2014届中考数学第一轮基础课件 第2讲 实数的运算与实数的大小比较
中考数学总复习 第2讲 实数的运算及大小比较课件 新人教版精品
后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号， 先做括号内的运算 .中小学课件
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1．在 3,0,6，－ 2 这四个数中，最大的数是( A． 0 C．－2 B． 6 D． 3
B
)
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2．－2 ×(－2) ＋2 的结果是( B A．18 C．0 B．－30 D．34
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3 解析：A 中， － 27＝－ 3，故 A 错误；B 中，∵π 1 －1 － 3.14≠0， ∴(π－ 3.14) ＝ 1，故 B 正确； C 中， ( ) 2
0
＝ 2，故 C 错误； D 中， 16＝ 4，故 D 错误．故选 B.
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4．已知 a 为实数，那么 －a2等于( D A．a C．－1 B．－a D．0
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3
7．已知非负整数 x 满足：－ 11≤x≤ 2，则 x ＝ 0 或 1. 解析：∵－ 11＜0， 2＞1，又∵x 是非负整数， ∴x＝0 或 1.
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8．用“*”定义新运算，对于任意实数 a，b，都有 a*b＝b ＋1，例如 7*4= 4 +1=17，那么 5*3= 10 .
)
2 － a ≥0， 解析：∵ 2 ∴a2＝0，即 a＝0. a ≥0，
∴ －a2＝0.故选 D.
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5．已知|a－1|＋ 7＋b＝0，则 a＋b＝( B A．－8 B．－6 C．6 D．8
)
解析：∵|a－1|＋ 7＋b＝0， ∴|a－1|＝0， 7＋b＝0， ∴a＝1，b＝－7.∴a＋b＝1－7＝－6. 故选 B.
第2讲
实数的运算及大小比较
(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第2讲 实数的运算及实数的大小比较课件 华东师大版
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称； (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表 示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反 数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解 决实数的有关问题．
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之四 探索实数中的规律
两个实数的大小比较方法有： (1)正数大于零，负数小于零； (2)利用数轴； (3)差值比较法； (4)商值比较法； (5)倒数法； (6)取特殊值法； (7)计算器比较法等．
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之三 实数与数轴
命题角度： 1．实数与数轴上的点一一对应关系； 2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4．利用数轴进行代数式的化简．
第2讲┃ 实数的运算及实数的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的运算
内容 运算 法则 运算 性质 运 算 顺 序 在实数范围内，加、减、乘、除 (除数不为零 )、乘方都可 以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进 行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方 有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左 至右依次进行运算 提醒 (1)零指数、负整数指 数的意义． 防止以下 1 错误：① 3－ 2＝－ ；② 9 1 2a－ 2＝ 2； (2)遇到绝 2a 对值一般要先去掉绝对 值符号，再进行计算； (3)无论何种运算，都 要注意先定符号后运算
第2讲┃ 回归教材
3．[2013· 大理] 写出一个大于 2 且小于 4 的无理数： 答案不唯一，比如 5，π 等 ． ________________________
中考数学复习《实数的计算及大小比较》教学课件
网络构建
实数的运算
1．有理数的运算律在实数范围内仍适用 加法交换律：_a_＋__b_＝__b_＋__a； 加法结合律：_(a_＋__b_)_＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_) ； 乘法交换律：_a_b_＝__b_a； 乘法结合律：_(a_b_)_c_＝__a_(_b_c_) ； 分配律：_a_(_b_＋__c)_＝__a_b_＋__a_c_．
【例题3】 (2012·杭州)某企业向银行贷款1 000万元，一年后 归还银行1 065.6多万元，则年利率高于________%. 解析 因为向银行贷款1 000万元，一年后归还银行1 065.6多万元， 则年利率是(1 065.6－1 000)÷1 000＝0.065 6＝6.56%， 则年利率高于6.56%. 答案 6.56
1．认真审题，理清实际问题中的数量关系； 2．正确理解打折、利润、利润率、增长率、税率、多、 少、倍、分等概念．
【预测3】 “五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部 商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服， 打折后他比按原价购买节省了____元． 解析 八折后的售价为140×0.8＝112(元)， 节省的钱数为140－112＝28(元)． 答案 28
【预测1】 定义新运算：对任意实数a、b，都有a⊗b＝a2 －b.例如3⊗2＝32－2＝7，那么2⊗1＝________. 解析 ∵a⊗b＝a2－b，∴2⊗1＝22－1＝3. 答案 3
对接点二：实数大小的比较
常考角度：1.有理数大小的比较； 2．无理数大小的比较； 3．数轴上两个实数大小的比较； 4．两个正实数大小的特殊比较法．
易错点2：对幂的运算不熟练，导致在计算过程中出现符 号的错误．
辨识：正确理解乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算．
2014中考数学一轮复习实数及运算教案ppt课件
触类旁通 1
3 1 －1 (1)下列五个实数： －8 ，0，tan 45°，－|－3|，( ) .其
2
中正数的和为 ( A．4
于4，选A.
