点F.∵AD ⊥BC ，∴四边形ADEF 是矩形，∴EF ＝AD ＝70 2海里．在Rt △AFO 中，∵AO ＝560 2海里，∠OAF ＝30°，∴OF ＝12AO ＝280 2海里， ∴OE ＝280 2＋70 2＝350 2(海里)＜500海里，∴如果渔船沿着正南方向继续航行，会驶进这只军舰的打击范围．。
九年级数学上册 20.5 测量与计算课后练习4 (新版)北京课改版
20.5.4 测量与计算一、夯实基础1.轮船从B处以每小时25海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行1小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处于灯塔A的距离是（）海里。
A. 25B. 25C.25D. 502. 如图，点O为小亮家的位置，他家门前有一条东西走向的公路，水塔A位于他家北偏东60°的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是( )A. 250米B. 2503米C. 150米D. 250米3.如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶（）分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置。
A. 60B. 30C. 15D. 454.如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）。
A.60米B. 45米C. 30米D. 45米5.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（参考：≈1.414，3≈1.732）（）A. 366B. 634D.7006.上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处与小岛M的距离为（）。
九年级数学三角函数复习之航海问题_课件
C
12m
D
B
x 3 AB ＝ . ＝tan30 , 即 x＋ 12 3 BC
解得x＝ 6 3＋6 m.
图4
小结:本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先画
出测量示意图, 然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度.
例3 如图6,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30º ,点A处有 一所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米内会受到噪声的 影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪 声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机速度为18千米/时,那么学 校受到影响的时间为多少秒?
3 米; 3
－100 )米.
图3
NEXT
仰角、俯角的定义:
仰角和俯角:
指视线和水平线所成的角.
⑴仰角:视线在水平线上方时
⑵俯角:视线在水平线下方时
BACK
例2 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到 达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高.
解: 在Rt△ADB中, BD= ABcot∠ADB=ABcot45°.
假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到 解: 点 作 AB MN于B, C 处⊥ ,学校开始受到噪声影响 , 那么 AC 在Rt ＝ △ 100( ABP 米中 ), , 由勾股定理
N C P 30º B D
A
（中学）
Q
.
M
AC － AB ∵ ∠＝ ABP=90º ,∠ APB=30º BC ＝ 60(米) ,AP=160 1 同理拖拉机行驶到点 D处,学校开始脱离 ∴ AB= 2 · AP=80 噪声影响,那么BD＝60米. ∵点A到直线MN的距离小于100米 ∴CD＝120(米)＝0.12千米 ∴这所中学会受到噪声的影响. 0.12千 米 ＝ ∴学校受噪声影响的时间t＝
人教版九年级数学下册第二十八章同步练习题4
班级学号姓名得分一、选择题（每小题3分，共30分）1．河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度i是（）A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4D．1∶22．如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）A．27海里B．214海里C．7海里D．14海里3．如图，从山顶A望地面C．D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（）A．100米B．350米C．250米D．)13(50+米4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A．a450元B．a225元C．a150元D．a300元5．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．︒80sin8.1m D．︒80tan8.1m6．身高相同的三个小朋友甲．乙．丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（）第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高 7．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A ．B 间的距离，在距A 点15米的C 处 （AC ⊥AB ）测得∠ACB =50°，则A ．B 间的距离应为（ ） A ．15sin50°米 B ．15tan50°米 C ．15tan40°米 D ．15cos50°米8．如图，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC 的长是（ ）A ．10 mB ．3310 m C ．225 m D ．53 m二、填空题9．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米. 10．小明要在坡度为53的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m ，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.11．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.12．如图，从楼顶A 点测得电视塔CD 的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m ，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC 中，AB _____CD 于B ，∠_____=α，∠_____=β，m =_____，求_____. 13．要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______. 14．如图，某建筑物BC 直立于水平地面，AC =9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732) 15．如图，小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______. （精确到0.01米）16．如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73)17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，CD 是高．若BD ＝9，则CD ＝ ，S △ABC ＝ ．18．四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）三、解答题（共46分）19．（6分）某校在周一举行升国旗仪式，小明同学站在离旗杆20米处（如图所示）， 随着国旗响起，五星红旗冉冉升起，当小明同学目视国旗的仰角为37°（假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米），求此时国旗离地面的距离.20．（6分）如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/时)Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 图1 Ｂ θ Ａ ＤＣ图2 第18题第15题 第16题 第17题第19题 A 37︒BO东北A第20题21．（8分）如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D 处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处，用了10 分钟，求山高（即AC的长度）及A，B两点间的水平距离（即BC的长）（精确到0.01千米）.22．（8分）苏州的虎丘塔身倾斜，却经历千年而不例，被誉为“中国第一斜塔”，如图，BC 是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离，据测量，AC约为2.34m，塔身AB 的长为47.9m，求塔身倾斜的角度∠ABC的度数.（精确到1′）.23．