(完整版)(北师大版)七年级数学下：1.5《平方差公式》同步练习及答案
北师大版七年级数学 下册 1.5(2)平方差公式的运用 导学案设计(无答案)
国际部七年级数学（上）“明·学·研·展·测”导习案学生姓名____________年级：七（下）课题：1.5（2）平方差公式的运用编号：M7210502 主备人：审核人：学习目标1、能用几何拼图的方式验证平方差公式。
2、能运用公式进行简单的运算。
重难点：平方差公式的灵活运用。
明确任务自主学习学法导航展示交流1 平方差公式的计算用平方差公式计算：1）(3x+2)(3x-2) 2）（b+2a）（2a-b） 3）（-x+2y）（-x-2y）4）（-m+n）(m+n） 5) (-0.3x+y)(y+0.3x) 6）(-3a-2)(3a-2)抓住平方差公式的特征1.抽签后，组长分工、交流，2.组员原座位起立回答即可2 平方差公式的验证与简单应用1、从一个边长为a的正方形纸板上剪下一个边长为b的小正方形，拼成如右图所示的长方形（1）左边图形的阴影部分面积为：_________________________（2）右边拼成图形的阴影部分面积为：__________________（3）这两部分面积应该是_____的，即验证平方差公式_________________．2、计算：（1）.(m+3)(m–3)(m2+9) （2）()()()()1122+---+yyyy1、要注意合理添“括号”2、要善于连续应用平方差公式1.抽签后，组长分工、交流，2.组员原座位起立回答即可。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》同步练习题（附答案）一．选择题1．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝（）A．128B．32C．64D．162．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣b﹣a）B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）C．（a+b）（b+a）D．（﹣a+b）（b﹣a）3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（x﹣y）4．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（）A．3B．5C．7D．85．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（）A．5B．6C．10D．156．若m2﹣n2＝24，且m﹣n＝4，则m+n等于（）A．7B．6C．5D．87．（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（）A．1B．316﹣216C．332+232D．332﹣232 8．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（）A．x2﹣16B．x2+16C．16﹣x2D．﹣x2﹣16 9．计算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的结果是（）A．﹣4m2+9n2B．﹣4m2﹣9n2C．4m2﹣9n2D．4m2+9n2 10．计算20212﹣2022×2020的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题11．已知x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为．12．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．13．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．14．（a+2b）（）＝a2﹣4b2．15．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝．三．解答题16．计算（直接写出运算结果）（1）（4×103）×（5×102）＝；（2）（﹣5x2y3）•（﹣4y2z）＝；（3）20212﹣2020×2022＝；（4）522﹣482＝．17．利用乘法公式有时能进行简便计算．例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．请参考给出的例题，通过简便方法计算：（1）31×29；（2）195×205．18．（x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（x﹣y）．19．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．20．观察下列各式：1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；…（1）用你发现的规律填空：1﹣＝×，1﹣＝×；（2）用你发现的规律进行计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．参考答案一．选择题1．解：∵x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝（2﹣1）（2+1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）＝…＝22n﹣1，又∵x+1＝2128，∴22n﹣1+1＝2128，∴n＝64，故选：C．2．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．故选：B．3．解：A、（a+b﹣1）（a﹣b+1）＝[a+（b﹣1）][a﹣（b﹣1）]，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣b）（﹣a+b）＝（﹣a+b）（﹣a﹣b），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；C、（a+b2）（b2﹣a）＝（b2+a）（b2﹣a），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；D、（2x+y）（x﹣y），两数和乘以的不是这两个数的差，不能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；故选：D．4．解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]＝8n，故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．故选：D．5．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，∴（a+b）（a﹣b）＝30，∴a﹣b＝30÷6＝5，故选：A．6．解：因为m2﹣n2＝24，m﹣n＝4，（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，所以4（m+n）＝24，所以m+n＝6．故选：B．7．解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）＝（38﹣28）×（38+28）＝316﹣216．故选：B．8．解：（4+x）（x﹣4）＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣42＝x2﹣16，故选：A．9．解：（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）＝（﹣3n）2﹣（2m）2＝﹣4m2+9n2，故选：A．10．解：20212﹣2022×2020＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：D．二．填空题11．解：因为，所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．故答案为：15．12．解：∵m﹣n＝3，∴原式＝（m﹣n）（m+n）﹣6n＝3（m+n）﹣6n＝3m﹣3n＝3（m﹣n）＝9．．故答案为：9．13．解：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．解得m2＝10．故答案是：10．14．解：根据平方差公式得：（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2＝a2﹣4b2，故答案为：a﹣2b．15．解：因为x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，所以x+y＝＝7．故答案为：7．三．解答题16．解：（1）（4×103）×（5×102）＝20×105＝2×106；（2）（﹣5x2y3）•（﹣4y2z）＝﹣5×（﹣4）x2y3y2z＝20x2y5z；（3）20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1；（4）522﹣482＝（52+48）×（52﹣48）＝100×4＝400．17．解：（1）31×29＝（30+1）×（30﹣1）＝302﹣12＝900﹣1＝899；（2）195×205＝（200﹣5）×（200+5）＝2002﹣52＝40000﹣25＝39975；18．解：原式＝2x2﹣xy﹣y2﹣x2+y2＝x2﹣xy．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．20．解：（1）1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，故答案为：，，，；（2）原式＝××××××…××××＝×＝．。
北师大版七下《平方差公式》(试题+参考答案)
