1.2 空间向量基本定理-提高练(原卷版)含答案.docx

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高中数学人教A版选择性必修第一册《12_空间向量基本定理》同步练习卷(5)(有答案)

人教A 版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》同步练习卷（5）一、选择题1. 若向量{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则一定可以与向量p →=2a →+b →，q →=2a →−b →构成空间的另一个基底的向量是（） A.a →B.b →C.c →D.a →+b →2. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→=a →，A 1D 1→=b →，A 1A →=c →．则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A.−12a →+12b →+c →B.12a →+12b →+c →C.12a →−12b →+c →D.−12a →−12b →+c →3. 若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合，且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系式是（） A.OM →=13OA →+13OB →+13OC →B.MA →=MB →+MC →C.OM →=OA →+OB →+OC →D.MA →=2MB →−MC →4. 如图所示，在四面体O −ABC 中，，，，点M 在OA 上，且＝2，N 为BC 的中点，则＝（）A.-+B.-++C.D.5. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，向量AB →,AD →,AA 1→两两的夹角均为60∘，且|AB →|=1，|AD →|=2，|AA 1→|=3，则|AC 1→|等于( ) A.5 B.6 C.4 D.8二、填空题在四面体O −ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=________（用a ，b ，c 表示）已知{，，}是空间的一个单位正交基底，{+，-，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下表示为＝3+5+9，则在基底，{+，-，3}下可表示为________．在四棱锥P −ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量＝________．三、解答题如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且＝，＝，＝．（1）用，，表示向量，；（2）设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用，，表示．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝-，＝，设＝，＝，＝，试用，，表示．四、选择题已知，，是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（）A.2，-，+2B.2，-，+2C.，2，-D.，+，-给出下列命题，其中是真命题的是（）A.若{，，}可以作为空间的一个基底，与共线，≠，则{，，}也可以作为空间的一个基底B.已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D.已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，则{，，}也是空间的一个基底五、填空题已知空间的一个基底{，，}，＝-+，＝x +y +，若与共线，则x ＝________，y ＝________．已知e →1，e →2是空间单位向量，e →1⋅e →2=12，若空间向量b →满足b →⋅e →1=2，b →⋅e →2=52，且对于任意x ，y ∈R ，|b →−(xe 1→+ye 2→)|≥|b →−(x 0e 1→+y 0e 2→)|=1(x 0, y 0∈R)，则x 0=________，y 0=________，|b →|=________．在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，设＝，＝，＝，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量，，表示，；（2）若＝x +y +z ，求实数x ，y ，z 的值．参考答案与试题解析人教A 版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》同步练习卷（5）一、选择题 1.【答案】 C【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可．【解答】解：由已知及向量共面定理，结合p →+q →=2a →+b →+2a →−b →=4a →，可知向量p →，q →，a →共面，同理可得p →−q →=2a →+b →−2a →+b →=2b →，故向量p →，q →，b →共面，故向量a →，b →都不可能与p →，q →构成基底，又可得a →+b →=34(2a →+b →)−14(2a →−b →)=34p →−14q →，故向量a →+b →也不可能与p →，q →构成基底，只有c →符合题意，故选C 2.【答案】 A【考点】向量加减混合运算及其几何意义相等向量与相反向量【解析】由题意可得B 1M →=B 1B →+BM →=A 1A →+12B 1D 1→=c →+12[b →−a →]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得B 1M →=B 1B →+BM →=A 1A →+12BD →=A 1A →+12B 1D 1→=c →+12(A 1D 1→−A 1B 1→)=c →+12(b →−a →)=−12a →+12b →+c →，故选A ．3. 【答案】 C【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】A ．由OM →=13OA →+13OB →+13OC →，13+13+13=1，利用平面向量基本定理可知：点M 在平面ABC 内；B ．由MA →=MB →+MC →，利用平面向量基本定理可知：向量MA →，MB →，MC →共面； C ．由OM →=OA →+OB →+OC →，且向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则即可判断出； D ．由MA →=2MB →−MC →可知：向量MA →，MB →，MC →共面．【解答】解：A ．∵ OM →=13OA →+13OB →+13OC →，13+13+13=1，∴ 点M 在平面ABC 内，因此向量MA →，MB →，MC →不能构成一个空间基底； B ．∵ MA →=MB →+MC →，∴ 向量MA →，MB →，MC →共面，不能构成一个空间基底；C ．由OM →=OA →+OB →+OC →，且向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则可知： OM 是以点O 为顶点的对角线，∴ 向量MA →，MB →，MC →能构成一个空间基底；D ．由MA →=2MB →−MC →可知：向量MA →，MB →，MC →共面，因此不能构成空间的一个基底．综上可得：只有C 正确．故选：C ． 4.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理【解析】根据向量加法和减法的三角形法则得出．【解答】连接ON ，∵ N 是BC 的中点，∴ ＝，∵ ＝2，∴ ＝，∴ ＝＝-＝-++，5.【答案】 A【考点】平面向量的夹角向量在几何中的应用【解析】由题设知AC 1→=AB →+BC →+CC 1→，故AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2，由此能求出|AC 1→|．【解答】解：如图，∵ 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60∘，且|AB →|=1，|AD →|=2，|AA 1→|=3， ∴ AC 1→=AB →+BC →+CC 1→， ∴ AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2 =AB →2+BC →2+CC 1→2+2AB →⋅BC →+ 2AB →⋅CC 1→+2BC →⋅CC 1→=1+4+9+2×1×2×cos 60∘+ 2×1×3×cos 60∘+2×2×3×cos 60∘ =25， ∴ |AC 1→|=5．故选A ．二、填空题【答案】 12a →+14b →+14c → 【考点】空间向量的加减法中点坐标公式【解析】利用D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，OE →=12(OA →+OD →)，OD →=12(OB →+OC →)，化简可得结果．【解答】解：在四面体O −ABC 中，OA →=a ，OB →=b ，OC →=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点， ∴ OE →=12(OA →+OD →)=OA →2+OD →2=12a →+12×12(OB →+OC →)=12a →+14(b →+c →)=12a →+14b →+14c →，故答案为：12a →+14b →+14c →．【答案】＝4（+）-（-）+3(3）【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】设＝x （+）+y （-）+z(3），利用向量相等列方程组求出x 、y 、z 的值即可．【解答】由题意知，＝3+9，设＝x （+-）+z(2），所以＝(x +y)+3z ，由向量相等得，解得；所以在基底{+，-，4 ＝4（+）-（-）．【答案】【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．【解答】如图，＝＝．三、解答题【答案】正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．所以，．根据三角形法则：连接OG和OH，【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】（1）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．（2）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．【解答】正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．所以，．根据三角形法则：连接OG和OH，【答案】连接AN，∴＝+，∵＝-（+），＝+＝+（-）＝+，∴＝-（++＝-++．【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【解答】连接AN，∴＝+，∵＝-（+），＝+＝+（-）＝+，∴＝-（++＝-++．四、选择题【答案】A,B,D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量的基本定理【解析】分别判断向量是否共面即可．【解答】A，因为2＝（-（+8）、-、+2，故它们不能构成一个基底；B，因为2＝（-（+2）、-、+2，故它们不能构成一个基底；C，因为找不到实数λ、μ，使+μ（-，故、8、-三个向量不共面；对于D，因为＝（+（-），得、+、-三个向量共面，【答案】A,B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定A、B、C、D的结果．【解答】对于选项A：若{，，}可以作为空间的一个基底，与，≠，则{，，，真命题．对于选项B：已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底．对于选项C：已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，，则A，B，M，真命题．对于选项D：已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，，}也是空间的一个基底．五、填空题【答案】1,−1【考点】共线向量与共面向量【解析】由与共线，得存在实数λ，使，列出方程组能求出结果．【解答】因为空间的一个基底{，，}，＝-+，＝x +，与共线，所以存在实数λ，使，即-+＝λx+λ，∴ ，解得．【答案】1,2,2√2 【考点】空间向量的数量积运算平面向量数量积的运算【解析】由题意和数量积的运算可得<e 1→⋅e 2→>=π3，不妨设e 1→=(12, √32, 0)，e 2→=(1, 0, 0)，由已知可解b →=(52, √32, t)，可得|b →−(xe 1→+ye 2→|2=(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2，由题意可得当x =x 0=1，y =y 0=2时，(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2取最小值1，由模长公式可得|b →|．【解答】解：∵ e 1→⋅e 2→=|e 1→||e 2→|cos <e 1→⋅e 2→>=cos <e 1→⋅e 2→>=12，∴ <e 1→⋅e 2→>=π3，不妨设e 1→=(12, √32, 0)，e 2→=(1, 0, 0)，b →=(m, n, t)，则由题意可知b →⋅e 1→=12m+√32n =2，b →⋅e 2→=m =52，解得m =52，n =√32，∴ b →=(52, √32, t)， ∵ b →−(xe 1→+ye 2→)=(52−12x −y, √32−√32x, t)， ∴ |b →−(xe 1→+ye 2→|2=(52−12x −y)2+(√32−√32x)2+t 2=x 2+xy +y 2−4x −5y +t 2+7=(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2，由题意当x =x 0=1，y =y 0=2时，(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2取最小值1，此时t 2=1，故|b →|=(52)(√32)=2√2故答案为：1；2；2√2 【答案】如图，＝+＝-+-＝--，＝+＝+＝-（+）+（+（-）．＝（+）＝（-+）＝（-+--）＝--，∴ x ＝，y ＝-．【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量的基本定理【解析】（1）如图，＝+＝-+-，＝+＝+＝-（+）+（+），进而得到答案；（2）＝（+）＝（-+），结合＝x +y +z，可得实数x，y，z的值．【解答】如图，＝+＝-+-＝--，＝+＝+＝-（+）+（+（-）．＝（+）＝（-+）＝（-+--）＝--，∴x＝，y＝-．。

新高考新教材1.2 空间向量基本定理-提高练(原卷版)

1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ⊥，则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅； ②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面； ③已知a b ⊥，则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若,a b 共线，则,a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.若{},,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（） A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+ 3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 是（）．2233OG OA OB OC =++ ．122233OG OA OB OC =++ ．111633OG OA OB OC =++ D ．112633OG OA OB OC =++ 4.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b ；B.若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ；若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则A D.若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( ) A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c } 二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →=______.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11AB a =，11AC b =，1A A c =，则1B M可用a 、b 、c 表示为______. 9.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA ∠=∠60,︒=1BAA ∠30︒=，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=.若BD AN ⊥，则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则λ的值为________.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .12.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点. 证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.。

高中数学选择性必修一：1.2空间向量基本定理精选考点提升训练

第一章 1.2空间向量基本定理A 级——基础过关练1．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c【答案】D 【解析】由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，在四个选项中，只有D 与p ，q 不共面，因此，2a ＋5c 与p ，q 能构成一组基底．2．如图，设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23【答案】A 【解析】由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB→－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14.3．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7，因此cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A ．13a ＋13b －cB ．a ＋13b ＋13cC ．13a －13b ＋13cD ．13a ＋13b ＋13c【答案】D 【解析】MN →＝BN →－BM →＝BB 1→＋B 1N →－BM →，因为BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ，BB 1→＝AA 1→，所以MN →＝AA 1→＋13B 1C 1→－23BA 1→＝AA 1→＋13BC →－23((AA 1→－AB →()＝AA 1→＋13((AC →－AB →()－23(AA 1→－AB →)＝13AA 1→＋13AC →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c .5．已知{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．【答案】52，－1，－12 【解析】由题意得a ，b ，c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d ＝αa ＋βb ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ) e 1＋(α＋β－γ) e 2＋(α－β＋γ) e 3.又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.【答案】23a －13b ＋23c 【解析】PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23(P A→－PB →＋PC →－PB →)＝23P A →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .7．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】－23a ＋12b ＋12c 【解析】GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .8．如图，已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为点E ，F ，则EF →＝________.【答案】3a ＋3b －5c 【解析】如图，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c.(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 10．已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量P A →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底，理由如下：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OM . 因为ABCD 是平行四边形，所以O 是AC ，BD 的中点．在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△P AC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12P A →，即P A →＝MD →＋MB →，即P A →与MD →，MB →共面．所以P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底．B 级——能力提升练11．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的一个基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，如果BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题．12．若{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【答案】x ＝y ＝z ＝0 【解析】若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.13．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．【答案】(12,14,10) 【解析】设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°. (1)设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1→，并求出BC 1的长度； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．解：(1)BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→＝BB 1→＋A 1C 1→－A 1B 1→＝AA 1→＋AC →－AB →＝a ＋c －b ，因为a ·b ＝|a |·|b |cos ∠BAA 1＝1×1×cos(60°＝12，同理可得a ·c ＝b ·c ＝12，所以|BC 1→|＝a ＋c －b2＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2c ·b ＝ 1＋1＋1＋1－1－1＝ 2. (2)因为AB 1→＝a ＋b ，所以|AB 1→|＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋1＝ 3.因为AB 1→·BC 1→＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝a 2＋a ·c －a ·b ＋b ·a ＋c ·b －b 2＝1＋12－12＋12＋12－1＝1，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝12×3＝66.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66. C 级——探究创新练15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若向量AE →在以{AA 1→，AB →，AD →}为单位正交基底下的坐标为(1，x ，y )，则x ＝________，y ＝________.【答案】12 12 【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB→＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.16．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．解：(1)D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝D 1D →＋12DB →＝A 1A →＋12(AB →－AD →)＝－AA 1→＋12AB →－12AD →＝－c ＋12a －12b ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.。

