2010年北京海淀区高考二模数学理科试题(word版含解析)(无水印)

数 学 （理科） 2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =D ．A B =∅2．函数()sin(2)3f x x π=+图象的对称轴方程可以为A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．6x π=3．如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为 A ． 20︒ B ． 40︒ C ． 60︒ D ． 70︒ 4．函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为A ．1B ．3-C ．1或3-D ．06．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能 使n α⊥成立的是A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为 A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥8．已知动圆C 经过点F (0，1)，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积 A ．有最大值为π B ．有最小值为π C ．有最大值为4π D ．有最小值为4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．在极坐标系中，若点0(,)3A πρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= ．10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）11．已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2= ，则x = ；a b += ． 12． 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 ． 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin a c A =，则a bc+的最大值为 ．14．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2（1）已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为矩形，侧棱P A A B C D ⊥底面，其中226B C A B P A ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示． （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面； （Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值．17．（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立． （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x在区间上单调递减，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1，0)， 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；B（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10．<11．212．48 1314．；84．三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，由2446,10a a S+==，可得11246434102a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………………2分即1123235a da d+=⎧⎨+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，………………………4分∴()111(1)na a n d n n=+-=+-=，故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………5分 （Ⅱ）依题意，22nnn n b a n =⋅=⋅，∴12n n T b b b =+++231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………………7分 又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………9分两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅ ………………………11分()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-， ………………………12分∴1(1)22n n T n +=-⋅+．………………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM ， ABCD 底面为矩形，O AC ∴为中点，………… 1分 M N PC 、为侧棱的三等分点， CM MN ∴=，//OM AN ∴ ，………… 3分 ,OM MBD AN MBD ⊂⊄ 平面平面，//AN MBD ∴平面．………… 4分 （Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D ，(0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ， (1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-，………………………5分cos ,AN PD AN PD AN PD⋅∴<>===，………………………7分∴异面直线AN 与PD．………………………8分（Ⅲ） 侧棱PA ABCD ⊥底面，(0,0,3)BCD AP ∴=平面的一个法向量为， ………………………9分设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ，(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-，并且,BD BM ⊥⊥ m m ，36040x y x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩，令1y =得2x =，2z =-， ∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m ． ………………………11分 2cos ,3AP AP AP ⋅<>==-m m m，………………………13分由图可知二面角M BD C --的大小是锐角，∴二面角M BD C --大小的余弦值为23． ………………………14分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A ． ………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况…………………2分 事件A 所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，()431327P A ==． 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为127． ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()13P C =．………………………6分4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4．………………………8分 ()4412()()33i i iP X i C -==， 0,1,2,3,4i =．．………………………10分分X 的期望为()14433E X =⨯=．……………………13分18．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-，……………………1分令()0f x '=，得x =………………………2分()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：………………………4分由上表可知，x =函数()f x 的极小值点，x =是函数()f x 的极大值点．………………………5分（Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，……7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；．…………………8分当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，因为x ∈，不等式22(22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a--≥，………………………9分令2(),g x x x x=-∈，则22()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，所以()g x 在上的最小值为0g =， ………………………11分由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222a x x a--≥对任意x ∈恒成立，需且只需2min22()a g x a -≥，即2220a a-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤．综合上述，若函数()f x 在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，即22(22)20ax a x a ---≥对任意x ∈恒成立， …………………7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；…………………8分当0a >时，令22()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21a x a-=，．……………9分 若210a a-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对任意x ∈恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤；．．………………………11分若210a a->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对任意x ∈恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥不能对任意x ∈恒成立．综合上述，若函数()f x在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ……13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且． 联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，………………3分显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则 124y y k+=① 1216y y ⋅=- ② …………………4分 又12AM MB = ，所以 1212y y =- ③…………………5分由①② ③消去12,y y ，得 22k =， 故直线l的方程为y -或y =+．…………………6分（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，…………………8分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以，21k =． ………………………9分联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=．………………………10分由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，…………………12分将21k =，221b a =-代入上式并化简，得 2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ 因此，椭圆1C． ………………………13分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈ ， ………………………1分 2()1,[0,]f x x π=∈ ．………………………2分（Ⅱ）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，………………………3分221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩ ，………………………4分22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，………………………5分当[1,0]x ∈-时，21(1)x k x -≤+1k x ∴≥-，2k ≥；当(0,1)x ∈时，1(1)k x ≤+11k x ∴≥+1k ∴≥； 当[1,4]x ∈时，2(1)x k x ≤+21x k x ∴≥+165k ∴≥． 综上所述，165k ∴≥ ………………………6分 即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数． ………………………7分（Ⅲ）()2()3632f x x x x x '=-+=--，令'()0f x =得0x =或2x =．函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =，解得0x =或3． ………………………8分 ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==．因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立． ………………………9分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤．…………………10分 ②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立．由()2310x x x -+<得：0x <x <，所以，需且只需b >1b <≤． ………………………11分 ⅱ）当2b >时，显然有3[0,]2b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得： 2327()28f =，13()02f =， 可得 2133273()232282f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭，此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立． ………………………13分1b <≤．注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已．。