天津大学 电磁场课件 电磁场 第一章 部分电容 等
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大学物理《电磁学》PPT课件
欧姆定律
描述导体中电流、电压和电阻之间关系的 定律。
电场强度
描述电场强弱的物理量，其大小与试探电 荷所受电场力成正比，与试探电荷的电荷 量成反比。
恒定电流
电流大小和方向均不随时间变化的电流。
电势与电势差
电势是描述电场中某点电势能的物理量， 电势差则是两点间电势的差值，反映了电 场在这两点间的做功能力。
电介质的极化现象
1 2
电介质的定义 电介质是指在外电场作用下能发生极化的物质。 极化是指电介质内部正负电荷中心发生相对位移， 形成电偶极子的现象。
极化类型 电介质的极化类型包括电子极化、原子极化和取 向极化等。
3
极化强度
极化强度是描述电介质极化程度的物理量，用矢 量P表示。极化强度与电场强度成正比，比例系 数称为电介质的电极化率。
磁场对载流线圈的作用
对于载流线圈，其受力可分解为沿线圈平面的法向力和切线方 向的力，分别用公式Fn=μ0I²S/2πa和Ft=μ0I²a/2π计算。
05
电磁感应原理及技 术应用
法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律的内容
01
变化的磁场会产生感应电动势，感应电动势的大小与磁通量的
变化率成正比。
法拉第电磁感应定律的数学表达式
安培环路定理及其推广形式
安培环路定理
磁场中B沿任何闭合路径L的线积分， 等于穿过这路径所围面积的电流代数 和的μ0倍，即∮B·dl=μ0∑I。
推广形式
对于非稳恒电流产生的磁场，安培环路 定理可推广为 ∮B·dl=μ0∑I+ε0μ0∂/∂t∮E·dl。
磁场对载流导线作用力计算
载流导线在磁场中受力
当载流导线与磁场方向不平行时，会受到安培力的作用，其大 小F=BILsinθ，方向用左手定则判断。
大学物理《电磁学》PPT课件
电场性质
对放入其中的电荷有力的作用 ，且力的方向与电荷的正负有 关。
磁场性质
对放入其中的磁体或电流有力 的作用，且力的方向与磁极或
电流的方向有关。
库仑定律与高斯定理
库仑定律
描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用 力，与电荷量的乘积成正比，与距离的平方 成反比。
高斯定理
通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内所包围的 所有电荷的代数和除以真空中的介电常数。
当导体回路在变化的磁场中或导体回路在恒定的磁场中运动时
，导体回路中就会产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律公式
02
E = -n(dΦ)/(dt)。
法拉第电磁感应定律的应用
03
用于解释电磁感应现象，计算感应电动势的大小，判断感应电
动势的方向。
自感和互感现象分析
自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时 ，它所产生的磁通量也会随之变 化，从而在线圈自身中产生感应 电动势的现象。
程称为磁化。随着外磁场强度的增大，铁磁物质的磁感应强度也增大。
03
铁磁物质的饱和现象
当铁磁物质被磁化到一定程度后，其内部磁畴的排列达到极限状态，此
时即使再增加外磁场强度，铁磁物质的磁感应强度也不会再增加，这种
现象称为饱和现象。
04
电磁感应与暂态过程
法拉第电磁感应定律及应用
法拉第电磁感应定律内容
01
06
现代电磁技术应用与发展趋势
超导材料在电磁领域应用前景
超导材料的基本特性：零电阻、完全抗磁性
超导磁体在MRI、NMR等医疗设备中的应用
超导电缆在电力传输中的优势及挑战
高温超导材料的研究进展及潜在应用
光纤通信技术发展现状及趋势
电磁学第一章静电场.ppt
n
E Ei i 1
（4） 电场强度与电场力的关系 F q0 E
18
三、电场强度的计算
（1） 点电荷Q所产生电场的电场强度
电荷q 在电场中受力
F 4 0r 2 r0
F
Q
E q 4 0r 2 r0
r0 是由源电荷Q 指向场点. 场强方向是正电荷受力方向.