1.2 空间向量基本定理(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(原卷版)

1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（）A ．()12c a b --B ．()12b ac --C ．()12a cb --D ．()12c a b ++2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（）A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是()A ．aB ．bC ．cD ．a 或b5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．237．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c-+D ．1162a b c--+二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +r r，b ，b c-r r B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅三、填空题12．（2022·全国·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB y AD z AA =++，则x y z ++=___________.13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a AB =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122-+a b cB ．1122a b c+-C ．1122a b c-++D ．1122--+a b c2．（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，真命题的是（）．A ．a b a b -=+是a 、b 共线的充要条件B ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使a bλ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若a 、b 、c 是不共面的向量，则a b +、b c +、c a +的线性组合可以表示空间中的所有向量3．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥A BCD -中，P 为BCD △内一点，若1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，则AP =（）A ．111362AB AC AD++B ．111263AB AC AD ++C ．111326AB AC AD++D ．111632AB AC AD ++5．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A ．123122a b c-+B ．122132a b c-++C ．122121a b c+-D ．211322a b c--二、多选题6．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r7．（2022·浙江宁波·高二期末）若OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（）A ．θ的取值范围是()0,πB ．{},,OA AB BC 能构成空间的一个基底C ．“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件D ．()OA OB OC BC ++⋅=8．（2021·全国·高二期中）在四面体P ABC -中，以下说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD =B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =D ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=三、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.10．（2021·全国·高二课时练习）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______四、解答题11．（2022·全国·高二课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点．(1)设AB a =，AD b =，1AA c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ；(2)设1AB a =，1AD b =，AC c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ．12．（2022·全国·高二课时练习）A 是BCD △所在平面外一点，G 是BCD △的重心，M 、E 分别是BD 、AG 的中点，点F 在线段AM 上，25AF AM =，判断三点C 、E 、F 是否共线．13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．。

1.2空间向量基本定理-基础练(解析版).docx

1.2空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：①如果向量疋，牙与任何向量不能组成空间向量的一组基底，那么〒的关系是不共线：②OJ、HC为空间四点，且向^oA,oB,o5不组成空间的一个基底，则点O.A.B.C-^共而：③已知向量万,了,疋是空间的一个基底，则向量N + 了，N-了，疋也是空间的一个基底•英中正确的命题是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【参考答案】C【解析】①如果向量疋,飞与任何向虽不能组成空间向於的一组基底.那么疋,7的关系是不共线，不正确.反例：如果7中有…个向量为零向量.N, 7共线但不能组成空讪叩上的一组基底,所以不正确.②OAB.C为空间四点，且向量刃，丙，况不组成空间的一个基底，那么点O AB,C •定共而：这是正确的.③已知向量N, T,疋是空间的一个基底,则向星万+〒,万一T, W，也是空间的一个基底：因为三个向量非零不共线，正确.故选C.2•设向量a.b.c不共而，则下列可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b.b-a.a}B.{ a+b,b-a,b}C.{ a+b.b-a.c}D.{ a+b+c.a+b.c}【参考答案】c【解析】由已知及向量共而加理，易得a+b.b-a.c不共而，故可作为空间的一个基底.3.如图，在平行六而体ABCD-AiBiCiDi中"C与BD的交点为点A/.=a=b=cJi］下列向呈:中与相等的向量是（）A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c【参考答案】c【解析】）-（）=-a-b-c.4.已知OAbC为空间不共而的四点，且向虽:曲,向量b=，则不能与a.b组成空间的一个基底的是（）A. B. C. D.【参考答案】C【解析】：'a=.b=,・：（a-b）,・：与向量a.b共面,• ：ab不能组成空间的一个基底.5.（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量方///；,则厶』与任何向量都不能组成空间的一个基底C.A、B、M、N是空间四点，若丽，丽,丽不能组成空间的一个基底，那么A、BMN共而D.已知向量{",可组是空间的一个基底，若fn = a+c^\{a,b,m}也是空间的一个基底【参考答案】ABCD【解析】选项A中.根据空间基底的概念，可得任意三个不共而的向量都可以作为一个空间肚底•所以A止确：选项8中，根据空间基底的概念，可得B正确：选项C中.由丽，丽.丽不能组成空间的一个基底，可得共而,又由页，丽；丽过相同点得A、B、M、N四点共而，所以C正确：选项D中：由仏乙,：}是空间的一个基底，则基向量f 川］就不=方+ ：—疋不共而.所以可以组成空间另一个基底，所以D正确.故选：ABCD.6.（多选题）设工是空间一个基底（）A.若“丄5屮丄芒，则〃丄0B.则"工两两共而，但不可能共而C.对空间任一向量"，总存在有序实数组（x?\叫使"= Xii + W +疋D.则〃 +厶，/； + c：,个+ 〃一泄能组成空间的一个基底【分析】利用N /疋是空间一个基底的性质宜接求解.【解答】解：由「心是空间一个基底，知：在A中，若〃丄b上丄8 ,则N与°相交或平行，故A错误；在“中,"工两两共而，但ab^c不可能共而，故B正确：在C中,对空间任一向量P.总存在有序实数组“，卩，2）,使"=加+ W + zc，故C正确；D^Ji + b .b+c s+li能组成空间的一个基底，故D正确.故选：BCD.二、填空题7•在空间四边形OABC中,=a.=b.=c,点M在线段AC上，且AM=2MC,点N是OB的中点，则= ______【参考答案】-a+b-c【解析】）,，（ac）-a+b=-a+b-c.8.在正方体ABCD-AiB^Di中，设=a=b.=c^iCi与B）Di的交点为£则=_________________ .【参考答案】-a+b+c【解析】如图,）=）=.a+b+c.9•若a=ei+e2.b=e2+e3X=ei+e3，d=e]+2e2+3e3,若ei.e》.© 不共而，当(1=如+妙)+徑时,a+0+y= .【参考答案】3【解析】由已知d=(a+y)ei+(a+“)e2+(?+“)e3,所以故有a+B+y=3・10.（2020山东荷泽四中髙二期末）在正四而体ABCD中,M/V分别为棱BC、A3的中点，设AB = a .AC = b ^AD = c用；C表示向^DM= _____________________ 异面直线DM与CN所成角的余弦值为_________ ・【解析】画出对应的正四而体，设棱长均为1则三. 解答题11. 已知｛ei,e2,e 3｝是空间的一个基底，且OA =ei+2e 2-e 3,o§ =-3ei+e 2+2e 3,OC =ei+e 2-e3,U^W ｛ CM,OB,OC ｝能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量而 =2ere 2+3e 3 ；若不能，请说明理由.【参考答案】^ ob=^OA-5oB -30oc .【解析】能作为空间的一组基底.假设页，西,况共而•由向G 洪而的充要条件知存在实数心使=A OB +yOC 成立 e ｛ +爲_召=x(-3e l +e 2 +爲)+y(e x +e^-3e^) = (-3x+y)e[+(x+y)呂+(2x-刃&又因为｛勺，勺心｝是空W J 的一个基底，所以百忑耳不共£-3x + y = 1,因此＜ x + y = 2,此方程组无解，即不存在实数xy 使丙+.vOC •2r )=l,所以鬲，刃，况不共而•故｛鬲,西.龙｝能作为空间的一个基底.设 OD=POA 十qUS +z 况，则有2e\-e 2 + 込=〃(弓+2勺-e i )+q(-3e l +e 2 +2®) + z (弓+勺一6)= (“_3q + z )G + (2〃 + q + z)& + (_/? + 2g_z )sp ・3q + z = 2, 2" + § + z = -l,•解得 < ・p + 2g ・z = 3, 故 OD=^OA^OB^OC12•如图，已知正方体ABCDABCD ：点E 是上底而A'BCD 的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下,分别求料忆的值. (l)=x+y+z ；(2)=x+y+z.2DM -2CN\ 0 + 乙-2?).(方-M)1一1 + — 一2 — 1 + 2 丄.〃 =17,q = 5Z = -30.因为陽瓦习为空间的-个基底，所以＜【参考答案】见解析【解析】(1)因为又*y+z, 所以.x=Ly=-l^:=l.(2)因为=)=,又=x+y+z.所以・*=尸忆=1・。

空间向量基本定理(经典练习及答案详解)

1.2 空间向量基本定理课后篇巩固提升1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +cC 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23cB.23a -12b +23cC.-13a +12b -23cD.13a +12b -13cMA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16cOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a 12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ). 13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k ,GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k , ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k .∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

高中试卷-1.2 空间向量基本定理-基础练(含答案)

