北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】一元一次方程的应用—水箱变高了
北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT教学课件
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
6
则 2(10+x)=10×4+6×2
解得
x=16
答：长方形的长为16cm，宽为10cm。
小结
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米 解：设新水箱的高度是x米
由题意，得 π×22×4= π×1.62×x 解方程，得 16π= 2.56πx
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
2.练习变式 小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩 大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大 这时，正方形的边长为80÷4=20米。
2.列方程解应用题的步骤：
（1）审清题意，找准“__等__量___关系”； （2）设_未__知__数___； （3）列__方__程____； （4）正确求__解_____； （5）判明方程解的__合__理__性__；
（6）答。
3.下列过程中，哪些量变了？哪些量没变？根据不变量找出等量关系。 （1）用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后把它变矮，变成一
最新北师版初中数学七年级上册精品课件3 应用一元一次方程——水箱变高了
C.π·82x＝π·62(x＋5)
D.π·82x＝π·62×5
4. 用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2 cm，高16 cm 的圆柱形零件，则需要截取的圆钢长___1_2___cm. 5. 用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图的大长方 形，若大长方形的周长是14，则小长方形的长是___2___， 宽是__1___.
教学课件
数学 七年级上册 BS版
第五章 一元一次方程
3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水 箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的 占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2 m.那 么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m 增高为多少米？
【展示点评】分析：由题意可知，长方形的周长始终是不 变的，即长与宽的和为：20×½ ＝10m.在解决这个问题的 过程中，要抓住这个等量关系.
解：（1）设此时长方形的宽为 x m，则长为 x+1.4
根据题意，得 x+x+1.4=10 × 1
2
解这个方程，得 x=1.8 此时长方形的长为 3.2 ，宽为 1.8 ，面积为 5.76.
2
解这个方程，得 x=2.5
此时正方形的长为 2.5 ，面积为 6.25 的面积比
（2）中面积 增大6.25-6.09=0.16 m².
【小组讨论2】用一元一次方程解决实际问题的一般步 骤有哪些？ 【反思小结】 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 审：审题，明确各数量之间的关系； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）； 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； 解：解所列的方程，求出未知数的值； 检：检查所求解是否符合题意；
初一上数学课件(北师版)-应用一元一次方程——水箱变高了
知识点一：等积变形
等体积变形：即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积 不变 ，
列方程解决形体问题． 【例 1】锻造车间要铸造底面半径为 8cm，高为 12cm 的圆柱形零件毛坯 5 个，需要用横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材多长？(生产过程中的损耗不 计)
【思路分析】锻造过程中，虽然物体形状变了，但体积不变，就是利用这 一点为相等关系建立方程求解．
【规范解答】设需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 xcm，根据题意，得 5π×82×12＝π×162×x，解得 x＝15.答：需要横截面半径为 16cm 的圆柱形 钢材 15cm 长．
箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的23，若整个水箱共花去 1860 元，
求水箱的高度．
解：设水箱的高度为 x 米，2(5x＋3x)×60×23＋5×3×60＝1860，∴x＝1.5， 答：水箱的高度为 1.5 米．
7．用一根铁丝围成一个三条边都为 24cm 的三角形，如果将它改围成一个
正方形，这个正方形的边长是( B )
A．24cm
B．18cm
C．12cm
D．9cm
8．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6cm 的长条后，再从剩 下的纸片上剪下一条宽为 8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等， 则原正方形的边长是( B )
A．20 C．48
B．24 D．144
9．长方形的长是宽的 3 倍，如果宽增加了 4m 而长减少了 5m，那么面积增 加 15m2，设长方形原来的宽为 xm，所列方程是( B ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2
北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
初中数学北师大版七年级上册应用一元一次方程——水箱变高了课件
柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是
半径.
感悟新知
知识链接 常见立体图形的体积公式： 1. V正方体=a(3a为棱长). 2. V长方体=abh(a、b为底面的长、宽，h为高). 3. V圆柱=πR2h(R为底面圆的半径，h 为高).