（2） 点电荷系所产生的电场的电场强度
2
3. 创设模型。物理学并不讳言自身只研究模型。模型并不全同 于真实，但物理学的成功正在于创造出许多成功的模型。模型是 “理想化”的，但不是“伪劣”的，它突出了许多表面上看是千差 别的物体最本质的特征,例如法拉第的“力线”模型的建立。
三、悟物穷理
学好物理学，关键是勤于思考，悟物穷理。
“细推物理须行乐，何用浮名绊此身”
一、电场线——用一簇空间曲线形象地描述场强的分布
1. 规定:曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为 在垂直于场强方向上单位面积上的电力线数目。
2. 电力线性质
E dN dS
1) 静电场电力线始于正电荷(或无穷远)终止于负电荷, 不会
在没有电荷处中断;
2) 两条电力线不会相交;
3) 静电场的电力线不会形成闭合曲线.
一、迎接挑战—关于电磁学的教学
1. 电磁学－研究对象的重大变化，必将引起基本观念、规律 性质的深刻变化，必将导致新的概念、新的研究方法、新 的描述手段和新的数学工具的出现，从而标志新的研究领域 的开辟，预示新的理论的诞生。
2.电磁场理论的研究由静止转为运动，由稳恒步入变化，最终 建立了一组十分优美而简洁的麦克斯韦方程组。它概括了麦 克斯韦之前所有的电磁经验定律。它不仅是物理学史上划时 代的伟大成就，也为理解什么是物理理论、怎样建立物理理 论提供了光辉的范例。
【精品】电磁场课件资料PPT课件
2
当 =0时 2 0
泊松方程 拉普拉斯方程
2
—拉普拉斯算子 2 2 2 2 x2 y 2 z 2
➢所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求
泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。
1.4.2 边值问题（Boundary Problem)
微分 方程
泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0
电磁场课件资料
1.2.2 静电场中的电介质
无极性分子
电介质的极化
有极性分子
➢电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列的电偶极子，
并在电介质内部和表面形成极化电荷。
用极化强度 P 表示电介质的极化程度，即
P
lim
V 0
p
V
C/m2 电偶极矩体密度
式中， p为体积元 V内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向
代入通解
图1.5.3 接地金属槽内
(x, y) 4U0 1 sin( nπ x)sh( nπ y) 的等位线分布
π n1 nshnπ a
a
n＝奇数
例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置 一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求
圆柱内外 和 E 的分布。
解：1）取圆柱坐标系，边值问题
均匀电场中的介质圆柱棒
给定空间某一区域内的电荷分布（或无电荷），
同时给定该区域边界上的电位或电场（边值，或称边
界条件），在这种条件下求该区域内的电位或电场强
度分布。
y
100V
例：试求长直接地金属槽内 电位的分布。
接地金属槽的截面
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
E 0
E
DE
D
E E E
电磁场1章
1.2.1 真空中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Vacuum)
1. E 的散度 作散度运算
E(r) 1
4π 0
V
r r' r r'3
(r
'
)dV
E(r) (r') 高斯定律的微分形式
0
E 0
E 0
E 0
说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。
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适用条件：
图1.1.1 两点电荷间的作用力
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;
真空中的介电常数 ε0 8.85 1012 F/m
思考 点电荷之间的作用力靠什么来传递？
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1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity )
定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F
E 线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）正交； 图1.1.11 点电荷与不接地导
体的电场
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图1.1.12 介质球在均匀电场中
图1.1.13 导体球在均匀电场中
图1.1.14 点电荷位于无限大介质上方 图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方
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1.2 高斯定律
Gauss’s Theorem
矢量恒等式 CF C F C F
r r' r r'3
r
1 r' 3
(r
0
r')
r
1 r' 3
(r
r')
r
1 r'3
(r
r')
3
r r' r r'3
电磁场讲义.ppt
第一章 矢量分析
❖ 场：物理量数值的无穷集合表示一种场。例 温度场 T r,t 与空间 r 、时间 t 有关。
场重要属性：占有空间。
• 静态场：与时间无关.
