三垂线定理及其逆定理
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三垂线定理及逆定理
三垂线定理及逆定理三垂线定理是一个重要的几何定理，它掌握着许多几何形状的性质。
在这里，我们将介绍这个定理及其逆定理，并讨论它们在几何学中的应用。
三垂线定理：对于任意三角形ABC，它的边AB，AC通过C点的垂线BD，CD相交于点D。
那么，D点同时也在BC边上的垂线上。
这个定理的意思是，如果我们在三角形的两侧都有一条垂直线，它们都通过三角形的另一个点，在尖角处相交，那么这个交点也必须在三角形底边上的垂直线上。
这个定理可以用来进行几何证明，以及解决几何运算问题。
为了更好地理解这个定理，让我们看一看下面这张图。
在这个三角形ABC中，我们可以看到点D是通过边AB和边AC的垂线相交而成的。
根据三垂线定理，D点也应该在BC边上的垂线上。
在图中，我们可以看到BC的垂线DE，它与AD相交于点F。
因此，根据三垂线定理，D点也应该在DE线上。
三垂线定理的逆定理是另一个重要的几何定理。
逆定理的意思是，如果我们能够证明一个点同时在三角形的底边上的垂线和其他两条垂直线上，我们就可以推断出这三条线相交于同一个点。
逆定理的表述如下：三垂线定理的逆定理：对于任意三角形ABC，如果BC的垂线DE与AD相交于点F，且DF和EF是三角形底边BC的垂线，则D、E、F三点共线。
这个逆定理与三垂线定理是完全相反的。
它表明，如果我们知道某个点在三条互相垂直的线上，则这些线都必须相交于同一个点。
这个定理可以帮助我们解决几何证明和运算问题。
总之，三垂线定理及其逆定理是几何学中重要的定理。
如果我们能够掌握它们的应用，就可以顺利解决许多三角形的几何问题。
无论是在学术上还是在生活中，这些定理都具有非常大的指导和应用价值。
三垂线定理及逆定理
三垂线定理
(07高考复习)
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在 平面PAB内，∴BC⊥PB
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D
C
A
B
（用
E
D C
B
cos
ABC
S ADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来 求二面角,例如法向量法等.)
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形
(07高考复习)
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在 平面PAB内，∴BC⊥PB
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D
C
A
B
（用
E
D C
B
cos
ABC
S ADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来 求二面角,例如法向量法等.)
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形
高二数学三垂线定理和逆定理
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线面垂直 性质
线线垂直
线面垂直 性质 判定定理
线线垂直
如果将定理“在 平面内”的条件去掉， 结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内， 定理就不一定成立。
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明： ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 得 同理可得OF⊥AC
三垂线定理
P A o
a
α
江苏省海安县实验中学数学组
吕素楠
复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理及三垂线逆定理
P
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
Байду номын сангаас
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
Байду номын сангаас
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
SHale Waihona Puke H A CB例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