平方差公式【目标导航】1．知道平方差公式的结构特征；2．知道平方差公式是多项式乘法的特殊情况；3．会正确运用平方差公式进行计算．【问题探究】一．探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) (x +1)(x - 1)= ;(2) (m +2)(m - 2)= ;(3) （2011江苏连云港）分解因式：x 2－9＝_ ▲ ．(4) (a +b )(a -b )= .语言表述（4）式：．这个公式叫做（乘法的）平方差公式二．平方差公式的几何解释：三．例题例１先判断下列各式满足平方差公式的结构特征，然后运用平方差公式计算：(1) (3x +2)(3x -2);(2) (b +2a )(2a -b );(3) (-x +2y )(-x -2y ).例２运用平方差公式计算：(1) 102×98 (2)52115312⨯ 例3计算：(1)(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(-2x-3y)(2x-3y)(2)))()((22y x y x y x ++-(3))161)(41)(21)(21(42a a a a +++-(4) （2011江苏无锡）a(a-3)+(2-a)(2+a)【课堂操练】一.填空1．（2011常州市）分解因式：______92=-x212．(-a -b )(a -b )=3．（2011广东株洲）当x=10，y=9时，代数式x 2-y 2的值是4．=+---)21)(21(b b 5．(x -1) =21x -6．(a +b ) =22a b -二.判断:７.(0.5a-0.1)(0.5a+0.1)=1.025.02-a８.(a-b)(a+b)4422)(b a b a -=+９.2222)1()1()1(-=--a a a 10.y x y x y x y x y x --=+++884422))()(( 11.22)())((c b a c b a c b a -+=+--++ 12.5523233333)()())((b a b a b a b a -=-=-+三.选择13.下列各式:①(x-2y)(2y+x) ② (x-2y)(-x-2y) ③(-x-2y)(x+2y) ④ (x-2y)(-x+2y)其中能用平方差公式计算的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④14.等式)43(22y x --( )=44916x y -中括号内应填入下式中的( )A.2243y x -B.2234x y -C.2243y x --D.2243y x +15.若52022-=+=-y x y x 且,则x -y 的值是( )A.5B.4C.-4D.以上都不对16.计算)())()((4422b a b a b a b a +-++-等于( )A.42aB.42bC.42a -D.42b -17.))((n m n m b a b a +-等于( )A.n m b a22- B.22n m b a - C.n m b a 22+ D.m n a b 22-2218.)43)(34()23)(32(y x x y x y y x +--+-的计算结果为( )A 221325x y - B.22213y x +C.222513y x -D.222513y x +四.应用平方差公式计算:19. 59.8×60.220. 2001×1999 21. 74197320⨯ 22. (1-mn )(mn +1) 23. )5675)(752.1(x y y x ---24. （2011福建福州）分解因式:225x -25.（2011浙江省舟山）分解因式：822-x【课后巩固】五.运用平方差公式计算：（1）2004×2002-22003（2）1.03×0.97 （3）2222482521000- （4）20062004200520052⨯- 六．计算： （5）)14)(21)(12(2++-a a a（6）)214)(214(22+-y x y x（7）)237)(237(22y x y x --- （8）)9)(3)(3(2+-+x x x（9）)2)(2())((y x y x y x y x +-++-+（10）(x +2y )(x -2y )-(x -4y )(x +4y )+(6y -5x )(5x +6y )七．先化简,再求值:（11）（2011宁波市）先化简，再求值：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5(12)．(x +2)(2-x )+x (x +1) 其中x =－1．(13)．(2011浙江绍兴)先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中1,12a b =-=. 八．（1４）如果0)5()3(42=+-+-+y x y x ,求22y x -的值.(15)．解不等式组:(3)(3)(2)1(25)(25)4(1)x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ ① ② 【课外拓展】（16）．填空：(a -b +c )( a +b -c )=( )2-( )2(3a -4b +5c )(-3a -4b +5c )= ( )2- ( )2(1７)．观察下列等式：① 4×2=32－12；② 4×3=42－22；③ 4×4=52－32；④ （ ）×（ ）=（ ）2－（ ）2；……则第4个等式为 ；第n 个等式为 ．（n 是正整数）（1８）．平方差公式的特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差．右边为这两个数的平方差．公式的常见变形:位置变化:)2132)(3221(a b b a -+ 符号变化:(-3x -2y )(3x -2y )指数变化:))((2121+-+--+n m n m b a b a系数变化:(4a+4b )(a-b )因数变化:309×291较复杂的变化:(3x +2y -1)(3x -2y +1)(19)．运用平方差公式计算：22222212979899100-++-+-)12()12)(12)(12(3242++++)10011()2511)(1611)(911)(411(----- 参考答案：【问题探究】一．探究1.（1）x ²－1； （2）m ²－4；（3）【答案】（x －3）（x ＋3）； （4）a ²－b ²；两数和与两数差的相乘，等于完全相同的项的平方减去绝对值相同而符号相反的项的平方所得的差.二．平方差公式的几何解释：图1（1）的阴影部分的面积为22a b -；图1（2）的阴影面积为()()a b a b +-；（2）比较两个图形，有()()a b a b +-=22a b -，此即为“平方差公式”从而验证了平方差公式(a ＋b )(a －b )= a ²－b ².三．例题例1(1) 解：原式=9 x ²－4（2）解：原式=(x －3)2＋3(x －3)= 4a ²－b ²（3）解：原式=(2x +3)(2x －3)= x ²－4y ²例２（1）解：原式=(100+2) ×(100－2)= 100²－2²=9996（2）解：原式=(12＋35)(12－35) =1431625例3 （1）= 4x²－y²－2(4x²－9y²)－2(9y²－4x²)=26x ²－18y ²（2）解：原式= x 4－y 4（3）解：原式=(1－4a ² ) (1+4a ² ) (1+16 a 4 )=1－256a 8（4）【答案】解：原式=a ²－3a ＋4－a 2＝－3a ＋4【课堂操练】1. (x +3) (x －3)2. b ²－a ²3. 194. b ²－145. (-1－x )6. (-a +b )二、判断题7.（错误）8. （ 正确）9. （ 正确）10. （ 错误 ）11. （ 错误 ）12. （ 错误 ）三、选择题13.A 14.A 15.C 16.D 17.A 18.C四、计算：19. 解：原式=(60+0.2) ×(60－0.2)= 60²－0.2²=3599.620. 解：原式=(2000+1) ×(2000－1)= 2000²－1²=3999999921. 解：原式=(20+37) ×(20－37) = 20²－(37)² =399404922. 解：原式=1－m ²23. 解：原式=(57y ) ² －(1.2x )²= 2549y ²－2536x ²24.解：原式= (x +5) (x －5)25. 解：原式=2（x+2）(x-2)【课后巩固】（1）解：原式=（2003+1）（2003－1）－2003²=-1（2）解：原式=(1+0.03) ×1－0.03)=0.91（3）解：原式=1000²(250+248)(250-248)=1（4）解：原式=2005 2005²－ (2005+1)(2005-1)=2005六、（5）解：原式= 16 a 4－1（6）解：原式= 16 y ²x 4－14（7）解：原式= 94y ²x 4 －49 （8）解：原式= x 4 －81（9）解：原式= x 2 －y 2+4y 2-x 2=3 y ²（10）解：原式= x 2 -4y 2-x 2+16y 2+36y 2－25x 2=48y ²－25 x ²七（11）解：原式＝a 2－4＋a －a 2＝a －4当a ＝5时，原式＝5－4＝1（12）解：原式=4－x ²+ x ²+x =4+x当x =－1时，原式＝4－1＝3（13）原式=4a ²－b ²当a=1 2,b =1时，原式=0. 八（14）解：因为(x +y －3) ²+(x －y +5) 4=0.所以x +y －3=0，x －y +5=0，故x =－1， y =4x ²－y ²= (x +y ) +(x －y )= －15（15）解：解不等式①得x>5;解不等式②得x>254所以原不等式组的解集为x>254【课外拓展】（16）a ²－（b －c ）²(5c －4b ²)－（3a ）²（17）4×5=62－424×n =(n +1)2－(n +1)2；（18）解：原式=（23b +12a ）－（23b +12a ） =49b ²－14a ² 解：原式=(-2y -3x )(-2y +3x )=4y ²－9x ²解：原式=a 2(m -1)－b 2(n +2)解：原式=4(a+b )(a-b )=4a ²－b ²解：原式=(300+9) ×(300－9)= 300²－9²=59919解：原式=(3x)²－(2y －1)²= 9x ²－4y ²+4y -1（19）解：原式= (100+99) ×(100－99)+ (98+97)(98+97)+…+(2+1)(2-1) =5050解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=264-1.解：原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)(1+14)(1-14)…(1+110)(1-110) =32×12×43×23×54×34×…×1110×910=1120。
(完整版)平方差公式练习题精选(含答案)(可编辑修改word版)