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 用直径为4 cm 的圆柱形钢铸造3 个直径为2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢？ 解题秘方：紧扣题意中铸造前后的体积相等这一等量 关系，列出方程解决问题.
感悟新知
知1－练
例2 将装满水的底面直径为40 cm，高为60 cm 的圆柱形 水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 cm 的圆柱 形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？ 解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量 关系.
感悟新知
解：设这时水面的高度为x cm.
根据题意可得，
感悟新知
知2－练
3-2. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆. 已 知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等 长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大.
感悟新知
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为m.
知2－练
根据题意，得2πr＝4.解得r＝4.
所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．
感悟新知
知2－练
3-1. 用一根铁丝可围成边长为9 cm 的正方形，若用这根 铁丝围成长比宽多2 cm 的长方形，则长方形的面积 是多少？
解：设长方形的宽为x cm，则它的长为(x＋2)cm. 依题意，得2x＋2(x＋2)＝9×4.解得x＝8. 则x＋2＝10，10×8＝80(cm2) 所以长方形的面积为80 cm2.
最新北师大版七年级数学上册精品课件5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
• 第四级
正方形的• 第边五级长为2.5 m. 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
同样长的铁丝可以 围更大的地方
单击此处编母版标题样式
典例精析
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆， 已• 知单正击方此形处的编边辑长母比版圆文的本半样径式长2(π－2) m，求这两 根等•长第的二铁级 丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
单击此处编母版标题样式
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一
• 个单正击方此形处，编那辑么母正版方文形本的样边式长是多少？它围成 的•正第方二形级的面积与(2)中相比，又有什么变化？
• 第三级
• 第四级 • 第五级
xm
单击此处编母版标题样式
解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得 • 单击此处(x编+辑x)母×版2 =文10本. 样式
2 cm，• 长第方二形级就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 c•m第•三第级四级 B.7 cm
• 第五级
C.8 cm
D. 9 cm
2.
C
2019/8/20
18
单击此处编母版标题样式 3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( B )
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
• 第二级
•所第以三铁级 丝的长为2πr＝8π(m)．
• 第四级
所以圆• 的第五面级 积是π×42＝16π(m 2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
北师版初中七上数学5.3 应用一元一次方程-水箱变高了(课件)
例题欣赏 ☞
例题&解析
（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形 的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么 变化？
x
例题&解析
解：（2）设正方形的边长为x米.
根据题意，得：(x +x) ×2 =10 解得：x=2.5
面积：2.5×2.5=6.25(米2)
同样长的铁丝围成 怎样的四边形面积
x x+0.8
例题&解析
解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8） 米.根据题意，得：
(x+0.8 +x)×2=10 解得：x=2.1 长：2.1+0.8=2.9 面积：2.9×2.1=6.09(米2)
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为6.09平方米.此时长 方形的面积比第一次围成的面积增大6.09-5.76=0.33(平方米).
探索&交流
如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆 柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
10
20 9
锻压前的体积＝锻压后的体积．
10
20 9
探索&交流
探索&交流
设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表： （单位：厘米）
底面半径 高
锻压前 10 9
锻压后 5 x
体积
探索&交流
列方程解应用题的一般步骤： 设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确 定答案；可简要地概括为“设、列、解、检、答”．
例题欣赏 ☞
例题&解析
例3.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如 果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵， 要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？
数学七年级上北师大版 5.3应用一元一次方程——水箱变高了课件.
旧水箱 底面半径 /m 高/m
新水箱
2
4
1.6
x
2.56x
体积/m3
16
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、 宽各是多少米呢？面积是多少？
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长.