A
)
1 2
B ．5
C．6
D．7
解析：(3－π)0＋tan45°＋ ( )－1＝1＋1＋2＝4，这三个正数的和等
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是
(
B
么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为(
C
)
A. 3.2× 107L B. 3.2× 106L C. 3.2× 105L D. 3.2× 104L
解析：0.32× 100万＝0.32× 106＝3.2× 105(L)． (2)下列近似数中精确到千位的是 ( C )
A．90200
C．3.4× 104
B
)
•5．2013年北京） 在《关于促进城市南部地区加快发展 第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了 总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学记数法表 示应为（B ） •A. 39.6×102 B. 3.96×103 • C. 3.96×104 D. 0.396×104
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜ 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3 960 ＝3.96×103
a ． 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作______ 3
5
3.零指数幂，负整数指数幂：
任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，
即
a － p＝
1 p(a≠0，p为正整数) a
中考数学 第2讲 实数的运算及大小比较
第2讲实数的运算及大小比较考点1平方根、算术平方根、立方根名称定义性质平方根如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根.记作±a.正数的平方根有两个，它们互为①；③没有平方根；0的平方根是② .算术平方根如果x2=a(x>0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.记作a.0的算术平方根是④ .立方根若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3a.正数有一个⑤立方根；0的立方根是0；负数有一个⑥立方根.考点2实数的大小比较代数比较规则正数⑦，负数⑧，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而⑨ .几何比较规则在数轴上表示的两个数，左边的数总是⑩右边的数.考点3实数的运算内容运算法则加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等.特别地，a0=⑪ (其中a≠0)，a-p=⑫ (其中p为正整数，a≠0).运算律交换律、结合律、分配律.运算性质有理数一切运算性质和运算律都适应于实数运算.运算顺序先算乘方、开方，再算⑬，最后算⑭，有括号的要先算⑮的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.1.比较实数的大小可直接利用法则进行比较，还可以采用作差法、倒数法及估算法，也可借助数轴进行比较.2.实数混合运算时，根据每个算式的结构特征，选择适当的方法，灵活运用运算律，就会收到事半功倍的效果.命题点1 平方根、算术平方根、立方根例1 (2014·东营) 81的平方根是( )A.±3B.3C.±9D.9方法归纳：解此类题需要先将原数化简，再根据平方根与算术平方根的概念、关系及符号的表示，并在此基础上正确运算.1.(2014·陕西)4的算术平方根是( )A.-2B.2C.-12D.122.(2013·资阳)16的平方根是( )A.4B.±4C.8D.±83.(2014·威海)若a3＝-8，则a的绝对值是( )A.2B.-2C.12D.-124.(2013·宁波)实数-8的立方根是 .5.(2014·河南)计算:327-|-2|= . 命题点2 实数的大小比较例2 (2014·南昌模拟)51212.(填“>”“<”或“=”)方法归纳：比较实数的大小除了基本的“正数负数”原则和方法外，还可采用作差法，倒数法，估算法，也可借助数轴进行比较.1.(2014·菏泽)比-1大的数是( )A.-3B.-109C.0D.-12.(2014·益阳)四个实数-2，0，-2，1中，最大的实数是( )A.-2B.0C.-2D.13.(2015·苏州模拟)如图所示，是数a，b在数轴上的位置，下列判断正确的是( )A.a<0B.a>1C.b<-1D.b>-14.(2014·重庆A卷)2014年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是-4 ℃、5 ℃、6 ℃、-8 ℃，当时这四个城市中，气温最低的是( )A.北京B.上海C.重庆D.宁夏命题点3 实数的运算例3 (2014·泸州)计算：12-4sin60°+(π+2)0+(12)-2.【思路点拨】先将代数式中的各部分化简，再进行有理数的加减. 【解答】方法归纳：解答本题的关键是掌握零指数幂a0=1(a≠0)、负整数指数幂a-n=1na(a≠0,n是正整数)、算术平方根和乘方的意义.正确运用整数指数幂的运算法则进行计算，不要出现(12)-2= - (12)2这样的错误.1.(2014·荆门)若( )×(-2)＝1，则括号内填一个实数应该是( )A.12B.2C.-2D.-122.(2014·菏泽)下列计算中，正确的是( ) A.a 3·a 2＝a6B.(π-3.14)0＝1 C.(13)-1＝-3 D.9＝±3 3.(2014·十堰)计算4+(π-2)0-(12)-1= . 4.(2014·重庆A 卷)计算4+(-3)2-2 0140×|-4|+(16)-1.5.