（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算 （1）(5+6x) (5-6x)(2)(x-2y) (x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3 利用平方差公式计算（1）(1)(- 1 41x-y)(- x+y)4(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)（1）803×797（2）398×4027.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（1a+b）（b－1a）D．（a2－b）（b2+a）3 38.下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y 的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－510．（－2x+y）（－2x－y）= ．11．（－3x2+2y2）（）=9x4－4y4．12．（a+b－1）（a－b+1）=（）2－（）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是．14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．( x- y )1 利用完全平方公式计算：完全平方公式（1）（ 1 2 2x+ y)32 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2 利用完全平方公式计算：（1） 1 2 2 2(2)(1.2m-3n)22 3123 22(3)(- a+5b) (4)(- x- y)2 4 33 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2（3）(a+b)2-(a-b)2(4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z)(6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4 先化简，再求值：(x+y)2 —— 4xy, 其中 x=12,y=9。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（x+3）（x﹣3）．2．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．3．运用乘法公式简便计算：（1）198×202；（2）9982﹣4．4．计算：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）．5．化简：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）．6．计算：（1）（2x+y）（y﹣3x）（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）7．（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）8．计算：2021×2023﹣20222+1．9．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．10．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）11．（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）12．观察下列式子．①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8；②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16；③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24；④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32．（1）求212﹣192＝．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．13．如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？14．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）图（1）中阴影部分的面积为，图（2）阴影部分面积为．（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（用式子表达）（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）15．先阅读理解，在解答问题．如何计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以（2﹣1），所以原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．试用上述方法求（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1的值．16．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？17．某同学在计算2×（3+1）（32+1）时，把2写成（3﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式，计算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80请借鉴该同学的经验计算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+．18．观察下列等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…这些等式反映了正整数的某种规律．（1）设n为正整数，试用含n的式子，表示你发现的规律；（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．19．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．20．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．参考答案1．解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．2．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．3．解：（1）198×202＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；（2）9982﹣4＝9982﹣22＝（998+2）（998﹣2）＝1000×996＝996000．4．解：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）＝（2m）2﹣（3n）2＝4m2﹣9n2；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）＝（2a）2﹣（5b）2＝4a2﹣25b2；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）＝（﹣2）2﹣（3x）2＝4﹣9x2；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）＝（﹣y）2﹣（x）2＝y2﹣x2．5．解：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）＝（﹣2b+3a）（﹣2b﹣3a）＝（﹣2b）2﹣（3a）2＝4b2﹣9a2．6．解：（1）（2x+y）（y﹣3x）＝﹣6x2﹣3xy+2xy+y2＝﹣6x2﹣xy+y2；（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2．7．解：（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝0.04x2﹣0.09．8．解：原式＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222+1＝20222﹣1﹣20222+1＝0．9．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．10．解：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）＝x2﹣9﹣（x2﹣x﹣2）＝x2﹣9﹣x2+x+2）＝x﹣711．解：原式＝4x2﹣25﹣4x2+4x+3＝4x﹣22．12．解：（1）212﹣192＝（21+19）×（21﹣19）＝40×2＝80；（2）这两个数和的2倍证明：设n为正整数，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝[（2n+1）+（2n﹣1）]×2∴任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍．故答案为：（1）80；（2）这两个数和的2倍．13．解：李大爷吃亏了．原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，因为a2﹣16＜a2，所以李大爷吃亏了．14．解：（1）图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；（2）∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；（2）102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．15．解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝×（316﹣1）﹣1＝﹣﹣1＝．16．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．故答案为：4a2+4ab﹣3b2．（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．17．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1＝65536﹣1＝65535；（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）+＝2（1﹣）+＝2．18．解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n；即（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，故两个连续奇数的平方差是8的倍数．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．20．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．。
(完整版)平方差公式练习题精选(含答案)
（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x) (5-6x)(2)(x-2y) (x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－510．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2（3）(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2 —— 4xy,其中x=12,y=9。
北师大版七年级数学下册：完全平方公式 同步练习