（8分）如图，在平面镜的同侧，有相隔15cm的A，B两点，它们与平面镜的距离分别为5cm和7cm，现要使由A点射出的光线经平面镜反射后通过点B，求光线的入射角θ的度数.24．（10分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45方向的B点生成，测得OB=．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60方向继续移动．以O为原点建立如图所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位第22题θB7515DAE F第23题B20︒DA15︒CE第21题60于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？§28.2三、解答题19．约16.7米. 20．10.1海里/时 21．AC≈0.43（千米），BC≈1.44（千米） 22．2°48′23．θ≈51.1° 24．（1）(10033)B -，，(10032001003)C -，；（2）经过11小时．高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟 分数：50分 得分：________ 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )A ．36cm 2B ．40cm 2C ．90cm 2D ．36cm 2或40cm 2第5题图 第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A．8个 B．6个 C．4个 D．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．第8题图第9题图第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一 简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第1 题图 第2题图 第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( ) 3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( ) 4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( ) 6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( ) 7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( ) ◆类型二 简单组合体的三视图 8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( )10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。
九年级数学下册《船有触礁的危险吗》同步练习1 北师大版
1.4 船有触礁的危险吗同步练习1. (10分)有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.2. (10分)如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).3. (210分)如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.N4. (10分)如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).B DAEF5. (12分)如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).6. (12分)某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.F30︒北A60︒7. (12分)以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?B30︒DA60︒C E8. (12分)如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.9. (12分)如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b 的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm 2,求α的度数.答案:1.过上底作高,得两个直角三角形(它们全等),每一个直角三角形的高为底为12(10-6)=2,故坡度为坡角为a=60°.2.设BC=x,则故在Rt△ABD 中,AB=BD.tan36°,即·0.7265,1.0056x=7.265, 故x=7.225≈7.22(米). 故BD=10+x≈17.22(米), AD=17.22cos360.890BD =≈21.3(米). 3.作AB⊥MN 于B,在Rt△ABP 中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160, ∴AB=12AP=80(米)<100(米),故这所学校会受到噪声影响. 4.设DF=x,则AF=xtan40°,EF=xtan26°,故AE=(tan40°+tan26°)x=30,x ≈22.6(米). 即两楼的水平距离约为22.6米.5.由∠E=30°,∠ADC=60°,得∠DAE=30°,故∠E=∠DAE,∴DA=DE=90米. 在Rt△ADC 中,DC=AD ·cos60°=45(米),故BC=DC=45米.又AC=AD ·sin60°=90=米),故≈32.9(米).即小山高45米,铁塔高约32.9米.6.过B 作BD⊥AC 于D,则AC=8×0.5=4(海里).由已知得,∠BAC=90°-60°=30°, ∠ACB=90°+30°=120°,故∠ABC=30°, 从而∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=4海里.在Rt △BCD 中,∠BCD=90°-30°=60°,4=海里),CD=BC ·cos60°=12×4= 2(海里). ∵2184=,∴继续向东滑行14小时,距离匣子B 最近,为. 7.过C 作CE⊥AB 于E,在Rt△CBE 中, ∵tan30°=BECE,=米) .在Rt△CAE中,AE=CE (米).∴AB=AE+BE=)<8( 米),故可判断该保护物不在危险区内.8.设该地区冬至正午时太阳刚好使点A的影子落在乙教学楼的E处,过E作EF ⊥AB于F.则EF=BD=21(米).在Rt△AEF中,AF=EF米).∴BF=20米),即)>5(米),故计划所建的乙教学楼不符合设计要求.9.可知阴影部分为平行四边形,其水平边的长为2sinα,故其面积为2sinα×1,从面2sinα=4,∴21sin42α==,∴030α=。
九年级数学下册《直角三角形的边角关系》复习专题5 用锐角三角函数解航海问题 含答案
专题五用锐角三角函数解航海问题航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等，是考试中的热点问题．解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决．例1如图1，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O，A相距4 200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点A到正东方向的距离与1 000米的大小，因此，需过点A向正东方向引垂线，转化为直角三角形中的问题．解：如图1，过点A作AB与正东方向线垂直，垂足为B．在Ｒt△AOB中，OA=4 200，∠AOB=90°－74°=16°．AB=AO·sin∠AOB=4 200·sin16°=4 200×0.275 6≈1 158（米）．因为1 158>1 000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的危险．说明：本题是一道比较简单的航行问题，不仅要能从实际问题中构造出直角三角形，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法的运算的，不用除法，能用正弦计算的，不用余弦．例2如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．分析：要判断点B是否在暗礁区域外．则需要计算BC的长度，看其长度是否大于16海里，若BC>16海里，则点B在暗礁区域外；要判断继续向东航行有无触礁危险，则需要计算船到岛C的最短距离，看是否小于16海里．若小于16海里，则有触礁的危险．为此，需要构造直角三角形解决．解：（1）过点B 作BD ∥A E ，交AC 于点D ．因为AB =36×0.5=18（海里），∠ADB =60°，∠DBC =30°，所以∠ACB =30°．又∠CAB =30°，所以BC =AB ．即BC =AB =18>16．所以点B 在暗礁区域外．（2）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，在Rt △CHB 中，∠BCH =30°，令BH =x ，则CH x ．在Rt △ACH 中，∠CAH =30°，所以3333tan 30CH AH CH x x ====．因为AH AB BH =+，所以318x x =+．解得9x =．所以16CH =<．所以船继续向东航行有触礁的危险．说明：有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题．解决此类问题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型．专题训练：1．如图3，一艘船向正东方向航行，在B 处测得有一灯塔在它的北偏东30°，距离为72海里的A 处．当行至C 处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC （计算结果精确到0.1海里）．2．如图4，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向． 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？参考答案：1．据题意∠ABC =90°－30°=60°，AB =72．在Rt △ABC 中，因为sin ∠ABC =AC AB， 所以AC =AB sin ∠ABC =72sin60°=72×1.7322≈62.4（海里）． 2．过P 作PC ⊥AB 于C 点．据题意知：AB =9×26=3，∠P AB =90°-60°=30°，∠PBC =90°-45°=45°，∠PCB =90°． 所以PC =BC ．在Rt △P AC 中，tan 303PC PC PC AC AB BC PC===++．3PC PC =+．所以3PC =>． 所以客轮不改变方向继续前进无触礁危险．。