(2014·长沙)计算：(-1)2 014+38-(13)-1+2sin45°.1.(2014·江西)下列四个数中，最小的数是( ) A.-12B.0C.-2D.2 2.(2014·枣庄)2的算术平方根是( )A.±2B.2C.±4D.4 3.(2014·潍坊)()321-的立方根是( )A.-1B.0C.1D.±1 4.(2014·德州)下列计算正确的是( )A.(-3)2＝-9B.327=3C.-(-2)0＝1 D.|-3|= -35.(2014·绍兴)比较-3，1，-2的大小，正确的是( )A.-3＜-2＜1B.-2＜-3＜1C.1＜-2＜-3D.1＜-3＜-26.(2014·重庆B 卷)某地连续四天每天的平均气温分别是：1℃，-1℃，0℃，2℃，则平均气温中最低的是(A ) A.-1℃ B.0℃ C.1℃ D.2℃7.(2014·宁波)杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图.则这4筐杨梅的总质量是( )A.19.7千克B.19.9千克C.20.1千克D.20.3千克 8.(2013·宜昌)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( )A.a+b ＝0B.b ＜aC.ab ＞0D.|b|＜|a|9.(2014·徐州)点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中A 、B 表示的数分别为-3、1.若BC=2，则AC 等于( )A.3B.2C.3或5D.2或610.(2014·梅州)4的平方根是 .11.(2014·陕西)计算(-13)-2= .12.(2014·滨州)计算：-3×2+(-2)2-5= .13.(2014·资阳)计算：38+(2-1)0= .14.(2013·西双版纳)若a＝-78，b=-58，则a、b的大小关系是a b(填“＞”“＜”或“=”).15.(2013·杭州)把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 .16.(2014·梅州)计算：(π-1)0+|2-2|-(13)-1+8.17.(2014·南充)计算：(2014-1)0-(3-2)+3tan30°+(13)-1.18.(2014·内江)计算：2tan60°-|3-2|-27+(13)-1.19.(2015·南充模拟)如图一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m.(1)求m的值；(2)求|m-1|+(m+2 014)0的值.20.如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是( )555521.(2013·泰安)观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2 187，….解答下列问题：3+32+33+34+…+32 013的末尾数字是( )A.0B.1C.3D.722.(2013·常德)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3-2=18+7-6-5=415+14+13-12-11-10=924+23+22+21-20-19-18-17=16……根据以上规律可知第100行左起第一个数是 .23.(2013·黄石)在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表：十进位制0 1 2 3 4 5 6 …二进制0 1 10 11 100 101 110 …请将二进位制10101010(二)写成十进位制数为 .参考答案考点解读①相反数②负数③0 ④0 ⑤正的⑥负的⑦大于⑧小于⑨小⑩小于⑪1 ⑫1pa⑬乘除⑭加减⑮括号内各个击破例1A题组训练 1.B 2.B 3.A 4.-2 5.1例2 ＞题组训练 1.C 2.D 3.C 4.D例3 原式=23-4×3+1+(2-1)-2=23-23+1+22=1+4=5.题组训练 1.D 2.B 3.14.原式=2+9-1×4+6=13.5.原式=1+2-3+2×22＝1.整合集训1.C2.B3.C4.B5.A6.A7.C8.D9.D10.±211.912.-713.314.＜15.7377 16.原式22217.原式3+2+3×3333+3=6.18.原式＝+3＝1.19.(1)∵蚂蚁从点A向右爬2个单位到达点B，∴点B所表示的数比点A所表示的数大2.∵点A表示B所表示的数为m,∴(2)原式020.C 21.C22.10 200提示：第n行第一个数为：(n+1)2-1.23.170提示：10101010(二)=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×2=128+32+8+2=170.。
2014年中考数学专题复习第2讲：实数的运算(含详细参考答案)
2014年中考数学专题复习第二讲：实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算。
1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。
2、运算法则：加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a ) 2n +1 = (-a ) 2n =3、运算定律：加法交换律：a+b=加法结合律：(a+b)+c=乘法交换律：ab=乘法结合律：（ab ）c=分配律： （a+b ）c=二、零指数、负整数指数幂。
0a = （a ≠0） a -p = （a ≠0）【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（31）-1= 】 三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。
【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可的大小，可以先确定10和65以式灵活选用。