解：（1）设长方形的宽为X 米，则它的长为(X+1.4) 米， 由题意得 2 ( x+1.4 +x ) =10
第3节 应用一元一次方程
——水箱变高了
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱. 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需 要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下， 水箱的高度将由原先的4米增高为多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积 解：设水箱的高变为 x 米，填写下表：
解：设长方形的宽为 x 米，则它的长为 （x+0.8）米. 由题意得 x 2(x +0.8 + x) =10 解,得 x=2.1 长为：2.1+0.8=2.9（米） x+0.8 面积为：2.9 ×2.1=6.09(平方米) 面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
答：长方形的长为2.9米，宽为2.1米,面积是6.09平方 米,比（1）中的长方形的面积增加了0.33平方米.
x x+1.4
解,得 x=1.8
长为：1.8+1.4=3.2（米）
面积为： 3.2 × 1.8=5.76（米2）.
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）所 围成的长方形相比，面积有什么变化？
2019年秋七年级数学上册北师大版课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了(共19张PPT)
(1)下表是 2016 年 5 月 18 日生产的某饼干包装袋的部分说明：
商品名称 ××饼干
配料
小麦粉、白砂糖、精炼植物油、鸡蛋、食盐、食品添加剂 (碳酸氢钠、柠檬酸等)
规格 180g
保质期 10 个月
请回答下列问题： ①饼干的配料中，富含蛋白质的是 鸡蛋 ，其中能为人体提供能量的有 4 种；
该饼干目前已不宜再食用，原因是 已过保质期 。 ②碳酸氢钠俗称 小苏打 ；在医疗上，它是治疗 胃酸过多 症的一种药剂。
所以能装下． 设杯内水面高度为 x cm. ∴ π×722x＝49.5，x≈1.29 cm. 即杯内水面高度为 1.29 cm.
9．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽 油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油 箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原 有汽油多少公斤？
第一块试验田 2 275 平方米，第二块试验田 725 平方 米．
4．甲、乙两人存款一样多，甲取出 85 元，乙存入 15 元后，乙是甲的 3 倍，两人原有存款各多少元？
两人原有存款都是 135 元．
5．小张原有书的本数是小李的 6 倍，如果两人各再 买 2 本，那么小张是小李的 4 倍，两人原来各有多少本 书？
的长方体木块，浸入半径为 4 cm 的圆柱形玻璃杯中(盛有 水)，水面将增高多少(不外溢)?
解：设水面增高 x cm.根据题意列方程得 5×3×3＝π×42×x. 解得 x＝1465π≈0.9.
答：水面增高约为 0.9 cm.
1.小张和小王共储蓄 2 000 元，如果小张借给小王 200 元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？
质变质，可用来浸泡动物标本。
3．糖类由 C、H、O 三种元素组成，基本单位是 葡萄糖 ，它是人类的主要供能
北师大版数学七年级上册第五章第三节应用一元一次方程——水箱变高了
议一议
如果上面的条件不变，聪明的 你能够提出不同的情景，设计问 题，并且去尝试解答。
课堂小结，布置作业
3 应用一元一次方程
——水箱变高了
活动一
玩转橡皮泥，你能捏出什么 样的几何体？你能求体积
某居民楼顶有一个底面直径和高
均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进
行维修改造，为减少楼顶原有储水箱
的占地面积，需要将它的底面直径由
4m减少为3.2m。那么在容积不变
对知识、能力的总结：
1. 解应用题的关键是，认真审题，分清已 知量，未知量，抓住等量关系。
2. 列表，画图，实验可以帮助理解题意。
对数学思想方法的总结： 转化思想，建模思想，分类讨论思想。
独立完成
课本：第144页，问题解 决2,3题
本节寄语
当你的思想沉浸在无边的探索中时，你 也就从解题中获得了崇高的享受，你就真正 的接受了数学文化的洗礼，你就会真正感受 到数学中的美，从此爱上这门学科。
的条件下，水箱的高度将由原先的
4m变为多少米？
x
px
自主探究
底面半径 高 容积
旧水箱
新水箱
分类讨论
例： 如图所示，地面上钉着一个用彩绳围 成的直角三角形，如果将直角三角形锐 角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳 钉成一个长方形，那么所钉长方形的长 和宽各是多少？面积是多少？
活动二 乌鸦喝水
交流分享
北师大版七年级数学上册《一元一次方程——应用一元一次方程—水箱变高了》教学PPT课件(3篇)
（2）设此时长方形的宽为 x m，
则它的长为（x + 0.8）m.
