在前面一节中我们引进的六种类型的函数极限.

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常见基本初等函数极限

y
=
log a
x
(a
> 1)
，极限
lim
x®0+
log a
x
=
-¥
(a
>
1)
极限不存在；
（36）函数
y
=
log a
x
(a
> 1)
，极限
lim
x®1m
loga
x
=
0(a
> 1)
73
y
y = loga x
× × x ® 0+
1
O
(1, 0)
a >1
x
常见函数极限
y
y = loga x
a >1
× × x ®1- 1 x ®1+
y y=ax
a >1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图9
0< a <1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图 10
或综上（9）-(12）得图 11
y y = ax
0< a <1
a >1
(0,1)
g -¥ ¬ x O x ® +¥
x
图 11
3、对数函数部分
（13）函数
y
=
log a
x
(a
>
1)
，极限
,L,
n + (-1)n-1 n
,L
。通项
yn
=
n + (-1)n-1 n
，极限
yn
=
n + (-1)n-1 n

高等数学极限公式汇总

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

1-6函数极限

| 2x 1 | 2 | x | 1 | x |
x1 1 3 1 3 1 3 2x 1 2 2 |2x 1| 2| x | | x |
0 要使 x 1 1
2x 1 2
只须 | x | 1和 | x | 3同时成立

令X max{1, 3} 则当 | x | X时，便有
( x x0 )
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或
x x0 0
(
x

x
0
)
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
定理 : lim x x0Fra bibliotekf (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证 lim x lim x x0 x x0 x lim (1) 1
x 0
1
o
x
1
lim x lim x lim 1 1

x1 1 3 1 2x 1 2 2 |2x 1|
3
|x|
lim x 1 1 n 2 x 1 2
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
的图形的水平渐近线.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
先看一个例子考察x 1时,函数f ( x) 2( x2 1)的变化趋势
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0