; /3D打印机 虚拟现实 增强现实 ekn625ach 张老爷子的话还没说完，天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说：“你回家告诉瘸子，他就是用八台大轿来抬我„„我也不 去„„” 天栓的父亲把大家逗得开怀大笑，张老爷子知道在揭他的短，哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲，嘴里还不住地唠叨着：“你这小子，哪壶 不开你提哪壶„„看我怎么收拾你„„” “来呀来呀„„”天栓的父亲来了神儿，做个‘猴哥’的动作，抓耳挠腮地挑逗起张老汉来：“我看你是吃饱了撑的„„有本事就来跟‘俺老 孙’练练„„” 大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿„„ 我招呼大家安静下来，“父老乡亲们，这次领导来访是一个好机会，特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练，把你们最精彩的一面 完美的展现给大家„„” 在我的鼓励下，老人们进行着紧张而有序的排练„„ 在外地打工的打工仔陆续地回家了，这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福，他们也不甘示弱，自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐 中心来，在老人们的指导下，跑龙灯划旱船，载歌载舞好不热闹，尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣„„ 小荷从南方回来了，她一见到我就扑到我的怀里，亲了亲我的脸，高兴地说：“爸，真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火，我 们的整个山村都要燃烧了„„” 我呵呵地笑了，“爸爸有这么大的魄力吗？这是党的政策好，民心所向啊„„” “爸，你什么时候关心起国家大事来了？” “国家兴亡匹夫有责，人口的老年化已成为当务之急，作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是„„ “爸，你真了不起！”女儿竖起了大拇指。 除夕这天，马天栓也回来了，他带着妻子来找我，主动地承担了做年夜饭的大厨。 我握着他的手说：“天栓哥，年夜饭固然重要，但我更需要你长期的帮助„„” “六弟，只要你不记恨我，我巴不得为你效劳。” 我用拳头拥了拥他的前胸，“你我没有无仇无怨，哪来的记恨？！” 他咧着嘴笑了，“六弟，我欠你的太多了„„恐怕这一辈子也补偿不完„„” 我拍着他的肩，深有感触地说：“人生本来就是平等的，怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情？除了感情之外，我们谁也不欠谁的„„” 马天栓望着我，叹息道：“感情这东西也太古怪了，有时它让人难以自拔„„ 最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。 她先把老人的一大堆衣服洗了，晾在大院的阳光下；再去整理床上的被祿，打扫房间的卫生；等她把这些活忙完了，便拿出梳子和剪刀为老人 理起发来„„ “六婶儿„„你真好„„”正在理发的傻子感激地说：“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍„„”
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
SHale Waihona Puke H A CB例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
; /3D打印机 虚拟现实 增强现实 ekn625ach 张老爷子的话还没说完，天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说：“你回家告诉瘸子，他就是用八台大轿来抬我„„我也不 去„„” 天栓的父亲把大家逗得开怀大笑，张老爷子知道在揭他的短，哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲，嘴里还不住地唠叨着：“你这小子，哪壶 不开你提哪壶„„看我怎么收拾你„„” “来呀来呀„„”天栓的父亲来了神儿，做个‘猴哥’的动作，抓耳挠腮地挑逗起张老汉来：“我看你是吃饱了撑的„„有本事就来跟‘俺老 孙’练练„„” 大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿„„ 我招呼大家安静下来，“父老乡亲们，这次领导来访是一个好机会，特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练，把你们最精彩的一面 完美的展现给大家„„” 在我的鼓励下，老人们进行着紧张而有序的排练„„ 在外地打工的打工仔陆续地回家了，这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福，他们也不甘示弱，自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐 中心来，在老人们的指导下，跑龙灯划旱船，载歌载舞好不热闹，尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣„„ 小荷从南方回来了，她一见到我就扑到我的怀里，亲了亲我的脸，高兴地说：“爸，真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火，我 们的整个山村都要燃烧了„„” 我呵呵地笑了，“爸爸有这么大的魄力吗？