• 动态场或时变场：与空间和时间有关。
• 标量场：只需用标量函数描绘的场。例：T、t、、。
• 矢量场：需要物理矢量描绘的场。例：力场 F ，流速场 v 。
无线电远距离传播。 1894年 无线电报 1906年 无线电广播 1911年 导航 1916年 无线电话
6 2020/10/6 Jin Jie
前言
1921年 短波通信 1923年 传真 1929年 电视 1933年 微波通信 1935年 雷达 近代：无线电遥测、遥控、卫星通信、光纤通信、移动 通信等。
❖ 学习时抓概念，掌握公式、定理，灵活运用，独立完成习 题；注意总结与归纳。做课堂笔记。
四、参考书
•电磁场理论基础 牛中奇著 电子工业出版社
•电磁场理论基础 陈 重著 北京理工大学
•电磁场与波
冯恩信著 西安交通大学
•电磁场与电磁波 郭辉萍著 西安电子科技大学
•电磁学专题研究 陈秉乾著 高教出版社
•电磁场与电磁波教学指导书 赵家升等著 高教出版社
(直角坐标系)
矢量场强处场线稠密；弱处场线稀疏。 场线上的切线方向代表该处矢量场的方向。
14 2020/10/6 Jin Jie
第一章 矢量分析
1.2 矢量与矢量场的不变特性 （指与坐标系关系）
(1)空间点的曲线坐标与坐标系
空间中任一点与有序数 的曲线坐标。
一一对应，则称
坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即
8 2020/10/6 Jin Jie
第一章 矢量分析
《电磁学电磁场》PPT课件_OK
) dS
t
D
dS
(S) t
d
D
dS
d
全电流在任何情况下都
I I0 Id dt S
dt
是2连021/续8/2的9 ，具有闭合性
2
安培环路定理的推广
• 非恒定情况下，全电流为
I I0
(S)
(S)
改写为 H
(L)
D t
dl
dS
=
(S)
( j0
(S)
j0 dS
8
L
I0 ＋
L内SD源自dSt微分形式 介质方程
D = e0
E
=
B
D 0r E
B 0rH
t
j0
E.
B = 0
H = j0
D t
j0 (E + v B)
介质以速
度v运动
如果有任何非静电力
j0 (E + K)
2021/8/29
6
• 电磁场的规律由Maxwell方程组和介质性质的方程 决定
n (D2 D1) 0 n (E2 E1) 0
体与真空的
界面 n H外 j0
以上设界面上没有自由电荷和无传导电流 Maxwell 方 程 组
n两 (种j2导体j界1)面上 ，j法t0 向连n 续(，E2E切E向1)连续0
的微分形式+ 介质方程+边 界条件，唯一 地确定解
2021/8/29
• 位移电流与涡旋电场两个假说具有十分重要 的意义，不仅为建立统一的电磁场理论奠定 了基础，而且预言了电磁波的存在
• 例题1
• 例题2
2021/8/29
5
麦克斯韦方程组各向性同介性质线
大学物理电磁学PPT课件
磁场是电流周围存在的一种特殊物质，它 对放入其中的磁体或电流有力的作用。
磁场的描述
磁场对电流的作用
磁场可以用磁感线来描述，磁感线的疏密 表示磁场的强弱，磁感线的切线方向表示 磁场的方向。
磁场对放入其中的电流有力的作用，这个力 的大小与电流的大小、磁场的强弱以及电流 与磁场的夹角有关。
电磁感应定律
电磁感应现象
当闭合回路中的磁通量发生变化时，回路中就会 产生感应电流，这种现象称为电磁感应现象。
楞次定律
感应电流的方向总是要阻碍引起感应电流的磁通 量的变化，即“增反减同”。
法拉第电磁感应定律
感应电动势与磁通量变化率的负值成正比，即E=n(ΔΦ)/(Δt)，其中E为感应电动势，n为线圈匝数 ，ΔΦ为磁通量的变化量，Δt为时间的变化量。
在各向同性介质中传播特性
在各向同性介质中，平面电磁波的传播速度、传播方向和电场、磁场分量之间的关系遵 循一定的规律，如折射定律、反射定律等。
反射、折射和衍射现象
反射现象
当电磁波遇到介质界面时，一部分能量被反射回原介质，形成反 射波。
折射现象Βιβλιοθήκη 当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，传播方向会发生改变， 形成折射波。
