人教A版高中数学必修1幂函数优秀课件
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(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
比较大小：
(1)
<3
3
1.55 1.75
< 2
2
(3) 2.2 3 1.8 3
(2) 0.71.2 > 0.61.2 (4) 0.72-3 > 0.75-3
比较下列各组数的大小；
(1)
5
32
>
5
3.1 2
1 x2
√
1
(4) y x 2 √ (5) y=2x2 ×
(3) y= -x2 × (6) y=x3+2 ×
对于幂函数，我们只讨论 =1，2, 3, 1 , 1时的情形
2
在同一平面直角坐标系内作出 1 y x y x2 y x3 y x2
五个幂函数的图象.
y x1
y x2
(-2,4)
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
长 a S__2 __ ɑ是S的函数
y=x
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均
速度v=__t⁻_¹_k_m__/s___ v是t 的函数 y x y=x-1
以上问题中的函数具有什么共同特征?
§ 2.3
一般地，函数 y x 叫做幂函数(power function) ，
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
例4 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 取值。设x1, x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
(2). 作差 。f(x1)－f(x2)，化简 ;
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3
4
(2,4)
yx
3
(4, 2)
1
2
y x2
1
(1,1)
(2,1/2)
y x-1
2
4
6
-1
x x -x3-3结-合0-2-2图2-象11-1-，10 0研12究1 2它24们33的3 定
-2
yy=xyx1 23-19-/x23义偶1274域性0--1、 、8/21值过1-1-域定10 0、点12单的1 14调情8/2性况292、等17/3奇。
1
2
f (x ) x x
2
2
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
-3
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表内:
1
y=x
y=x2
y=x3 y=x 2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R 奇偶性 奇函数
［0,+∞） R ［0,+∞）
偶函数
非奇 奇函数 非偶
{y|y≠0}
奇函数
单调性
在R 上增
在（-∞，0]上减, 在［0，+∞）上增
在R
在
在（-∞，0)上减，
上增
［0，+∞） 上增
在(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
(-2,4)
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
2
y x2
1
(1,1)
(2,1/2)
y x-1
2
4
6
-1
-2
-3
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幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1);
指数
幂值
幂函数: y xa
指数
底数
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点
看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1 判断下列函数是否为幂函数.
1 y x4
√
(2) y 1 x2
√
(3) y 2x2 ×
(4) y x2 1 ×
练习
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 √
(2) y
其中 x 为自变量， 为常数.
说明:
（1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值
有关；
（2）幂函数的解析式必须是y x的形式，其
特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量， ③ 的系数为1，④只有１项
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
幂函数与指数函数的对比
名称
式子
常数ɑ 自变量x 因变量y
指数函数: y= ɑx 底数
1
5
(2) 78 < 78
(3) 31.4 < 51.5
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比较上述两个数的大小
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 性；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性；
所以幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
(1)如果张红购买了每千克1w千克,那么她需要支付P
= ______ w 元
P 是w 的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
S是 ɑ 的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3). 定号。判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论。
证明:任取
x1
,
x2
[0,),
且x 1
x2, 则
方法技巧: 分子有理化
( f (x1) f (x2) x1 x2
x1 x1
x2 x2
, x1
x2
0,
x1
x1
x2
x2 )( x1 x2 ) x1 x2 0, f (x1) f (x2).
练习
比较大小：
(1)
<3
3
1.55 1.75
< 2
2
(3) 2.2 3 1.8 3
(2) 0.71.2 > 0.61.2 (4) 0.72-3 > 0.75-3
比较下列各组数的大小；
(1)
5
32
>
5
3.1 2
1 x2
√
1
(4) y x 2 √ (5) y=2x2 ×
(3) y= -x2 × (6) y=x3+2 ×
对于幂函数，我们只讨论 =1，2, 3, 1 , 1时的情形
2
在同一平面直角坐标系内作出 1 y x y x2 y x3 y x2
五个幂函数的图象.
y x1
y x2
(-2,4)
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
长 a S__2 __ ɑ是S的函数
y=x
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均
速度v=__t⁻_¹_k_m__/s___ v是t 的函数 y x y=x-1
以上问题中的函数具有什么共同特征?
§ 2.3
一般地，函数 y x 叫做幂函数(power function) ，
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
例4 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 取值。设x1, x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
(2). 作差 。f(x1)－f(x2)，化简 ;
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3
4
(2,4)
yx
3
(4, 2)
1
2
y x2
1
(1,1)
(2,1/2)
y x-1
2
4
6
-1
x x -x3-3结-合0-2-2图2-象11-1-，10 0研12究1 2它24们33的3 定
-2
yy=xyx1 23-19-/x23义偶1274域性0--1、 、8/21值过1-1-域定10 0、点12单的1 14调情8/2性况292、等17/3奇。
1
2
f (x ) x x
2
2
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
-3
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表内:
1
y=x
y=x2
y=x3 y=x 2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R 奇偶性 奇函数
［0,+∞） R ［0,+∞）
偶函数
非奇 奇函数 非偶
{y|y≠0}
奇函数
单调性
在R 上增
在（-∞，0]上减, 在［0，+∞）上增
在R
在
在（-∞，0)上减，
上增
［0，+∞） 上增
在(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
(-2,4)
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
2
y x2
1
(1,1)
(2,1/2)
y x-1
2
4
6
-1
-2
-3
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幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1);
指数
幂值
幂函数: y xa
指数
底数
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点
看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1 判断下列函数是否为幂函数.
1 y x4
√
(2) y 1 x2
√
(3) y 2x2 ×
(4) y x2 1 ×
练习
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 √
(2) y
其中 x 为自变量， 为常数.
说明:
（1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值
有关；
（2）幂函数的解析式必须是y x的形式，其
特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量， ③ 的系数为1，④只有１项
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
幂函数与指数函数的对比
名称
式子
常数ɑ 自变量x 因变量y
指数函数: y= ɑx 底数
1
5
(2) 78 < 78
(3) 31.4 < 51.5
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比较上述两个数的大小
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 性；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性；
所以幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
人教A版高中数学必修1 幂函数优秀课件
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
(1)如果张红购买了每千克1w千克,那么她需要支付P
= ______ w 元
P 是w 的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
S是 ɑ 的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3). 定号。判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论。
证明:任取
x1
,
x2
[0,),
且x 1
x2, 则
方法技巧: 分子有理化
( f (x1) f (x2) x1 x2
x1 x1
x2 x2
, x1
x2
0,
x1
x1
x2
x2 )( x1 x2 ) x1 x2 0, f (x1) f (x2).