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

1.2 空间向量基本定理-提高练(原卷版)含答案.docx

1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ⊥,则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅；②,,,A B M N 为空间四点,若,,BA BM BN 不组成空间的一个基底,那么,,,A B M N 共面；③已知a b ⊥,则,a b 与任何向量都不组成空间的一个基底；④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.若{},,a b c 为空间的一组基底,则下列各项中能组成基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+3.已知空间四边形OABC ,其对角线为OB ,AC ,M ,N 分别是边OA ,CB 的中点,点G 在线段MN 上,且使2MG GN =,用向量OA ,OB ,OC 表示向量OG 是（）A ．2233OG OA OB OC =++ B ．122233OG OA OB OC =++C ．111633OG OA OB OC =++D ．112633OG OA OB OC =++4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若=x+y+z ,则(x ,y ,z )为( )A. B. C. D.5.下列关于空间向量的命题中,正确的有（）A.若向量a ,b 与空间任意向量都不能组成基底,则//a b ；B.若非零向量a ,b ,c 满足a b ⊥,b c ⊥,则有//a c ；C.若OA ,OB ,OC 是空间的一组基底,且111333OD OA OB OC =++,则A ,B ,C ,D 四点共面；D.若向量a b +,b c +,c a +,是空间一组基底,则a ,b ,c 也是空间的一组基底.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能组成空间一个基底的是( )A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c }7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中,E 、G 分别是CD 、BE 的中点,若记→→=AB a ,AD b →→=,AC c →→=,则AG →=______.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中,BC 的中点为M ,11A B a =,11AC b =,1A A c =,则1B M可用a 、b 、c 表示为______.10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中,已知1,AB AA AD ==1BAD DAA ∠=∠60,︒=1BAA ∠30︒=,N 为11A D 上一点,且111A N A D λ=.若BD AN ⊥,则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点,//BM 平面1AB N ,则λ的值为________.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,=-,设=a ,=b ,=c ,试用a ,b ,c 表示.12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ⊥,则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅；②,,,A B M N 为空间四点,若,,BA BM BN 不组成空间的一个基底,那么,,,A B M N 共面；③已知a b ⊥,则,a b 与任何向量都不组成空间的一个基底；④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【参考答案】C【解析】对于①,若a b ⊥,则0a b ⋅=,故()()a b c c b a a b a c c b c a ⋅++⋅-=⋅+⋅+⋅-⋅0c b b c =+⋅=⋅,故①正确；对于②,若,,BA BM BN 不组成空间的一个基底,,,BA BM BN 这3个向量共线面,故,,,A B M N 共面,故②正确；对于③,当a b ⊥时,若c 与,a b 不共面,则{},,a b c 可组成空间的一个基底,故③不正确；对于④,根据向量共线的定义可得其成立,故④正确.2.若{},,a b c 为空间的一组基底,则下列各项中能组成基底的一组向量是（） A ．{},,a a b a b +- B ．{},,b a b a b +- C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+ 【参考答案】C 【解析】A ：因为()()2a b a b a ++-=,所以向量,,a a b a b +-是共面向量,因此这三个向量不能组成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b ++--=,所以向量,,b a b a b +-是共面向量,因此这三个向量不能组成基底；C ：因为{},,a b c 为空间的一组基底,所以这三个向量不共面. 若,,c a b a b +-不组成一组基底,则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b =++-⇒=++-,所以向量,,a b c 是共面向量,这与这三个向量不共面矛盾,故假设不正确,因此,,c a b a b +-能组成一组基底,D ：因为312()()22a b a b a b +=+++,所以向量,,2a b a b a b +-+是共面向量,因此 ,,2a b a b a b +-+不能组成一组基底.故选：C3.已知空间四边形OABC ,其对角线为OB ,AC ,M ,N 分别是边OA ,CB 的中点,点G 在线段MN 上,且使2MG GN =,用向量OA ,OB ,OC 表示向量OG 是（） A ．2233OG OA OB OC =++ B ．122233OG OA OB OC =++ C ．111633OG OA OB OC =++ D ．112633OG OA OB OC =++ 【参考答案】C【解析】2OG OM MG OM MN 3=+=+ , ()()2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633=+++=++-=++ 111OG OA OB OC 633∴=++ ,故选：C ．4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若=x+y+z ,则(x ,y ,z )为( )A. B. C. D.【参考答案】A【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,)=-2),-2).因为=3=3(),所以OG=OG 1.则)=.5.下列关于空间向量的命题中,正确的有（）A.若向量a ,b 与空间任意向量都不能组成基底,则//a b ；B.若非零向量a ,b ,c 满足a b ⊥,b c ⊥,则有//a c ；C.若OA ,OB ,OC 是空间的一组基底,且111333OD OA OB OC =++,则A ,B ,C ,D 四点共面； D.若向量a b +,b c +,c a +,是空间一组基底,则a ,b ,c 也是空间的一组基底.【参考答案】ACD【解析】对于A ：若向量a ,b 与空间任意向量都不能组成基底,只能两个向量为共线向量,即//a b ,故A 正确；对于B ：若非零向量a ,b ,c 满足a b ⊥,b c ⊥,则a 与c 不一定共线,故B 错误；对于C ：若OA ,OB ,OC 是空间的一组基底,且111333OD OA OB OC =++,则()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-,即1133AD AB AC =+,可得到A ,B ,C ,D 四点共面,故C 正确；对于D ：若向量a b +,b c +,c a +,是空间一组基底,则空间任意一个向量d ,存在唯一实数组(),,x y z ,使()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++,则a ,b ,c 也是空间的一组基底,故D 正确.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能组成空间一个基底的是( )A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c } 【参考答案】ABD【解析】由于a ,b ,c 不共面,易判断A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b +3c )+(3a -9c )=3(a +2b ),故这三个向量是共面的,不能组成基底.二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中,E 、G 分别是CD 、BE 的中点,若记→→=AB a ,AD b →→=,AC c →→=,则AG →=______.【参考答案】111244a b c →→→++【解析】在四面体ABCD 中,E 、G 分别是CD 、BE 的中点,则AG AB BG →→→=+12AB BE →→=+11()22AB BC BD →→→=+⨯+1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+- 111442AB AC AD AB →→→→=++-111244AB AD AC →→→=++. 8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中,BC 的中点为M ,11A B a =,11AC b =,1A A c =,则1B M可用a 、b 、c 表示为______. 【参考答案】1()2c b a 【解析】在1B BM 中,11B M B B BM =+ ,又BC 的中点为M ,12BMBC 111A B C ABC -是斜三棱柱,11B C BC ,11B B A A111112B M A A B C , 在111A B C ∆中111111BC AC A B 11111111()()22B M A A AC A B c b a 9.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .【参考答案】【解析】如图所示.设=a ,=b ,=c ,则<a ,b >=120°,c ⊥a ,c ⊥b ,因为=-a +c ,=b +c ,cos <>===.10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中,已知1,AB AA AD ==1BAD DAA ∠=∠60,︒=1BAA ∠30︒=,N 为11A D 上一点,且111A N A D λ=.若BD AN ⊥,则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点,//BM 平面1AB N ,则λ的值为________.1, 23【解析】 (1)取空间中一组基底：1,,AB a AD b AA c ===,因为BD AN ⊥,所以0BD AN ⋅=,因为11,BD AD AB b a AN AA A N c b λ=-=-=+=+,所以()()0b a c b λ-⋅+=,所以1022λλ+-=,所以1λ=；(2)在AD 上取一点1M 使得11A N AM =,连接111,,M N M M M B , 因为11//A N AM 且11A N AM =,所以1111//,NB M B NB M B =, 又因为1M B ⊂/平面1AB N ,1NB ⊂平面1AB N ,所以1//M B 平面1AB N , 又因为//BM 平面1AB N ,且1BM M B B =, 所以平面1//M MB 平面1AB N ,所以1//MM 平面1AB N , 又因为平面11AA D D ⋂平面1AB N AN =,且1MM ⊂平面11AA D D , 所以1//M M AN ,所以11AA N MDM ∽, 所以()111111121A NAA AD DM MD A D λλ===-,所以23λ=.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,=-,设=a ,=b ,=c ,试用a ,b ,c 表示.【参考答案】见解析【解析】连接AN ,则.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得=a +b ,=-=-(a +b ),又=b -c ,故=b -(b -c ),所以=-(a +b )+b -(b -c )=(-a +b +c ).12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点. 证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.【参考答案】见解析【解析】(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,则{i,j,k}组成空间的一个单位正交基底.=i+k,i+k=,∴AB1∥GE.k+(i+j)=-i-j+k,∵=(i+k)·=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH.(2)=-k+j+i,=i-j,=i+k.∴=-|j|2+|i|2=0,∴A1G⊥DF.=-|k|2+|i|2=0,∴A1G⊥DE.又DE∩DF=O,∴A1G⊥平面EFD.知识改变命运。

人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理课时分层练习题含答案解析

1.2 空间向量基本定理基础练习一、单选题1．已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 【答案】A【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】()11122212MN ON OM OC OA O b B c a ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎭-⎝.2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（）A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面4．设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是( ) A ．a B ．bC ．cD ．a 或b【答案】C【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，结合()()2p q a b a b a +=++-=，得a 与p 、q 是共面向量，同理b 与p 、q 是共面向量，所以a 与b 不能与p 、q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p 、q 构成空间的一个基底．5．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（） A ．11122AM AB AD AA =++ B ．11122AQ AB AD AA =++ C ．1113444AQ AB AD AA =++ D ．1114555AQ AB AD AA =++ 【答案】D【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为1CM MD =，所以11112111()222CD DD AB CM A CD A =+=-+=，所以AM AB BC CM =++ 11122AB AD AB AA =+-+ 11122AB AD AA =++，所以A 错误因为14CQ QA =，所以1114444()554555CB BA AA AB AD A C A Q CA =++=-=-+，所以AQ AB BC CQ =++ 1444555AB AD AB AD AA =+--+ 1114555AB AD AA =++,6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（） A ．12 B ．14C ．13D ．23【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可【详解】111111244244OE a b c OA OB OC =++=++uu u r r r r uu r uu u r uuu r，其中 E 为中点，有 1122OE OA OD =+ ，故可知 1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r ，则知 D 为 BC 的中点，故点 D 满足 12BD BC =， 12λ= ．7．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c ++B ．1162a b c -++C ．1132a b c -+D ．1162a b c --+【答案】D【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+ 即1162MN a b c =--+二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（） A ．b c +r r，b ，b c -r r B ．a ，a b +，a b - C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c【答案】ABD【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项. 【详解】对于A ，因为()()12b c b b c ⎡⎤=+⎣⎦+-，故b c +，b ，b c -共面；对于B ，因为()()12a b a a b ⎡⎤=+⎣⎦+-，故a ，a b +，a b -共面；对于D ，因为()c a b c a b =++-+，故a b +，a b c ++，c 共面；对于C ，若a b +，a b -，c 共面，则存在实数,λμ，使得：，()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，故,,a b c 共面，这与{},,a b c 构成空间的一个基底矛盾，9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底【答案】AD【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】解：a ，b ，c 是空间的三个单位向量，由//a b ，//b c ，则//a c ，故A 正确；a ，b ，c 两两共面，但是a ，b ，c 不一定共面，a ，b ，c 可能两两垂直，故B 错误；由空间向量基本定理，可知只有当a ，b ，c 不共面，才能作为基底，才能得到p xa yb zc =++，故C 错误；若 {}a b c ，，是空间的一组基底，则a ，b ，c 不共面，可知{}a b b c c a +++，，也不共面，所以{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底，故D 正确． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r且1x y z ++=⇔P ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义{},,a b c 是空间的一个基底,,a b c ⇔不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得cos ,0a b <，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++因为1111632++=，根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于{},,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b c 不共面 ∵m a c =+，则,,a c m 共面∴可得向量,,a b m 不共面，所以{},,a b m 也是空间的一个基底，所以C 正确；对于D ，若cos ,0⋅=<a b a b a b ，即cos ,0a b <，又[],0,π∈a b ，所以π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以D 不正确．11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（） A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 【答案】ABC【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据()a b c ⋅⋅与 c 共线，()a b c ⋅⋅与 a 共线判断.【详解】A.空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则,90=a b ，所以0a b ⋅=，故正确；B. 若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故正确；C.因为{},,a b c 是空间的一组基底,所以,,a b c 不共面，则,,a b a c +r r rr也不共面，又m a c =+，所以,,a b m 不共面，则{,,}a b m 也是空间的一组基底，故正确；D.因为()a b c ⋅⋅与 c 共线，()a b c ⋅⋅与 a 共线，又a ，b ，c 是任意向量，所以 ()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等，故错误；三、填空题12．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB yAD z AA =++，则x y z ++=___________. 【答案】2【分析】根据向量线性运算，利用1,,AB AD AA 表示出AE ，由此可得,,x y z 的值. 【详解】()()11111111111111222AE AA A E AA AC AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++11122AB AD AA =++， 12x ∴=，12y =，1z =，2x y z ∴++=. 13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）【答案】1122a b c -++【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可. 【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA A C AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.【答案】1231122e e e +-u r u r u r 【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可. 【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=，所以1231122DE DA AE e e e uuu r uu u r uu u r u r u r u r =+=+-.四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．【答案】()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得. 【详解】∵M 为BC 的中点， ∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+-. 16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a A B =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．【答案】123D P a b c =--【分析】利用空间向量的线性运算，即可用a ，b ，c 表示1D P .【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，所以111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭.17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．。