数学《函数极限》讲义

第三章函数极限1. 教学框架与内容教学目标① 掌握各种函数极限的分析定义，理解邻域语言描述函数极限定义, 能够用定义证明函数极限.② 掌握函数极限的性质和计算函数的极限.③ 掌握函数极限的归结原则和单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．④ 掌握两个重要极限：0sin lim 1;x x x→= 1lim 1 e.x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⑤ 掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学内容① 当 ∞→x ；∞+→x ；∞-→x ； 0x x →；+→0x x ； -→0x x 时函数极限的分析定义, 邻域语言描述函数极限定义, 分析定义证明和计算简单的函数极限．② 函数极限的性质, 如唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，复合函数极限, 用这些性质计算函数的极限．③ 函数极限的归结原则；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．④ 两个重要极限0sin lim 1;x x x →= 1lim 1e x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．⑤ 无穷小量与无穷大量，高阶无穷小量，同阶无穷小量，等阶无穷小量． 2. 重点和难点① 各种函数极限的分析定义.② 函数极限的局部性质, 局部的 δ（的大小）不仅与ε有关，而且与点0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．③ 函数极限的归结原则以及应用；函数极限的柯西准则． ④ 与两个重要的函数极限有关的计算与证明． ⑤ 熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 3. 研究性学习选题●两个重要极限的应用查找资料，列出两个重要极限的一些应用.● 复合函数极限举出复合函数极限存在和不存在的例子, 寻找极限存在条件.● 等价无穷小的代换举出例子, 说明等价无穷小何时可以代换.4. 研究性学习选题，写学习笔记■ 数列极限与函数极限的区别与联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的三个选题(选最好的两个计分) 合计30分.● 两个重要极限的应用（计15分）● 复合函数极限（计15分）● 等价无穷小的代换（计15分）◎学习笔记计50分.§1 函数极限概念一、x →∞时函数的极限以()n a f n =的极限引入定义在[,)a +∞上函数()f x 当x →+∞时的极限.()0,,:().lim ()0,,:().n x a f n a N n N f n a f x A X x X f x A εεεε→+∞=→⇔∀>∃>-<=⇔∀>∃>-<定义1设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数()X a ≥, 使得x X >时()f x A ε-<,则称f 当x →+∞时以A 为极限, 记作lim ()x f x A →+∞= 或 () ()f x A x →→+∞.几何意义 (画图)(分析定义)任给0ε>.对平面上平行于x 轴的两条直线,y A y A εε=-=+,围成以y A =为中心线宽为2ε的带形区域, X ∃,当x X >(在x X =的右方) 曲线()y f x =全部落在上述带形区域之中.类似给出lim ()x f x →-∞, lim ()x f x →∞定义. lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→+∞=⇔∀>∃>∀>-<; lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→-∞=⇔∀>∃>∀<--<; lim () 0, 0, ||, ()x f x A X x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>∀>-<.(简要作图说明几何意义)说明结论 lim ()x f x →∞存在⇔lim ()x f x →+∞与 lim ()x f x →-∞都存在且相等.例1 1) 用定义验证: 1lim0x x→∞=.2) lim arctan , lim arctan 22x x x x ππ→-∞→+∞=-=(从而lim arctan x x →∞不存在).例2 验证: 222lim 22x x xx →∞+=-.以邻域语言重新叙述上述定义记(){,},(){,},U x x X U x x X +∞=>-∞=<-(){,}U x x X ∞=>, 其中X 为充分大的正数lim ()0,():():()(,)x f x A U x U f x U A εε→+∞=⇔∀>∃+∞∈+∞∈; (),(),():()()U A U x U f x U A ⇔∀∃+∞∈+∞∈; (),(),(())()U A U f U U A ⇔∀∃+∞+∞⊂.lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →-∞=⇔∀∃-∞∈-∞∈. lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →∞=⇔∀∃∞∈∞∈. 二、0x x →时函数的极限考察函数21,2,()0,2.x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 当2x →时的极限.定义 2 ()εδ- 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,A 为定数, 若对任给的0ε>, 存在正数'()δδ<使得00||x x δ<-<时, 有|()|f x A ε-<, 则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作lim ()x x f x A →= 或 0() ()f x A x x →→.以邻域形式改写并与x →∞时统一起来.0lim ()0,0,0,()x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),():()(,)U x x U x f x U A εε⇔∀>∃∈∈; 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A ⇔∀∃∈∈.几何意义作图说明例3 01) lim x x c c →=;02) lim x x x x →=;003) lim sin sin x x x x →=;04) lim |1)x xx →=<.注 1 考察函数f 在0x x →时的极限是在0x 的某去心邻域上考察的,也就是说f 在0x 处的极限存在与否(或极限值为多少)与f 在0x 处是否有定义或值0()f x 为多少均无关.注 2 εδ-定义中的δ相当于数列极限N ε-定义中的N , 其依赖于ε. 三、单侧极限 (为什么讨论单侧极限?)考察 20,1,()0.1,x x f x x x ≤⎧+=⎨>-⎩ 在0x =处的极限.定义3 设f 在0''00(,){:0}U x x x x δδ+=<-<(或0''00((,){:0})U x x x x δδ-=-<-<内有定义,A 为定数. 若对任何的0ε>,存在正数'()δδ<, 使得00x x δ<-<(或00x x δ-<-<)时, 有 ()f x A ε-<.则称数A 为函数f 当x 趋于0x +(或0x -)时的右(左)极限, 记作 0lim ()x x f x A +→= (或0lim ()x x f x A -→=)或 0(), ()f x A x x +→→ (0(), ()f x A x x -→→).右极限与左极限统称为单侧极限, 也可分别记为00(0)lim ()x x f x f x +→+=; 00(0)lim ()x x f x f x -→-=. 00lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),(): ()U x x U x f x A εε++⇔∀>∃∈-<;0000(),(),(): ()()U A U x x U x f x U A ++⇔∀∃∈∈.0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-< 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A --⇔∀∃∈∈几何意义作图说明定理 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例411) lim 0x -→=.2122) lim1x x x x →+--不存在.例5 设f 在0x 的某邻域内有定义并且单调, 则1) 0lim ()x x f x +→, 0lim ()x x f x -→存在;2) 若0lim ()x x f x →存在, 则00lim ()()x x f x f x →=.习题1. 验证下列极限1) 1lim sin 0x x →+∞=2) 1lim )2x x →+∞=3) 22322lim 31x x x x →∞+-=- 4) 211lim 12x x x →=+ 5) lim ()n n x ax a n N →=∈ 6) 00lim cos cos x x x x →=7) lim 0x →+∞=8) 053x →=2. 若0lim ()x x f x A →=，则0lim |()|||x x f x A →=. 当且仅当A 为何值时？反之也成立.3. 叙述0lim ()x x f x A →≠.4．讨论下列函数在0→x 时的极限或左,右极限.1) ;)(x x x f = 2) []x x f =)(; 3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=.01,00,02)(2x x x x x f x5. 设2,1,(),1,,1,x x f x A x x B x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩则当,A B 为何值时, 1lim ()x f x →存在.6. 设lim ()x f x A →+∞=, 证明.)1(lim 0A xf x =+→7. 证明: 对Riemann 函数)(x R , ,0)(lim 0=→x R x x 0 [0,1]x ∀∈.§2 函数极限性质在前面我们共讨论了六种类型的极限1) lim ()x f x →+∞2) lim ()x f x →-∞ 3) lim ()x f x →∞4) lim ()x x f x → 05) lim ()x x f x +→ 06) lim ()x x f x -→ 虽然形式不一样,但在本质上是一样的,它们的定义可用邻域语言统一为000(,,,,,)X x x x +-=∞+∞-∞00lim ()(), (), ():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈.因而上述六种类型的极限性质是一样的,下面我们仅以0lim ()x x f x →为例, 讨论函数极限性质(请注意与数列极限性质比较). 一、函数极限性质定理 (唯一性) 若0lim ()x x f x →存在,则此极限是唯一的. 定理 (局部有界性) 若0lim ()x x f x →存在,则f 在0x 的某去心邻域00()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若0lim ()0x x f x A →=>(0<),则对任何正数r A <(r A <-), 存在00()U x ,使得一切00()x U x ∈有()0f x r >>(()0f x r <-<).注 1 一般取2A r =(或2A r =-). 推论若0lim ()0x x f x A →=≠,则存在00()U x ,使得对任何00()x U x ∈, ()0f x ≠.定理 (保不等式性) 若0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →存在,且在某邻域0'0(,)U x δ内有 ()()f x g x ≤, 则 0lim ()lim ()xx x xf xg x →→≤.注 2 若定理3.5中条件仅为()()f x g x <, 则未必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.定理 (迫敛性) 设0lim ()lim ()x x x xg x h x A →→==且在0x 的某去心邻域中 ()()()g x f x h x ≤≤,则0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x A →=.定理 (四则运算) 设0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=, 则 1) 0lim(()())x x f x g x →±存在,且 0lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→±=±=±;2) 0lim ()()x x f x g x →⋅存在且 0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→⋅=⋅=⋅;3) 当0, ()0B g x ≠≠时, 0()lim ()xxf xg x →存在且 000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x B g x →→→==.二、利用极限性质解题例1 求下列极限.41) lim (tan 1)x x x π→⋅-; 3325272) lim 325x x x x x →∞++++;31133) lim()11x x x →--++; 710114) lim 1x x x →--;015) lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦; 16) x →;7) lim x →+∞; 8) x →∞;19) x →010) x →?]x →=;0111) lim 1n x x x x →⋅+; 2112) lim 1n x x x x n x →++⋅⋅⋅+--.