完全平方公式第一课时题组完全平方公式1.下列各式,计算正确的是( )A.(2x-y)2=4x2-2xy+y2B.(a2+2b)2=a2+4a2b+4b2C.=x2+1+xD.(x-2y)2=x2-4xy+y2【解析】选C.A.(2x-y)2=4x2-4xy+y2,此选项错误;B.(a2+2b)2=a4+4a2b+4b2,此选项错误;C.=x2+1+x,此选项正确;D.(x-2y)2=x2-4xy+4y2,此选项错误.2.小虎在利用完全平方公式计算时,不小心用墨水将式子中的两项染黑:(2x+)2=4x2+12xy+,则被染黑的最后一项应该是 ( )A.3yB.9yC.9y2D.36y2【解析】选C.(2x)2=4x2,2·2x( )=12xy,所以括号里应填3y,(3y)2=9y2.3.计算(-2y-x)2的结果是( )A.x2-4xy+4y2B.-x2-4xy-4y2C.x2+4xy+4y2D.-x2+4xy-4y2【解析】选C.(-2y-x)2=x2+4xy+4y2.4.计算(2a-3)2的结果为__.【解析】(2a-3)2=4a2-2·2a·3+9=4a2-12a+9.答案:4a2-12a+95.(x- )2=x2-6xy+ .【解析】2·x( )=6xy,括号里应填3y,(3y)2=9y2. 答案:3y 9y26.计算:(1)(-x+2y)2.(2)(m+n-2)(m+n+2).(3).(4)(a+b)2(a-b)2.【解析】(1)(-x+2y)2=x2+2·(-x)·2y+4y2=x2-4xy+4y2.(2)(m+n-2)(m+n+2)=(m+n)2-22=m2+2mn+n2-4.(3)===a4-2·a2·+=a4-a2+.(4)(a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4. 【方法技巧】完全平方公式应用的三个技巧1.公式右边共有3项.2.两个平方项符号永远为正.3.中间项的符号由等号左边两项的符号是否相同决定. 题组完全平方公式的应用1.若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于 ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选B.因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以ab===1.【变式训练】已知x+y=-6,x-y=5,则下列计算正确的是( )A.(x+y)2=36B.(y-x)2=-10C.xy=-2.75D.x2-y2=25【解析】选A.A.(x+y)2=(-6)2=36,正确;B.(y-x)2=(x-y)2=52=25,故本选项错误;C.因为(x+y)2-(y-x)2=4xy,(x+y)2-(y-x)2=36-25=11,所以4xy=11,xy=2.75,故本选项错误;D.x2-y2=(x+y)(x-y)=(-6)×5=-30,故本选项错误.2.若等式(x-4)2=x2-8x+m2成立,则m的值是( )A.16B.4C.-4D.4或-4【解析】选D.因为(x-4)2=x2-8x+16,所以m2=16,解得m=±4.3.一个正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了32cm2,则原来这个正方形的边长为( )A.6cmB.5cmC.8cmD. 7cm【解析】选D.设原来正方形的边长为xcm.则(x+2)2-x2=32.x2+4x+4-x2=32.4x=28.x=7.4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A= ( )A.30abB.60abC.15abD.12ab【解析】选B.因为(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a+3b)2-30ab.因为(5a-3b)2=25a2-30ab+9b2,所以25a2+9b2=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2-30ab=(5a-3b)2+30ab.所以(5a+3b)2=(5a-3b)2+60ab.5.已知x2+y2+4x-6y+13=0,那么x y= __.【解析】因为x2+y2+4x-6y+13=0,所以x2+4x+4+y2-6y+9=0,即(x+2)2+(y-3)2=0,所以x+2=0,y-3=0,解得x=-2,y=3,所以x y=(-2)3=-8.答案:-81.已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为. 【解析】当x=m时,m2+2m+n2=-1,则(m+1)2+n2=0,∴m+1=0,n=0,∴m=-1,n=0,∴x2+2x+n2=3.答案:32.乘法公式的探究及应用.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.方法一: _______________________________________.方法二: _______________________________________.(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系.______________________________________________________.(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:已知:a-b=5,ab=-6,求:①a2+b2= ___.②(a+b)2= _.【解析】(1)方法一:阴影部分是正方形,正方形的边长是m-n,即阴影部分的面积是(m-n)2,方法二:阴影部分的面积S=(m+n)2-4mn,答案:(m-n)2(m+n)2-4mn(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab.答案:(a-b)2=(a+b)2-4ab(3)①因为a-b=5,ab=-6,所以(a-b)2=52,所以a2-2ab+b2=25,a2+b2=25+2ab=25-12=13.答案:13②(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=1.答案:1完全平方公式第二课时题组利用完全平方公式进行数的运算1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )A.(89+0.8)2B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2D.(100-10.2)2【解析】选 C.A.(89+0.8)2=892+2×89×0.8+0.82,B.(80+9.8)2=802+2×80×9.8+9.82,C.89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,D.(100-10.2)2=1002-2×100×10.2+10.22,选项A,B,D都不如选项C计算简便.2.用乘法公式计算:3992= __.【解析】3992=(400-1)2=4002-2×400×1+12=160000-800+1=159201答案:1592013.计算3.76542+0.4692×3.7654+0.23462= __.【解析】3.76542+0.4692×3.7654+0.23462=3.76542+2×0.2346×3.7654+0.23462=(3.7654+0.2346)2=42=16.答案:164.利用整式乘法公式计算:(1)962. (2)2032.【解析】(1)962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216.(2)2032=(200+3)2=2002+2×200×3+32=40000+1200+9=41209.5.已知m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172,请尝试用一种简便方法比较m,n的大小.【解析】方法一:m=2016×2017-1,n=20162-2016×2017+20172=20162-2×2016×2017+20172+2016×2017=(2016-2017)2+2016×2017=2016×2017+1,因为2016×2017-1<2016×2017+1,所以m<n.方法二:n-m=20162-2016×2017+20172-(2016×2017-1)=20162-2016×2017+20172-2016×2017+1=20162-2×2016×2017+20172+1=(2016-2017)2+1=1+1=2>0,所以n-m>0,即n>m.题组与完全平方公式有关的整式运算1.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2【解析】选C.(a+3b)2-(3a+b)2=a2+6ab+9b2-(9a2+6ab+b2)=a2+6ab+9b2-9a2-6ab-b2=-8a2+8b2.2.将正方形的边长由acm增加6cm,则正方形的面积增加了 ( )A.36cm2B.12acm2C.(36+12a)cm2D.以上都不对【解析】选C.(a+6)2-a2=a2+12a+36-a2=12a+36cm2.3.用乘法公式计算:(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c).(2)(a+2b-3c)2.【解析】(1)(a+2b-3c)(a-2b+3c)=[a+(2b-3c)][a-(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2+12bc-9c2.(2)(a+2b-3c)2=[(a+2b)-3c]2=(a+2b)2-2(a+2b)·3c+(3c)2=a2+4ab+4b2-6ac-12bc+9c2.4.下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.解:x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步(1)小颖的化简过程从第步开始出现错误.(2)对此整式进行化简.【解析】(1)括号前面是负号,去掉括号应变号,故第一步出错.答案:一(2)x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1.5.小明和小颖同时解答下面的习题,所用的方法不相同,但所得的结果相同,先阅读他们的解法,然后回答问题.计算:.小明的解答:===-(2ab)2=16a4+2a2b2+b4-4a2b2=16a4-2a2b2+b4.小颖的解答:===16a4-2a2b2+b4.问题:(1)你认为谁的解法更简捷?从中你得到了什么启示?(2)计算(x-y)2(x+y)2.【解析】(1)小颖的解法更简捷.启示:当计算中既要用完全平方公式又要用平方差公式时,先用平方差公式较为简单.(2)(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.1.已知y+2x=1,求代数式(y+1)2-(y2-4x)的值.【解析】原式=y2+2y+1-y2+4x=2y+4x+1=2(y+2x)+1=2×1+1=3.2.若m2+n2-6n+4m+13=0,求m2-n2的值. 【解析】m2+n2-6n+4m+13=0.(m2+4m+4)+(n2-6n+9)=0,(m+2)2+(n-3)2=0,m+2=0且n-3=0,所以m=-2,n=3,所以m2-n2=(-2)2-32=4-9=-5.。
《平方差公式》习题(含答案)
