大学物理题目

第一章1.已知一质点的运动方程为j t i t r )2(22-+=求： ⑴t=1s 和t=2s 时位矢； ⑵t=1s 到t=2s 内位移； ⑶t=1s 到t=2s 内质点的平均速度；⑷t=1s 和t=2s 时质点的速度； ⑸t=1s 到t=2s 内的平均加速度； ⑹t=1s 和t=2s 时质点的加速度。

解：⑴ j i r+=21m j i r 242-=m⑵ j i r r r3212-=-=∆m⑶ j i j i t r v 321232-=--=∆∆=m/s ⑷ j t i dtrd v 22-==j i v 221-=m/s j i v 422-=m/s ⑸ j j t v v t v a 213212-=--=∆-=∆∆=m/s 2⑹ j dt vd dtr d a 222-===m/s 2 2.一质点沿x 轴运动，已知加速度为t a 4=(SI)，初始条件为：0=t 时，00=v ，100=x m 。

求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有t dtdva 4==（一维可用标量式）tdt dv 4=⇒ 由初始条件有：⎰⎰=tvtdt dv 04 得：22t v =由速度定义得：22t dt dxv ==dt t dx 22=⇒ 由初始条件得：dt t dx t x ⎰⎰=02102即10322+=t x m由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

第二章1. 如图2-2，水平地面上有一质量为M 的物体，静止于地面上。

物体与地面间的静摩擦系数为s μ，若要拉动物体。

问最小的拉力是多少沿何方向解：⑴研究对象：M ⑵受力分析：M 受四个力，重力P ，拉力T， 地面的正压力N，地面对它的摩擦力f ，见受力图2-3。

⑶牛顿第二定律：合力：T P f N T P F+⇒+++=分量式：取直角坐标系x ：Ma f F =-θcos ①Y 0sin =-+P N F θ物体启动时，有0cos ≥-f F θ ③物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即N f s μ=，由②解出N ，求得f 为：)sin (θμF P f s -= ④④代③中：有)sin /(cos θμθμs s Mg F +≥ ⑤ 可见：)(θF F =。

min F F =⇒时，要求分母)sin (cos θμθs +最大。

设θθμθcos sin )(+=s A0sin cos =-=θθμθs d dAtg θ=⇒∵ 0cos sin 22<--=θθμθs d Ad ∴ s tg μθ=时，max A A =min F F =⇒。

s arctg μθ=代入⑤中，得：222211111/s s s s s s Mg Mg F μμμμμμ+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++≥ F方向与水平方向夹角为s arctg μθ=时，即为所求结果。

强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式。

2.质量为m 的铁锤竖直落下，打击木桩上并停下。

设打击时间t ∆，打击前铁锤速率为v ，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均合外力的大小 解：设竖直向下为正，由动量定理知：mv t F -=∆0tmv F ∆=⇒ 强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量图 2-2图 2-33.一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少 解：设物体沿+x 方向运动，25250501===⎰⎰tdt Fdt I N·S（1I 沿i方向）7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S（2I 沿i方向）3/12=⇒I I∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I ∴3)()(12=∆∆p p4.例：如图3-1，一弹性球，质量 020.0=m撞后跳回。

设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60=α⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ，求碰撞过程中小球 解：⑴?=I 如图3-1所取坐标，动量定理为v m I =〈方法一〉用分量方程解⎩⎨⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212αααααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S 〈方法二〉用矢量图解)(1212v v m v m v m I-=-= )(12v v -如上图3-1所示。

∵ 60==∠αOBA ,∴ 60=∠A 故OAB ∠为等边三角形。

512==-⇒v v vm/s,)(12v v -沿i 方向∴10.05020.012=⨯=-=v v m IN·S，沿i 方向。

⑵t F I ∆= i i t I F 205.0/10.0/==∆=⇒N注意：此题按⎰=21t t dt F I 求I 困难（或求不出来）时，用公式p I∆=求方便。