例2 求满足下列条件的, A B .2211) lim[()]0;1x x Ax B x →+-+=-2222) lim 7;4x x Ax B B x →++=--33) lim .3x A B x →=-三、复合函数的极限期望结论 0lim ()x x f x a →=,lim ()y a g y b →=⇒0lim (())x x g f x b →=. 但这个结论未必成立.例 3 1,0,0, 0,0.y f g y ≠⎧==⎨=⎩ 有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==,而0lim (())0x g f x →=. 例 4 1()sin (0)f x x x x =≠, 1,0,()0,0.y g y y ≠⎧=⎨=⎩ 则有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==. 而1,1,(())0,1,x n g f x x n ππ≠⎧=⎨⎩= 0lim (())x g f x →不存在. 定理若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=, 则00lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.定理 (变量代换) 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=, 且在0x 的某一邻域中()f x a ≠, 则lim (())x x g f x b →=.例 5 假设已知01lim 1,limln 0x x x e x →→==,0lim ()0x x f x a →=>,0lim ()x x g x b →=, 求证: 0()lim ()g x b x x f x a →=.习题1. 利用四则运算性质求下列极限1) limx ; 2) 0x →;3) 0x →0x →;5) lim x →+∞; 6) limx →+∞7) lim 0)x aa +→>; 8) 276390(36)(53)lim(21)x x x x →+∞++-.2. 求 1)sin limx x x x →+∞-; 2)2sin lim 4x x x x →∞⋅-; 3)x ; 4)x →. 3. 试给出函数f 的例子,使0)(>x f 恒成立, 而在某一点0x 处有0)(lim 0=→x f x x . 这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 4．设.)(lim 0A x f x x =→,.)(lim 0B x g x x =→1) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f <, 问是否必有B A <成立? 为什么? 2) 证明: 若B A >, 则在某)(00x U 内有)()(x g x f >.5. 证明：若30lim ()x f x →存在，则0lim ()x f x →存在且300lim ()lim ()x x f x f x →→=.6. 证明: 若0lim ()x x f x A →=,则022lim[()]x x f x A →=.反之呢?7. 证明: 若()0f x ≥,0lim ()x x f x →存在,则0limx x →=8．求下列极限(其中n 为正整数):1) ;11lim 0n x x x x+-→ 2) ;11lim 0n x x x x ++→ 3) .1lim 21--+++→x nx x x n x4) ;11limxx nx -+→ 5) []x x x ∞→lim. 9．若)(lim 20x f x →存在, 试问是否有)(lim 0x f x →=)(lim 20x f x →成立?§3函数极限存在条件本节仍以0lim ()x x f x →为例, 介绍函数极限存在的两个充要条件. 一、归结原则(Heine 定理)----函数极限与数列极限关系定理 (归结原则) 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则lim ()x x f x →存在⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在. ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等.注 1 Heine 归结原则反映了离散型与连续型变量之间的关系,也就是说可以把函数极限归结于数列极限来处理.例 1 利用数列极限性质证明函数极限的迫敛性.注 2 Heine 归结原则是证明函数极限不存在的强有力的工具. 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x 使lim ()n n f x →+∞不存在,或找到两个以0x 为极限的数列{}'nx ,{}"nx 使'lim()n n f x →+∞和"lim ()n n f x →+∞都存在但不相等,则0lim ()x x f x →不存在.例 2 1) 证明: 01limsin x x →不存在.2) Dirichlet 函数在R 上处处不存在极限.注3 若对单侧极限, Heine 归结原则可减弱为{}n x 单调趋于0x . [为什么?]例3 若f 在0x 的某去心邻域00()U x +有定义, 则0lim ()x xf x +→存在⇔ 对任何以0x 为极限的递减数列{}'n x ⊂00()U x +有lim ()n n f x →+∞存在且相等.对应单调有界数列必有极限, 函数极限类似有定理设f 是定义在00()U x 上的单调有界函数,则0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→均存在.注4 此时若00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=, 则0lim ()x x f x →存在,又若还有f 在0x 处有定义, 则00lim ()()x x f x f x →=. (与第一节例5比较) 例 4 设f 在[,)a +∞上单调, 则lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有界. (比较数列情形)注 5 根据归结原则,若lim ()x f x →+∞存在,n x →+∞, 则lim ()n n f x →∞存在. [此结论有何作用? 反之何时成立?]例 5 若()f x 是周期函数, lim ()0x f x →+∞=, 则()0f x ≡.二、Cauchy 准则定理 (Cauchy 准则) 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则0lim ()x x f x →存在''"000, 0 (), ,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈, 有 '"()()f x f x ε-<.注 6 (Cauchy 准则的否定)例 6 用Cauchy 准则证明01limsin x x →不存在.例 7 叙述lim ()x f x →+∞存在的Cauchy 准则. [与数列Cauchy 准则比较]习题1. 叙述lim ()x f x →+∞的归结原则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.2. 叙述lim ()x f x →+∞不存在的Cauchy 准则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.3. 直接用极限定义证明lim sin x x →+∞不存在.4．设f 为定义在),[+∞a 上的增(减)函数. 证明: )(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在),[+∞a 上有上(下)界.5．设f 在)(00x U 内有定义, 证明: 若对任何数列)(}{00x U x n ⊂且0lim x x n n =∞→,极限)(lim n n x f ∞→都存在, 则所有这些极限都相等.6. 设f 在)(00x U 上的递增函数.证明:)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在,且)(sup )0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.7．设f 为)(00x U -内的递增函数. 证明: 若存在数列)(}{00x U x n -⊂, 0n x x →, 使得A x f n n =∞→)(lim , 则有A x f x f x U x ==--∈)(sup )0()(0008. 证明: 若f 为周期函数, 且lim ()x f x A →+∞=, 则().f x A ≡§4 两个重要极限一、0sin lim1x xx→=证明:例 1 0tan 1) lim 1x x x→= sin 2) lim x xx ππ→--0sin 53) lim sin 3x x x → 201cos 4) lim x xx →-0arcsin 5) lim x x x → sin sin 6) lim x a x ax a→--例 2 0sin 1) lim x x x→ 12) lim sin x x x →∞⋅13) lim sinx x x →⋅ 30tan sin 4) lim x x xx →-5) x → [分析上述极限形式0]二、1lim(1)xx e x→∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=.分析上述形式 1∞, ()()1lim (1)()f x f x e f x →+∞+= 或 1()()0lim (1())g x g x g x e →+= . 例 3 1) lim(1)xx k x→∞+ 102) lim(12)x x x →+csc 03) lim(13sin )xx x →- 53234) lim 21xx x x -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭215) lim(cos )x x x → 0ln(1)6) limx x x→+017) lim x x e x→-思考为什么称0sin lim 1x x x →=和1lim(1)x x e x→∞+=为两个重要极限?习题1. 求下列极限.1) 1lim sin x x x →+∞⋅ 2) 2cos lim 2x xx ππ→-3) 30tan sin lim x x x x →- 4) 0arctan limx xx→ 5) 22sin sin lim x a x a x a →-- 6) 201cos lim x x x →-7) 0x →2lim(1)xx x -→∞- 9) cos 0lim(1tan )x x x →+ 10) 0ln(12)limx x x→+11) 01lim x x e x→- 12) 2332lim ()31x x x x -→+∞+-13) lim (1)x x x βα→+∞+ 14) sin 01lim(1)x x x→+15) 0lim{lim[cos cos cos ]}22n x n x xx→→+∞⋅⋅⋅2. 利用归结原则求下列极限. 1) lim sinn nπ2) 211lim(1)nn n n →∞++ 3. 利用两个重要极限求下列极限.1) 330sin lim sin x x x → 2) 22cos 2cos3lim (2)x x x x ππ→-- 3) 2cos3limcos x xxπ→4) 0csc cot lim x x x x →-5) 1lim sin x x x →∞⋅ 6) 25lim()6x x x x +→∞++ 7) 2lim(cos )x x a x→∞ 8) 111lim x x x -→§5 无穷大量与无穷小量一、无穷小量定义1 设f 在某00()U x 有定义,若0lim ()0x x f x →=,则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作 0()(1), ()f x x x ο=→.若函数g 在某00()U x 内有界,则称g 为0x x →时的有界量. 记作0()(1), ()g x O x x =→.例1 3, sin , 1cos x x x -是0x →时的无穷小量1x -→时的无穷小量.21sin ,x x x 为x →∞时的无穷小量, sin x 为x →∞时的有界量, 1sinx 为0x →时的有界量, 1sin x为x →∞时的无穷小量.性质1 两个(类型相同的)无穷小量之和,差,积仍是无穷小量. 性质2 无穷小量必为有界量.无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.例2 011) lim sin0x x x →⋅= 能否写成001lim limsin 0x x x x→→=⋅=注意1lim sin 1x x x →∞⋅=; sin lim0x xx →∞=.22) lim sin(2)01n n n n →∞⋅+=+.注1 无穷小量不是很小的数,而是极限为0的函数 (无穷小量与极限的关系)lim ()()x x f x A f x A →=⇔-为0x x →时的无穷小量.两个无穷小量收敛到0的速度有快有慢,这个就是阶的问题. 二、无穷小的阶无穷小量指极限为0的函数.其和差积均是无穷小量,但其商就不一定了,如22000sin sin sin lim 1,lim 0,lim x x x x x x x xx →→→===∞. 这实际上说明了一个问题,不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢------这本质上就是无穷小的阶的不同.设0x x →时, ()(1), ()(1)f x g x οο==(都是无穷小).1. 若0()lim 0()x xf xg x →=, 则称当0x x →时, f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的低阶无穷小量.记作0()(()), ()f x g x x x ο=→例3 1) 0x →时, 2,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均是无穷小且1(),(0)k k x x x ο+=→. 01cos 2) lim0x xx→-=; 1cos (), (0)x x x ο-=→.2. 若存在正数,0K L >, 使得在某00()U x 上()()f x K Lg x ≤≤ 则称f 与g 为0x x →时的同阶无穷小量. 特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠,f 与g 必为同阶无穷小量.