互感现象
当两个线圈靠近并存在磁耦合时，一个线圈中的电流变化会在另一个线圈中产 生感应电动势。互感系数与两个线圈的形状、大小、匝数以及它们之间的相对 位置有关。
交流电路基本概念及分析方法
交流电路基本概念
交流电路是指电流、电压和电动势的大小和方向都随时间作周期性变化的电路。与交流电相对应的是直流电，其 电流、电压和电动势的大小和方向均不随时间变化。
06
电磁学实验方法与技巧
常见电磁学实验仪器介绍
电磁场课件
06
电磁波的传播与散射
电磁波的传播特性
电磁波在真空中传播
电磁波可以在真空中传播，不受介质的影响 。
电磁波的传播速度
电磁波的传播速度等于光速，不受频率和波 长的影响。
电磁波的偏振
电磁波具有偏振现象，即电场和磁场的方向 在传播过程中会发生改变。
大气层对电磁波的影响
大气层对可见光的影响
大气层对可见光的透射性较好，因此我们可以直接看到太阳和星星。
详细描述
塞贝克效应是由于两种材料的热膨胀系数不同，使得回路中的热电势发生变化，从而产生了塞贝克电 流。利用塞贝克效应可以制造出一些具有温度控制功能的电子器件，如塞贝克发电机和塞贝克热电机 等。
磁致伸缩效应
总结词
磁致伸缩效应是指铁磁性材料在磁场作用下发生长度或体积的变化现象。
详细描述
磁致伸缩效应是由于铁磁性材料内部的磁畴结构发生变化而引起的。利用磁致伸缩效应可以制造出一些具有特殊 性能的电子器件，如磁致伸缩换能器和磁致伸缩传感器等。
性质 时变电磁场具有周期性变化的性 质，并且满足法拉第电磁感应定 律和麦克斯韦方程组。
应用 时变电磁场在日常生活中有广泛 应用，如交流电、电磁波等。
02
电磁场基本性质
麦克斯韦方程组
01
02
03
静电场方程
描述电荷在空间中产生的 电场强度和电势分布。
恒定磁场方程
描述电流在空间中产生的 磁场强度和磁势分布。
光子与原子相互作用
光子与原子相互作用时，会使原子发 生能级跃迁，放出或吸收能量。
04
电磁场的应用
无线通信
无线电广播与电视
卫星通信
利用电磁波传输声音和图像信号，实 现无线广播和电视通信。
电磁场理论课件 静电场一.ppt
18
高斯定理的应用------求对称电荷分布的场强分布
球、面、轴对称的电场分布以及球、面、轴对称的电 场的叠加。
利用高斯定理的解题步骤：
１、对称分析；
２、选择合适的高斯面，求高斯定理等式左端的通量； 求处高相斯等定 或理 分等 片式 相右 等端或的与面面内垂总直电，荷以；便（将要E 提求到面积上分场号强处 外； 要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等， 以便将cosθ提到积分号外；要求高斯面应是简单的几何 面，以便计算面积）
§1-12 静电场的边值问题
2
§1-1 电场与电场强度
电场的物质性与电场强度
摩擦生电(或接触起电)这一现象的最古老的发现 者是我们的祖先和古希腊人。在我国古代的书籍中， 曾有“玳瑁拾芥”的记载。
带电体周围的空间，存在着一种特殊运动形态的 物质——电场。
当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场
给予的力。这种力，人们通常称之为电场力。电场能
要保证电荷分布的实际情况不变， 可以单独在半径为R1的球体内再填充 图1-6 体密度为-ρ 的体积电荷，两种电荷 分布的叠加可使该球体内不带电荷。
例1-3图
22
单r1 为独球考心虑O填1至充半了径-ρE为1的R1R3的1球0r球1 体体内内，场显点然P 有
因此，取E 球 E形1 空 E腔2 内任30一r1 点3Pr，20 它3的0 场r2强 r为1
(cos1
cos2
)
(1-9) (1-10)
式中：r为场点到带电直线的距离；θ 1和θ 2分别是带 电直线的两端点到场点的矢径方向与正z轴方向之间的
夹角。
12
可以进一步看到，当L→∞，即带电直线为无限长
直线时，有θ 1→0,θ 2→π 。这时，由式(1-9)和式(1-
高斯定理的应用------求对称电荷分布的场强分布