如：比较的取值范围，然后得结论：10+2 65-2。
】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
例1 （2012•西城区）已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式a 2-a-b 的值为 ． 思路分析：由于3＜13＜4，由此可得13的整数部分和小数部分，即得出a 和b ，然后代入代数式求值．解：∵3＜13＜4，∴a=3，b=13-3，则a 2-a-b=32-3-（13-3）=9-3-13+3=9-13，故答案为：9-13．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．例 2 （2012•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=515+，乙=317+，丙=119+，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（ ）A ．丙＜乙＜甲B ．乙＜甲＜丙C ．甲＜乙＜丙D ．甲=乙=丙思路分析：本题可先估算无理数15,17,19的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．解：∵3=9＜15＜16=4，∴8＜5+15＜9，∴8＜甲＜9；∵4=16＜17＜25=5，∴7＜3+17＜8，∴7＜乙＜8，∵4= 16＜19＜25=5，∴5＜1+19＜6，∴丙＜乙＜甲故选A ．点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．对应训练1．（2012•南京）12的负的平方根介于（ ）A ．-5与-4之间B ．-4与-3之间C ．-3与-2之间D ．-2与-1之间1．B ．2．（2012•宁夏）已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜11＜b ，则a+b= ．2．7考点二：实数的混合运算。
中考数学第一轮基础复习 第2讲 实数的运算与实数的大小比较课件
规则
的数总是大于__左__边____的数
第三页，共20页。
考点3 比较(bǐjiào)实数大小的常用方法
差值比较法
设a, b是任意两实数，则a－b>0⇔a>b；a－ b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b
商值比较法
设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝ 1⇔a＝b； a/b <1⇔a<b
<0,
∴x<x1， ∴x2<x<1x.
第八页，共20页。
两个实数的大小比较(bǐjiào)方法有：(1)正数大于零 ，负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较(bǐjiào)法； (4)商值比较(bǐjiào)法；(5)倒数法；(6)取特殊值法，(7) 计算器比较(bǐjiào)法等．
第九页，共20页。
运算，都要注意先定
符号后运算
第二页，共20页。
考点2 实数(shìshù)的大小比较
代数比较 规则
正数__大__于____零，负数_小__于___零，正 数__大__于____一切负数；两个正数，绝 对值大的较大；两个负数，绝对值大
的反而__小______
几何比较 在数轴上表示的两个实数，___右_边__(_y_òu bian)
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
第十四页，共20页。
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 ＝12×1－13＋12×13－15＋12×15－17＋12×17－19＋…＋12× 1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋17－19 ＋ …＋1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋71－19＋…＋1199－2101 ＝12×1－2101＝12×220010＝120001.
中考数学总复习第一单元数与式第02课时实数的运算与大小比较课件
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 实数的运算
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值① 相加
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值② 减去 较小的绝对值.互为相反数的两个 加法
数相加得 0
实
一个数同 0 相加,仍得这个数
运
数
减法 减去一个数,等于③ 加上 这个数的④ 相反数
高频考向探究
2. [2017·内江改编] 观察下列等式:
第一个等式:a1=1+3×
2 2+2×22
=2+1 1-221+1;第二个等式:a2=1+3×
22 22 +2× (22
)2
=221+1-231+1;
第三个等式:a3=1+3×
23 23 +2× (23
)2
=231+1-241+1;第四个等式:a4=1+3×
探究二 实数的大小比较
【命题角度】
(1)直接比较两个数的大小;
(2)在一组数中找出最大或最小的数.
例 2 [2017·北京] 写出一个比 3 大且比 4 小的无理
数
.
[答案] π(答案不唯一) [解析] 设这个无理数为 x,则有
3<x<4,∴ 9<x< 16,故答案不唯一,
如 π, 10, 11, 12, 13, 14, 15等 都可以.
输入下一个方框继续进 行运算),则输出的结果为 3 .
5. [七下 P59 习题第 4(3)题改编]
计算:
1
2
+
1
0
第2课时 实数的运算及实数的大小比较(共18张PPT)
2 3 4 2013
＝2
2014
－1.