(为什么?) 例4 201cos 11) lim2x x x →-= 01sin (2sin )2) lim x x x x →⋅+不存在. 但1sin (2sin )13x x x ⋅+≤≤， x 与1sin (2sin )x x⋅+为0x →时的同阶无穷小量. 3. 当 0()lim 1()x xf xg x →=时,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小, 记作 ()~()f x g x , 0()x x → 注2 若无穷小量f ,g 满足()()f x Lg x ≤,00()x U x ∈, 则记作 ()(())f x O g x =,0()x x →例 5 21) 1cos ()x O x -= 211cos ~2x x -(0)x → 2) sin ~,(0)x x x → 1~,(0)x e x x -→ ln(1)~,(0)x x x +→11~,(0)2x x → 注3 在上述定义中注意f ,g 首先都要求是无穷小量,若只有0()lim 1()x xf xg x →=,不能说就有()~()f x g x ,0()x x →(原因在于()f x ,()g x 未必是无穷小量). 注4 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较,如2x 与1sin x x⋅. 下面的定理说明等价无穷小在求极限过程中的作用.定理设f ,g ,h 在00()U x 有定义,且()~()f x g x ,0()x x →1) 若0lim ()()x x f x h x A →⋅=, 则0lim ()()x x g x h x A →⋅=; 2) 若0()lim ()x xh x B f x →=, 则0()lim ()x x h x B g x →=.例6 0arctan 1) lim sin 4x x x → 30tan sin 2) lim x x xx →-03) x →014) lim (1cos )sin 2x x x →-121cos 05) lim(1sin )xx x -→- sin 6) limsin x mxnxπ→*117) lim ln x x x x x→-注5 上面的定理说明,在求极限时,对乘除法可以用等价无穷小代换, 但对加减法千万不能直接用等价无穷小代换.例7 1) 确定α,x α与sin 22sin x x -α(0)x →.2) 0,~x p +→⇒= . 例8 设已知0()ln(1)sin lim21x x f x x A →+=-, 则20()lim x f x x →= .思考对加减法何时可以运用等价无穷小代换? 三、无穷大量 (由邻域语言引入)定义2 设函数f 在某00()U x 内有定义,若对任给的0G >,存在0δ>, 使得当0000(,)(())x U x U x δ∈⊂时,有()f x G >. 则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞.记作lim ()x x f x →=∞. 若上式()f x G >换作()f x G >(或()f x G <-),则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞(或-∞),分别记作0lim ()x x f x →=+∞(或0lim ()x x f x →=-∞). 定义3 对于自变量x 的某种趋向, 以,,∞+∞-∞为非正常极限的函数都称为无穷大量. 例9 220011lim, lim , lim x x x x xx →→→∞=+∞=∞=+∞易见若f 为0x x →时的无穷大量,则f 为00()U x 上的无界函数,但无界函数未必为无穷大量.如()sin f x x x =⋅在[0,)+∞上无界,但不是无穷大量.原因在于 f 在[,)a +∞上无界0,[,)G G x a ⇔∀>∃∈+∞时有()G f x G >.f 在[,)a +∞上()x →+∞时无穷大量0,,,()G X a x X f x G ⇔∀>∃>∀>>.性质 1) 同号无穷大之和积仍是无穷大.2) 同号无穷大之差(异号无穷大之和)未必为无穷大.无穷大量与无穷小量之间的关系.定理 1) 设f 在00()U x 内有定义且不为0, 若f 为0x x →时的无穷小量,则1f为0x x →时的无穷大量. 2) 若g 为0x x →时的无穷大量, 则1g为0x x →时的无穷小量.[归纳各种形式函数极限(二十四种)00lim ()(),(),(),()().x Xf x a R U a U X x U X f x U a *→=∈⇔∀∃∈∈四、曲线的渐近线由平面解析几何,双曲线22221x y a b -=有两条渐近线0x y a b ±=.下面讨论一般曲线的渐近线问题(作图)定义4 若曲线l 上的动点P 沿曲线无限地远离原点时, 点P 与某定直线L 的距离趋于0,则称直线L 为曲线l 的渐近线.下面我们主要讨论曲线()y f x =在什么条件下,存在斜(水平)渐近线与垂直渐近线(y kx b =+与0x x =)以及怎样求渐近线方程?现假设曲线()y f x =有渐近线方程y kx b =+,则曲线l 上的动点P 到渐近线距离cos ()()PN PM f x kx b α==-+则由渐近线的定义,当x →∞时, 0PN →,即 lim[()()]0x f x kx b →+∞-+= 或 lim (())x f x kx b →+∞-= (1) 又 ()1()limlim (())0lim x x x f x f x k f x kx k x x x→∞→∞→+∞-=-=⇒= (2)则若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+,则k 可由(1),(2)式确定,反之若由(1),(2)式求得k ,b ,则y kx b =+即为()y f x =的渐近线方程.若函数()y f x =满足0lim ()x x f x →=∞,则称()y f x =有垂直渐近线方程0x x =. 例8. 1) 求3223x y x x =+-的渐近线方程.2) 求曲线y =的渐近线方程.1. 利用等价无穷小代换求下列极限.1) 0x x → 2) 30sin[sin(sin )]limx x x →3) 0x → 4) 20ln cos lim ln(1)x xx →+5) 0x →x →2. 求下列极限.1) ln 1lim x e x x e→-- 2) lim x x x a x a x a →-- 3) 10lim()x xx x e →+ 4) 087lim 65x x x x x →--3.~(0)x x αβ→,求,αβ的值. 4.~()x x α→+∞,求α的值, 又0x +→呢? 5. 若0()~()()f x g x x x →,则0()()(())()f x g x g x x x ο-=→.6. 求曲线221()x x f x x+-=及()arctan f x x x =的渐近线.7. 分别求出满足下述条件的常数a 与b :1) 0)11(lim 2=--+++∞→b ax x x x ; 2) 0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ; 3) 0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x .8. 设x x x f cos )(=，试作数列1) }{n x 使得∞→n x )(∞→n ，0)(→n x f )(∞→n ； 2) }{n y 使得∞→n y )(∞→n , +∞→)(n y f )(∞→n ； 3) }{n z 使得∞→n z )(∞→n , -∞→)(n z f )(∞→n .一、函数极限(24种) 六种极限过程四种极限值.000,,,,,X x x x +-=+∞-∞∞ A :有限数, ,,+∞-∞∞00lim ()(),(),():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈ 六种极限过程四种极限值例 000lim ()0,0,(,),()x x f x a R x U x f x a εδδε-→=∈⇔∀>∃>∈-< lim ()0,0,,()x f x a M x M f x a εε→+∞=⇔∀>∃>>-< lim ()0,0,,()x f x M X x X f x M →-∞=∞⇔∀>∃><-> 否定0000lim ()0,0,(,),()x x f x a x U x f x a δδεδδε→≠⇔∃>∀>∃∈-≥ 注函数在某0x 处的极限与函数在0x 处的性质无关.二、极限存在条件(以0x x →为例)1. 必要条件: 0lim ()x x f x →存在0δ⇒∃>,f 在00(,)U x δ上有界. 2. 充分条件: f 在00()U x -递增有上界⇒0lim ()x x f x -→存在. 3. 充要条件: 1) 0lim ()x x f x →存在⇔0lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→存在且相等. 2) (Cauchy 准则) 0lim ()x x f x →存在 ''"000,0(),,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈时,有'"()()f x f x ε-<.3) (Heine 定理) 0lim ()x x f x →存在 ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等. 三、函数极限性质1) 唯一性 2) 有界性 3) 保号性 (保不等式) 4) 迫敛性 5) 四则运算6) 复合函数. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=则0lim (())()x x g f x g a →=. 7) 变量代换. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=,且在某00()U x ,()f x a ≠, 则 0lim (())x x g f x b →=.四、两个重要极限1.(00型) 0sin lim 1x x x →= 变形1lim sin 1x x x →∞⋅=,201cos 1lim 2x x x →-= 2.(1∞型) 1lim(1)x x e x →∞+= 变形0ln(1)lim1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,0(1)1lim x x xαα→+-=. 五、无穷小的阶与等价无穷小设00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,00(), ()0x U x g x ∀∈≠. 1) 0x x →时, f 是比g 的高阶无穷小0()lim 0()xxf xg x →⇔=. 2) 0x x →时, f 与g 是同阶无穷小(),0,0()f x M L M Lg x ⇔∃><≤≤特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠⇒f 与g 为同阶无穷小. 3) 若0()lim 1()x xf xg x →=,则称f 与g 为等价无穷小. 常见的等价无穷小. 六、求极限的方法(型) 1) 观察极限值, 用定义验证.2) 初等变形(因式分解,分子(母)有理化,消去“零”因子). 3) 变量代换.4) 利用已知极限,特别是利用两个重要极限(凑). 5) 利用无穷小等价代换(乘除形式). 6) 利用极限性质,特别是迫敛性（两边夹）. 7) 利用()0, ()f x a g x b →>→,则()()g x b f x a →. 七、证明极限不存在的方法1) 用极限定义验证任一实数都不是极限值2) (Cauchy 准则) '"0000,0,,(,)x x U x δδεδδ∃>∀>∃∈但'"0()()f x f x δδε-≥.⇔(无穷形式的否定是什么?)3) 证明00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠或有一单侧极限不存在. 4) 利用Heine 定理.找一个子列…或两个子列… 八、渐近线 (垂直渐近线与斜渐近线)九、举例例1 求下列极限(两边夹).011) lim []x x x +→; 012) lim []x x x -→; 3) lim ()x f x A →+∞=, 则[()]lim x x f x A x→+∞⋅=;4) 设1,0,a k >>求证lim 0kx x x a→+∞=.例2 求下列极限.1) ])[(lim 3x x x --→ ； 2) 11)1]([lim -→++x x ；3) )))(())(((lim x b x a x b x a x ---++∞→ ;4) 22limax x x -+∞→ ； 5) 22limax x x --∞→ ；6) 3301111lim x x x x x --+--+→ ； 7) n m x n x m n m x ,),11(lim 1---→为正整数.例3 求下列极限(变量代换).ln 1) lim (0)a x xa x →+∞> 12) lim x x x →+∞013) lim x x a x→- 4) lim 1)(0)n n a →+∞>例4 设lim n n a →∞=+∞, 证明: 1) 121lim()n n a a a n→+∞++⋅⋅⋅+=+∞2) 若0(1,2)n a n >=⋅⋅⋅, 则n =+∞. 并利用其求极限.1) lim n ln !2) lim n n n→+∞例5 设00lim (), lim ()x x x x f x A g x B →→==, 则 0lim max{(),()}max{,}x x f x g x A B →=, 0lim min{(),()}min{,}x x f x g x A B →=例6 设f 在[,]a b 上严格单调,且lim ()(),[,].n n x f x f b x a b →+∞=∈ 则lim n x x b →∞=.例7 设函数f 在(0,)+∞上满足方程(2)()f x f x =,且lim ()x f x A →+∞=, 证明: (), (0,)f x A x ≡∈+∞.例8 设函数f 在(0,)+∞上满足2()()f x f x =,且0lim ()lim ()(1)x x f x f x f +→+∞→==, 则()(1), (0,)f x f x ≡∈∞.例9 设函数f 在(,)a +∞上的任一有限区间(,)a b 内有界,并满足lim (1)()x f x f x A →+∞+-=. 证明: ()lim x f x A x→+∞=.。