球、面、轴对称的电场分布以及球、面、轴对称的电 场的叠加。
利用高斯定理的解题步骤：
１、对称分析；
２、选择合适的高斯面，求高斯定理等式左端的通量； 求处高相斯等定 或理 分等 片式 相右 等端或的与面面内垂总直电，荷以；便（将要E 提求到面积上分场号强处 外； 要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等， 以便将cosθ提到积分号外；要求高斯面应是简单的几何 面，以便计算面积）
§1-12 静电场的边值问题
2
§1-1 电场与电场强度
电场的物质性与电场强度
摩擦生电(或接触起电)这一现象的最古老的发现 者是我们的祖先和古希腊人。在我国古代的书籍中， 曾有“玳瑁拾芥”的记载。
带电体周围的空间，存在着一种特殊运动形态的 物质——电场。
当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场
给予的力。这种力，人们通常称之为电场力。电场能
要保证电荷分布的实际情况不变， 可以单独在半径为R1的球体内再填充 图1-6 体密度为-ρ 的体积电荷，两种电荷 分布的叠加可使该球体内不带电荷。
例1-3图
22
单r1 为独球考心虑O填1至充半了径-ρE为1的R1R3的1球0r球1 体体内内，场显点然P 有
因此，取E 球 E形1 空 E腔2 内任30一r1 点3Pr，20 它3的0 场r2强 r为1
(cos1
cos2
)
(1-9) (1-10)
式中：r为场点到带电直线的距离；θ 1和θ 2分别是带 电直线的两端点到场点的矢径方向与正z轴方向之间的
夹角。
12
可以进一步看到，当L→∞，即带电直线为无限长
直线时，有θ 1→0,θ 2→π 。这时，由式(1-9)和式(1-
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思考 1. 两根无限长的长直平行导线之间的电 位分布？ 答:课本p44,公式(1-85):
ln 2 2 0 1
思考 2. 如果不考虑大地的影响，答: C 0 / ln(2d / a) 则相应的两导线对应系统的电容 如何求？
图4-3 考虑大地影响时的分析
当考虑大地影响时，设两根电线各 自带电为 1,2 , 并设一般关系为
We
1 2
V
•
DdV
1 2
V
D•
EdV
1 2
S D •
dS
(这里利用关系：•(D) • D D• ).
根据高斯散度定律和 r
We
1 2
V
D
•
EdV
分别称为场强能量公式和电位能量公式. 对于各向同性的线性介质中，上式变为
We
电常数有关, 与带电量等无关； 4) 在n+1个导体构成的系统中, 共有
Cn21 n(n 1) / 2 个部分电容；
例：看课本图1－33，思考其化简电路。
例 1-19 计算考虑大地影响时两线传输系统的 各个部分电容，这里设两个输电线距离地面的
高度分别为 h1, h2 , 线间的距离为 d , 导线的半径 为 a，且a d, a h. 如图所示.
12
111 122; 211 222
a
利用镜像法，并设电轴与导线的
几何轴线相重合. 分别独立地求解 11,21 和 12 ,22 , 得
1
1 2 0
ln(
2h1 ) a
2 2 0
ln(
D d
)
2
1 2 0
ln(
2
|q1 0
1 (
4 0 R2
1
4 0 2h2
)q2
a22
1
q2
|q1 0
1
4 0 R2
1
4 0 2h2
解题示意图
解电位系数构成的方程组得
q1
A11 A
1
A12 A
2
A13 A
3
111
122
133;
q2
A21 A
11 0 21 0
若已知条件为导体间的电压，有 必要对上面的公式进行改写：
q1 (11 12 13)(1 0) 12 (1 2 ) 13(1 3 ) q2 21(1 2 ) (21 22 23)(2 0) 23(3 2 ) q3 31(1 3 ) 32 (2 3 ) (31 32 33)(3 0)
ii : 自有电位系数；
ij (i j) ：互有电位系数，是j导体带电时, 在第 i个导体产生的电位.
