第二章第五节常用连续分布

正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
μ决定了图形的中心位置, σ决定了图形峰
的陡峭程度。
— 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2
则
1
2 1
1
2 2
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点
0.5
0.5
（2） P( X 2) 3e3xdx e3x e6
2
2
（3） P(X X ) P( X , X ) P(X )
P(X ) 1 F ( )
P(X )
1 F ( )
e3( ) e3
e3
由 e3 1 F( ) P(X ) ,知元件寿命至少为β的概率 等于已使用时间为α的条件下,剩余寿命至少为β 的概率,这一性质被称为指数分布的无记忆性.
(
x
)
2
证
x
F(x)
1
(t2 )
e 2 2 dt
2
令
t s
于是 F(x) x
1
2
e dt
(t )2 2 2
x
( x )
1
s2
e 2 ds
2
推论: 若 X~ N(, 2 ) ，则对任意实数 a b ,有
P(a X b) (b ) (a )
(x) x 1 et2 / 2d t .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布。
它的依据是下面的定理：
定理1：设 x ~ N (， 2 )，则 Y x ~ N (0,1) .
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题。
比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=
f (x) 的性质：
图形关于直线 x = 对称, 即
f ( + x) = f ( - x)
1
在 x = 时, f (x) 取得最大值 2
在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
(2) 已知 b 求 a 使(a) b ,反过来查标准正态分布 表可得 a 的值.如 (a) 0.9750 ,查表得 a 1.96
(3) 当 a 0时,利用标准正态分布密度函数(x) 图 形的对称性可得
(a) 1 (a)
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
公交线路上两辆公共汽车前后通过 某汽车停车站的时间，即乘客的候车时 间等.
例 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产 生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差 的绝对值不超过0.004秒的概率.
解 X 等可能地取得区间 0.005 0.005
上的任一值，则 X ~ U 0.005 0.005
解 (1)所求概率为
P{X 89} P{ X 90 89 90}
0.5
0.5
(89 90) (2) 1 (2) 0.5
1 0.9772 0.0228
(2)所求的d 应满足
0.99 P{X 80} P{ X d 80 d } 0.5 0.5
1 P{ X d 80 d } 1 (80 d )
得
60
1
0.1588
0.8412
查表得 90 2.0
60 1.0
解得 70 , 10
故 X ~ N 70,102
设录取的最低分为 x
则应有 PX x 0.2947
PX x 1 0.2947 0.7053
x
70 10
0.7053
x 70 0.54 10
x 75.4
分布的近似
例: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参数λ=3
的指数分布,求
(1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率;
(2) 寿命超过 2 年的概率;
(3) 设已经正常使用了α年,求还能够继续使用β年
的概率.
解（1）P(0.5 X 1)
13e3xdx e3x 1 e1.5 e3
0.5 0.5
0.5
即Φ[(80-d)/0.5] ≤1-0.99=0.01 故(80-d)/0.5 ≤-2.327，即d>81.1635
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526
人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N (, 2 )
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分 到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录 取？
x
2
其中μ和σ都是常数，μ任意，σ>0，则称X服 从参数为μ和σ的正态分布。
记作 X ~ N (, 2 ) (Normal)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。
f x具有下述性质:
1 f x 0 ;
2 f xdx 1 ;
事实上 ,
f x dx
1
xμ2
e 2σ2 dx
2πσ
常见的连续型随机变量
均匀分布 (Uniform)
若随机变量X 的概率密度为：
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他 .
则称X服从区间[ a, b]上的均匀分布，记作：
X ～ U[a, b] (注: 有时也记作 X ～ U(a, b) )。
X~U[a,b]时,分布函数为
F(x)
x 0dt， x a
a
x
0dt
1
dt， a x b
a b a
a
b
0dt
1
dt x 0dt， x b
a b a
b
0， x a
＝bx
a ， a a 1， x
x
b
b
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
正态分布的密度函数的性质与图形
1y
2
中间高 两边低
-
+ x
对称性 单调性 拐点
关于 x = 对称
（- ，）升，（，+ ）降
( ,
1
1
e 2 );
2
f最大（）
1
2
III. 正态分布 N (, 2 ) 的分布函数
F(x) 1
e dt, x
(t )2 2 2
V. 正态分布表
书末附有标准正态分 布函数数值表，有了它， 可以解决一般正态分布的 概率计算问题。
x
x
(x) 1 x et2 / 2d t.