新教材人教A版数学选择性必修第一册练习：1.2 空间向量基本定理 Word版含解析

第一章 1.2请同学们认真完成练案 [3]A 组·素养自测一、选择题1．(多选题)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( ABD )A ．{a,2b,3c }B ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }C ．{a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c }D ．{a ＋b ＋c ，b ，c }[解析] 由于a ，b ，c 不共面，易判断A ，B ，D 中三个向量也不共面，可以作为一组基向量．对于C ，有3(2b ＋3c )＋(3a －9c )＝3(a ＋2b )，故这三个向量是共面的，不能构成基底．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与C 1M →相等的向量是( C )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c[解析] C 1M →＝AM →－AC 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋BC →＋CC 1→)＝－12a －12b －c ．3．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则不能与a ，b 构成空间的一个基底的是( C )A ．OA →B ．OB →C ．OC →D ．OA →与OB →[解析] ∵a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， ∴OC →＝12(a －b )，∴OC →与向量a ，b 共面，∴OC →，a ，b 不能构成空间的一个基底．4．(2020·四川广元高二期中)已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，且BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，则m 的值为( C )A ．－1B ．2C ．－2D ．－3[解析] ∵O 为空间任意一点，BP →＝mOA →＋OB →＋OC →，∴OP →＝mOA →＋2OB →＋OC →．∵A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，∴m ＋2＋1＝1，解得m ＝－2．5．(2020·陕西咸阳高二期末)如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上，且满足OM →＝2MA →，BN →＝NC →，点G 是线段MN 的中点，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应为( A )A ．OG →＝13OA →＋14OB →＋14OC →B ．OG →＝13OA →－14OB →＋14OC →C ．OG →＝13OA →－14OB →－14OC →D ．OG →＝13OA →＋14OB →－14OC →[解析] OG →＝OM →＋MG →＝23OA →＋12MN →＝23OA →＋12(MA →＋AN →)＝23OA →＋12⎣⎡⎦⎤13OA →＋12(AB →＋AC →)＝23OA →＋16OA →＋14(OB →－OA →)＋14(OC →－OA →)＝13OA →＋14OB →＋14OC →．二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式中：①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； ②AB →＋DD 1→＋D 1C 1→； ③AD →＋DD 1→＋D 1C 1→；④12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→．正确的个数有__3__个．[解析]AB→＋DD1→＋D1C1→＝AB→＋DC1→＝AB→＋AB1→≠AC1→，②不正确；12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→＝12 (AB1→＋BA1→)＋A1C1→＝AA1→＋A1C1→＝AC1→，④正确；①③显然正确．7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n共线，则x ＝__1__，y＝__－1__．[解析]因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λx a＋λy b＋λc，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx，－1＝λy，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1.8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝__－12__．[解析]如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊12A1D，所以EF→＝12A1D→，即EF→－12A1D→＝0，所以λ＝－12．三、解答题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示D1B→，EF→；(2)若D1F→＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．[解析](1)如图，D1B→＝D1D→＋DB→＝－AA1→＋AB→－AD→＝a－b－c，EF→＝EA→＋AF→＝12D1A→＋12 AC→＝－12(AA1→＋AD→)＋12(AB→＋AD→)＝12(a－c)．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋D 1B →)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1． 10．如图，已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解析] (1)设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0．所以CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ．所以CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，所以CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D ． (2)因为AC ′→＝－a ＋c ，所以|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，因为AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，所以cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010．所以异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010．B 组·素养提升一、选择题1．(2020·陕西西安高二期末)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z ＝( B )A ．1B ．76C ．56D ．23[解析] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →，与AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →比较可得x ＝1,2y ＝1，－1＝3z ，则x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76．2．(2021·浙江杭州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可表示为( A )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c[解析] 取AC 的中点N ，连接BN ，MN ，如图所示．∵M 为A 1C 1的中点，AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴NM →＝AA 1→＝c ，BN →＝12(BA →＋BC →)＝12(－AB→＋BC →)＝－12a ＋12b ，∴BM →＝BN →＋NM →＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋c ＝－12a ＋12b ＋c ．3．在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23[解析]如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则E 为BC 中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)．因为OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，所以OG ＝34OG 1．则OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →． 4．(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是( ABC )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角[解析] 根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A 正确；若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，则根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；由{a ，b ，c }是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 也不共面，所以{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }也是空间的一组基底，所以C 正确；若a ·b ＜0，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，所以D 错误．故选ABC ．二、填空题5．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝__3__．[解析] 由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3．6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝__0__． [解析] ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3为不共面向量．又∵λe 1＋μe 2＋υe 3＝0，∴λ＝μ＝υ＝0，∴λ2＋μ2＋υ2＝0．7．如图，在四面体ABCD 中，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝__－112AB →－13AC →＋34AD →__．[解析] 连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则GE →＝AE →－AG →＝AB →＋34BD →－23AM →＝AB →＋34(AD→－AB →)－23×12(AB →＋AC →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →．三、解答题8．如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，求证：GH ∥OA ．[证明] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．因为H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →，从而OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )．又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →，所以OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )．因为GH →＝OH →－OG →，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a ＝－13OA →，所以GH →∥OA →，即GH ∥OA ．9．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN ．[证明] 如图，取向量OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则OM →＝12(OB →＋OC →)，ON →＝12(OA →＋OC →)．所以PM →＝OM →－OP →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12(OB →＋OC →－OA →)，QN →＝ON →－OQ →＝12(OA →＋OC →)－12OB →＝12(OA →＋OC →－OB →)．又因为AB →＝OB →－OA →，所以PM →＝12(AB →＋OC →)，QN →＝12(OC →－AB →)，所以PM →·QN →＝12(AB →＋OC →)·12(OC →－AB →)＝14(|OC →|2－|AB →|2)，又因为|AB →|＝|OC →|，所以PM →·QN →＝0，即PM ⊥QN ．。

1.2 空间向量基本定理-基础练(解析版)

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b -a ,a }B.{a+b ,b -a ,b }C.{a+b ,b -a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b -a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C【解析】C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OA⃗⃗⃗⃗⃗ B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 或OB ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】C 【解析】∵a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a -b ),∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ,b 共面, ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,a ,b 不能构成空间的一个基底. 5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底( )A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底【分析】利用a ，b ，c 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a ，b ，c 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交或平行，故A 错误；在B 中，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++，故C 正确；在D 中，a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______. 【答案】 -13a +12b -23c【解析】MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c . 8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】 -12a +12b +c【解析】如图,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______. 【答案】()122a b c +-. 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-.(2)由(1) ()122DM a b c =+-,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ则()()2222cos 22a b c a b DM CNDM CN θ+-⋅-⋅==⋅ 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅==. 三、解答题 11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD =17OA -5OB -30OC ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA =x OB +y OC 成立 123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面. 因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++- 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .12.如图,已知正方体ABCD -A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=12,z=1.。

数学选择性必修第一册RJA1.2空间向量基本定理+答案解析(附后)

gzbst数学选择性必修第一册RJA1.2空间向量基本定理一、单选题（本大题共5小题，共25分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列三个说法中，正确的个数是( )①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面.A. 0B. 1C. 2D. 32.设是空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是( )A. B. C. D. 或3.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )A. O，A，B，C四点不共线B. O，A，B，C四点共面，但不共线C. O，A，B，C四点不共面D. O，A，B，C四点中任意三点不共线4.如图，在四面体中，是的重心，延长交BC于点E，G是上的一点，且，若，则为( )A. B. C. D.5.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点.若，，，则( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5分。

在每小题有多项符合题目要求）6.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有目仅有一个三、填空题（本大题共1小题，共5分）7.平行六面体中，，，，则__________.四、解答题（本大题共1小题，共12分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）8.本小题12分如图，在三棱柱中，，，平面ABC，E ，F分别是，的中点.求证：答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的基本定理，直线的方向向量以及共线、共面定理，属基础题【解答】解：①由空间向量基本定理知是正确的;②由方向向量的定义知是正确的;③若是空间的一个基底，且，则由，可知A，B，C，D四点共面，正确.故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量共面的条件及基底的概念，属于基础题.【解答】解：因为是空间的一个基底，所以向量，，不共面，而向量，与，共面，故排除选项A，B，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量共面的条件及基底的概念，属于基础题.【解答】解：选项A对应的说法是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底;选项B对应的说法是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底;选项C对应的说法是正确的，若四点共面，则，，构不成基底;选项D对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量，，构不成基底.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算与基本定理，属中档题.【解答】解：由题意知E是BC的中点，所以是的重心，则，所以因为，所以若，则故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理和线性运算，考查了运算能力，属于基础题.【解答】解：故选6.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了空间向量的基底和直线的方向向量应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，B，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误;对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，所以C正确;对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选7.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．【解答】解：由题设，作出示意图.由图得，，，则8.【答案】解：选取，，作为空间的一个基底，设，，由已知条件和三棱柱的性质，得，，，，，，，因为，所以，即【解析】本题考查了利用空间向量的数量积运算来证明线线垂直问题，考查了运算与逻辑推理能力，属于基础题.。

人教A版选择性必修第一册1.2节空间向量基本定理课后练习

浙江省2020-2021学年第一学期人教A 版（2019）选择性必修第一册1.2节空间向量基本定理课后练习一、单选题1．已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC ，表示向量OG 是( )A ．2233OG OA OB OC =++ B ．122233OG OA OB OC =++ C ．111633OG OA OB OC =++D ．112633OG OA OB OC =++2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）A ．34 B ．34C ．54D ．543．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x ，y 的值是（）A ．12x =，12y =B ．1x =，12y =C ．12x =，1y =D ．1x =，1y =4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c -+C ．131222a b c ++ D ．113222a b c -+ 5．空间四边形O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（） A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．112223a b c +- D ．221332a b c +- 6．一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，7．空间四个点O ，A ，B ，C ，,,OA OB OC 为空间的一个基底，则下列说法正确的是（） A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C四点不共面8．已知(,5,21)A x x x --，(1,2,2)B x x +-，当||AB 取最小值时，x 的值为（）A ．19B ．87-C ．87D ．1914二、填空题9．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．10．在正四面体P ABC -中，M 是PA 上的点，且2PM MA =，N 是BC 的中点，若MN xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为__________．11．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160BAA DAA BAD ∠=∠=∠=︒，且所有棱长均为2，则对角线1AC 的长为__________．12．如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .三、解答题13.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=,=,=．（1）用,,表示；（2）求AE的长？14.如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知=，=，=你能用,,表示吗？若能，用,,表示出；若不能，请说明理由．15.已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：++=2．16.平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.（1）求的长；（2）求异面直线与夹角的余弦值.参考答案1．C2．B3．A4．A5．B6．B7．D8．C9．610．1311．2612．2 13.【答案】解：（1）根据向量的三角形法则得到 =++=++（2）∵||2=(++)2=2+2+2+2++=25+9+4+0+（20+12）•cos60° =54 ∴||=3即AE 的长为3 ．【解析】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．（2）根据上一问表示出的结果，把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果． 14.【答案】解：根据向量加法与减法的几何意义，得；向量+=，=﹣；又在平行四边形ABCD 中，= ，∴=+=+=+﹣=﹣+．∴能用,,表示出．【解析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用,,表示的线性表示。

高中试卷-1.2 空间向量的基本定理(精练)(含答案)

1.2 空间向量的基本定理【题组一基底的判断】1．（2020·山东微山县第二中学高二月考）已知a r ，b r ，c r 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（）A ．2a r ，a r ﹣b r ，a r +2br B ．2b r ，b r ﹣a r ，b r +2a r C ．a r ，2b r ，b r ﹣cr D ．c r ，a r +c r ，a r ﹣c r 【答案】C【解析】对于A ，因为2a r =43（a r ﹣b r ）+23（a r +2b r ），得2a r 、a r ﹣b r 、a r +2b r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确；对于B ，因为2b r =43（b r ﹣a r ）+23（b r +2a r ），得2b r 、b r ﹣a r 、b r +2a r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a r =λ•2b r +μ（b r ﹣c r ）成立，故a r 、2b r 、b r ﹣c r 三个向量不共面，它们能构成一个基底，C 正确；对于D ，因为c r =12（a r +c r ）﹣12（a r ﹣c r ），得c r 、a r +c r 、a r ﹣c r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确故选：C ．2．（2018·安徽六安一中高二期末（理））已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v v ，向量b OA OB OC =+-uuu v uuu v uuu v v ，则与a v ，b v 不能构成空间基底的向量是（）A ．OAuuu v B ．OB uuu v C ．OC uuu v D ．OA uuu v 或OB uuu v【答案】C【解析】∵()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v v ，即OC uuu v 与a v ，b v 共面，∴OC uuu v 与a v ，b v不能构成空间基底；故选C.3．已知{},a b c v v v ，是空间向量的一个基底，则与向量p a =v v +b v ，q a =v v -b v 可构成空间向量基底的是( )A ．a v B ．b vC ．a v +2b vD ．a v +2cv 【答案】D【解析】由题意，向量,,2a b a b +v v v v 都有向量,p a b p a b =+=-v vv v v v 为共面向量，因此A 、B 、C 都不符合题意，只有向量2a c +r r 与向量,p a b p a b =+=-v v v v v v 属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4．（2020·南昌市八一中学高二期末（理））{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b +-r r r r rB ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以,,a a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=r r r r r (，所以,,b a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--r r r r r r ，所以,,2a b a b a b +-+r r r r r r 共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b r r r r r +-共面，则()()()()c a b a b a b l m l m l m =++-=++-r r r r r r r ，则,,a b c r r r 共面，与{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b r r r r r+-可以构成空间向量的一组基底，故选：C 5．（2018·江西南昌二中高二期中（理））若{},,a b c v v v 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b +-v v v v vB ．{},,b a b a b +-v v v v vC ．{},,c a b a b +-v v v v vD ．{},,2a b a b a b +-+v v v v v v 【答案】C【解析】().2,,,A a b a b a a a b a b ++-=\+-v v v v v Q v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；().2,,,B a b a b b b a b a b +--=\+-v v v v v v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；.,,C c a b a b v v v v v +-不共面，故可以作为基底，故正确；()()31.2,,,222D a b a b a b a b a b a b v v v v v v v v v v v v +=++-\+-+共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二基底的运用】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===uuu v uuu v uuuv v v v ，则1B M =uuuuv（）A ．1122a b c ---v v v B ．1122a b c +-v v v C ．1122a b c --v v v D ．1122a b c -+-v v v 【答案】D 【解析】11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ，12BM BD =uuuu r uuu r ，BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ，∴()1112B M AA AB AD uuuur uuur uuu r uuu r =-+-+1122c a b r r r =--+，故选D ．2．（2020·全国高一课时练习）若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.3（2020·山东沂.高二期末）如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则x y z ++=__．【答案】23【解析】因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，所以1111()2323OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111()2322OA OA OB OA BC =++-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111(())2322OA OA OB OA OC OB =++-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，111366OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r ，所以13x =，16y =，16z =，11123663x y z ++=++=，故答案为：23．4．（2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是11B C 的中点，且1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，则x y z ++的值为________.【答案】52【解析】在正方体中得112DO DA DC DD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，又因为1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r 所以1,1,12===x y z 所以52x y z ++=.故答案为：52【题组三基本定理的运用】1．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v ．（1）判断MA uuu v ，MB uuu v ，MC uuu u v 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内．【答案】（1）,,MA MB MC uuu v uuu v uuu u v共面（2）点M 在平面ABC 内．【解析】（1）如图，111()(333OA OC OA OC OQ Q +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为OAC D 的重心）1(3OB OQ OP OQ OM P +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r 为OB 的三等分点）设AC 中点为N ，则::2:3PM ON BP BO ==可知M 在BN 上，且M 为ABC D 的重心故知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面（2）由（1）知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC Ð=°，121AB BC CC ===，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．【解析】如图所示,将直三棱柱111ABC A B C -补成直四棱柱1111ABCD A B C D -,连接111,AD B D ,则11AD BC P ,所以11B AD Ð或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为1120,2,1ABC AB BC CC Ð°====,所以1AB =, 1AD =.在111B D C D 中,11160B C D =Ð°,11111,2B C D C ==所以11B D ===所以222111111112AB AD B D co A D AD B B s A +-==´=´Ð故答案为: 3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，90ACD Ð=°，将它沿对角线AC 折起，使AB与CD 成60°角，求点B 与点D 之间的距离．【答案】2∴2222222BD BD BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD=×=+++×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 3211cos ,BA CD =+´´´uuu r uuu r <>，∴2BD =uuu r，故点B 与点D 之间的距离为2．4.已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC．【答案】见解析【解析】连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG → ＝12(OM → ＋ON → )＝12[12OA → ＋12(\o(OB ,\s\up7(→))＋\o(OC ,\s\up7(→)))]＝14(a ＋b ＋c )，BC → ＝c －b .∴OG → ·BC → ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG → ⊥BC →，即OG ⊥BC ．。

