数学物理方程作业汇总
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第2次
数学物理方程习题答案
第七章
6、一根杆由截面相同的两段连接而，两段的材料不同，弹性模量分别是EⅠ和EⅡ，密度分别是ρ1、ρ2.试写出衔接条件。
解：两段杆的接点设为x=0。其波动方程分别为：
0112
11
1111
1
1>=-
<=-
x u E
u x u E u xx tt xx tt
ρρ
在连接处，由于该波的振幅是连续的 ，于是有： )1(011
01+
-
===x x u u
在交接处的应力应该相等，这是由于相互作用力相等而得
由于 x
u n u x
u n u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂11
111
1 所以有：
)2(011
11
01
1
+
-
==∂∂=∂∂x x x
u S
E x
u S
E
第3次
第4次
1、求解无限长弦的自由振动。设弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(x a ϕ'-。
解： 泛定方程： ∞<<∞-=-x u a u xx tt 0
2
初始条件：⎪⎩⎪⎨⎧'-====)
()
(00x a u x u t t t ϕϕ
对于一维无界的弦振动，其解可用达朗贝尔公式：
⎰+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),(
其中：)()(x a x ϕψ'-= 对于积分项，有：
)]()([2
1
)(21)]([21at x at x d d a a at x at x at x at x +--=='-⎰⎰-++-ϕϕξϕξξϕ 所以，其解为： )()]()([2
1
)]()([21),(at x at x at x at x at x t x u -=+--+-++=
ϕϕϕϕϕ
则只有右行波，是一行波，不是驻波。
8、半无限长的弦，初始位移和速度都是0，端点作微小振动t A u x ωsin 0==。求解弦的振动。
解：将半无限长的弦拓展为无界空间的弦。则其泛定方程为：
∞<<∞-=-x u a u xx tt 0
2
初始条件为：⎩
⎨
⎧<≥=⎩⎨
⎧<≥===0)(00
)
(000
0x x x u x x x u t t
t ψϕ 其中)(x ϕ、)(x ψ为待定，（因为该两等于0时，方程只有0解） 边界条件：t A u x ωsin 0== 该泛定方程的达朗贝尔解为：
⎰+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( 将边界条件代入达朗贝尔解，得：
⎰-+-+=at
at
d a at at t A ξξψϕϕω)(21)]()([21sin
注意到：当0≥x 时，有0)(,0)(==x x ψϕ。
则有： 0)(,
0)(0
==⎰
+at
x d at ξξψϕ
所以边界条件的方程变为： ⎰-+-=
)(21)(21sin at
d a at t A ξξψϕω 为了方便求)(x ϕ，不妨令at y -=，则有：
⎰+=-0
)(21)(21)(sin y
d a y a y A ξξψϕω
若取)(sin 2)(a
y
A y -=ωϕ，则0)(=x ψ。
于是有：0),
(sin 2)(>-=x a x
A x 其中ωϕ， 则：a
x t at x a x
t A a at x A at x >>--=--=-即其中,0),(sin 2)(sin 2)(ωωϕ 于是方程的解为：a
x
t a
x
t A at x t x u >-=-=),
(sin )(21),(ωϕ
第5 次
《数学物理方程》第5次作业 参考答案
1、长为l 的弦，两端固定。弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力F 0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。 解：
泛定方程为：2
(1)tt xx u a u -=
边界条件、初始条件为：
00
0000(0,)(,)0(2),(0)
(,0)(3)(),()
(,0)0(4)
t u t u l t F l x x x x T l
u x F x l x x x l T l
u x ==-⎧⋅<<⎪⎪=⎨
⎪⋅-<<⎪⎩=
令(,)()()1u x t X x T t =代入泛定方程（），得：
2222
2
1
+0
0(0)()0
X T X a T
T a T X X X X l λλλ''''
==-''⎧=⎪⎨''+=⎪⎩
==于是方程（）变为：边界条件为：
X 的解形式为：
()cos sin 0
(0,1,2,3,X x A x B x A n n l
λλπλ=+==
=由边界条件可知：…)
000001()cos
sin
()(cos sin )
n n n n n n T t T C D t
n at n at
T C D l l
n at n at
T t C D t C D l l ππππ∞
==+=+=+++∑解的形式为：