平方差公式A卷：基础题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C）（b）D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+12．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1（2二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D－4b－4b）=16b22 6．（2008，海南，3分）计算：（a+1）（a－1）=______．C卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．参考答案A卷一、1．D2．C 点拨：一个算式能否用平方差公式计算，•关键要看这个算式是不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，选项A，B，D都不符合平方差公式的结构特征，•只有选项C可以用平方差公式计算，故选C．3．D 点拨：①（3a+4）（3a－4）=（3a）2－42=9a2－16，②（2a2－b）（2a2+b）=（2a2）2－b2=4a4－b2，③（3－x）（x+3）=32－x2=9－x2，④（－x+y）（x+y）=－（x－y）（x+y）=－（x2－y2）=－x2+y2，故选D．4．C 点拨：因为（x+y）（x－y）=x2－y2，又x2－y2=30，x－y=－5，所以－5（x+y）=30，x+y=－6，•故选C．二.5．4x2－y2点拨：（－2x+y）（－2x－y）=（－2x）2－y2=4x2－y2．6．－3x2－2y2点拨：因为（－3x2+2y2）（－3x2－2y2）=（－3x2）2－（2y2）2=9x4－4y4，所以本题应填写－3x2－2y2．7．a；b－1点拨：把a+b－1转化为a+（b－1），把a－b+1转化为a－（b－1），可得（a+b－1）（a－b+1）=[a+（b－1）][a－（b－1）]=a2－（b－1）2．8．10 点拨：设较大的正方形的边长为a，较小的正方形的边长为b，则a+b=5，•a－b=2，所求的面积差为a2－b2，而（a+b）（a－b）=a2－b2，故a2－b2=10．三、9．解：（×（20=2022=400点拨：先把两个因数分别转化成两数的和与这两个数的差，再利用平方差公式计算．10．解：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）=（a－2）（a+2）（a2+4）·（a4+16）=（a2－4）（a2+4）（a4+16）=（a4－16）（a4+16）=a8－162=a8－256．点拨：根据题中因式的结构特征，•依次运用平方差公式进行计算．B卷一、1．解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22－1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24－1）（24+1）…（22n+1）+1=…=[（22n）2－1]+1=24n－1+1=24n；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+13－1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+132－1）（32+1）·（34+1）…（32008+1=…34－1）（34+1）…（32008+1=…34016－12．解：2009×2007－20082=（2008+1）×（2008－1）－20082=20082－1－20082=－1．（1．（2．点拨：把式子中乘积部分的运算通过变形转化为平方差公式的结构形式，然后运用平方差公式化繁为简．3．解：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），x2+2x+4x2－1=5x2+15，x2+4x2－5x2+2x=15+1，2x=16，x=8．三、4．解：（2a+3）（2a－3）=（2a）2－32=4a2－9（平方米）．答：改造后的长方形草坪的面积是（4a2－9）平方米．四、5．D 点拨：A选项a3+a3=2a3；B选项（－a）3·（－a）5=a8；C选项（－2a2b）·4a=－8a3b；D选项正确，故选D．6．a2－1C卷1．（1）1－x n+1（2）①－63；②2n+1－2；③x100－1（3）①a2－b2②a3－b3③a4－b4点拨：（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2）（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．2．解：（m+2n）（m－2n）=m2－4n2．点拨：本题答案不唯一，只要符合要求即可．3.解：题图1中的阴影部分（四个等腰梯形）的面积为a2－b2，题图2•中的阴影部分（平行四边形）的底为（a+b），这个底上的高为（a－b），故它的面积为（a+b）（a－b），•由此可验证：（a+b）（a－b）=a2－b2．图1 图2。
(附答案)《平方差公式(1)》同步训练
§1.5.1 平方差公式(一)【自主操练】1．下列各题中，能用平方差公式的是( )A ．(a －2b )(a ＋2b )B ．(a －2b )( －a ＋2b )C ．(－a －2b )(－a －2b )D ．(－a －2b )(a ＋2b )2．下列多项式乘法中不能．．用平方差公式计算的是( ) A ．(a 3＋b 3)(a 3－b 3) B ．(a 2＋b 2)(b 2－a 2)C ．(2x 2y ＋1)(2x 2y －1)D ．(x 2＋2y)(2x －y 2)3．下列各式的计算结果，正确的是( )A ．(x ＋2)(x －4)＝x 2－8B ．(3xy ＋1)(3xy －1)＝3x 2y 2－1C ．﹣(x ＋4)(x －4)＝16－x 2D ．(﹣3x ＋y )(3x －y )＝9x 2－y 24. 计算(2x －3y ) (2x +3y )的正确结果是( )A ．(2x －3y )2B ．(2x ＋3y )2C ．4x 2－9y 2D ．4x 2+9y 25．.填空：⑴ (2x ＋1)(2x －1)＝ ；⑵ (3x ＋7)( )＝9x 2－49.6．计算下列各题⑴()()a b a b --- ⑵(2m －3n )( 2m ＋3n )； ⑶()()2222c d d c -+⑷（x －y ）（x+y ）+（x －y ）+（x+y ）. ⑸（a ＋2）（a －2）－a （a ＋1）；7. 先化简，再求值：⑴ (2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．⑵2(1)(1)(1)x x x x +-+-，其中2x =-.【每课一测】1．⑴(m ＋1)(m －1)＝ ⑵(﹣x ＋1)(﹣x －1)＝2．下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）A ．（a －b ）（b －a ）B ．（－x+1）（x －1）C ．（－a －b ）（－a+b ）D ．（－x －1）（x+1）3. 下列两个多项式相乘，不可以用平方差公式的是( )A ．(2m －3n )(3n ＋2m )；B ．(﹣5xy ＋4z )(﹣4y －5xz )；C ．(b ＋a )(a －b )；D ．(8x 2－31xy 2)(31x 2y ＋8x 2)． 4. 设x+y=6，x －y=5，则x 2－y 2等于（ ）A ．11B ．15C ．30D ．605．下面计算是否正确？如有错误请改正：（1）()()4442-=+⋅-x x x ；（2）()()125151522-=-⋅+b a ab ab ；（3）()()2555222-=+⋅-x x x ；（4）()()943232492323b a b a b a -=-+6．.求(x ＋y )(x －y )(x 2＋y 2)的值，其中3,2x y ==-参考答案：【自主操练】1.A2.D3.C4. C5. 4x 2-1，3x-76. 222244(1);(2)49;(3);a b m n c d ---⑷原式＝y x y x y x ++-+-22＝x y x 222+-．⑸原式＝a a a +--224 ＝4-a7. 解：⑴原式2242a a a =--+24a =-．当1a =-时，原式2(1)4=⨯--⑵原式＝2321x x x -+-＝13-x当2-=x 时，原式＝1)2(3-- =18-- =9-【每课一测】1. 22(1)1;(2)1;m x --2.C3.B4.C5．⑴× ⑵√ ⑶× ⑷×6.2222444444=(x )(x )==3(2)=81-16=65y y x y x y -+=----原式当x=3，y=-2时原式学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力。
【精准课堂】【北师版】七年级数学下册 第一章 整式的运算1.5 平方差公式(2)学案及同步练习
1.5 平方差公式（2）（一）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？ （二）预习作业：你能用简便方法计算下列各题吗？（1）10397⨯ （2）9981002⨯ （3）59.860.2⨯（4）2(3)(3)(9)x x x +-+ （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x学习设计：1、做一做：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b b （1）请表示图中阴影部分的面积：S =（2多少？你能表示出它的面积吗？长＝ 宽＝ S = （3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗? ∴ ＝进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式平方差公式中的a 、b 式加括号；学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：()()x y z x y z +---中相等的项有 和 ；相反的项有 ，因此22()()[()][()]()()x y z x y z y y +---=+-=-形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式 例1．计算（1）()()x y z x y z +-++ （2）()()a b c a b c -++-（1）题中可利用整体思想，把x y +看作一个整体，则此题中相同项是()x y +，相反项是z -和z ；（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则a 是相同项，相反项是b c -+和b c - 变式训练：计算：（1）)])(())()][()((2[2b c c b a c a c b a b a a +-++--+-；（2）22)()(c b a c b a +--++方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。