高中试卷-1.2 空间向量基本定理同步练习(Word版含解析)(含答案)

1.2　空间向量基本定理题型一：空间向量基底概念与判断1．下列能使向量MA uuu r ，MB uuu r ，MC uuu ur 成为空间的一个基底的关系式是（）A ．111333OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u r C ．OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D ．2MA MB MC=-uuu ruuu r uuu u r2．空间四个点O ，A ，B ，C ，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面3．若{},,a b c r r r为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b+-r r r r r B ．{},,b a b a b+-r r r r r C ．{},,c a b a b+-r r r r r D ．{},,2a b a b a b+-+r r r r r r题型二：空间向量基本定理的应用4．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN uuuu r 等于（）A ．12a r -2132b c+r r B ．-211322a b c++r r rC ．12a r 12b +r -23crD ．2233a b +r r -12cr5．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC V 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++=（）．A ．14B ．12C ．34D ．16．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且2BM MC ＝，点N 是棱AD 的中点.若MN x AB y AC z AD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r，其中,,x y z 为实数，则xyz 的值是（）A ．19-B ．18-C ．19D ．18【双基达标】一、单选题7．已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若p a b,q a b =+=-u r r r r r r，则（）A ．a,p,q r u r r是空间的一组基底B ．b,p,q r u r r是空间的一组基底C ．c,p,q r u r r是空间的一组基底D ．,p q u r r 与,,a b c r r r中的任何一个都不能构成空间的一组基底8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ^平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且23PM PC =uuuu r uuu r，=uuu r uuu rPN ND 则满足MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r 的实数,,x y z 的值分别为（）A ．211,,366-B ．211,,366-C ．211,,366--D ．211,,366--9．在下列两个命题中，真命题是（）①若三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r共面；②若a r ，b r 是两个不共线向量，而c r ＝λa r ＋μb r (λ，μR Î且λμ≠0)，则{a r ，b r ，c r}构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur，则x y z ++=（）A ．43B ．23C ．13D ．111．如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且2PD DQ =uuu r uuur，若记OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，则OD =uuu r （）A ．111633a b c++r r r B ．111333a b c++r r rC ．111363a b c++r r r D ．111336a b c++r r r 12．下列结论错误的是（）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a r ､b r是两个不共线的向量，且c a b l m =+r r r (R l m Î、且0l m ×¹)，则{}a b c r r r ，，构成空间的一个基底D ．若OA uuu r ､OB uuur ､OC uuu r 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面13．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r为（）A ．111633OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．122233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r C ．2233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．112233OG OA OB OC=++uuu uuu r uuu r uu r u r 14．设p ：a r ，b r ，c r是三个非零向量；q ：{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．已知空间向量a r ，b r 满足|a r |=|b r |=1，且a r ，b r的夹角为3p ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA uuu r =2a r +b r ，OB uuu r =3a r -b r，则△OAB 的面积为（）A B C D ．11416．已知在四棱柱ABCD A B C D ¢¢¢¢-中，四边形ABCD 为平行四边形，若32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur，则abc =（）A ．12B ．13C ．16D ．56【高分突破】一：单选题17．在空间四边形OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，且AM MB =uuuu r uuu r，则MC =uuu u r （）A ．1122+-r r r a b cB ．1122a b c ++r r rC ．1122---r r r a b c D ．1122a b c--+r r r18．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====uuu r r uuu r uuu r r uuuu r uuuu r r ，N 为BC 中点，则MN =uuuu r（）A ．121232a b c-+r r r B ．111322a b c-++r r rC ．111222a b c+-r rr D ．121332a b c+-r r r 19．在平行六面体1111ABCD A B C D －中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，则下列向量中与1D M uuuuu r相等的向量是（）A ．1122-++r r r a b cB ．1122a b c-+r r rC ．1122+-r r ra b cD ．1122--r r ra b c20．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =uuuu r uuu r ，BN NC =uuu r uuu r，点G 是线段MN 的中点，用向量OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 作为空间的一组基底表示向量OG uuu r应为（）A ．111363OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．111344OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu rC ．111336OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．111443OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r21．已知0a b c ++=r r r，||2a =r ，||3b =r ，||c =r ，则向量a r 与b r 之间的夹角,a b áñr r 为（）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对22．给出下列命题：①已知a b ^r r，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA uuu r、BM uuuu r、BN uuu r不构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；③已知a b ^r r，则a r 、b r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a r 、b r 共线，则a r 、b r所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．423．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，向量b =r OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，则不能与,a b rr 构成空间的一个基底的是（）A ．OA uuu rB ．OB uuu rC ．OC uuu rD ．OA uuu r 或OBuuu r24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =uuuu v uuuv，12BN BC =uuu v uuu v ，12BH BA =uuuv uuu v ，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM=++uuu v uuuv uuu v uuuu v，则3x y z ++=（）A ．105B ．125C ．145D ．165二、多选题25．在以下命题中，不正确的命题有（）A ．a b a b -=+r r r r 是a r 、b r共线的充要条件B ．若//a b r r，则存在唯一的实数l ，使λa b=r r C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底26．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c ®®®组是空间的一个基底，若m a c ®®®=+，则{},,a b m ®®®也是空间的一个基底D ．若0a b ®®×<，则a b ®®×是钝角27．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =uuuu r uuu r ，现用基组{},,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r，有OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（）A ．16x =B ．13y =C ．13z =D ．1x y z ++=28．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r.则下列正确的是（）A ．1122BM a b c =-+u u u u r r r rB ．1AC a b c=++uuuu r r r rC ．1ACD ．1cos ,AB AC <>uuu r uuuu r =29．下列命题中，正确的命题有（）A ．a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充要条件B ．若//a b r r 则存在唯一的实数l ，使得=a bl r r C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点,,,A B C 若243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r，则,,,P A B C 四点共面D ．若{}a b c r r r，，为空间的一个基底，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底30．给出下列命题，其中正确的有（）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b rr ，则a r 、b r 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA uuu r ，BM uuuu r ，BN uuu r不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c r r r是空间向量的一组基底，若m a c =+r r r ，则{,,}a b m r r r 也是空间一组基底三、填空题31．已知在正方体ABCD 一1111D C B A 中，点E 为底面1111D C B A 的中心，112a AA =ruuur ，12b AB =ruuu r ，13c AD =ruuu r ，AE xa yb zc =++uuu r r r r，则x =______，y =_______，z =_______．32．设,,x a b y b c z c a =+=+=+r r r u r r r r r r且{},,a b c r r r 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x r r r ；②{,,}x y z r u r r③{,,}b c z r r r ④{,,}x y a b c ++r u r r r r其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．33．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 是边OA 的中点，G 是ABC D 的重心，则用基向量OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 表示向量MG uuuu r 的表达式为___________.34．如图，点M 为OA 的中点，{},,OA OC OD uuu r uuu r uuu r 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则有序实数组（x ，y ，z ）=________.35．已知123e e e u r u u r ur ，，为不共面的三个向量，123123123a e e e b e e e c e e e =++=+-=-+u r u ur ur u r u u r ur u r u u r ur r r r ，，，12323d e e e =++u r u u r ur r ，若d a b c a b l =++r r r r，则α，β，λ的值分别为________．36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量a r ，b r与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r ；②若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r，b c ^r r ，则有//r r a c ；③若OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r也是空间的一组基底．四、解答题37．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c r r r 表示1D B uuuu r，EF uuu r ；（2）若1D F xa yb zc =++uuuu r r r r，求实数,,x y z 的值．38．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.求证：A，E ，C 1，F 四点共面.39．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点.（1）用基底{},,a b c r r r 表示向量1,,DB BE AFuuu r uuu r uuu r（2）化简1DD DB CD ++uuur uuu r uuu r，并在图中标出化简结果.40．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB =uuu ri ，AD =uuu r j ，AP =uuu rk ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG uuu r ，BG uuu r.【答案详解】1．C 【详解】对于A ：由()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=uuuu v uuuu v uuu v uuu v ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r ，由平面向量基本定理，可得,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，故D 错误.故选：C 2．D 【详解】由空间基底的定义，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r三个向量不共面，但选项A ，B ，C 三种情形都有可能使,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r共面，只有D 才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3．C 【详解】A ：因为()()2a b a b a r r r r r++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b c r r r是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r+-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r+-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r+-+不能构成一组基底.故选：C 4．B【详解】解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==uuuu r uuu r r ,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r .故选：B.5．C【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G Q 为ABC V 的重心，可得123AG AD =uuuu r uuu r ，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+×+=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC æö==++=++ç÷èøuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.6．C 【详解】因为12()23MN AN AM AD AB BC =-=-+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 12()23AD AB AC AB =---uuu r uuu r uuu r uuu r 112233AD AB AC =--uuu r uuu r uuu r ，所以121,,332x y z =-=-=，故19xyz =.故选：C.7．C假设12c k p k q =+r u r r ，即()()12c k a b k a b =++-r r r r r ，得()()12120k k a k k b c ++--=r r r r ，这与{},,a b c r r r 是空间的一个基底矛盾，故c,p,q r u r r 是空间的一组基底，故选：C .8．D取PC 的中点E ，连接NE ，则()21321122MN EN EM PC PC CD PM PE CD æö=-=--=--ç÷èøuuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()111221116626PC AC AP AB AD A B P CD A AB =--=+----=-u uuu r uuu r u uu r uuu r uu uu r uu u r uuu u r r uuu r 211366AB AD AP =--+uuu r uuu r uuu r ，又因为MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，由空间向量基本定理可得：231616x y z ì=-ïïï=-íïï=ïî故选：D.9．