基本性质说明
11
1
q1
| , q2 q3 0
qq11带带正负电电，，则则11电电位位为为正负 11>0
21
2
q1
| , q2 q3 0
图 电位系数的基本性质
...
En1
En
)dV
概念：上式对应的两项分别称之为 自有能量和互有能量
图1-9 求原子的结合能
例1-24 一个原子可以看成是由一个带正电的原子 核,被总电荷量等于(-q) 且均匀分布的负电荷 云包围，试求原子的结合能.
根据P18例1－8:
取a=0
a
再根据前面P54例1-21的结论
1
A22 A
2
A23 A
3
211 222
233;
q3
A31 A
1
A32 A
2
A33 A
3
311 322
333.
A det[ij ], Aij 代数余子式
称
ij
Aij A
为自有感应系数；ii
互有感应系数;
它们具有性质(说明在后面图示)：
C10 C20
2C 0.032 10
联立上两式可求部 分电容
图1-7 等效电容计算
补充: 三相输电线一相工作电容(如图所示)
记
C10 C20 C30 Ckk C12 C23 C31 Cij
例 为了测定对称的三芯输电线的各部分电容，将 三根缆芯连在一起，测得它们与电缆铅皮间的电
可以计算互有能
习题1-18 空气中，相距为1cm的两块平行导电平板充电 到100V后脱离电源, 然后将厚度为1mm的绝缘导电片 插入两板间, 问:
1) 忽略边缘效应, 导电片吸收了多少能量? 这部分能量起 到何作用？两板间的电压和电荷改变量各为多少？最 后储存在其中的能量多大？
注意
1) 带电导体的能量与场强之间满足平方关系而 不再是线性关系
2) 用电位表达的能量公式和用场强 表示的能量公式中的V是不同的.
例 1-21 真空中一半径为 a 的球体内分布有体密度为
常量的电荷，求静电能量.
解法一: 使用高斯定律
解法二: 使用电位函数
图5-2 以体密度分布的带点球体的能量计算过程
q1 C11U10 C12U12 C13U13, q2 C21U 21 C22U 20 C23U 23, q3 C31U31 C32U32 C30U30 ,
Cko :自有部分电容, Cij :互有部分电容；
部分电容主要性质
1) Cij 0 ； 2) Cij C ji ; 3) 其值仅仅与导体的形状尺寸位置及介质的介
例子: 多极管(等效电容); 三相输电线; 考虑大地影响时的两相输电线等等.
考虑一个(n+1)导体组成的静电独立系统。
nk 0 qk 0
考虑三个导体组成的静电独立系统(看图3-1)。
检查图中A 点的电位
设三个导体电量分别是 q1, q2, q3 ，则它们在 A
点产生的电位分别是:
A1
2
V
|
E
|2dV
注: 两个导体组成系统电容的能量推导为
q q1 q2 , 1 2
We
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q(1
2 )
1 qU 1 CU 2 1 q2
2
2
2C
定义: 任意一点能量密度定义为:
w'e
1 2
D
E(
2
|
E
|2 )
q1
4 0r1
A1q1;
A2
q2
4 0r2
A2q2;
A3
q3
4 0r3
A3q3.
A
3 k
1
Ak
qk
特别把点A 分别取在三个导体上得：
1 11q1 12q2 13q3; 2 21q1 22q2 23q3; 3 31q1 32q2 33q3.