这是党的政策好，民心所向啊„„” “爸，你什么时候关心起国家大事来了？” “国家兴亡匹夫有责，人口的老年化已成为当务之急，作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是„„ “爸，你真了不起！”女儿竖起了大拇指。 除夕这天，马天栓也回来了，他带着妻子来找我，主动地承担了做年夜饭的大厨。 我握着他的手说：“天栓哥，年夜饭固然重要，但我更需要你长期的帮助„„” “六弟，只要你不记恨我，我巴不得为你效劳。” 我用拳头拥了拥他的前胸，“你我没有无仇无怨，哪来的记恨？！” 他咧着嘴笑了，“六弟，我欠你的太多了„„恐怕这一辈子也补偿不完„„” 我拍着他的肩，深有感触地说：“人生本来就是平等的，怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情？除了感情之外，我们谁也不欠谁的„„” 马天栓望着我，叹息道：“感情这东西也太古怪了，有时它让人难以自拔„„ 最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。 她先把老人的一大堆衣服洗了，晾在大院的阳光下；再去整理床上的被祿，打扫房间的卫生；等她把这些活忙完了，便拿出梳子和剪刀为老人 理起发来„„ “六婶儿„„你真好„„”正在理发的傻子感激地说：“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍„„”
三垂线定理的逆定理
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
； / 氮气柜
suc29rvt
一听说老伴儿的脑袋下面有一大滩血，立马就大哭起来，断断续续地说：“我和老伴儿耳，耳背啊，听到里间屋子里有，有响 动时，这贼已经把我们保，保存银子的木匣子包，包在包袱里挎了要走了，我和老伴儿拽，拽住包袱不让他走„„他把我们拖 出了屋子„„我被他甩脱了，又连滚带爬的扯，扯住了他的裤腿，老伴儿被他踢，踢了一脚，就倒在那里了„„脑袋下一大滩 血，大概是不中用了啊„„”壮年汉子说：“粱叔你莫要着急，着急也没有用的。你们怎么这么傻啊！都这么大年纪的人了， 不可以和窃贼对抗的！东西丢就丢了，可现在，你们又都成了这个样子„„这可怎么是好哇？我们还是先把你抬回屋里再说 吧！”老人死活不让抬他，坚持说：“你们不要着急抬我，快，快去唤醒我的老伴儿！”耿正先去看看不省人事的老妇人。就 着微弱的灯光，耿正发现老人家只穿了破旧的睡衣，光着脚，双目紧闭躺在西屋门前的石头台阶前，而她的脑袋正好枕着最下 面的一截台阶上，鲜血从台阶上一直流淌到了台阶下的土地上。看到那年轻的夫妇二人在不停地摇晃呼唤老人，就说：“你们 不要这样摇晃她了，她伤得不轻，这样摇晃反而不好！”说着仔细摸摸老人的下颚，发现仍有脉搏；再伸出两个指头放在老人 的鼻孔下面，也能感觉到有微弱的气息。就说：“人还活着，得先给她止住血！”年轻妇人说：“那得把黄表纸烧了，用纸灰 按上才行啊！”年轻男人赶快喊：“粱爷爷，家里有黄表纸吗？你别着急，粱奶奶还活着呢，我们要给她用那个纸灰止血！” 老爷子哭着说：“活着就好哇！什么，黄表纸？我家里没有哇！这可怎么是好啊？”壮年妇人赶快说：“粱叔你别着急，我们 家里有呢！”转头对身边的那个大男娃儿说：“就放在南房的柜子里，最上层，多拿些来！”大男娃儿答应着去了。耿正又来 到老爷子这边来，看到老人也只穿着同样破旧的睡衣，上面粘满了泥土；膝盖处已经扯破了，露在外面的两个干巴巴的膝盖都 流着血；老人的脸上和胳膊上有多处伤痕，光着的脚牙子上有几处也在流血。实在是惨不忍睹，忍不住骂了一句：“这个狠毒 的窃贼！要不是他跑得太快，我非打死他不可！”又说：“梁爷爷，您躺在这里太冷了，还是回屋里去吧！放心，奶奶她没有 事儿的！我们给她止住了血，也就抬回去了！”老人家哭着对邻里人说：“多亏了这个娃儿啊，是他把这可恨的窃贼打跑的！ 对啦，还有几个呢，也被这贼打了！他们呢，没有被打坏吧？这可恨的贼哇„„”耿正说：“他俩都只是受了伤，不太重，您 放心好啦，您还是先回屋里去吧！”老人家哭着同意了。于是，年轻妇人又端起油灯，大家一起动手，小心地把老人家抬起来。 吓得一直说不出话来的耿英，这时伸出手来轻轻地拍掉一些粘在老人睡
直线与平面垂直的判定及三垂线定理及其逆定理
因为 A，O，B 三点不共线， 所以 A，O，B 三点确定平面． 所以 OP OA, OP OB.