第一节极限的定义

lim f (x) 0；lim f ( x) 0 ；lim f (x) 0 .
x0
x0
x0
y
y
1 -1 O 1 x
1
O
x
-1
图3
1
例
2
设sgn
x
0
1
图4 , x 0， , x 0，(通常称 sgn x 为符号 , x 0，
函数)，画图讨论 lim sgn x, limsgn x, lim sgn x是否存在．
u1, u2 , u3 , , un , 称为数列，将其简记为un，其中un
为数列un的通项或一般项．
例如
un
1 2n
，相应的数列为
1 2
,
1 22
,
1 23
,
1 2n
,
2．数列的极限
定义 7 对于数列un，如果当 n无限增大时，通
项un 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A为数列un
的极限，或称数列 un收敛于 A ，记为 lnim{un} A 或 un A(n )．若数列un没有极限，则称该数列发散．
x
x
小量，所以 lim x2 sin 1 0.
x0
x
六、无穷大量
1．无穷大量的定义
定义 9 在自变量 x 的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值 f (x) 无限增大，则称 f (x)为该自变量变化过程中的无穷大量(简称为无穷大)；如果相应的函数值 f (x) (或 f (x))无限增大，则称 f (x)为该自变量变化过程中的正(或负)无穷大．
f (x) A 为无穷小量，若记 (x) f (x) A ，则有