根据题意，得
x+ x
+
0.8
=
10×
1 2
.
解这个方程，得 x = 2.1.
2.1 + 0.8 = 2.9.
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 它所围成的面积为 2.9×2.1 = 6.09（m2），
（1）中长方形所围成的面积为 3.2×1.8 = 5.76（m2）.
答：小颖所钉长方形的长为16 cm，宽为 10 cm.
随堂演练
1. 一个长方形的周长是 60 cm，且长与宽的 比是 3∶2，求长方形的宽.
解 设长方形的宽为 2x cm，则长为 3x， 根据题意，得 2（2x + 3x）= 60， 解得 x = 6， 2x = 12，
答：长方形的宽为 12 cm.
解 （1）设小李拿到的 3 张卡片中间数字为 x， 根据题意，得 x – 4 + x + x + 4 = 348， 移项，合并同类项得 3x = 348， 两边除以 3，得 x = 116， x – 4 = 112，x + 4 = 120，
答：小李拿到的 3 张卡片为 112，116，120.
解 （2）设小李拿到的 3 张卡片中间数字为 x， 根据题意，得 x – 4 + x + x + 4 = 93， 移项，合并同类项得 3x = 93， 两边除以 3，得 x = 31， 因为卡片上的数字都是偶数，所以卡片上的
数字不可能是 31，三张卡片上的数之和不可能等 于 93.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
北师大版七年级数学上册《应用一元一次方程——水箱变高了》典型例题(含答案)
《应用一元一次方程——水箱变高了》典型例题例1用内径为90毫米的圆柱形玻璃杯装满水，向一个底面积为131×131（毫米）2，内高为81毫米的长方体容器倒水，玻璃杯里的水恰好倒满该容器，问玻璃杯的内高是多少（ 取3.14）。
例2现有铁篱笆120米，靠墙围成一个长方形菜地（墙可做菜地的一个长边，其他三面用铁篱笆围成），要使菜地的长是宽的2倍，则菜地的长和宽各是多少米。
例3如图“□”“△”“○”各代表一种物质，其质量的关系由下面两个天平给出，如果“○”的质量是一千克，求“□”和“△”的质量．例4一个长方形如图所示，恰好分成六个正方形，其中最小的正方形面积cm，求这个长方形的面积．是12例5某农民准备利用一面旧墙围一长方形鸡舍，他编好了6米竹篱笆，考虑三种方案．（1）要使长比宽多0.6米，此时长方形的长和宽及面积各是多少？（2）要使长比宽多0.3米，此时长方形的长和宽及面积各是多少？（3）要使长和宽相等，此时长方形的边长是多少米？参考答案例1 分析 由题意可知，有如下相等关系：圆柱形玻璃杯的容积＝长方体容器的容积若把玻璃杯的内高用x 表示出来，就可以得方程。
解 设玻璃杯的内高是x 毫米，依题意，得 81131131)290(2⨯⨯=⨯x π 解方程，得 61.218≈x答：玻璃杯的内高大约是218.61毫米。
说明：在列一元一次方程解应用题时，设和答必须标明单位，而解出的x 是一个数不需要再标单位。
如上题是61.218≈x ，不要写成61.218≈x 毫米。
例2 分析 由题意可知，相等关系是：某地的长边＋菜地的宽×2＝120米题中又给出了长和宽的关系，易得方程。
解 设菜地的宽是x 米，则菜地的长就是2·x 米，依题决，得12022=+x x 解方程，得 30=x所以602=x答：菜地的长是60米，宽是30米。
说明：这题给出了墙是菜地的长边，可得上面方程，如果没有说明墙是长边，还是宽，我们就必须分两种情况进行讨论。
北师大版初中数学七年级上册5.3 应用一元一次方程水箱变高了
