北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】一元一次方程的应用—水箱变高了

3 应用一元一次方程——水箱变高了

1．几何图形中常用的公式

(1)常用的体积公式

长方体的体积＝长×宽×高；

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；

圆柱的体积＝底面积×高＝πr 2h ；

圆锥的体积＝13×底面积×高＝13

πr 2h . (2)常用的面积、周长公式

长方形的面积＝长×宽；

长方形的周长＝2×(长＋宽)；

正方形的面积＝边长×边长；

正方形的周长＝边长×4；

三角形的面积＝12

×底×高； 平行四边形的面积＝底×高；

梯形的面积＝12

×(上底＋下底)×高； 圆的面积＝πr 2；

圆的周长＝2πr .

【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x 米，可列方程为( )．

A ．x ＋(x ＋1.2)＝7.8

B ．x ＋(x －1.2)＝7.8

C ．2＝7.8

D ．2＝7.8

解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2＝7.8.

答案：C

2．形积变化问题中的等量关系

形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：

(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体

积．

(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．

(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．

【例2】有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．

分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．

解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，

根据题意，得

π·52·80＝π·202·x.

解这个方程，得

x＝5.

答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.

3．等长变形问题

等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．

解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．

面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．

【例3】如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？

分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．

解：设长方形的宽为x，则长为2x.

由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，

解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.

答：该长方形的长和宽分别为11,5.5.