2、知识回顾：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 例2 1．在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a b c a +-=+（ ） （2）a b c a -+=-（ ） （3）a b c a --=-（ ） （4）a b c a ++=-（ ） 2．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出 （1）))((c b a c b a +-++ （2）))((c b a c b a -+--（3）()()c b a c b a --+- （4）(22)(22)a b c a b c +++-变式训练：1、248(21)(21)(21)(21)1+++++2、222222(24100)(1399)+++-+++3、观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=- 23(1)(1)1x x x x -++=- 324(1)(1)1x x x x x -+++=-根据前面的规律可得：1(1)(1)n n x x x x --++++= ________________回顾小结：1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？ 2．平方差公式中字母a b 、可以是那些形式？3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？1.5 平方差公式（2）同步练习一、填空题:(每题4分,共24分)1.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________. 2.222(25)()425a b a b --=-.3.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]6. 18201999⨯=_________,403×397=_________. 二、选择题:(每题6分,共18分) 7.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-12y)(x+12y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列式中,运算正确的是( ) ①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482aba b ++⨯⨯=.A.①②B.②③C.②④D.③④ 9.乘法等式中的字母a 、b 表示( )A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、•多项式都可以 三、解答题:(共58分)10.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1).(7分)11.计算:22222110099989721-+-++- .(7分)12.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2,其中x=-1.(6分)(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+13)=2.(8分)13.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- . (7分)14.计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++. (7分)15.已知9621-可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?(8分)16.已知3nm +能被13整除,求证33n m ++也能被13整除.(8分)1.5 平方差公式（2）同步练习 参考答案:1.36-x 2,x 2-142.-2a 2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d 6.3239981,159991 7.D 8.C 9.D 10.16a -1 11.5050 12.(1)-36 (2)x=4 13.原式=22222(21)(21)(31)(31)(41)(41)(991)(991)(1001)(1001)23499100+-+-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯ =11011012100200⨯=⨯.14.原式=248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++=1615112(1)222-+=.15.96148248482(2)1(21)(21)-=-=+-=482424(21)(21)(21)++-=48241266(21)(21)(21)(21)(21)++++- =482412(21)(21)(21)6563+++⨯⨯ ∴这两个整数为65和63. 16.33n m ++333273(261)32633n n n n n m m m m =⨯+=⨯+=+⨯+=⨯++∵263n⨯能被13整除,3nm +能被13整除 ∴33n m ++能被13整除.。
北师大版七年级数学下册题第一章_整式的乘除 (1.1——1.7) 随堂练习(附答案)
1.1同底数幂的乘法一、单选题1.计算3()()x y x y -⋅-=（ ）.A.4()x y -B.3()x y -C.4()x y --D.4()x y +2.下列计算过程正确的是( )A.2358x x x x ⋅⋅=B.347x y xy ⋅=C.57(9)(3)3-⋅-=-D.56()()x x x --= 3.下列各式的计算结果为7a 的是( )A.25()()a a -⋅-B.25()()a a -⋅- C.25()()a a -⋅- D.6()()a a -⋅- 4.当0,a n <为正整数时，52()()n a a -⋅-的值 ( )A.正数B.负数c.非正数 D.非负数 5.10,10x ya b ==,则210x y ++等于( )A.2abB.a b +C.2a b ++D.100ab6.已知2,3,m n x x ==则m n x +的值是( )A.5B. 6C. 8D. 97.计算·53a a 正确的是( ) A. 2aB. 8aC. 10aD.15a8.在等式3211()a a a ⋅⋅=中,括号里面的代数式是( ).A.7aB.8aC.6aD.3a9.已知m n 34a a ==，,则m+n a 的值为（ ）.A.12B.7 二、解答题10.求下列各式中x 的值.(1)21381243;x +=⨯(2)3141664 4.x -⨯=⨯三、填空题11.已知34x =，则23x += .12.计算34x x x ⋅+的结果等于________.13.已知1428m +=，则4m = .14.若2m 5x x x ⋅=，则m =_____.参考答案1.答案：A解析：2.答案：D解析：选项A 中，2351359x x x x x ++⋅⋅==，故本选项错误;选项B 中，3x 与4y 不是同底数幕，不能运算，故本选项错误;选项C 中，5257(9)(3)3(3)3-⋅-=-⋅-=，故本选项错误;选项D 中，5516()()()x x x x +--=-=，故本选项正确.故选D3.答案：C解析：选项A 中，275()()a a a -⋅-=-，故此选项错误;选项B 中,257()()a a a -⋅-=-，故此选项错误;选项C 中，275()()a a a -⋅-=，故此选项正确;选项D 中，67()()a a a ⋅-=--.故此选项错误.4.答案：A解析：5225()()(),n n a a a +-⋅-=-∴当0,a n <为正整数，即0a ->时,25()0,n a +->是正数5.答案：D解析：2210101010100x y x y ab ++=⨯⨯=.6.答案：B解析：2,3,23 6.m n m n m n x x x x x +==∴=⋅=⨯=7.答案：B解析：8.答案：C解析：9.答案：A解析：10.答案：解(1)21381243x +=⨯2145333x +=⨯则219x +=解得4x =（2）31416644x -⨯=⨯3124444x -⨯=314x +=则1x =解得解析：11.答案：36解析：223334936x x +=⋅=⨯=.12.答案：42x解析：13.答案：7解析：因为11444m m +=⨯，所以4428m ⨯=,所以47.m =14. 答案：3 1.2幂的乘方与积的乘法一、单选题1.下列运算正确的是( )A.326x x x ⋅=11=C.224+=x x xD.()22436x x = 2.计算(-2x 2)3的结果是( )A.-8x 6B.-6x 6C.-8x 5D.-6x 53.下列各式计算正确的是( )A. 235ab ab ab +=B. ()22345a ba b -=C. =D. ()2211a a +=+4.计算(-xy 2)3的结果是( )A.-x 3y 6B.x 3y 6C.x 4y 5D.-x 4y 55.下列运算正确的是( )A.x 2·x 3=x 6B.x 3+x 2=x 5C.(3x 3)2=9x 5D.(2x)2=4x 26.计算正确的是( )A.a 3-a 2=aB.(ab 3)2=a 2b 5C.(-2)0=0D.3a 2·a -1=3a 7.下列计算正确的是( )A.a 3·a 2=a 6B.3a+2a 2=5a 2C.(3a)3=9a 3D.(-a 3)2=a 6 8.计算(-x 2)3的结果是( )A.-x 5B.x 5C.x 6D.-x 6 9.计算(-a 2)5的结果是( )A.a 7B.-a 7C.a 10D.-a 10 二、解答题10.已知 333,2,m n a b ==求()()332242m n m n m n a b a b a b ⋅+-的值 。
(七年级)初一平方差公式专项练习试题第1卷_附答案_北师大,人教版等通用版本
35．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，……，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）
（1）试说明an是8的倍数；
（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）
①求k的取值范围．
②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．
40．计算： … 的值．
41．化简．
(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
42．计算．
(1)(0.25 x - )(0.25 x +0.25)；
(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；
17．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________）2-（__________）2．
18．计算： _______________.
19．计算： _____________.
20．若 ，则 的值为__________.