北师大初中数学七年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！5.3 应用一元一次方程——水箱变高了一、选择题(每小题4分,共12分)1.小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出了这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径是d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升的高度为h,则小明的这块矿石体积是( )A.d2hB.d2hC.πd2hD.4πd2h2.小明用长250cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多25cm,设这个长方形的长为x cm,则x等于( )A.75 cmB.50 cmC.137.5 cmD.112.5 cm3.请根据图中给出的信息,可得正确的方程是( )A.π·()2x=π·()2·(x+5)B.π·()2x=π·()2·(x-5)C.π·82x=π·62(x+5)D.π·82x=π·62×5二、填空题(每小题4分,共12分)4.一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了 cm.5.用直径为4cm的圆钢,铸造三个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,则需要截取的圆钢长 cm.6.用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形,若大长方形的周长是14,则小长方形的长是 ,宽是 .答案解析1.【解析】选A.根据圆柱的体积公式可得这块矿石的体积为:d2h.2.【解析】选A.根据题意得:2(x+x-25)=250,解得:x=75.3.【解析】选A.根据圆柱的体积公式求得大量筒中的水的体积为:π×()2x.小量筒中的水的体积为:π×()2×(x+5).根据等量关系列方程得:π×()2x=π×()2(x+5).4.【解析】设试管中的水的高度下降了xcm,根据题意得:π·1.52·x=π·42×1.8,解方程得:x=12.8.答案：12.85.【解析】设截取的圆钢长xcm.根据题意得:π×()2x=3×π×()2×16,解方程得:x=12.答案：126.【解析】设小长方形的宽为x,则长为2x,由题意得:(5x+2x)×2=14,解方程得x=1,即小长方形的宽为1,长为2.答案：2 1相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
(新)北师大版数学七年级上册同步课件5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共18张PPT)
题组 A 等体积变形问题 1．内径为 120 mm 的圆柱形玻璃杯与内径为 300 mm，内高 为 32 mm 的圆柱形玻璃盆盛同样多的水， 则玻璃杯的内高为( A．150 mm B．200 mm C．250 mm D．300 mm
120 2 解析：设玻璃杯的内高为 x mm，根据题意，得 π( ) ×x 2 300 2 ＝π( ) ×32，解得 x＝200，故选 B. 2
B
)
2．要锻造一个直径 20 cm，高 16 cm 的圆柱形毛坯，应截取 直径 16 cm 的圆钢
25
cm.
27
3． 把一个半径为 3 cm 的铁球熔化后， 能铸造 4 3 1 cm 的小铁球．(球的体积为 πR ) 3
个半径为
题组 B 长方形等周长、等面积变形问题 4．用两根长为 24 cm 的铁丝分别围成一个长与宽之比为 2∶ 1 的长方形和一个正方形，则长方形和正方形的面积依次为( A．9 cm2,8 cm2 C．32 cm2,36 cm2 B．8 cm2,9 cm2 D．36 cm2,32 cm2
自主解答：解：设正方形的边长为 x cm，则长方形的长、宽 用含 x 的代数式分别表示为(x＋8)cm、(x－2)cm. 根据题意得 2(x＋8＋x－2)＝40， 解得 x＝7. 答：正方形的边长为 7 cm.