A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面正确，故①为真命题；根据平面向量基本定理，若a r ，b r 是两个不共线向量，且c r ＝λa r ＋μb r(λ，μR Î且λμ≠0)，则c r 与a r 、b r 所确定的平面共面，即a r ，b r ，c r 共面，所以{a r ，b r ，c r }不能构成空间的一个基底，故②为假命题.故选：A.10．B【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，依题意，1113D P D B =uuuu r uuuu r ，11111111121()()3333DP DD D P DD D B DD DB DD DD DA AB =+=+=+-=++uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r 1112333AB AD AA =-+uuu r uuu r uuur ，而1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur ，又1,,AB AD AA uuu r uuu r uuur 不共面，于是得13x =，13y =-，23z =，所以23x y z ++=.故选：B 11．A【详解】解: ()12121222323233OD OP PD OA PQ OA OQ OP OA OQ OP =+=+=+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()12121111+11126332326333OA OB OC OA OA OB OC a b c =+´+´=++-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r u r r uu r r ,故选:A12．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵ 满足c a b l m =+r r r ，∴a r ，b r ，c r 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA uuu r ､OB uuu r ､OC uuu r 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .13．A 【详解】221333OG OM MG OM MN ON OM =+=+=+uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r .因为,M N 分别为,OA CB 的中点，所以()11,,22OM OA ON OB OC ==+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()1111136633OG OB OC OA OA OB OC =++=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：A.14．B当非零向量a r ，b r ，c r 共面时，{},,a b c r r r 不能是空间的一个基底，由p 得不出q ，若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 一定不共面，所以a r ，b r ，c r 一定是非零向量，所以由q 可以得出p ，因此p 是q 的必要不充分条件，故选：B.15．B【详解】|OA uuu r，|OB uuu r |==，则cos∠AOB=·||||OA OB OA OB uuu r uuu r uuu r uuu r=226||||7a b a b -+×r r r r 1611127-+´´==1114，从而有sin ∠AOB=，∴△OAB 的面积S 1||||sin 2OA OB AOB =Ðuuu r uuu r =12，故选：B ．16．C【详解】据题意，得AC AB BC CC ¢¢=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur ，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ¢¢++=++uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC ¢-+-+-=uuu r uuu r uuur .又因为,,AB BC CC ¢uuu r uuu r uuur 为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.17．D()1122MC OC OM OC OA AB OC OA OB OA æö=-=-+=---ç÷èøu u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r 11112222OC OA OB c a b --=--=u u u r u u r u u u r r r r 故选：D18．B【详解】连接ON ，所以()()1122ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，因为2AM MO =uuuu r uuuu r ，所以1133OM OA a ==uuuu r uuu r r ，所以()11112322MN MO ON OM OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uu r r uu r r .故选：B.19．D 【详解】()()11112D M AM AD AB AD AD AA =-=+-+uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 11122AB AD AA =--uuu r uuu r uuur 1122a b c =--r r r 故选：D20．B【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=´+´+uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111344OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r .故选：B.21．C因为0a b c ++=r r r ，所以a b c +=-r r r ，两边平方得：222||||||2||||cos ,c a b a b a b =++áñr r r r r r r ，即1949223cos ,a b =++´´´áñr r ，所以1cos ,2a b áñ=r r ，因为[],0,180a b Î°°n n r r ，所以,60a b °áñ=r r .故选：C22．C对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a c b ×++×-=×+×+×-×=×r r r r r r r r r r r r r r r r ，故①正确；对于②，若BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 不构成空间的一个基底，则BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 这3个向量在同一平面内，故A 、B 、M、N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与a r 、b r 不共面，则a r 、b r 、c r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，故选：C.23．C【详解】因为a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，b r =OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，故12OC =uuu r (a b -r r )，所以OC uuu r 与向量,a b r r 共面，故OC uuu r ，a r ，b r 不能构成空间的一个基底.故选：C .24．C【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==´=´´=.所以123B O OP =uuur uuu r ，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=×+×+=++uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r ，因为BO xBH yBN zBM =++uuu r uuu r ，所以411,,555z x y ===,1435x y z \++=.故选：C25．ABC 【详解】对于A 选项，充分性：若a b a b -=+r r r r ，则a r 、b r 方向相反，且a b ³r r ，充分性成立；必要性：若a r 、b r 共线且方向相同，则a b a b +=+r r r r ，即必要性不成立，所以，a b a b -=+r r r r 是a r 、b r 共线的充分不必要条件，A 选项错误；对于B 选项，若0b =r r ，0a ¹r r ，则//a b r r ，但不存在实数l ，使得λa b =r r ，B 选项错误；对于C 选项，对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，可设AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，其中x 、y R Î，则()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得()1OP x y OA xOB yOC =--++uuu r uuu r uuu r uuu r ，由于22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r ，22111--=-¹Q ，此时，P 、A 、B 、C 四点不共面，C 选项错误；对于D 选项，假设a b +r r 、b c +r r 、c a +r r 共面，可设()()()a b m b c n c a na mb m n c +=+++=+++r r r r r r r r r ，由于{},,a b c r r r 为空间的一个基底，可得110m n m n =ìï=íï+=î，该方程组无解，假设不成立，所以，{},,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底，D 选项正确.故选：ABC.26．ABC【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，因为1111632++=，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的;对于C 中，由{},,a b c ®®®是空间中的一组基底，则向量,,a b c ®®®不共面，可得向量,,a b c a +r r r r 不共面，所以{},,a b m ®®®也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D 中，若0a b ®®×<，又由[0,]a b p ®®×Î，所以(,]2a b pp ®®×Î，所以不正确.故选：ABC27．ABC【详解】如下图所示，N Q 为BC 的中点，则()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，M Q 为OA 的中点，则12OM OA =uuuu r uuu r ，111222MN ON OM OB OC OA \=-=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r ，2MG GN =uuuu r uuu r Q ，则23MG MN =uuuu r uuuu r ，212111111323222633OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC æö\=+=+=++-=++ç÷èøuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，16x \=，13y z ==，则56x y z ++=.故选：ABC.28．BD【详解】由空间向量的加法法则得1AC a b c =++uuuu r r r r ，B 正确，111111111111()22BM BB B M BB B D AA B A B C =+=+=++uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r 111()222c a b a b c =+-+=-++r r r r r r ，A 错误；由已知111cos 602a b b ca c ×=×=×=´´°=r r r r r r ，1AC a b =+===uuuu r r rC 错；1cos ,AB AC <==uuu r uuuu r ，D 正确．故选：BD ．29．CD【详解】对于,A 当a b a b +=-r r r r 时，a b r r ，共线成立，但当a b r r ，同向共线时a a bb +¹-r r r r 所以a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充分不必要条件，故A 不正确对于B ，当0b =r 时，//a b r r ，不存在唯一的实数,l 使得=a b l r r ，故B 不正确对于C ，由于243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r ，而2431-+=，根据共面向量定理知P A B C ，，，四点共面，故C 正确对于D ，若{}a b c r r r ，，为空间的一个基底，则a b c r r r ，，不共面，由基底的定义可知，23a b b c c a +++r r r r r r ，，不共面，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底，故D 正确.故选：CD30．BCD【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：BCD.31．2 132如图所示，11113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++uuu r uuur uuu u r uuur uuu r uuu r r r r r r r 所以3212x y z ===，，，故答案为：①2，②1，③3232．②③④【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,a AB b AD c AA ===r uuu r r uuu r r uuur ，则11,,x AC y AD z AB ===r uuu r u r uuuu r r uuu u r ，1a b c AC ++=r r r uuuu r ，因,,,A B D C 四点共面，则向量,,a b x r r r 共面，而11,,,A C D B 四点不共面，则向量,,x y z r u r r 不共面，又11,,,A D A B 四点不共面，则,,b c z r r r 不共面，11,,,A C D C 四点不共面，则,,x y a b c ++r u r r r r 也不共面，所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.故答案为：②③④33．如图所示，连AG 延长交BC 于E ，MG MA AG=+u u u r u u u r u u u r 1223OA AE =+uuu r uuu r ()121232OA AB AC =+×+uuu r uuu r uuu r ()()111233OA OB OA OC OA =+-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111633OA OB OC =-++uuu r uuu r uuu r 故答案为：111633MG OA OB OC =-++uuuu r uuu r uuu r uuu r .34．1,0,12æö-ç÷èø12DM OM OD OA OD =-=-uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 所以有序实数组()1,,,0,12x y z æö=-ç÷èø，故答案为：1,0,12æö-ç÷èø.35．511.22a b l ==-=-；；∵()()()123123123d a b c e e e e e e e e e a b l a b l =++=++++-+-+u r u u r ur u r u u r ur u r u u r ur r r r r 且123e e e u r u u r ur ，，不共面()()()123d e e e a b l a b l a b l \=++++-+-+u r u r u u r ur∴123a a a b l b l b l ++=ìï+-=íï-+=î，∴5,21,1.2a b l ì=ïï=-íïï=-î故答案为：511.22a b l ==-=-；；36．①③④【详解】对于①：若向量a r ， b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r ，故①正确；对于②：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故②错误；对于③：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++v v v v v v v v v v ，由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④37．（1）1D B a b c =--uuuu r r r r ，()12EF a c =-uuu r r r ；（2）11,,122x y z ==-=-（1）如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r r r ()()()111111122222EF EA AF D A AC AA AD AB AD a c =+=+=-+++=-uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r r （2）()()()111111*********D F D D D B AA D B c a b c a b c =+=-+=-+--=--uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r r r r r r r r 11,,122x y z \==-=-38．证明:因为11AC AB AD AA ®®®®=++＝111233AB AD AA AA ®®®®+++＝11()3AB AA ®®+＋12()3AD AA ®®+＝AB BE AD DF AE AF ®®®®®®+++=+，所以1AC ®，AE ®，AF ®共面，所以A ，E ，C 1，F 四点共面.39．（1）111DC CB DC BB BC a b B c D =+=+-=-+uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r r r ，1112BA AA A E a b BE c =++=-++uuu r uuu r uuur uuur r r r ，()111222AB BF a b c a b AF c =+=++=++uuu r uuu r uuu r r r r r r r ；（2）()1111111DD DB CD DD DB CD DD CB DD D A DA ++====++++uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuuur uuu u r 如图，连接DA 1，则1DA uuu u r 即为所求.40．PG uuu r 13=i +23j -23k ；BG uuu r =-23i +23j +13k .【详解】延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，因为G 为△PDC 的重心，所以PG uuu r ()1122233333PN PA AB AD AP A A A AD P D B ==+++-+-==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 13i +23j -23k .111323BG BC CN NG BC CN NP AD DC PN =++=++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111221()63323331A AB AD AP AD AB AP D AB =+-=-+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r uuu r r uuu r 23=-i ＋23j ＋13k .。