21．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
A．（x+1）（x-1）B．（a+b）（-a-b）C．（-x-2）（x-2）D．（b+a）（a-b）
9．已知 ，则a2－b2－2b的值为
A．4B．3C．1D．0
平方差公式课时培优练 2022—2023学年北师大版数学七年级下册
1.5平方差公式课时培优练七年级数学下册北师大版一、单选题1．下列式子中，可以用平方差公式计算的是（）A．(2a+b)(a-b)B．（2a-3b）(3b+2a)C．(3a-2b)(2b-3a)D．(2a-b)(2b+a)2．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．3．若，，则的值是（）A．-3B．-2C．-1D．04．运用乘法公式计算的结果是（）A．B．C．D．5．下列运算错误的是()A．b2·b3=b5B．(a-b)(b+a)=a2-b2C．a5+a5=a10D．(-a2b)2=b2a46．记则x+1=（）A．一个奇数B．一个质数C．一个整数的平方D．一个整数的立方7．如图，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b ),把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是()A．a2 - b2 = (a + b)(a - b)B．(a + b)2= a2 + 2ab + b2C．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2D．a2 - ab = a(a - b)8．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2D．a2＋ab＝a（a＋b）9．如图所示，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，佳佳将阴影部分通过割拼，拼成了图①和图②两种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②都能D．①②都不能二、填空题10．．11．在括号内填入适当的整式：（2a+b）（）=b2-4a2．12．计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝.13．的结果是．14．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为．三、解答题15．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积. 16．能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后，如1，-3等是奇数，0，-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗？写出你的判断并证明．17．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）.18．已知圆环的面积为，其中大圆与小圆周长的和为，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）.19．已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值．20．（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中n为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计算：①②四、计算题21．计算：（1）（2）22．计算.（1）（m-）（m+）；（2）（-2y2-3x）（3x-2y2）；（3）（x+3）（x2+9）（x-3）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：,符合平方差公式.故答案为：B.【分析】相乘的两个二项式中，如果有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可使用平方差公式进行计算，从而即可一一判断得出答案. 2．【答案】C【解析】【解答】A、能用平方差公式计算；B、能用平方差公式计算；C、不能用平方差公式计算；D、能用平方差公式计算；故答案为：C．【分析】利用平方差公式判断各选项即可。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册1
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》自主达标测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分35分）1．下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）2．（5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2 3．已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（）A．12B．60C．﹣60D．﹣124．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．4B．5C．6D．75．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（）A．a4﹣1B．﹣a4+1C．﹣a4+2a2﹣1D．1﹣a46．若，则下列a，b，c 的大小关系正确的是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（）A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2二．填空题（共7小题，满分35分）8．已知m2﹣n2＝20，m+n＝5，则m﹣n＝．9．如果（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，那么x+y的值为．10．计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝．11．计算：20222﹣2021×2023＝．12．（3+2a）（﹣3+2a）＝．13．（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1的结果是．14．如图，从边长为（a+b）的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣b）的正方形（a＞b＞0），剩余部分又沿虚线剪开拼成一个长方形（无重叠无缝隙），则此长方形的周长为．三．解答题（共6小题，满分50分）15．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．16．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．17．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．18．探究与应用我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？完成下面的探究：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；……（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；应用：计算2+22+23+24+ (22022)19．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．参考答案一．选择题（共7小题，满分35分）1．解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．2．解：∵（5a2+4b2）（5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴括号内应填5a2﹣4b2，故选：B．3．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，∴a2﹣b2＝10×6＝60，故选：B．4．解：∵a﹣b＝2，∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝2×2＝4．故选：A．5．解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a2﹣1）2＝﹣（a4﹣2a2+1）＝﹣a4+2a2﹣1，故选：C．6．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．7．解：由题意得，拼成的长方形的面积为：S大正方形﹣S小正方形＝（m+n）2﹣m2＝2mn+n2，故选：D．二．填空题（共7小题，满分35分）8．解：∵m2﹣n2＝20，∴（m+n）（m﹣n）＝20，∵m+n＝5，∴5（m﹣n）＝20，∴m﹣n＝4，故答案为：4．9．解：设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，m2﹣1＝8，m2＝9，m＝±3，x+y±3，故答案为：±3．10．解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．11．解：原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1，故答案为：1．12．解：原式＝（2a）2﹣32＝4a2﹣9．故答案为：4a2﹣9．13．解：原式＝﹣（1﹣2）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣22）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣24）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣28）（1+28）+1＝﹣（1﹣216）+1＝﹣1+216+1＝216．故答案为：216．14．解：由拼图可知，所拼成的长方形的长为a+b+（a﹣b）＝2a，宽为a+b﹣（a﹣b）＝2b，所以长方形的周长为（2a+2b）×2＝4a+4b，故答案为：4a+4b．三．解答题（共6小题，满分50分）15．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．16．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．17．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）＝x2﹣4﹣6x2+18x＝﹣5x2+18x﹣4．18．解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1，故答案为：x3﹣1；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1，故答案为：x4﹣1；（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x7﹣1，故答案为：x7﹣1；应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+ (1)＝22023﹣1，∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．19．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．20．解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．。
2021年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式自主学习同步练习题3(附答案)
2021年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式自主学习同步练习题3（附答案）一．选择题：1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10 2．若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（）A．25B．5C．10D．153．若2m﹣n＝2，4m2﹣n2＝12，则﹣﹣的值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣94．下列各式计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3C．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2D．（x﹣y）2＝（y﹣x）25．下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（）A．（2x+3y）（2y﹣3x）B．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y）C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y）D．（﹣2x﹣3y）（2x+3y）6．下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1D．（x﹣1）2＝x2﹣17．（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2B．﹣1﹣y2C．1﹣y2D．﹣1+y28．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．ab﹣b2＝b（a﹣b）9．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）10．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图②）则这个长方形的面积为（）A．（a+2b）（a﹣2b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+2b）（a﹣b）D．（a+b）（a﹣2b）二．填空题：11．若m+n＝5，则m2﹣n2+10n的值为．12．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为．13．已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝．14．计算：（3x﹣1）2（3x+1）2＝．15．已知（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，则m+n＝．16．若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝．17．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．现给出下列3种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是（请填上正确的序号）．18．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个矩形如图2，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式：．19．