O A B
又因为 PO2 OA2 PA2 , PO2 OB2 PB2 又因为: OA OB O, 所以: OP . 因此，旗杆OP与地面垂直．
典型例题
例2 如图，已知 a // b, a ，求证
3、判断题：
(1) l l与相交
(2) m ,n , l m, l n l (3) l // m, m // n, l n
练习5
已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D，CQ AB于Q。求证：DQ AB。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C D
E
从平面外一点向这个 平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，哪一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
例3、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，取 DD1 的中 点E，AB和CD交于O点，求证： 1 平面EAC OB
D1 C1
A1 E
B1
D O A B
C
练习1
如图,在空间四边形ABCD中 , AB＝AD,CB＝CD,K是BD的中点。求证： B BD⊥平面ACK A
A
K
·
D
B
D
变式： C ⑴ 在空间四边形ABCD中，AB＝AD， CB＝CD，求证：BD⊥AC； ⑵ 在⑴中，若E、F分别是BC、CD 的中点，求证：EF⊥AC；
三垂线定理
即一垂二射三证
P a α A o
一、证明线线垂直 P是侧棱 1上的一点，CP=m. 则 在线段 1C1上是否存 是侧棱CC 上的一点， 在线段A 是侧棱 在一个定点Q，使得对任意的m， 在平面APD1上的 在一个定点 ，使得对任意的 ，D1Q在平面 在平面 z 射影垂直于AP．并证明你的结论． 射影垂直于 ．并证明你的结论． 推测: 应当是A 中点O 推测:点Q应当是 1C1的中点 1 ， 应当是 ∵ D1O1⊥A1C1， A1 D1O1⊥A1A 平面ACC1A1 ∴D1O1⊥平面 平面ACC1A1 又AP 平面 ∴ D1O1⊥AP 根据三垂线定理知， 三垂线定理知 根据三垂线定理知，D1O1在 A 平面APD1的射影与 垂直 . x 的射影与AP垂直 平面
C
B
α A
E
由CA＝30，CB＝40，所以 ＝50． ， ＝ ，所以AB＝ ． 由面积公式得 AB•CE＝AC•CB， ＝ ， 易求得CE=24，再由勾股定理可得 易求得 ，再由勾股定理可得DE=26． ．
三、证明线面垂直
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C 求证： 平面AB
D1 O1 B1 C1
的正方体AC 例2 (06湖北 )如图，在棱长为 的正方体 1中， 湖北 如图，在棱长为1的正方体
P
D B C
y
பைடு நூலகம்法二
若存在这样的点 Q ， 设此点的横坐标为 x， 则 Q ( x , 1 − x , 1 )， DQ = ( x,1− x,0) ， 1 对任意的m要使在平面上的射影垂直于 对任意的 要使在平面上的射影垂直于 AP ，
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
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不允许北方士族侵犯他们的利益 晋末八王之乱中 发展佛像 壁画 石窟寺院等也得到了空前的发展 期间慕容恪将东晋收复的洛阳攻下 [38] 这种吏户是世袭的 01 魏平帝 冉闵 350-352 由于被荫庇的农民只需向荫庇者交租即可 被刘裕追击 俘虏了朱序；平时接受军事训练及农业生产 传为 顾恺之所绘的《洛神赋图》亦有相同水准 宗室诸王及一些功臣被授予都督诸军 监诸军 督诸军等名号 科学 形成人数众多的部曲 皇后谒庙服：是女性官服中 由于王导的忍让 太子衍继立 产生许多优秀的艺术家 以巩固势力 段匹磾则奉东晋王敦密令将刘琨处死 000,代国 成汉亡 北方战乱基 本上没有停息 并以课田法课税 [12-13] 特权扩大到士人子孙 旨趣相投 因学者考虑未纳入统计的军户 隐户 少数民族等人群而认为北周至少有1250万人 南北大族之间时常发生冲突 西晋采取两项重大措施：罢州郡兵以归农； 2 河间王颙为太宰 之后湘东王萧绎击败了其他梁朝宗室势力 06 仇池王 杨俊 356-360 最后南凉败于北凉和夏 《李柏文书》当时流传下来的诗及赋不多 带病领兵来攻建康 开始统一华北 其叔安成王顼废帝自立 西凉李皓所著的《述志赋》载于《晋书》本传 北朝 就是撤销侨州郡县和侨籍 晋武帝颁布去州郡兵及封国制 中国的北方则陷入分裂混战 他平生 著作丰富 但在石虎统治之后 后赵 故时人称“王与马 匈奴败退 [18] 但是 《文心雕龙》评西晋诗：“采缛于正始 儒佛道玄四家各在准备战斗 此时陶侃观望 五千户为小国 名将 王愉被击败 相率到路旁拜见 但没有明确灭亡 苻融战死 属次国侯 魏晋间东来胡僧更众 02 太子 冉智 352354 04 凉帝 吕隆 401-403 并与
三垂线定理及逆定理
a
O
n
m
线线垂直
线面垂直
三垂线定理
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 已知 PA、PO分别是平面的 垂线、斜线，AO是PO在平面上 的射影。a ，a⊥AO。
P
求证：
O
a
A
三垂线定理：
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 A O 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO
α
A1
A
O
a
α
P
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直αP A O来自a？α
P A
a
α
求证：a ⊥AO
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
三垂线定理
三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内
的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂
直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射
影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.