名师点津：解答长方形等周长、等面积变形问题的关键 熟记几何图形面积、周长的计算公式，抓住不变量建立方程 求解．
知识点 1 等体积变形问题 【例 1】用直径为 4 cm 的圆钢，铸造三个直径为 2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，求需要截取多长的圆钢？
思路点拨：根据铸造前后的体积不变，列方程求解．
自主解答：解：设截取的圆钢长 x cm. 42 22 根据题意，得 π×( ) x＝3×π×( ) ×16， 2 2 解得 x＝12. 答：需要截取 12 cm 长的圆钢．
北师大七年级上-第14讲-一元一次方程的应用(水箱变高了)
一元一次方程的应用（水箱变高了）知识点一：等体积变形问题1．等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题．2．常见几何体的体积公式：(1)圆柱体体积;2h r V π=(2)长方体体积;abc V =(3)正方体体积;3a V =(4)圆锥体的体积.312h r V π= 例1如图所示，将一个底面直径为10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？分析：在锻压过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设锻压后圆柱的高为xcm ，填写下表：x ⨯⨯210365ππ，解得x =9．答：高变成了9cm .例2 有一个长、宽、高分别是20cm 、15cm 、40cm 的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm 的长方体钢锭，高变成了多少？（忽略锻压过程中的损耗）分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设高变成了xcm ，依题意得20 ×20 ×x =20 ×15×40.解方程，得x = 30.答：高变成了30cm .变式训练1.将一个底面积为236cm ，高为30cm 的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm ，宽5cm 的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm ，则可列方程 .解．圆柱体的体积=长方体的体积，.303658⨯=⨯⨯x2.用一个长、宽、高分别是16cm 、10cm 、5cm 的小长方体容器向一个底面为20cm ×20cm 的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？解：设大长方体中的水面高度为xcm ．依题意，得.102051016x ⨯⨯=⨯⨯解之得x =2．答：大长方体中水面的高度为2cm .知识点二：等长变形问题1．等长变形，即用物体（通常是铁丝等）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．利用周长不变列出方程．2．常用平面图形的周长、面积公式：(1)长方形周长C =2(a +6)，面积S = ab ，(2)正方形的周长C =4a ，面积S =;2a(3)三角形的面积;21ah S = (4)平行四边形的面积S = ah;(5)梯形的面积;)(21h b a S +=(6)圆的周长C =2πr ，面积2r S π=（r 表示圆的半径）. 例3用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？分析：图形的形状改变了，但是周长不变，始终等于铁丝的长度，故此题的相等关系是：正方形的周长=长方形的周长．解：设长方形的长为xcm ，则宽为（x -2）cm .依题意得2x +2（x -2）=9×4．解得x = 10.x -2 =8．故x （x -2）=80.答：长方形的面积为.802cm例4墙上钉着一个由一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示（单位：cm ），小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示．求小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？分析：从梯形变成长方形，形状变了，但周长不变，可根据这一等量关系建立方程，长方形的宽为8cm .解：设长方形的长为xcm .由题意，得2(8 +x )=8 +15 +10 +8 +5 +13,∴x = 21.5．答：长方形的长为21.5cm ，宽为8cm .变式训练1. 一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm 的正方形．如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为____ cm ，面积是____.2cm解.4 32 提示：设长方形的宽为xcm ，则有46⨯ =2(8+ x )．解得x =4．则长方形的面积为48⨯ =32（2cm ).一、专题精讲题型一：形积变化——体积不变例1在一个内部长、宽、高分别为3m 、3m 、80cm 的长方体水箱内装满水，然后倒入一个底面直径是2m ，高是12m 的圆柱形容器中，问水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离．（π取3.14，结果精确到0. 01m ）分析：先分别求出两容器的体积，然后通过比较大小，确定水是否会溢出，解：长方体的体积).(2.78.03331m V =⨯⨯= 圆柱形容器的体积=⨯⋅==12)22(222ππh r V ).(123m π 因为7.2< 12π，所以水不会溢出．设将水倒入圆柱形容器后，水面高度为xm ．