函数极限的六种变化趋势

函数极限的六种变化趋势哎呀，今天咱们来聊聊函数极限的那些事儿。

这可不是枯燥的数学课，而是一个充满变化趋势的小故事。

想象一下，函数就像一个人，有时候高兴得飞起来，有时候又低得像个小虫子。

极限嘛，就是我们在观察它的心情变化，哇，真是个有趣的过程。

咱们得说说什么是极限。

简单来说，极限就是当你不断接近某个值的时候，函数到底会趋向哪里。

就像你追着那只小猫，猫儿跑得飞快，你越来越近，它却又跑得更远。

你想啊，随着你步步紧逼，它的逃跑路线可就显得尤为重要。

这不，就是极限的核心思想。

想象你在一条路上，越走越近，直到那条路的尽头，哇，那就是极限的魅力所在。

咱们得看看单调变化。

单调增加的函数就像个乐天派，随着自信的增加，一步一步往上走，完全没有后退的意思。

比如说，想象一个人坐在山顶上，俯视四周，心里那个得意劲儿，简直不亚于个超级英雄。

反过来，单调减少的函数就有点儿消沉，像个失意的老头子，走着走着突然就想起了年轻时的辉煌，唉，心情一下子低落下去。

它们都是在变化，变化中却又各有各的风采。

再说说无穷大的情况，听起来挺吓人的，其实也没那么复杂。

无穷大就像那无尽的星空，你永远不知道它有多大，但你知道，越是往上走，越是看不见边际。

就好比你在沙滩上追逐潮水，越是跑越远，潮水却还是不停地向你涌来，真让人又爱又恨。

而当一个函数的极限趋向无穷大时，那就好比你在沙滩上建了个超级高的沙堡，哪怕海浪再怎么来拍打，它也屹立不倒。

咱们不能忘了振荡的函数。

这就像过山车一样，哇，吓得你心跳加速，起起落落。

它们的极限就像是个不断被挑战的极限运动员，永远在高低起伏中找寻平衡。

它们可不轻易地决定自己的归宿，偏偏要在上下之间游走，真是让人捏把汗。

这种状态就像我们生活中的种种选择，左右为难，纠结不已。

还有个特别有意思的变化趋势，那就是收敛和发散的差别。

收敛就像两个人互相吸引，随着时间的推移，越来越靠近，最终在某个点上紧紧相拥。

想象一下，两颗星星在浩瀚的宇宙中慢慢靠近，直到最后化为一体。

第3节函数的极限.

解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
x
lim - f ( x) lim - ( x - 1) -1
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
17
显然 f (0 - ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不x0
lim
x x0
o
x
x0
x
15
高等数学 ● 戴本忠
左极限与右极限
f ( x 左极限 : 0 ) lim - f ( x) A
e 0 , d 0 , 当 x ( x0 - d , x0 )
时, 有
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
2）0 x - x0 表示 x x0 , x x0 时f ( x ) 有无极限与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
3）e 任意给定后，才能找到 d ， d 依赖于e ，且d e (d )
e 越小， d
31
越小.
高等数学 ● 戴本忠
11
x x0
d( > 当 0<|x-x0|<d 有|f(x)-A|<e 或 fe (>0 x ) A x0 x0)。 lim f(x)A
31
上
高等数学 ● 戴本忠
27
定理 4 . 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且
时, 有
e 0 , X 0 , 当 x - X 时, 有 f ( x) - A e
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，

数分第二章：函数极限的性质及计算方法

1.4.1 x 趋于无穷时的函数极限从前面关于数学分析产生的背景可以看到，为了从近似值得到精确值，还需要一种新的方法，这个方法就是极限方法，极限概念是数学分析有别于初等数学的重要标志,极限方法是数学分析最重要的研究方法，这一讲将讨论函数极限的基本概念.函数极限概念有以下几类：一、x 趋于时的函数极限二、x 趋于时的函数极限三、单侧极限0x.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限x 趋于例如函数arctan ,y x 当时,∞+xyπ210203040O 0.51无限接近x arctan π2一、x 趋于∞时的函数极限设函数定义在)(x f [)∞+,a A)(x f xy O 为极限.+∞ 当 x 趋于时以A 也无限地接近A ,我们就称无限远离原点时,函数f (x )上,当 x 沿着 x 轴的正向记为lim ()x f x A →+∞=)(x f上述给出的极限定义是描述性的，如何用数学的语言刻画极限定义？由定义lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.当时，有()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>记为或者lim ()x f x A →+∞=).()(+∞→→x A x f 定数, 若对于任意正数存在正数使得，0>ε，)(a M ≥,)(ε<-A x f A x x f 时以趋于当∞+)(则称函数.为极限,时M x >当定义1[),f a +∞设为定义在上的一个函数. A 为④()A f x A εε有-<<+lim ()x f x A →+∞=的几何意义③x M >使当时x A ε-A ε+①任意给定ε>M ②存在M a >x AyO alim ()x f x A →+∞=当时，有问题：1.定义中的有何作用？2.定义中的M 存在性与哪些因素有关？一旦存在，M 唯一吗？()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>0,ε∀>所以(由定义1),例1 证明.01lim =+∞→xx 任给取证,0>ε,1ε=M ,时当M x >,10)(ε<=-x x f .01lim =+∞→x x例2.2arctan lim π=+∞→x x 证明证任给),2(0πεε<>.所以（由定义1）πlim a rcta n .2x x →+∞=时，当M x >严格增，因为x arctan ππ()arctan 22f x x -=-ππ().22εε=--=tan()2取M πε=-arctan 2Mπ<-,)(ε<-A x f 定义2(],,)(上定义在设b x f ∞-.是一个常数A ,0>ε,0>M 存在若对于任意记为A x x f 时以当-∞→)(,为极限则称A x f x =∞-→)(lim 或).()(-∞→→x A x f ()当时x M b <-<为极限，时以当则称A x x f ∞→)(记为,)(ε<-A x f 定义3,)()(内的某个邻域定义在设∞∞U x f 存在当，0>M ,0>ε.为一个常数若对于任意时x M >A x f x =∞→)(lim 或).()(∞→→x A x f A证对于任意正数),10(<<εεln x M ε<-=当时所以例3求证lim e 0.xx →-∞=.e 0e ε<=-x x .0e lim =-∞→xx =-ln ,M ε取例4求证.011lim 2=+∞→xx 22110,1x xε-<<+所以证对于任意正数 ε , 可取.011lim 2=+∞→xx ,1M =>,x M 当时有从定义1、2 、3 能否得到下面的结论？若能，如何证明？.)(lim )(lim A x f x f x x ==∞+→∞-→∞定义在的一个邻域内，则)(x f 由这个结论讨论A x f x =∞→)(lim 的充要条件是：的存在性limarctan x x →∞02.1.2趋于时的函数极限定义x xlim ()x f x A →∞=前面几讲，我们给出了极限：lim (),x f x A →+∞=lim (),x f x A →-∞=的定义.自然的问题：当自变量趋于定点时的极限如何定义？在函数极限中还需要考虑在一点处的极限， ,0()(0),0x x f x a a x ≠⎧=≠⎨=⎩ax y O一、趋于时的函数极限x 0x 如设函数 f (x ) 在点 x 0 的某空心邻域内有定义. 满足：)(0x U当无限接近于时， f (x ) 无限接近于常数 A .)(0为极限时以当A x x x f →记为则称0lim ()x x f x A→=或者.)()(0x x A x f →→x 0x,)(ε<-A x f 时，有00x x δ<-<)(0为极限.则称xf→x时以当Ax平面上以 y =A 为中心线, 宽为的窄带, ε2可以找到,0>δ使得曲线段),(),(0δx U x x f y ∈= 函数极限的几何意义如图, 0,ε>任给对于坐标落在窄带内.ε+=A y A y =ε-=A y O xyδ-0x 0x δ+0x故只要所以,)21(00202x x x x x -+≤-.2100x x x +<-ε2 0xxxx =→.lim20例2求证：0(1)lim sin sin ;x x x x →=注在例1中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 δ , 或许所求出的 δ00(2)lim cos cos .x x x x →=故πsin tan0.2 x x x x⎛⎫<<<<⎪⎝⎭00sin sin 2cossin22x x x x x x +--=0,x x ε≤-<.sin sin lim 00x x x x =→同理可证:.cos cos lim 00x x x x =→所以在上面例题中,需要注意思考以下问题：的存在性与哪些因素有关？换句话说, 1. 对于δ对于固定的,ε不同的方法是否会得出不同的δ ？对于求出的不同的δ ，是否有必要区分哪一个更好？数是否都可以充当这个角色？3. 正数ε是任意的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不惟一的, 一旦求出了 δδ.2有时为了方便,需要让 ε 小于某个正数，这样做是否合理？是否也能满足要求？一旦对这样的 ε 能找到相应的 δ , 那么对更大的 ε , 这个 δ第二单元函数极限2.1.3 函数极限的性质.)(000x x x x 趋向于的右侧又可以从>，时在考虑)(lim 0x f x x →x 既可以从 x 0)(0x x <的左侧处只能考虑单侧极限.2()11f x x x =-=±在⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=000,1,0,1sgn x x x x||,f x A ε-<（）则称 A 为函数 f 当为了方便起见，当记作有时记时，有时的左（右）00x x x x -+→→（）定义1 00()(,)(,)f x U x U x ηη-+（）设在有定义， A 为常数. 若对于任意正数ε ,,）（存在正数ηδδ<0+0lim lim ()().（）x x x x f f x A x A -→→==0000（）x x x x δδ<-<<-<00(0)lim ().x x f x f x -→-=极限,00(0)lim (),x x f x f x +→+=由定义 1，不难得到下列结论：.)(lim )(lim 00A x f x f x x x x ==-+→→:)(lim 0的充要条件是A x f x x =→在前面的讨论中引进的六种类型的函数函数极限的性质质与证明，只要相应作一些修改即可.证明这些性质，至于其它类型的性极限，它们都有哪些性质呢？这里仅以六种极限中的某一种，0lim ()x x f x A →=为例如以定理2.1.1 ( 唯一性 )证不妨设以及A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数,,1δε存在正数)(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若0lim ()x x f x A →=的基本性质二、2,δfx-B≤xfABA.-|)(||)(|-+|ε<|由ε的任意性，推得A = B.这就证明了极限是唯一的.定理 2.1.2（局部有界性）证时，当存在取δδε<-<>=||0,0,10x x .1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f ,)(0x U 则存在有界.这就证明了在某个空心邻域上有界.),(0δx U )(x f ε+=A y A y =ε-=A y Ox y δ-0x 0x δ+0x的结论矛盾吗？定理2.1.3（局部保号性）.|)(|ε<-A x f 有时，当存在δδ<-<>||0,00x x 证不妨设则存在使得对一切有若0lim ()()或x x f x A r r →=><0(), x U x ∈,,取A r A r ε>=-0(), U x ()(()).或f x r f x r ><().f x A r ε>-=由此证得定理 2.1.4（保不等式性） )(lim )(lim 00x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域都存在,)()()(,0x g x f x U ≤ ).(lim )(lim 00x g x f x x x x →→≤证若时, 有由局部保号性，存在正数00||，当x x δ<-<取,：满足r A r B >>0,δ>00lim ()lim (),x x x x f x A g x B →→=>=()();f x r g x >>。