1.2 空间向量基本定理(精讲)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一

1.2空间向量基本定理（精讲）考点一空间向量的基底的概念及辨析【例1】（2023春·河南开封）若{}a b c ,,构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（）A ．,,a b a b a+- B ．,,a b a b b +- C ．,,a b a b b c +-+ D ．,,a b a b c c+++ 【答案】C 【解析】对于A ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，因此向量,,a b a b a +- 共面，故不能构成基底，故A 错误；对于B ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，因此向量,,a b a b b +- 共面，故不能构成基底，故B 错误；对于C ，假设向量,,a b a b b c +-+ 共面，则()()b b ac a b λμ=+++- ，即()()1c a b λμλμ=++-- ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；对于D ，()a b c a b c ++=++ ，因此向量,,a b a b c c +++ 共面，故不能构成基底，故D 错误；故选：C.【一隅三反】1．（2023广东广州）已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（）A ．3,,2a a b a b-+ B ．2,2,2b b a b a -+ C ．,2,a b b c- D ．,,c a c a c+- 【答案】C【解析】向量,,a b c 是不共面的三个向量，对于A ，32()(2)a a b a b =-++ ，则向量3,,2a a b a b -+ 共面，A 不是；对于B ，2(2)(2)b b a b a =-++ ，则向量2,2,2b b a b a -+ 共面，B 不是；对于D ，2()()c a c a c =+-- ，则向量,,c a c a c +- 共面，D 不是；对于C ，假定向量,2,a b b c - 共面，则存在不全为0的实数12,λλ，使得122()a b b c λλ=+- ，整理得122(2)0a b c λλλ-++= ，而向量,,a b c 不共面，则有12210200λλλ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，显然不成立，所以向量,2,a b b c - 不共面，能构成空间的一个基底，C 是.故选：C2．（2023春·湖南）已知{},,a b c 是空间的一个基底，若p a b =+ ，q a c =+ ，则下列与p ，q 构成一组空间基底的是（）A ．23r b c =-B ．2r a b c=-+ C ．2r a b c=+- D ．2r a b c =++ 【答案】A【解析】A.设r xp yq =+ ，所以()()23b c x a b y a c -=+++ ，整理得，()23b c x y a xb yc -=+++ ，因为{},,a b c 是空间的一个基底，所以023x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，无解.所以p ，q 与r 构成一个基底.B.因为2r a b c =-+ ，所以2r q p =- ，所以排除B ；C.因为2r a b c =+- ，所以2r p q =- ，所以排除C ；D.设r xp yq =+ ，所以()()2a b c x a b y a c ++=+++ ，整理得，()2a b c x y a xb yc ++=+++ ，因为{},,a b c 是空间的一个基底，所以211x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以11x y =⎧⎨=⎩，所以p ，q 与r 不构成一个基底，排除D.故选：A3．（2023湖南长沙）给出下列命题:①若{},,a b c 可以作为空间的一组基，d 与c 共线，0d ≠ ，则{},,a b d 也可作为空间的一组基；②已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一组基；③,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一组基，那么,,,A B M N 共面；④已知{},,a b c 是空间的一组基，若m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间的一组基.其中真命题的个数是（）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.③中由,,BA BM BN 共面且过相同点B ，故,,,A B M N 共面.下面证明①④正确.①假设d 与,a b 共面，则存在实数,λμ，使a d b λμ=+ ，∵d 与c 共线，0c ≠ ，∴存在实数k ，使d kc = ，∵0d ≠ ，∴0k ≠，从而c a b k kλμ=+ ，∴c 与,a b 共面，与条件矛盾.∴d 与,a b 不共面.同理可证④也是正确的.故选：D.考点二空间向量基底表示向量【例2-1】（2023·北京）在四面体O ABC -中，2PA OP = ，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OM = （）A ．111644a b c ++B ．111622a b c ++C ．111322a b c ++D ．111344a b c ++ 【答案】A【解析】因为2OP PA = ，所以13OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+ ，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 11()64OA OB OC =++ 146114a b c =++ ，故选：A.【例2-2】（2023春·江苏常州）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++ ，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1【答案】A【解析】矩形ABCD 中，AC AB AD =+ ,所以PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++ .因为12PM PC = ，所以()12PM AP AB AD =-++ .因为PD AD AP =- ,23PN PD = ，所以()23PN AD AP =- .所以()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+ .所以111,,266x y z =-=-=，所以11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【一隅三反】2．（2023春·江苏常州）如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP = （）A ．111444OA OB OC ++ B ．131444OA OB OC -+ C ．113444OA OB OC -+ D ．131444OA OB OC ++ 【答案】A【解析】OP = 34OA AP OA AN =+=+ ()313444OA ON OA OA ON =+-=+ 1321144342OA OM OA OM =+⨯=+ ()111111422444OA OB OC OA OB OC =+⨯+=++ .故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a =，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+- C ．333101010QP a b c =+- D ．111101010QP a b c =++【答案】C【解析】因为P 是1CA 的中点，所以11111())()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++ ，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+ 114114()55555AB AD AA a b c =++=++ ，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c a b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.3．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AB DD 的中点，若1EF xDA yDC zDD =++ ，则x y z ++=__________.【答案】1-【解析】因为11122EF EA AD DF DA DC DD =++=--+ ，所以111,,,22x y z =-=-=所以111122x y z ++=--+=-.故答案为:1-.4．（2023·福建福州）在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF = ，b CE = ，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c ++ B ．111333a b c --- C ．212333a b c --- D ．222333a b c ++ 【答案】D【解析】取BC 中点为M ，1,21,212PF PA PC PA CE PE PC PB PC BD PD PB P a AF c A PB b ===-=-=-=-=-=-= 三个式子相加可得()()122a b c PA PB PC PA PB PC a b c +=++⇒++=-+ +-+,又()()22113323OP AP AO PA AM PA AB AC PA PB PA PC PA =-==⨯+=-+- ------()()()111112333333PA PB PA PC PA PA PB PC PA PB PC a b c =-+----=++=+ --=-+,故选：D考点三空间向量基底的应用【例3-1】（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的菱形，且113C CB C CD BCD π∠=∠=∠=，12DD =.（1）证明：1DD BD ⊥；（2）求异面直线1CA 与AB 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】设CD a = ，CB b = ，1CC c = 由题可知：,,a b c 两两之间的夹角均为3π，且1a b == ，2c =（1）由()11DD BD CC CD CB ⋅=⋅- ()110c a b c a c b =⋅-=⋅-⋅=-= 所以1DD BD ⊥即证.（2）由11CA CD DA AA a b c =++=++ ，又AB a=- 所以()2111CA a b c =++= ，1AB = 又()152CA AB a a b c ⋅=-⋅++=- 则11155112, 2211CA AB cos CA AB CA AB⋅==-=- 又异面直线夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦所以异面直线1,CA AB 夹角的余弦值为51122.【例3-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==，CA a = ，CB b = ，c DC = (1)求FH （用向量,,a b c 表示）；(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．【答案】(1)111242a b c -- (2)证明见解析【解析】∵()1111111=++=++=++=4242242FH FC CD DH CB CD DA CB DC DC CA CA CB DC ----- ∴111=242FH a b c -- （2）连接,HG EF∵,H G 分别是,AD CD 的中点，∴HG AC ∥.又∵13CF AE FB EB ==，∴EF AC ∥，∴EF HG ∥，则,,,E F G H 四点共面.【一隅三反】1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ∠=∠=∠，且OA =OB =OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC ．【答案】证明见解析【解析】在空间四边形OABC 中，令,,OA a OB b OC c === ，则||||||a b c ==r r r ，令AOB BOC AOC θ∠=∠=∠=，G 是MN 的中点，如图，则11111()[()]()22224OG OM ON OA OB OC a b c =+=++=++ ，BC OC OB c b =-=- ，于是得2211()()()44OG BC a b c c b a c a b b c b c b c ⋅=++⋅-=⋅-⋅+⋅-+-⋅ 22221(||cos ||cos ||||)04a a a a θθ=--+= ，因此，OG BC ⊥ ，所以OG ⊥BC .2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且2MG GN =，设OA a = ，OB b = ，OC c = ．(1)试用向量a ，b ，c 表示向量OG ；(2)求cos ,OG BA <>uuu r uu r ．【答案】(1)111633OG a b c =++(2)【解析】（1）()1223OG OM MG OA MA AB BN =+=+++uuu r uuu r uuu r uu r uuu r uu u r uuu r ()1211121123222322OA OA OB OA BC OA OB OA OC OB ⎛⎫⎡⎤=++-+=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦uu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu r uuu r uu u r 121111111232222333OA OB OA OC OA OB OA OC ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭uu r uu u r uu r uuu r uu r uu u r uu r uuu r 111111633633OA OB OC a b c =++=++ （2）由题意知，1a b c === ，12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，BA a b =- ，则1BA =uu r ，6OG ===uuu r ，()111633OG BA a b a b c ⎛⎫⋅=-⋅++ ⎪⎝⎭uuu r uu r r r r r r 22111111163363312a a b a c b b b c =+⋅+⋅-⋅--⋅=-r r r r r r r r r r所以cos ,34OG BA OG BA OG BA ⋅<>==uuu r uu r uuu r uu r uuu r uu r 3．（2023广西）如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = .（1）用{,,}OA OB OC 表示EF ；（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.【答案】（1）112223EF OA OB OC =--+ ；（2）.【解析】（1）因为E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = ，所以12(),23OE OA OB OF OC =+= ，于是21112()32223EF OF OE OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+ .（2）由（1）得12(),23OC OB OE OA OB BF OF OB ⋅-=+=-= ，因此11||||22OE OA OB =+= 2||3BF OC OB =-=又因为125()233OE BF OA OB OC OB ⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪⎝⎭，所以向量OE 与向量BF所成角的余弦值为5342||||OE BF OE BF -⋅===- .。

三维设计空间向量的基本定理 Word版含答案

3.1.2 空间向量的基本定理学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．[自主预习·探新知]1．共线向量定理与共面向量定理 (1)共线向量定理两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . (2)向量共面的条件①向量a 平行于平面α的定义已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α.②共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量． ③共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .2．空间向量分解定理 (1)空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .(2)基底如果三个向量a ，b ，c 是三个不共面的向量，则a ，b ，c 的线性组合x a ＋y b ＋z c 能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{a ，b ，c }，其中a ，b ，c 都叫做基向量．表达式x a ＋y b ＋z c 叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．[基础自测]1．思考辨析(1)向量a ，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )(2)若向量e 1，e 2不共线，则空间任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．( ) [提示] (1)× 表示这三个向量的有向线段平行于同一平面． (2)× 与e 1，e 2共面的任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )． 2．给出的下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则存在唯一的有序实数对(x ，y )，使c ＝x a ＋y b ； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 B [只有②为真命题．]3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【导学号：33242244】x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b ＋zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.][合作探究·攻重难]如图3-1-11所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E→＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．图3-1-11[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， ∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →. ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．1．如图3-1-12所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形．图3-1-12[证明] ∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|，又F 不在EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形.试证：EF →与BC →、AD →共面.【导学号：33242245】[思路探究]分析题意→利用向量的运算法则表示EF →→利用中点关系寻求EF →、BC →、AD →的关系→应用向量共面的充要条件→得出结论 [解] 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，则EF →＝EA →＋AD →＋DF →， EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →， DF →＝－CF →，②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →.所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．2．如图3-1-13所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接P A ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM .应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．图3-1-13[证明] ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心， ∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连接M 、N 、Q 、R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →) ＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PF →－32PE →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PH →－32PE →＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E 、F 、G 、H 四点共面.[1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ [提示] 不唯一，不共面． 2．怎样理解空间向量基本定理？[提示] (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．(3)拓展：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．(1)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．图3-1-14(2)如图3-1-14，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.【导学号：33242246】[思路探究] (1)判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示出来．[解] (1)假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面．则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎨⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． (2)AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BB ′→＋BC →)＝AB →＋12BB ′→＋12(AC →－AB →) ＝b ＋12a ＋12(c －b ) ＝b ＋12a ＋12c －12b ＝12a ＋12b ＋12c . AN →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′N → ＝AA ′→＋A ′B ′→＋12B ′C ′→ ＝a ＋b ＋12(A ′C ′→－A ′B ′→) ＝a ＋b ＋12(c －b ) ＝a ＋12b ＋12c .图3-1-15 P1．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ， ∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ≠k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a 、b 共面与条件矛盾． ∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．]2．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错B [法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B.法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )【导学号：33242247】A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →.]4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．13 [因为点M 在平面ABC 中，即M 、A 、B 、C 四点共面，所以x ＋13＋13＝1，即x ＝13.]5．如图3-1-16所示，在空间四面体A -BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？【导学号：33242248】图3-1-16[解] 取AC 中点为G .连接EG ，FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，∴EF →＝EG →＋GF → ＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)． ∴EF →与AD →＋BC →共线．。

空间向量基本定理及范围最值高二数学选择性必修第一册)(原卷版)