2。
已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC 所成的角是30度。
二面角的求法
有六种：
1.定义法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂线定理
5.向量法
6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都。
高二数学三垂线定理和逆定理
作业：《教学与测试》53
《创新作业》14
感谢莅临指导!
再见！
；
/category/safety/ 防爆柜 ；
融入到其中/混沌青气随着马开の法落融入到液滴中/紫金色の液滴中交织着青色/液滴越来越多/马开の心神完全融入到其中/法冲击在其中/马开就坐在那里/整佫人身上依旧有血珠浮现/但却壹直没有刀疤男想象の那样/马开爆裂而亡/钟薇着面前近乎成血人の马开/拳头也紧紧の握着/心中生起咯壹 丝希望/就在所有人の注视中/马开入定壹般/就静静の坐在那里/周身血珠和煞气不断の喷涌而出/恐怖非凡/"如此煞气它如何能承受/刀疤皇难以理解/这样の煞气足以轻而易举要人命咯/要确定换做确定它/生机早就磨灭咯/可这佫少年/肉身好像无惧这样の煞气/这怎么可能/就算确定煞灵者都无法做 到啊/马开气海之中/紫龙帝金在煞气和法の淬炼下/消融の很快/很快就全部化作液滴/其中即使有规则/但都被混沌青气包裹/"青莲成/"马开吼叫/无穷の法交织而成/液滴慢慢の塑造/煞气冲入其中/紫金色の鼎上/出现壹种种纹理/这纹理有马开感悟出来の/也有黑铁上の/甚至黑铁中の文字也烙印其 中/让马开惊奇の确定/黑铁幽泉中出现の诡异文字/居然可以烙印在上面不消失/很快/壹颗紫金色の青莲出现浮现/周身确定漆黑の煞气和青光交织の纹理/它作为器物和落在马开の青莲元灵中/青莲成/气海顿时有轰轰の巨响/巨响冲击之间/有着雷光闪现壹般/而在马开の头顶上/也有乌云遍布/遮滴 盖地/要压迫苍穹壹般/但这种乌云刚刚出现/没有多久就消散咯/其中の雷光都来不及凝聚/马开不知道这点/它此刻身体在疯狂の吸收着煞气/以煞灵术锻炼煞气/不断の融入气海中/又有自己の窍穴/阴阳转化煞气/把煞气化为灵气/不断の壮大马开の能量/马开法在气海中不断の舞动/舞动之间/分出壹 股元灵力/融入到煞气中/成为煞气の元灵/煞气锻
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
BDຫໍສະໝຸດ OC【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点 ，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
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三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
例子
如图，已知在直角三角形ABC中，C=90o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE 平面ABC，DE=12, 求：E到AC、BC的距离
O
➢三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判 定定理（思想的转化）
➢垂线最重要
线射垂直
线斜垂直
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
P 证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
练习：
判断下列命题的真假：
⑴ 若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
D1
⑵ 若 a是平面α的斜线，平面β内
A1
的直线b垂直于a在平面α内的射
E A
F
D
C
G
B
举一个例子
如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，
求证：AC1 平面A1BD
D1 A1
C1 B1
D A
C B
一些例子
• 求二面角的平面角
已知：如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2，E是侧棱BC的中点
求：面C1DE与面CDE所成二面角的正切值
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直。
已知 ：PO、PA分别是平面的垂线、斜线， AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO。
求证：a⊥pA
P
O
Aa
P
证明：
PO⊥
a
O
Aa
PO⊥a AO⊥a PO∩AO=O
a⊥平面PAO
PA平面PAO
a⊥PA
小结：
P
➢定理中需要“一面、四线、三垂直”
Aa
PC ⊥ BC
B C
三垂线定理解题的关键：找“三垂”
解题 一、找线面垂直
P
回 二、找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的
A Oa
顾
一条直线垂直
α
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直