微积分(7)函数极限的性质

x x0
函数极限的性质。至于其它五种形式的极限的性质，只要相应地做出一些修改即可得到。
§2.2.1
函数极限的唯一性
与收敛数列的极限的唯一性相比较，我们可得函数极限的如下性质：性质 1（函数极限的唯一性）：如果 lim f ( x) 存在，那么它的( x) 当 x x0 时有两个不同的极限 A 和 B ，即
x x0
对 0 ， 1 0 ，当 0 x x0 1 时，有
f ( x) A
x x0

2
，（*）
类似地，由 lim g ( x) B ，根据函数极限的定义，可得：对上述的 0 ， 2 0 ，当 0 x x0 2 时，有
思考：函数局部有界与函数有界有什么区别与联系？
下面，我们来研究函数极限与函数局部有界的关系：性质 2（函数极限的局部有界性）：如果 lim f ( x) 存在，那么函数 f ( x) 一定
x x0
局部有界。用数学语言表示即为：如果 lim f (x ) 存在，那么 M 0 和 0 ，使得对
注： 1.函数有界可用数学语言表示如下：函数 f ( x) 在 I 上有界 M 0 ，对 x I ，有 f ( x) M 。类似地，函数无界也可用数学语言表示如下：函数 f ( x) 在 I 上无界 M 0 ， x0 I ，使得 f ( x0 ) M 。 2. 显然，函数的上界、下界、界均不唯一。即：若实数 B 是函数 f ( x) 在 I 上的一个上界，则大于 B 的任何实数都是函数 f ( x) 在 I 上的上界；若实数 A 是函数
定义：设 f ( x) 是定义在数集 D 上的一个函数，数集 I D 。（1）如果存在一个实数 B ，使得对 x I ，都有

高等数学(同济第六版)课件第一章 3.函数的极限(一)

且a >b， (或a<b)
则正数X，当x<－X时，都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时，当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0，取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时，成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时，成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型（2）底数减1等于指数的倒数。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、自变量趋向有限值时函数的极限若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A，称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。记作 lim f ( x ) A

函数极限的定理

xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
此定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
1) lim g( x) b xa
2) x U (a),有u g( x) U (b) 3) lim f (u) A
ub
则 lim f (g( x)) a xa
证由lim f (u) A知 0, 0 ub
使当0 | u b | 时,有| f (u) A |
2
x : 0 x a 2

f (x) c
(2)
2
令 min1, 2 ,当 0 x a 时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f (x) | | f (x) c | .
由的任意性，推得 b = c. 这就证明了极限是惟
| f (x)| | b | 1.
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界.
注：
(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一
比较；
(2) 有界函数不一定存在极限；
(3) lim 1 1, 但 1 在 ( 0, 2 ) 上并不是有界的 . 这
x1 x
x
说明定理中 “局部” 这两个字是关键性
xa
xa
0,x : 0 x a
有 f ( x) g( x) (或 f ( x) g( x) ),则 b c(或 c b).