2
表中给出的是 x >0时，Φ(x)的取值; 当 x 0 时，(x) 1 (x) .
(1) 当 x 0时，由标准正态分布表可以函数 (x) 的 数值
x.
2
P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
IV. 标准正态分布(一种重要的正态分布) 称N(0, 1)为标准正态分布，其密度函数
和分布函数常分别用(x) 和 (x) 来表示。
(x) 1 ex2 / 2 ， x ， 2
正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态 分布的一些性质与特点使其在概率论与数理 统计理论中有特别重要的地位。
正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss) 给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。
I. 正态分布的定义
定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
F
(
x)
0， x
0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) b exd x a
F (b) F (a)
ea eb 应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布 常作为各种“寿命”
例: 设 X~ N(50,100) ,计算 P(45 X 62) 和 P( X 50 10) .
解 P(45 X 62) F(62) F(45) (62 50) ( 45 50)
10
10
(1.2) (0.5) (1.2) [1 (0.5)]
0.88491 0.6915 0.5764
的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任
意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者
说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长
度而与子区间的位置无关。
（
）
0
a
c
db
x
d
P{c X d} c f (x)dx
d1
d c
c
dx
ba
ba
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入， 小数点后某一位小数引入的误差；
分析
首先求出 和
然后根据录取率或者分数线确定能否录取
解 成绩X服从 N , 2
PX 90 12 0.0228 PX 60 83 0.1588
526
526
录取率为 155 0.2947 526
可得
PX
90
1
90
1
0.0228
0.9772
PX
60
60
0.1588
6
6
查表得 x1 40 0.13
6
从而 x1 0.13 6 40 39.22
例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器
内, 调节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随 机变量,且X~ N(d,0.52).
(1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80 ℃的概 率不低于0.99,问d至少为多少?
1
2πσ
xμ2
e 2σ2 dx
2
2πσ
xμ2
e 2σ2 dx
0
令 t xμ , 2σ
则有
et2 dt π
0
2
f xdx 2 et2 dt 2 1
0
2
II. 正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于X=μ对称
的钟形曲线。 特点“两头低，中间高，左右对称”。
P(| X | a) 2 (a) 1
标准正态分布的概率计算
公式
P（a X b） (b) (a) P（X b） (b) P（X a） 1 (a)
查表 x 0 时，(x)的值可以查表
x 0 时, (x) 1 (x)
例 X N(0,1)
P（1 X 2） (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
某人78分，可被录取。
伽玛分布 p(x) x1ex , x 0 ( )
记为 X ~ Ga(, ), 其中 >0， > 0.
称 () 0 x1exdx 为伽玛函数.
注意
(1) (1) = 1, (1/2) =
(n+1) = n!
(2) Ga(1, ) = Exp() Ga(n/2, 1/2) = 2(n)
P( X 50 10) P(40 X 60) (60 50) ( 40 50)
10
10
(1) (1) (1) [1 (1)] 2(1) 1
2 0.84131 0.6826
一般正态分布的区间概率 X N (, 2 ) (x)为标准正态分布函数
P(a
X
b)
(b ) (a
)
P(X b) (b )
P(X a) 1 ( a )
例:设 X~ N(40,36) ,求 x1 ,使 P(X x1) 0.45 .
解
P( X
x1 )
F (x1 )
( x1
40 )
6
0.45
由于
(0)
0.5
,
0.45
0.5
及分布函数的单调性知
x1
6
40
来自百度文库
0
所以 ( x1 40) 1 ( x1 40) 1 0.45 0.55
f
(x)
100,
0,
x 0.005
其他
0.004
所以P( X 0.004) 100dx 0.8
0.004
指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
ex， x 0
f (x)
0， x 0
则称随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，其
中λ>0 为某一常数.
指数分布的分布函数为
1 ex， x 0
P（X 1） (1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587 P（ X 1） (1) (1) 2(1) 1 0.6826
一般正态分布概率的计算
定理: 设随机变量 X 服从正态分布 N(, 2 ) ,则 X 的
分布函数与标准正态分布函数成立以下关系:
x
F(x)
1
(t2 )
e 2 2 dt
贝塔分布
p(x) 1 xa1(1 x)b1, 0 x 1 B(a,b)
记为 X ~ Be(a, b), 其中a >0，b >0.
称 B(a, b) 01 xa1(1x)b1dx 为贝塔函数.
注意
(1) B(a, b) =B(b, a) (2) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)