(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，两
边乘2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所 求式子的值； (2)同理即可得到所求式子的值．
考点聚焦 归类探究 回归教材
解
2 11
(1)设S＝1＋2＋2 ＋2 ＋…＋2 ，
3 4 11 11
2
3
10
③ (2)(2015· 邵阳)下列计算中正确的序号是___.
① 2 5 - 5 ＝2
3 ②sin30°＝ 2
③|-2|=2
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1 -1 0 ( ) 2 1 (3) (2015·怀化)计算： +4sin30° 2 - (3 π ) + 9 .
(4)
（2015·岳阳）计算： (1)4 -2tan60° +(
解
原式＝4－7＋3＋1-1＝0.
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0
3 - 2)0 + 12
1 -2 ( - 5sin 20? ) ( ) - 24 3 27 (5) （2015·常德）计算： . 3 + +
.
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┃
【方法点析】 (1)实数的混合运算在中考经常与零指数幂、负指数幂、
绝对值、锐角三角函数等综合考查，计算时要根据实数的运 算顺序和法则、有关概念进行； (2)有理数范围内的乘法公式与运算律都适用于实数运 算，在运算过程中要灵活运用，以便简化计算过程． 注意：底数为分数的负整数指数幂，在运算结果中要化 为正整数指数幂．
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第一章-第2讲-实数的运算与大小比较PPT课件
0
2012 2234
212
2
方法指导：绝对值、算术平方根、负指数幂的性质、0次幂的性质、特殊角的三角 函数值等知识点，只需对号入座来计算即可。
9
-
考点即时练
5. （2013雅安） 计算： 8 + 2 – 4sin45°－ ( 1 )－1．
3
【答案】原式＝2 2 +2－4 × 2 －3＝2 2 +2 －2 2 －3＝－1．
2
6. （2013•嘉兴）（1）计算：|﹣4|﹣ 9 +（﹣2）0；
【答案】原式=4﹣3+1=2；
10
-
考点3：规律探索
例5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形 数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任 何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式 中，符合这一规律的是( )
第一章 数与式
【考点梳理】
第2讲 实数的运算与大小比较
（一）实数的运算 1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、 乘方 、 开方 六种，其中减 法转化为 加法 运算，除法、乘方都转化为 乘法 运算。
n个
a 2. 数的乘方__a_n__a__a__a___a_ ，其中 叫做 底数 ，n叫做 指数 .
【答案】答案不唯一，如- 2 、 3 、π 等．
6．若 5 的值在两个整数a与a+1之间，则a= ．
【答案】2
4
-
【考点精例】
考点1：实数大小比较．
例1．[2013菏泽]如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中
AB=BC.如果 a c b ， 那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
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(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋„＋a100的值．
第2讲┃ 归类示例
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋„＋a100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ ×1－3 ＋ ×3－5 ＋ ×5－7 ＋ ×7－9 ＋„＋ × 2 2 2 2 2
第2讲┃ 回归教材
回归教材
实数的大小比较有窍门 教材母题 江苏科技版八上P70T5 比较下列各组数的大小： · > (1) 2.02 ________2.020020002„；
(2)－ 3________－ 2； < (3) 3
|
= 3－ 5 ________ 5－ 3；
|
(4)π－3________0.14. >
第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
1 (1)按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝ 9×11 1 1 1 × － ________________； 2 9 11
1 1 1 1 － × ________________＝________________(n为正整数)； （2n－1）×（2n＋1） 2 2n－1 2n＋1
第2讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 实数的运算 命题角度： 1．实数的加减乘除乘方开方运算； 2．实数的运算在实际生活中的应用． 例1 [2013·连云港] 计算：
－1 0＋(－1)2012. 9－ 5
－1 ＝1，(－1)2012＝1 可顺利求解． [解析] 由 9＝3， 5
图2－1
A．1＋√3 B．2＋√3 C．2√3－1 D．2√3＋1
第2讲┃ 归类示例
[解析] 设点 C 所对应的实数是x， 则有x－√3＝√3－(－1)，解得x＝2√3＋1.