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析第一部分函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节函数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

微积分(6)函数极限的概念

x x0 ；
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数，只要求充分接近于的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列中的 n 类似，充分接近于的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分大的正数。显然， X 刻画了 x 接近的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ，总可以找到某个正数 X ，使得当 x X 或 x X 时，函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图）。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下结论：定理：函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即

3函数的极限

函数的极限 lim f ( x) A 的几何解释
x x
0, 0, 当 y
f (x)
0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
A
A的邻域,
A
x0的空心邻域, A
该邻域内所有点
x的纵坐标 f(x)
落在A的邻域
内，即相应的点
(x,f(x))落在绿色
区域内.
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
落在绿色区域内.
y f (x)
此类极限定义也称
函数极限的 — N定
义
A
A
A
– N––NN––NN– N
0
N NN NNN
x
机动目录上页下页返回结束
.
例6. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
即就有
注:
y
y
1
x
ox
机动目录上页下页返回结束
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
机动目录上页下页返回结束
例4. 证明: 当
时
证: f (x) A
1 x0
x x0
0, 欲使 f (x) A ,只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x,其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.

函数极限的证明(精选多篇)

函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

§1.3. 函数极限

x→x0
例1
证明 lim x = x0 .
x → x0
证
∀ε > 0, 取 δ = ε , 则当 0 < | x − x0 | < δ 时, | x − x0 | < ε
成立 , 故 lim x = x0 .
x → x0
非常非常严！格
这是证明吗？
例2 证明证
lim(3x − 1) = 5
x →∞
π
2
3. lim f ( x) = A的几何意义
x→∞
y = f (x)
y
| f ( x ) − A |< ε ⇔ A − ε < f ( x) < A + ε
1. 定义:
定义不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x ) − A < ε,
时的极限, 那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限,记作
例3. 证明证: f (x) − A 故 ∀ε > 0, 取 δ = ε , 当时 , 必有
x −1 −1 −2 <ε x −1
2
因此
x −1 lim =2 x→ x −1 1
2
出现了一个洞，注：在x=1处f(x)出现了一个洞，这就如同人生命中处出现了一个洞的一小块空白，一个失去了意义的日子，的一小块空白，一个失去了意义的日子，但重要的是追求理想的过程。追求理想的过程。
记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x0 + 0) = A 或 f ( x0 ) = A.

数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限可编辑全文

其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
前页后页返回
证首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
解因为 | x | 1, 1 x2 (1 x) (1 x) 2 (1 x),
所以
0,
取
2
2,
当1
x 1 时, 有
| 1 x2 0 | .
这就证明了 lim 1 x2 0. x1
同理可证 lim 1 x2 0. x 1
前页后页返回
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
证任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
前页后页返回
x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
前页后页返回
例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x

函数极限的性质

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。 1 。 x
例1
求 lim x
x 0
解
1 由第一章 § 3 习题 13，当 x 0 时有 1 x x 1 ， x
3

1
x
x 2
2
x 1
。
故所求极限等于
3 1 lim 3 x 1 x 1 x 1
x
1 2
1
2

1
1 。 1
例 4 证
证明 lim a
x 0
1
a
1
任给 0 （不妨设 1），为使
/
（ 4）
（ 5） f x g x 与（ 4 ） , （ 5 ）

2
，则当 0
x x0 时，不等式
式同时成立，于是有 A f x g x B ，从而 A B 2 。由的任意性得 A B ，即（ 3）式成立。
a
即 1 a
x
x
1
（ 9） x（当 a 1时）的严格增性，只要
1 ，利用对数函数 lo g lo g
a
a
1
x l o g a 1

于是，令 m in lo g a 1 , lo g
a
1 ，则当
x 0 ;
有

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注2:定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商注3:定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立
定理5(复合函数极限)设有复合函数 f g ( x ) 若
g( x ) b 1) lim x a
2) x U (a ), 有u g( x ) U (b)
f ( x) b

2
(1)
x : 0 x a 2
f ( x) c

2
(2)
xa
令
min 1 , 2
,当 0
时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f ( x) | | f ( x) c | .
f ( x ) b 与 lim g( x ) c ,且推论1 若 lim x a x a
0, x : 0 x a
有 f ( x ) g( x ) (或 f ( x ) g( x ) ),则 b c(或 c b).
f ( x ) b ,且 b 0(或 b 0)则推论2 若lim x a
定理1( 惟一性 )若函数 f ( x )在 a 存在极限,则它的极限是唯一的. f ( x ) b 以及 lim f ( x ) c .由极限的证不妨设 lim x a x a 定义，对于任意的正数 0,存在正数 1 , 2 :
x : 0 x a 1
f ( u) A 3) lim u b
则
lim f ( g( x )) a
x a
证由lim f ( u) A 知 0, 0 u b
使当0 | u b | 时, 有| f ( u) A |
又由lim g( x ) b得对上述 0， 0
由的任意性，推得 b = c. 一的. 这就证明了极限是惟
定理 2（局部有界性）若 lim f ( x ) b , 则存在 x a
U (a )
， f ( x ) 在 U (a ) 上有界.
证明:对
1 ,存在 0 ，当 0
| f ( x) b | 1 .
xa
§2.4
函数极限的定理
•一、函数极限的性质
在前面一节中我们引进的六种类型的函数极
限，它们都有类似于数列极限的一些性质，这里
仅以lim f ( x ) b 为代表叙述并证明这些性质，至
x a
于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改
即可.
1、 lim f ( x ) b 的基本性质
x a
f [ g( x )]转化为则可作代换 u f ( x )把求 lim x a lim f ( u), 这里b lim g( x )
x x0 x x0 x x0 x x0 x x0
( 2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) ;
f ( 3) 又若 lim g ( x ) 0 , 则 g 在点 x0 的极限也存在, x x0
x x0
x x0
x x0
并有
f ( x) x x0 lim . x x0 g ( x ) lim g ( x )
x x0
lim f ( x )
此定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
时
这就证明了 f ( x ) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界. 由此得
| f ( x) | | b |心邻域 U (a, ) 上有界.
注： (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一比较； (2) 有界函数不一定存在极限； 1 1 ( 3) lim 1 , 但在 ( 0 , 2 ) 上并不是有界的 . 这 x 1 x x 说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.
0, x : 0 x a
有 f ( x ) 0(或 f ( x ) 0 ).
定理 4 （四则运算法则）若 lim f ( x ) , lim g( x ) 都存在, 则 f g , f g 在点 x0 的极限也存在, 且
(1) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) ;
使得 0, x : 0 x a ,有
c b bc f ( x) b f ( x) 与 2 2 c b bc g ( x) c g ( x) 2 2
即
bc f ( x) g ( x), f ( x) g ( x). 2
x a
使当0 | x a | 时, 有 | g ( x ) b |
又g( x ) b

0 | g ( x ) b |
| f [ g ( x )] A |
由极限定义得
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
x a u b
此定理表明：若f (u)与g( x )满足定理的条件
g( x ) c f ( x ) b与 lim 定理3.(保序性) 若 lim x a x a
且 b c ,则 0, x : 0 x a ,有 f ( x ) g ( x .)
c b lim f ( x ) b lim g ( x ) c 0 证明：已知 xa 与 xa ,则 2
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
lim f ( x ), lim g ( x ) 注1:定理的条件：
存在商的情形还须加上分母的极限不为0