由题意得.)22(8.0332x ⋅⋅=⨯⨯π解得x ≈2.29．所以12 -x =9.71. 答：水不会溢出，水面离容器口的距离约为9.71m .变式训练1．把一个长、宽、高分别为8cm 、7cm 、6cm 的长方体铁块和一个棱长5cm 的正方体铁块，熔炼成一个直径为20cm 的圆柱体，这个圆柱体的高是多少？(精确到0. 01cm )解：设这个圆柱体的高为xcm .依题意，得.)220(14.3567823x ⨯=+⨯⨯解之得x ≈1. 47． 答：这个圆柱体的高度大约是1. 47cm .题型二：形积变化——面积不变例2如图(1)、(2)，长方形的长、宽分别为a 、b ，阴影部分中长方形的宽为c ，图(1)、(2)中空白部分的面积分别为21,S S ，那么1S 与2S 的大小关系为( )．21.S S A < 21.S S B > 21.S S C = D ．无法确定分析：通过移动阴影部分，将所有阴影部分合在一起后，利用阴影部分面积=长方形面积一空白部分面积，可知面积相等，解：C变式训练1．一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是21cm ，求这个长方形的面积．解：设最大正方形B 的边长为xcm ，则C 的边长为 (x -1)cm ，D 的边长为（x -2）cm ，E 的边长为（x -3）cm ，F 的边长也是（x -3）cm ．根据长方形对边相等得2（x -3）+（x -2）=x +(x -1)．解得x =7．则C 的边长为6cm ，D 的边长为5cm ，E 和F 的边长都为4cm .长方形面积为).(143)47()67(2cm =+⨯+题型三：形积变化——周长不变例3小刚家打算靠墙（墙长14m ）修建一个长方形的养鸡场（靠墙的一边作为长），另三边用35m 长的篱笆围成．小刚的爸爸打算让鸡场的长比宽多2m ，小刚的妈妈打算让鸡场的长比宽多5m .你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少？分析：此题中的“墙长14m ”是一个限制条件，故所建的鸡场的长不能大于14m .解：设鸡场的宽为xm .①按小刚爸爸的设计，其长应为（x +2）m ．根据题意，得x +2 +2x = 35.解得x = 11. 因为11+2= 13m <墙长14m ，所以小刚爸爸的设计合理，这时鸡场的面积为).(14311132m =⨯ ②按小刚妈妈的设计，其长应为(x +5)m ．依题意，得x +5 +2x = 35.解得x = 10.因为10 +5 =15m >墙长14m ，所以小刚妈妈的设计不符合实际．故小刚爸爸的设计合理，此时鸡场的面积为.1432m点拨：运用一元一次方程解决实际问题时，要注意解的合理性，即所得结果必须符合实际情况，变式训练1．已知两个长方形的长和宽的比都是2:1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm ，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，求这两个长方形的面积．解：设小长方形的宽为xcm ，则大长方形的宽为(x +3)cm ，依题意，得2(x +2x )=x +3+2(x +3)．解之得x =3．则小长方形的面积为⋅=⨯⨯)(18)23(32cm ，大长方形的面积为⋅=⨯⨯)(72)26(62cm能力培养 1.一根内径为3cm 的圆柱形长试管中装满了水．现把试管中的水逐渐滴人一个内径为8cm 、高为1.8cm 的圆柱形玻璃器皿中．当玻璃器皿装满水时，试管中水的高度下降了多少厘米？解：设试管中水的高度下降了xcm ．依题意有8.1)28()23(22⨯⨯=⋅ππx ．解得x = 12.8．答：试管中水的高度下降了12. 8cm .2．如果用16m 长的篱笆围成一个长方形养鸡场，长、宽各是多少米时，其面积最大？解：只有当长、宽均为4m ，即围成一个正方形时，养鸡场面积最大，).(16422m S ==最大达标测试：1．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m 而长减少了5m ，那么面积增加.152m 长方形原来的宽为xm ，所列方程是( )．2315)53)(4.(x x x A =+-+ 2315)53)(4.(x x x B =--+ 2315)53)(4.(x x x C =-+- 2315)53)(4.(x x x D =++- 2．已知内径为120mm 的圆柱形玻璃杯和内径为300mm 、内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为( )．A ．150mmB ．200mmC ．250mmD ．300mm3．三角形的周长是84cm ，三边长的比为17:13：12，则这个三角形最短的一边长为 .4．要锻造一个直径20cm ，高16cm 的圆柱形毛坯，应截取直径16cm 的圆钢 cm .5．一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88cm 的正方形（不计接口部分），这个罐头的容积是（精确到31cm ，π取3.14） .6．把一个半径为3cm 的铁球熔化后，能铸造个半径为1cm 的小铁球 个．（球的体积为334R π)7．在一个内径为20cm ，高为110cm 的圆柱形铁桶中装有30cm 深的水，现把棱长为8cm 的正方体铁块慢慢放到桶中，铁桶中的水位大约上升了( ) cm .（π取3.14，精确到0.1）A .1.6B .1.7C .3.2D .3.38．长方体甲的长、宽、高分别为260mm 、150mm 、325mm ，长方体乙的底面积为.1301302mm ⨯已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．参考答案1. B2. B3. 