2）一相的工作电容:
CY 3C 3C12
CP CY C10 3C12 C10 0.047F
qq12
C10U10 C21U 21
C12U12 C20U20
C12 C21 0
q1 C10U10 q2 C20U 20
图1-6 静电屏蔽效应
图5-1 推导静电场能量过程
m=0代表充电开始和m=1代表结束
mq, m, m
0
m
1
电场能量公式的推导
We 01[VA]dm 01[V '(x, y, z)q]dm
01[V
'(x,
y,
z)dV ]dm
1
0
mdmV
(x,
y,
z)dV
1
2 V
dV
,
2
1 (
4 0d
1
4 0D )q1
则
a21
2
q1
|q2 0
1
4 0 d
1
4 0 D
解题示意图
令 q2 0, q1 0 , 可得
1
|q1 0
1 (
4 0d
1
4 0 D )q2
a12
1
q2
|q1 0
1
4 0d
1
4 0 D
D) d
2 2 0
ln(
2h2 a
)
重复电容和电感的公式的推导过程，可得
C10
C20
11
12
ln
2h
2 0
4h2
d2
d
C12
C21
12
(ln
2 0 ln
4h2 d
2h )2 (ln 4h2
d2 d2
)2
a
d
求等效电容(两导体的等效电容是指从这两个导体
一般地电位系数具有下面性质： (1) ij 0 (2) ii ij (3) ij ji (4) 仅与导体系统的物理特性有关；
例 如图所示地面附近有两个半径为R1的带电小球 , 电荷量分别为q1和q2. 选择地面为零号导体, 求该 系统的电位系数.
解: 这是三导体组成一个静电独立系统.
ln 2 2 0 1
思考 2. 如果不考虑大地的影响，答: C 0 / ln(2d / a) 则相应的两导线对应系统的电容 如何求？
图4-3 考虑大地影响时的分析
当考虑大地影响时，设两根电线各 自带电为 1,2 , 并设一般关系为
We
1 2
V
•
DdV
1 2
V
D•
EdV
1 2
S D •
dS
(这里利用关系：•(D) • D D• ).
根据高斯散度定律和 r
We
1 2
V
D
•
EdV
分别称为场强能量公式和电位能量公式. 对于各向同性的线性介质中，上式变为
We
电常数有关, 与带电量等无关； 4) 在n+1个导体构成的系统中, 共有
Cn21 n(n 1) / 2 个部分电容；
例：看课本图1－33，思考其化简电路。
例 1-19 计算考虑大地影响时两线传输系统的 各个部分电容，这里设两个输电线距离地面的
高度分别为 h1, h2 , 线间的距离为 d , 导线的半径 为 a，且a d, a h. 如图所示.
12
111 122; 211 222
a
利用镜像法，并设电轴与导线的
几何轴线相重合. 分别独立地求解 11,21 和 12 ,22 , 得
1
1 2 0
ln(
2h1 ) a
2 2 0
ln(
D d
)
2
1 2 0
ln(
2
|q1 0
1 (
4 0 R2
1
4 0 2h2
)q2
a22
1
q2
|q1 0
1
4 0 R2
1
4 0 2h2
解题示意图
解电位系数构成的方程组得
q1
A11 A
1
A12 A
2
A13 A
3
111
122
133;
q2
A21 A
11 0 21 0
若已知条件为导体间的电压，有 必要对上面的公式进行改写：
q1 (11 12 13)(1 0) 12 (1 2 ) 13(1 3 ) q2 21(1 2 ) (21 22 23)(2 0) 23(3 2 ) q3 31(1 3 ) 32 (2 3 ) (31 32 33)(3 0)
ii : 自有电位系数；
ij (i j) ：互有电位系数，是j导体带电时, 在第 i个导体产生的电位.
基本性质说明
11
1
q1
| , q2 q3 0
qq11带带正负电电，，则则11电电位位为为正负 11>0
21
2
q1
| , q2 q3 0
图 电位系数的基本性质
...
En1
En
)dV
概念：上式对应的两项分别称之为 自有能量和互有能量
图1-9 求原子的结合能
例1-24 一个原子可以看成是由一个带正电的原子 核,被总电荷量等于(-q) 且均匀分布的负电荷 云包围，试求原子的结合能.
根据P18例1－8:
取a=0
a
再根据前面P54例1-21的结论
1
A22 A
2
A23 A
3
211 222
233;
q3
A31 A
1
A32 A
2
A33 A
3
311 322
333.