请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是．20．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图②，这个拼成的长方形的长是60cm，宽是40cm，那么图②中Ⅱ部分的面积是cm2．三．解答题：21．（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）．22．运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．23．利用乘法公式进行简算：（1）2019×2021﹣20202；（2）972+6×97+9．24．计算题（1）（﹣a2）4•（﹣a）2 （2）（5x+7y﹣3）（5x+3﹣7y）25．已知a＞0，0＜b≤1，求证：（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）≤ab．26．阅读材料，并解答下列问题：我们知道，利用图形面积的不同计算方法，有些几何图形能直观地反映某些恒等式的对应关系．例如：（1）如图1，反映的是a2+2ab+b2＝；（2）如图2，反映的是a2﹣b2＝；（3）如图3，反映的是2a2+3ab+b2＝．27．解答题：（1）计算：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；（2）由此，猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝．（3）请你利用上式的结论，求2199+2198+…+22+2+1的值．28．乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：①1002×998；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）；③（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．参考答案一．选择题：1．解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．2．解：∵m2﹣n2＝5，∴（m+n）2（m﹣n）2＝（m2﹣n2）2＝25，故选：A．3．解：∵4m2﹣n2＝12，∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m﹣n＝2，∴2（2m+n）＝12，∴2m+n＝6，∴﹣﹣＝﹣×（2m+n）＝﹣×6＝﹣1，故选：A．4．解：A．（x+y）2＝x2++2xy+y2，故本选项不合题意；B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故本选项不合题意；C．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣n2+2mn﹣m2，故本选项不合题意；D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2，正确．故选：D．5．解：能利用平方差公式计算的多项式的特点是：两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数．A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．故选：B．6．解：（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，因此选项A不符合题意；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2≠x2﹣2xy﹣y2，因此选项B不符合题意；（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，因此选项C符合题意；（x﹣1）2＝x2﹣2x+1≠x2﹣1，因此选项D不符合题意；故选：C．7．解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故选：C．8．解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．9．解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m ﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故选：D．10．解：图②长方形的长为（a+2b），宽为（a﹣2b），因此阴影部分的面积为（a+2b）（a ﹣2b），故选：A．二．填空题：11．解：m2﹣n2+10n＝（m+n）（m﹣n）+10n＝5（m﹣n）+10n＝5m﹣5n+10n＝5m+5n＝5（m+n）＝25，故答案为：25．12．解：∵m﹣n＝1，∴m2﹣n2﹣2n＝（m+n）（m﹣n）﹣2n＝（m+n）﹣2n＝m+n﹣2n＝m﹣n＝1．故答案为：1．13．解：因为m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n），所以24＝3（m﹣3n），所以m﹣3n＝8，故答案为：8．14．解：（3x﹣1）2（3x+1）2＝[（3x﹣1）（3x+1）]2＝（9x2﹣1）2＝81x4﹣18x2+1．故答案为：81x4﹣18x2+1．15．解：（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，（m+n）2﹣12＝80，（m+n）2＝81，m+n＝±9，故答案为：±9．16．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴2×（a﹣b）＝6，∴a﹣b＝3．故答案为：3．17．解：拼接前的面积可表示为a2﹣b2，①按照1的拼法，可得一个长为（a+b），宽为（a﹣b）矩形，其面积为（a+b）（a﹣b），于是有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），②按照2的拼法，可得一个上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，其面积为×（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），于是有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），③按照3的拼法，可得一个底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），于是有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此，以上三种方法均能够验证平方差公式，故答案为：1、2、3．18．解：如图1，阴影部分的面积为S1＝a2﹣b2；如图2，阴影部分是一个矩形，长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为S2＝（a+b）（a﹣b）．由阴影部分面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．19.解：如图，左图中A、B、C三块的面积和可以表示为x2﹣y2，将左图中的A、B、C可以拼成右图，即长为（x+y），宽为（x﹣y）的矩形，其面积为（x+y）（x﹣y），因此有（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，故答案为：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2．20．解：如图③，由题意可知，AC＝60cm，AD＝40cm，又∵AB＝a，BC＝b，∴，解得a＝50，b＝10，∴Ⅱ部分的面积＝BE×BC＝40×10＝400（cm2）．故答案为：400．三．解答题：21．解：（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）＝[（a+1）（a﹣1）]（a2﹣1）＝（a2﹣1）（a2﹣1）＝a4﹣2a2+1．22．解：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）＝（2x）2﹣1﹣（4x2+3x﹣24x﹣18）＝4x4﹣1﹣4x2﹣3x+24x+18＝21x+17．23．解：（1）2019×2021﹣20202＝（2020﹣1）（2020+1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1；（2）972+6×97+9＝972+2×3×97+32＝（97+3）2＝1002＝10000．24．解：（1）（﹣a2）4•（﹣a）2＝a8×a2＝a10；（2）（5x+7y﹣3）（5x+3﹣7y）＝[5x+（7y﹣3）][5x﹣（7y﹣3）]＝25x2﹣（7y﹣3）2＝25x2﹣49y2﹣9+42y．25．证明：（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）＝（1+ab﹣b）[1﹣（ab﹣b）]（b﹣1+ab）＝[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）∵b2（a﹣1）2≥0，∴1﹣b2（a﹣1）2≤1，∴[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）≤ab+b﹣1，又∵0＜b≤1，∴b﹣1≤0，∴ab+b﹣1≤ab，∴[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）≤ab，∴（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）≤ab．26．解：（1）由图1可得，四块的面积和等于边长为（a+b）的正方形面积，即，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：（a+b）2，（2）图2左图剩余的面积为a2﹣b2，拼成右图的面积为（2b+2a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）图3中六块的面积和是长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形面积，即（2a+b）（a+b），故答案为：（a+b）（2a+b）．27．解：（1）（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4+a3+a2+a﹣a3﹣a2﹣a﹣1＝a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由此，猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1．故答案为：a100﹣1．（3）根据得出的结论得：2199+2198+…+22+2+1＝（2﹣1）（2199+2198+…+22+2+1）＝2200﹣1．28．解：（1）左图的面积为两个正方形的面积差，即：a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2，（2）右图可得：拼成长方形的宽是（a﹣b），长是（a+b），面积是（a+b）（a﹣b），故答案为：（a﹣b），（a+b），（a﹣b）（a+b）（3）故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（4）①1002×998＝（1000+2）（1000﹣2）＝10002﹣22＝1000000﹣4＝999996，②（2m+n﹣p）（2m+n+p）＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2；③（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264。
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1.5平方差公式
1．若M (3x-y 2)＝y 4-9 x 2，则代数式M 应是 ( )
A ．-(3 x +y 2)
B ．y 2-3x
C ．3x + y 2
D ．3 x - y 2
2．( )(1-2x)＝1—4 x 2．
3．(-3x +6 y 2)(-6 y 2-3 x )＝ ．
4．(x-y+z )( )＝z 2-( x-y )2．
5．(4 x m -5 y 2) (4 x m +5y 2)＝ ．
6．(x+y-z ) (x-y-z )＝( ) 2-( ) 2．
7．(m+n+p+q ) (m-n-p-q )＝( ) 2-( ) 2．
8．计算．
(1)(0.25 x -4
1)(0.25 x +0.25)； (2)(x -2 y )(-2y - x )-(3x +4 y )(-3 x +4 y )；
(3)(2 a + b-c-3d ) (2 a -b-c+3d )；
(4) ( x -2)(16+ x 4) (2+x )(4+x 2)．
9．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?
10．化简．
(1)( x - y )( x + y ) ( x 2+ y 2) ( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
11．先化简，再求值．(a 2 b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+b )(a-b )，其中a ＝2
1，b ＝-1． 12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k +2和2k (其中k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
参考答案
1．A 2．1+2x 3．9x 2-36y 2 4．z-x+y 5．16 x 2m -25 y 4 6．x -z y 7．m n+p+q
8．(1)161 x 2-16
1． (2)8 x 2-l2 y 2． (3)(2 a -c )2-( b-3 d )2． (4) x 8-256． 9．解：设操场原来的边长为x 米，则原面积为x 2平方米，改建后的面积为(x +5)( x -5)平方米，根据题意，得 (x +5)( x-5)- x 2＝(x 2-52)- x 2＝-25．答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米．
10．解：(1)原式=( x 2- y 2)( x 2+ y 2)( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16)=( x 4- y 4)( x 4+ y 4)·…·(x 16- y 16)＝…＝x 32- y 32．
(2)原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
=3
1(232-1)． 11．解：(a 2b -2 ab 2- b 3)÷b -( a+ b )·(a- b )= a 2-2ab- b 2-( a 2- b 2)= a 2-2 ab - b 2=-2 ab.
当a =2
1，b =-l 时，原式＝1． 12．解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数． (2)(2k +2)
2-(2 k) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．(3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．。