专题2空间向量基本定理及空间范围与最值目录【题型一】空间向量基底.................................................................................................................1【题型二】基底表示向量.................................................................................................................2【题型三】共面.................................................................................................................................3【题型四】空间向量概念综合.......................................................................................................4【题型五】空间向量数量积.............................................................................................................5【题型六】空间向量求长度.............................................................................................................6【题型七】数量积最值与范围.........................................................................................................8【题型八】空间长度最值与取值范围.............................................................................................8【题型九】空间角度范围最值.........................................................................................................9【题型十】轨迹.............................................................................................................................11培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................12培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................14培优第三阶——培优拔尖练.. (16)【题型一】空间向量基底【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，则下列向量中能与a b +，a b -构成一组基底的是（）1.（2023·全国·高二专题练习）已知{},,a b c 是空间一个基底，p a b =+，q a b =-，一定可以与向量p ，q 构成空间另一个基底的是（）A ．aB ．bC ．cD ．123p q -2.（2021·全国·高二课时练习）若{,,}a b c →→→为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b →→→→→+-B ．{},,b a b a b→→→→→+-C ．{},,c a b a b→→→→→+-D ．{},,2a b a b a b→→→→→→+-+3.（2021·上海市松江二中高二期中）已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b-C ．a b +，c ，a b-D ．a b +，2a b -，a b-【题型二】基底表示向量【典例分析】（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r，点P 在1A C 上，且1:2:3A P PC =，则AP 等于（）A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．-223555a b c++D ．322555a b c--1.（2022·全国·高二课时练习）已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．1332(2),,B ．31(,,3)22-C ．13(3,,)22-D ．13(,,3)22-2.（2022·全国·高二专题练习）如图的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 在BB 1上，点N 在DD 1上，且BM 12=BB 1，D 1N 13=D 1D ，若1MN xAB y AD z AA =++，则x +y +z ＝（）A ．17B ．16C ．23D ．323.（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．23【题型三】共面【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知空间中四个点O ，A ，B ，C ，{},,OA OB OC 为空间的一组基底，则下列说法正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．1OA OB OC ===1.（2021·全国·高二课时练习）已知空间四点()4,1,3A ，()2,3,1B ，()3,7,5C -，(),1,3D x -共面，则x 的值为（）A ．4B ．1C ．10D ．112.（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．23OM OA OB OC=++C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC=++3.（2022·全国·高二期末）已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC=--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC=++【题型四】空间向量概念综合【典例分析】（2022·全国·高二）下列命题中正确的个数是（）．①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++．④若a ，b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+（,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c 是空间向量的一组基底．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式训练】1.（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底；③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅．其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.（2019·安徽·阜阳市第三中学高二期末（理））以下四个命题中正确的是（）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{,,}a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底3.（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为()①a b a b +－＝是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ＝2OA －2OB －OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2B ．3C ．4D ．5【题型五】空间向量数量积【典例分析】（2021·辽宁实验中学高二期中）已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 为AB 中点，F 为BC 中点，则ED AF →→⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．21.（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）设正四面体ABCD 的棱长为a ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF →→的值为（）A ．214aB ．212aC ．a 2D ．4a 22.（2022·全国·高二课时练习）四面体OABCE ，F ，G 分别为OA ，OC ，BC 中点，则GE GF ⋅=___________.3.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅=（）A ．4B ．14C ．12D ．2【题型六】空间向量求长度【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（）A 6B 10C 11D ．3【提分秘籍】基本规律1.在空间直角坐标系中，设()1111,,P a b c ，()2222,,P a b c ，则12,P P 两点间的距离1212PP PP ==_()()()222212121a a b b c c -+-+-__．2.2222||||()()()()222OP OA OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC=++=++=+++++1.（2022·全国·高二专题练习）在平行六面体1111ABCDA B C D -中，11AB BC BB ===，11ABB ABC B BC ∠=∠=∠3π=，12AE BD =，则1||B E =（）A 33B ．5C ．32D ．32.（2022·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若111111===A B A D A A ，1190AA D ∠=，1111160AA B B A D ∠∠==，则1B M 的值为（）A ．12B C ．1D ．23.（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且2PE EB =，PF FC =，EF =（）A ．1BC ．2D 【题型七】数量积最值与范围【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且AB =若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．[]2,6-C ．[]0,1D ．[]0,32.（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.3.（2022·全国·高二专题练习）正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足PB PC +=AP PD ⋅的取值范围为（）A ．4⎡-+⎣B ．C ．44⎡-⎣D ．[]14,2-【题型八】空间长度最值与取值范围【典例分析】（2021·全国·高二期末）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC =1BC =，90ACB ∠=︒，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B （含边界）上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为A ．52B ．2C ．133D ．5【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为（）A ．6B ．63C ．36D ．12.（2019·湖北武汉·高一期末）设点M 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是A ．222B ．455C ．2D ．2633.（2018·北京一零一中双榆校区高二期中）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，平面A 1B 1C 1D 1内的一动点P ，满足到点A 1的距离与到线段C 1D 1的距离相等，则线段PA 长度的最小值为A ．22B ．32C ．52D ．2【题型九】空间角度范围最值【典例分析】（2022·全国·高二专题练习）如图，在棱长为33的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1||||5213DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为（）（参考数据：43sin 53,sin 37)55︒=︒=A ．[37︒，53]︒B ．[37︒，90]︒C ．[53︒，90]︒D ．[37︒，127]︒设直线l 的方向向量为u r ，平面sin θ=___cos ϕ___=___u u （4）求平面与平面的夹角平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于cos θ=____12cos ,n n 〈〉_____=____【变式训练】1.（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是AC 的中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面1ACD 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（）A ．33⎣⎦B ．33⎣⎦C ．,43⎣⎦D ．3733⎣⎦2.（2022·全国·高二专题练习）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为（）A ．15B ．35C ．25D ．453.（2018·上海·曹杨二中高二期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为A ．0B ．3C ．4D ．6【题型十】轨迹【典例分析】（2023·全国·高二专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，P 为该三棱柱表面上一动点，若1CP B P =，则P 点的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．1.（2021·全国·高二专题练习）空间向量AB ，AC ，AD ，,2AB AC π=，,3AB AD π=，,3AC AD π=，且2AB AC ==，4AD =，若点P 满足AP xAB y AC z AD =++，且1≥x ，1y ≥，1z ≥，5x y x ++≤，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.2.（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱AD 、11B C 上的中点．若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在x 、y R ∈，使1B P xBE yBF =+成立，则点P 的轨迹长度为_________．3.（2021·全国·高二期末）已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，E 为BD 的中点，空间中的动点P 满足PA PE ⊥，PC AB ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A ．1116πB C ．112D 培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二课时练习）若{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①a ，a b +，a b -；②b ，a b +，a b -；③c ，a b +，a b -；④a b +，a b -，2a b +．2.（2022·浙江·高二开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，F 为1BB的中点，,,AE a AF b AD c ===，则1AA =（）A ．4332a b c --B ．4433a b c --C ．424333a b c --D ．3423a b c --3.（2022·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧棱PB 、PC 、PD 上分别有一点E 、F 、G ，且满足23PE PB =，12PG PD =uuu r uuu r ，PF PC λ=，若A 、E 、F 、G 四点共面，则实数λ=__________．4.（2022·全国·高二课时练习）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线5.（2022·全国·高二课时练习）已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-26.（2022·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，113A AB A AC π∠=∠=，点E ､F 满足112AE AA =，12BF BC =uu u r uu u r ，则EF =（）A B C ．2D7.（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，1a =，2b =，c =，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角AB αβ--的大小为θ，P ，Q 分别在平面α，β内，PM AB ⊥，NQ AB ⊥，PM m =，QN n =，1PQ =，则MN =（）AB CD 9.（2022·全国·高二课时练习）已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.培优第二阶——能力提升练1.（2021·全国·高二课时练习）设,,x a b y b c z c a =+=+=+且{},,a b c 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{,,}x y z ③{,,}b c z ④{,,}x y a b c ++其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．2.（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A ．221332a b c ++B ．221332a b c +-r r rC ．211322a b c -++D ．121232a b c -+3.（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.4.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a br r ②若非零向量a ，b ，c 满足，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ③a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件④若AB ，CD 共线，则//AB CD5.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（）A B C D 6.（2021·安徽·高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，113BAD BAA A AD π∠=∠=∠=，12CM MC =，则AM 的长为（）A ．B C ．D 7.（2022·全国·高二专题练习）已知MN 是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，则PM PN ⋅的取值范围为（）A ．[14]，B ．[012]，C ．[08]，D ．[16]，8.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥O ABC -各棱的棱长是1，点D 是棱AB 的中点，点E 在棱OC 上，且OE OC λ=，则DE 的最小值为（）A ．1 2B ．22CD ．19.（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，且满足||2||PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π培优第三阶——培优拔尖练1.（2019·安徽蚌埠·高二期末（理））已知()a 1,2,3=-，()b 1,14=--，，()c 1,3,m =-，则“m 1=”是“a ，b ，c 构成空间的一个基底”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =，AD b =，1AA c =，则选项中与向量1C M uuuu r 相等的是（）A ．1122---a b cB ．1122a b c ++C ．1122--a b cD ．1122+-a b c 3.（2022·全国·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，若点P 满足DP =mDA nDM k DN ++，其中m n k R ∈、、，且1m n k ++=，则点P 可以是正方体表面上的点________.4.（2021·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a =λbD ．零向量是模为0，方向任意的向量5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么（）．A ．AE BC AE CD⋅<⋅B ．AE BC AE CD ⋅=⋅C ．AE BC AE CD ⋅>⋅D ．AE BC ⋅与AE CD ⋅不能比较大小6.（2022·全国·高二单元测试）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（）A ．B C ．D 7.（2021·全国·高二专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在空间直角坐标系O xyz -的x 轴上移动，点C 在平面yOz 上移动，则1OC OB ⋅的最大值是（）A ．2B ．1C ．4+D ．68.（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则线段1AD 上的动点P 到直线11A C 的距离的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．39.（2022·江西鹰潭·高二期末（理）P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（）A 25B ．5C ．25D。

1.2 空间向量基本定理分层作业)(原卷版)高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)

1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1空间向量基底概念及辨析题型2用空间基底表示向量6.已知,,a b c 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）A ．若x y z ++=0a b c ，则0x y z ===B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c 不共面A．11 22 a b c++C．1122a b c-+9.如图，在正方体ABCDx y z++=__________.10.如图所示，在平行六面（1）化简：111 22AO AB--（2）设E是棱1DD上的点，且题型3空间向量基本定理及应用A ．23-14．如图，在平行六面体4AB AD ==，1AA =A ．1AC BD ⊥C ．185BD =15.如图，设P 是平行四边形CD 的中点，求下列各式中(1)OQ PQ xPC yPA =++；(2)PA xPO yPQ PD =++．【能力提升】一、单选题A．324．如图，三棱锥OA a=，OBA．111663a b c++5．已知{},,a b c是空间的一个基底，A．a6．已知三棱锥O ABC-A．221 333 a b c+-C．122 333a b c -++7．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--uu u r uu r uuuu r uuuu r，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(),,,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．设{},,a b c 是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若,a b b c ⊥⊥rr rr，则a c⊥B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(, , )x y z ，使p xa yb zc =++D ．,,a b b c c a +++一定能构成空间的一个基底二、多选题11．若{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①a ，a b +，a b -；②b ，a b +，a b -；③c ，a b +，a b -；④a b +，a b -，2a b +．12．已知123,,e e e 不共面，1232a e e e =+-，12332b e e e =-++，123c e e e =--，若12323d e e e xa yb zc =-+=++，则x y z +-=______．四、解答题(1)用a ，b ，c 表示FE ；(2)计算BC FE ⋅.14．如图所示，平行六面体OABC -(1)OB '，O B '，AC '；(2)GH （,G H 分别是B C '和O B ''的中点）15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，(1)试用向量,,a b c 表示向量BE (2)若13,AB AC AA BAC ∠===-中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、16．如图，在四棱锥P ABCDAD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设AB a=，AD b=，cAP=.(1)试用,,a b c表示向量BM；(2)求BM的长.。

2022年精品提升训练1.2.1 空间中的点、直线与空间向量配套精选卷

空间向量在立体几何中的应用空间中的点、直线与空间向量课后篇稳固提升根底达标练1=1,2,3,2的方向向量为v2=λ,4,6,假设1∥2,那么λ等于1∥2,得v1∥v2,得1λ=24=36,故λ=2=1,λ,2,b=2,-1,2,且a与b夹角的余弦值为89,那么λ=或255或-255·b=2-λ4=6-λ,|a|=√5+λ2,|b|=3co=a·b|a||b|=√5+λ·3=8955λ2108λ-4=0,解得λ=-2或λ=2551,2的方向向量分别是a=0,-2,-1,b=2,0,4,那么异面直线1与2的夹角的余弦值等于2 5B2 52√5 5D2√55·b=-4,|a|=√5,|b|=2√5,coθ=|co|=|a·b|a||b||=|-410|=251中,假设E为A1C1的中点,那么直线CE垂直于D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为轴,轴,轴,0,1,0,B1,1,0,A1,0,0,D0,0,0,C10,1,1,A11,0,1,E12,12,1,∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,-12,1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,1,0, BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,-1,0,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,0,-1,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,0,-1,∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1×12-1×-120×1=0, CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-32≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1≠0, ∴CE ⊥BD1,a 2,假设a 1⊥a 2,那么1与2的位置关系为1中,O 是AC 的中点,E 是线段D 1O 上一点,且D 1E=1所成角的余弦值1,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系D ,如下图,那么A 1,0,0,O 12,12,0,C 0,1,0,D 10,0,1,E 14,14,12,于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14,14,12,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-1,1, 且|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√64,|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 那么co DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36所以异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值为√367圆柱的底面半径为3,高为4,A ,B 两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB 与轴OO'之间的距离,直线AB 与轴OO'之间的距离等于轴OO'与平面ABC 的距离,由图形可知,直线AB 与轴OO'之间的距离等于点O'到BC 的距离,∵AB=5,AC=4,且AC ⊥BC ,∴BC=√52-42=3,∴异面直线AB 与轴OO'之间的距离为3√32 能力提升练=2,-3,5,直线2的方向向量b =-4,,,假设两直线1∥2,那么,的值分别是和-10和10和-10和101∥2,得两向量a ,b 平行,即2-4=-3x =5y ,所以,的值分别是6和-102如图,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,M ,N 分别是AB 和SC 的中点,SA=SB=SC ,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,那么异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为A √105 √105√1010 D √1010SA=SB=SC=1,以S 为坐标原点,SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,SB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,SC ⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系S , 那么相关各点坐标为B 0,1,0,S 0,0,0,M 12,12,0,N 0,0,12 因为SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,12,0,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-1,12, 所以|SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22,|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12, co SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =-√105, 因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为√1053如图,在三棱锥S-ABC 中,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,且SA=AB=BC=1,那么异面直线SB 与AC 之间的距离为,连接OD 交AC 于点E ,连接OM 交SB 于点F ,由平面几何知识可知,OF=13OM ,OE=13OD ,所以EF ∥13⊥BD ,AC ⊥BM ,所以AC ⊥平面BDM ,AC ⊥DM ,因为EF ∥13DM ,所以AC ⊥EF同理可证SB ⊥DM ,所以SB ⊥EF=13DM=√334如图是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行;②BD 与MN 为异面直线;③GH 与MN 成60°角;④DE 与MN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE 与MN 为异面垂直5如图,在四面体ABOC 中,OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,∠AOB=12021且OA=OB=OC=1,设12,√321212AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 32,√32AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 12,√36OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 12,√36PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ √3612PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √6CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √5BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3010(12,12,2)C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0),C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BN ⃗⃗⃗⃗⃗ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =1212C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BN ⃗⃗⃗⃗⃗ √22√22√22√2212(√2√PM 2+PN 2 √22√32(x -√23a) 2+23a 2 √23in =√33a 因此A 1B 与D 1B 1的距离为√33a。

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高中数学人教A版选择性必修第一册《12_空间向量基本定理》同步练习卷(5)(有答案)

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