九年级数学航海问题同步练习
21.5应用举例——航海问题同步练习一、求距离1．台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B 的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．分析读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，∴DC＝BC·C os30°＝．说明本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．二、求速度2．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时）．（参考数据：sin32°＝0.53，C os32°＝0.85，t A n32°＝0.62，C ot32°＝1.60）分析由题意知∠A O B＝90°，要求乙船的速度，得先求O B的长．解由题意可得：O A＝16．1×2＝32.2（海里），∠1＝32°，∠2＝58°．∴∠A O B＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．，又∵在Rt△A O B中，t A n A＝OBOA∴O B＝O A·t A n A＝32.2×0.62＝19.964．OB＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时）．∴v＝2三、确定航行方向3．如图3，海中有一小岛P，在其距一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．解 依题意画出航行图，如图3，由P 向A 的正东方向作垂线PB ，垂足为B ．由∠PAB ＝30°，得 PB ＝12AP ＝8．因为8＜，故有触礁的危险．为了安全，应改变航行方向，并且保证P 点到航向的距离不能小于暗礁的半径，即这个距离至少等于．设安全航向为AD ，做PC ⊥AD 于C ，由题意，AP ＝16，PC ＝，∴sin∠PAC ＝162PC AP ==． ∴∠PAC ＝45°，从而知∠BAC ＝15°．故轮船自A 开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域．四、确定航船是否进入危险区4． 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图4）．在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有.73）．解 如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt△ADC 中，AD ＝CD ·C ot∠CAD ＝CD ·C ．在Rt△BDC中，AD＝CD·C ot∠CBD＝CD·C ot45°＝CD．CD－CD－1）CD＝100．∴AB＝AD－BD∴CD501）≈136.5（米）．∵136.5米＞120米．∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．。
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21.5应用举例——航海问题
同步练习
一、求距离
1．台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海
上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局
所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出
事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得
出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B 的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．
分析读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．
解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，
∴DC＝BC·C os30°＝
．
说明本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
二、求速度
2．甲、乙两船同时从港口O出发，甲
船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方
向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行
了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船
恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时）．（参考数据：sin32°＝0.53，C os32°＝0.85，t A n32°＝0.62，C ot32°＝1.60）
分析由题意知∠A O B＝90°，要求乙船的速度，得先求O B的长．
解由题意可得：O A＝16．1×2＝32.2（海里），∠1＝32°，∠2＝58°．
∴∠A O B＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．
由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．
，
又∵在Rt△A O B中，t A n A＝OB
OA
∴O B＝O A·t A n A＝32.2×0.62＝19.964．
OB＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时）．∴v＝
2
三、确定航行方向
3．如图3，海中有一小岛P，在其距
一轮船自西向东航
行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，
且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续
向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处
开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．
解 依题意画出航行图，如图3，由P 向A 的正东方向作垂线PB ，垂足为B ．
由∠PAB ＝30°，得 PB ＝12
AP ＝8．
因为8＜，故有触礁的危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证P 点到航向的距离不能小于暗礁的半径
，即这个距离至少等于．
设安全航向为AD ，做PC ⊥AD 于C ，由题意，AP ＝16，PC ＝，
∴sin∠PAC ＝162PC AP ==． ∴∠PAC ＝45°，从而知∠BAC ＝15°．
故轮船自A 开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域．
四、确定航船是否进入危险区
4． 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位
不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江
某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C
在北偏东60°的方向上．前进100米到达B 处，
又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图4）．在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有
.73）．
解 如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．
在Rt△ADC 中，AD ＝CD ·C ot∠CAD ＝CD ·C ．
在Rt△BDC中，AD＝CD·C ot∠CBD＝CD·C ot45°＝CD．
CD－CD－1）CD＝100．
∴AB＝AD－BD
∴CD
501）≈136.5（米）．
∵136.5米＞120米．∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．。