图 3-15：质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值 为KV f =，K 为常数。

求物体升高到最高点时所用时间 及上升的最大高度。

解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P及空气阻力f ，如图2-4。

⑶牛顿第二定律：合力：f P F += a m f P=+y 分量：dtdV mKV mg =--dt KV mg mdV -=+⇒即 dt m KV mg dV 1-=+ ⎰⎰-=+t vv dt m KV mg dV 010 t mKV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t mK+⋅=+-mgKe KV mg K V t m K1)(10-+=⇒- ①0=V时，物体达到了最高点，可有0t 为)1ln(ln 000mgKV K mmg KV mg K m t +=+=② ∵ dtdyV =∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy tt m K ty⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==-00001)(1mgt Ke KV mg K m y t mK 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-mgt Ke KV mg K m t m K11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=- ③ 0t t = 时，max y y =，)1ln(11)(0)1ln(02max0mg KV K m mg Ke KV mg K m y mgKV K mm K +⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅-抛出点 y=0图 2-4)1ln(11)(02202mg KV g Km mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=)1ln()(0220002mg KV g K m KV mg KV KV mg Km +-++=)1ln(0220mg KV g K m K mV +-= 6.一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少 解：设物体沿+x 方向运动，25250501===⎰⎰tdt Fdt I N·S（1I 沿i方向）7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S（2I 沿i方向）3/12=⇒I I∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I ∴3)()(12=∆∆p p7.如图3-2，质量为m成质量相等的三等份，沿桌面运动。

其中两等份的速度分别为1v 、2v，大小都为s 。

相互垂直地分开，试求第三等份的速度。

解：用分量式法解 研究对象：小球受力情况：m 只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故水平方向动量守恒。

在水平面上如图3-2取坐标，有0)90cos(cos 332211=--+v m v m v m x θθ 分量：0)90sin(sin 2211=--θθ v m v m y 分量：⎩⎨⎧====s m v v m m m /30.021321 ∴⎩⎨⎧=⇒==⨯==）成即与135(13545/42.030.02213v s m v v αθ 图 3-28.如图3-12，篮球的位移为S ，S与水平线成 45角，m S 4=，球质量为m ，求重力的功。

解：⑴研究对象：球 ⑵重力为恒力⑶mgmg FS FS S F W 22135cos 4135cos cos -=⋅===⋅=α强调：恒力功公式S F W⋅=的使用.9.力i t F6=(SI)作用在kg m 3=的质点上。

物体沿x 轴运动，0=t 时，00=v 。

求前二秒内F对m 作的功。

解：⑴研究对象：m ⑵直线问题，F沿+x 轴方向〈方法一〉按⎰⋅=b ax d F W作在此有：⎰⎰=⋅=babatdx 6i dx i t 6W∵ t dtdvmma F 6=== ∴ tdt mdv 6= 做如下积分： ⎰⎰=tvtdt dv 063有 2t v =∵2t v dtdx== 即dt t dx 2=∴ J 24t 23dt t t 6W 24202==⋅=⎰〈方法二〉用动能定理作)v v (m 21mv 21mv 21W 21222122-=-=J 24)02(3214=-⨯=10.如图3-18，在计算上抛物体最大高度H 时，有人列出了方程（不计空气阻力）2022021cos 21mv mv mgH -=-θ列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个 解：⑴动能定理为合力功=质点动能增量()22021cos 21mv v m mgH -=-⇒θ ⑵功能原理为 外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取m 、地为系统）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⇒021cos 21002020mv mgH v m θ⑶机械能守恒定律∵0=+非保内外W W ∴1122p k p k E E E E +=+ 即 ()021cos 212020+=+⇒mv mgH v m θ 可见，此人用的是质点的动能定理。

11.如图3-19，质量为m 的物体，从四分之一圆槽A 点静止开始下滑到B 。

在B 处速率为v ，槽半径为R 。

求m 从A →B 过程中摩擦力做的功。

解：〈方法一〉按功定义⎰⋅=B As d F W，m 在任一点c 处，切线方向的牛顿第二定律方程为dt dv mma F mg t r ==-θcos θcos mg dtdvm F r +-=⇒ πcos s d F s d F W B A r B A r ⎰⎰⋅=⋅=⎰⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=B A B A r ds dt dv m cos mg ds F θ⎰⎰-=B A BA ds mg ds dt dvm θcos ⎰⎰-=200cos πθθRd mg vdv m vmgR mv -=221 〈方法二〉用质点动能定理 m 受三个力，N ，r F ，g m由2122mv 21mv 21W -=合有0mv 21W W W 2p r N -=++ 即 )mgh E W (mv 21mgR W 0pp 2r -=∆-==++ ∴ mgR mv 21W 2r -= 注意：此题目机械能不守恒。