A det[ij ], Aij 代数余子式
称
ij
Aij A
为自有感应系数；ii
互有感应系数;
它们具有性质(说明在后面图示)：
C10 C20
2C 0.032 10
联立上两式可求部 分电容
图1-7 等效电容计算
补充: 三相输电线一相工作电容(如图所示)
记
C10 C20 C30 Ckk C12 C23 C31 Cij
例 为了测定对称的三芯输电线的各部分电容，将 三根缆芯连在一起，测得它们与电缆铅皮间的电
可以计算互有能
习题1-18 空气中，相距为1cm的两块平行导电平板充电 到100V后脱离电源, 然后将厚度为1mm的绝缘导电片 插入两板间, 问:
1) 忽略边缘效应, 导电片吸收了多少能量? 这部分能量起 到何作用？两板间的电压和电荷改变量各为多少？最 后储存在其中的能量多大？
注意
1) 带电导体的能量与场强之间满足平方关系而 不再是线性关系
2) 用电位表达的能量公式和用场强 表示的能量公式中的V是不同的.
例 1-21 真空中一半径为 a 的球体内分布有体密度为
常量的电荷，求静电能量.
解法一: 使用高斯定律
解法二: 使用电位函数
图5-2 以体密度分布的带点球体的能量计算过程
q1 C11U10 C12U12 C13U13, q2 C21U 21 C22U 20 C23U 23, q3 C31U31 C32U32 C30U30 ,
Cko :自有部分电容, Cij :互有部分电容；
部分电容主要性质
1) Cij 0 ； 2) Cij C ji ; 3) 其值仅仅与导体的形状尺寸位置及介质的介
例子: 多极管(等效电容); 三相输电线; 考虑大地影响时的两相输电线等等.
考虑一个(n+1)导体组成的静电独立系统。
nk 0 qk 0
考虑三个导体组成的静电独立系统(看图3-1)。
检查图中A 点的电位
设三个导体电量分别是 q1, q2, q3 ，则它们在 A
点产生的电位分别是:
A1
2
V
|
E
|2dV
注: 两个导体组成系统电容的能量推导为
q q1 q2 , 1 2
We
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q(1
2 )
1 qU 1 CU 2 1 q2
2
2
2C
定义: 任意一点能量密度定义为:
w'e
1 2
D
E(
2
|
E
|2 )
q1
4 0r1
A1q1;
A2
q2
4 0r2
A2q2;
A3
q3
4 0r3
A3q3.
A
3 k
1
Ak
qk
特别把点A 分别取在三个导体上得：
1 11q1 12q2 13q3; 2 21q1 22q2 23q3; 3 31q1 32q2 33q3.
2）一相的工作电容:
CY 3C 3C12
CP CY C10 3C12 C10 0.047F
qq12
C10U10 C21U 21
C12U12 C20U20
C12 C21 0
q1 C10U10 q2 C20U 20
图1-6 静电屏蔽效应
图5-1 推导静电场能量过程
m=0代表充电开始和m=1代表结束
mq, m, m
0
m
1
电场能量公式的推导
We 01[VA]dm 01[V '(x, y, z)q]dm
01[V
'(x,
y,
z)dV ]dm
1
0
mdmV
(x,
y,
z)dV
1
2 V
dV
,
2
1 (
4 0d
1
4 0D )q1
则
a21
2
q1
|q2 0
1
4 0 d
1
4 0 D
解题示意图
令 q2 0, q1 0 , 可得
1
|q1 0
1 (
4 0d
1
4 0 D )q2
a12
1
q2
|q1 0
1
4 0d
1
4 0 D
D) d
2 2 0
ln(
2h2 a
)
重复电容和电感的公式的推导过程，可得
C10
C20
11
12
ln
2h
2 0
4h2
d2
d
C12
C21
12
(ln
2 0 ln
4h2 d
2h )2 (ln 4h2
d2 d2
)2
a
d
求等效电容(两导体的等效电容是指从这两个导体
一般地电位系数具有下面性质： (1) ij 0 (2) ii ij (3) ij ji (4) 仅与导体系统的物理特性有关；
例 如图所示地面附近有两个半径为R1的带电小球 , 电荷量分别为q1和q2. 选择地面为零号导体, 求该 系统的电位系数.
解: 这是三导体组成一个静电独立系统.