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称； (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实 数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数 轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问题．
代数比较 规则
几何比较 规则
第2讲┃ 考点聚焦
考点3 比较实数大小的常用方法 差值比较法
商值比较法 绝对值比较 法 其他方法 设a, b是任意两实数，则a－b>0⇔a>b；a－ b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b 设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝ 1⇔a＝b； a/b <1⇔a<b 设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；|a|＝ |b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b 除此之外，还有平方法、倒数法等方法
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实数的大小比较
命题角度： 1．利用实数的比较大小法则比较大小； 2．实数的大小比较常用方法． 1 2 例 2 当 0<x<1 时，x ，x， 的大小顺序是( C ) x 1 1 2 2 A. <x<x B. <x <x x x 1 2 2 1 C．x <x< D．x<x < x x
1 1 － 199 201
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ ×1－3＋3－5 ＋5－7＋7－9 2
1 1 ＋ „＋199－201
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ ×1－3＋3－5＋5－7＋7－9＋„＋199－201 2 1 1 200 100 1 1－ ＝ × ＝ × ＝ . 2 201 2 201 201
第2讲┃ 回归教材
· [解析] (1)∵2.02＝2.02222222„， · ∴2.02>2.020020002„； (2) ∵ 3≈1.442， 2≈1.414,1.442>1.414， ∴－ 3<－ 2； (3) ∵ 3< 5， ∴ 3－ 5<0， ∴ 3┃ 归类示例
[解析] 解法一：采用“特殊值法”来解，令 x 1 1 1 1 2 ＝ ，则 x ＝ ， ＝2，∴ >x>x2. 2 4 x x 解法二： 可用“差值比较法”来解， ∵当 0<x<1 时，1－x>0, x－1<0, x＋1>0, ∴x－x2＝x(1－x)>0, 2 （x＋1）（x－1） 1 x －1 2 ∴x>x . 又 x－ ＝ ＝ <0, x x x 1 1 2 ∴x< ， ∴x <x< . x x
第2讲┃ 归类示例
► 类型之四 探索实数中的规律 命题角度： 1. 探究实数运算规律； 1 1 1 第 2. 实数运算中阅读理解问题． 1 个等式：a1＝1×3＝2×1－3；
1 1 1 1 第 2 个等式：a2＝ ＝ × － ； 3×5 2 3 5 例4 [2013·广东] 观察下列 等式： 1 1 1 1 第 3 个等式：a3＝ ＝ × － ； 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第 4 个等式：a4＝ ＝ × － ； 7×9 2 7 9 „
解：原式＝3－1＋1＝3.
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第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与 实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄 清按怎样的运算顺序进行．中考中常常把绝对值、 锐角三角函数、二次根式结合在一起考查． (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数 幂的运算： (a≠0，且p是正整数)，零指数幂 的运算： ＝1(a≠0)．
[解析] 因为 2＝ 4＜ 5＜ 9＝3，所以 a＝2，故填 2.
第2讲┃实数的运算与实数的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的运算
内容 运 算 法 则 提醒
在实数范围内，加、减、乘、除( 除数丌为零)、乘方都可以进行， (1)零指数、负整数指 但开方运算丌一定能进行，正实数 数的意义，防止以下 和零总能进行开方运算，而负实数 错误：①3－2＝ ； 只能开奇次方，丌能开偶次方 ②2a－2＝ (2)遇 到绝对值一般要先去 有理数的一切运算性质的运算律都 掉绝对值符号，再进 运算性质 适用于实数运算 行计算；(3)无论何种 先算乘方、开方，再算乘除，最后 运算，都要注意先定 运 算加减，有括号的要先算括号内的， 算 符号后运算 若没有括号，在同一级运算中，要 顺 序 从左至右依次进行运算
第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给 出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归 纳出一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题． 对数式进行观察的角度及方法：(1)横向观察：看 等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字 或式子间的关系；(2)纵向观察：将连续的几个式子上 下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在 变，以及变化的数字或式子间的关系．
第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较 正数________零，负数______零，正 大于 小于 数________一切负数；两个正数，绝 大于 对值大的较大；两个负数，绝对值大 小 的反而________ 右边 在数轴上表示的两个实数，________ 左边 的数总是大于________的数
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(4)∵π－3≈3.142－3＝0.142,0.142>0.14， ∴π－3>0.14.
第2讲┃ 回归教材
[点析]比较一个有理数与无理数的大小的方法是借 助算术平方根，通过比较被开方数的大小得出结果．
第2讲┃ 回归教材
中考变式
[2013·淮安]若√5的值在两个整数a与a＋1之 间，则a＝________. 2
第2讲┃ 归类示例
两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零， 负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商 值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊值法，(7)计算器 比较法等．
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之三 实数与数轴
命题角度： 1．实数与数轴上的点一一对应关系； 2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4．利用数轴进行代数式的化简． 例3 [2013·聊城]在如图2－1所示的数轴上，点B与 点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是√3和－1， 则点C所对应的实数是( D )