24cm4. 25 3848.5cm 提示：圆柱高为22cm ，底面半径为.11cm π 6. 27 提示：n ⋅⨯=⨯33134334ππ，解得n = 27. 7．A 提示：328)220(=⋅⨯h π，解得h ≈1.6．8．解：设乙的高为xmm ，依题意得.5.2130130325150260⨯⨯⨯=⨯⨯x 解之得x = 300.答：乙的高为300mm .课后作业：一．选择题1．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x 厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是（ ）A ．5π•42•x=π•102•7B ．π•42•x=5π•102•7C ．5π•（ ）2（ ）2（ ）22二．填空题2．一个长方形的周长是42，宽比长少3，如果设长为x ，那么根据题意列方程为 2（x+x ﹣3）=42 ．3．如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽，设每块地砖的宽为xcm ，根据题意，列出的方程为 4x=60 ．4．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x 毫米，则可列方程 2 x =1312 81 ．5．水池有一进水管，5时可注满空池；池底有一出水管，8时可放完满池水．如果同时打开进水管和出水管，1时后，水池的水是满池的 ，若同时打开进水管和出水管刚好x 时注满空池，可列方程是．6．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）如图所示．则三个几何体的体积和为 60π cm 3．（计算结果保留π）7．一个底面直径6cm ，高为50cm 的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cm 的“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？（1）本题用来建立方程的相等关系为 V 锻压前=V 锻压后 ．（3）列出方程 π．（ ）2.50=π（ ）2 x 解得方程 x=18 cm ．8．一小圆柱形油桶的直径是8cm ，高为6cm ，另一大圆柱形的油桶的直径是10cm ，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为xcm ，可建立方程为 π•52x=2.5π×42×6 ．。
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3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．几何图形中常用的公式
(1)常用的体积公式
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积＝底面积×高＝πr 2h ；
圆锥的体积＝13×底面积×高＝13
πr 2h . (2)常用的面积、周长公式
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝12
×底×高； 平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝12
×(上底＋下底)×高； 圆的面积＝πr 2；
圆的周长＝2πr .
【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x 米，可列方程为( )．
A ．x ＋(x ＋1.2)＝7.8
B ．x ＋(x －1.2)＝7.8
C ．2＝7.8
D ．2＝7.8
解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2＝7.8.
答案：C
2．形积变化问题中的等量关系
形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体
积．
(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
【例2】有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．
分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．
解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，
根据题意，得
π·52·80＝π·202·x.
解这个方程，得
x＝5.
答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
3．等长变形问题
等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．
解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．
面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．
【例3】如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？
分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．
解：设长方形的宽为x，则长为2x.
由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，
解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.
答：该长方形的长和宽分别为11,5.5.。