初中二次函数的解题方法

班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。

1.二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。

h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。

常见问题1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。

用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：（1）特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。

（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．4、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．5、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(4，－11)，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a 、b 、c 中为正数的（ ）A 、只有aB 、只有bC 、只有cD 、有a 和b 解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x 轴于两点，知a >0．设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，即x 1、x 2为方程ax 2+bx +c =0的两个根，由题设x 1x 2<0知ac <0，所以c <0，又对称轴为x =4知－ab2>0，故b <0．故选(A)．例2 已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数，并且f (19)=f (99)=1999，|c |<1000，则c = ．解：由已知f (x )=ax 2+bx+c ，且f (19)=f (99)=1999，因此可设f (x )=a (x －19)(x －99)+1999，所以ax 2+bx+c =a (x －19)(x －99)+1999=ax 2－(19+99)x +19×99a +1999，故c =1999+1881a ． 因为|c |<1000，a 是整数，a ≠0，经检验，只有a =－1满足，此时c =1999－1881=118．例3 已知a ，b ，c 是正整数，且抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值．解：设A 、B 的坐标分别为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2+bx+c =0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x 2<0又由题设可知△=b 2－4ac >0，∴b >2ac ①∵|OA|=|x 1|<1，|OB|=|x 2|<1，即－1<x 1，x 2<0， ∴ac =x 1x 2<1，∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当x =－1时y >0， ∴a (－1)2+b (－1)+c >0，即a+c>b ．∵b ，a +c 都是整数，∴a+c ≥b +1 ③ 由①，③得a+c >2ac +1，∴(c a -)2>1，又由②知，c a ->1，ca >+1，即a >(c +1)2≥(1+1)2=4∴a ≥5，又b >2ac ≥215⨯>4，∴b ≥5取a =5，b =5，c =1时，抛物线y =5x 2+5x +1满足题意． 故a+b+c 的最小值为5+5+1=11．例4 如果y =x 2－(k －1)x －k －1与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：由于△=(k －1)2+4(k +1)=(k +1)2+4>0，所以对于任意实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x 1，x 2，则：|AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k )， 因此S △ABC =52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k因为k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △ABC ≥14813=，故选A ．例5已知二次函数y=x 2－x －2及实数(1)函数在－2<x ≤a 的最小值； (2)函数在a ≤x ≤a +2的最小值．解：函数y=x 2－x －2的图象如图1(1)若－2<a <21，当x =a 时，y 最小值=a 2－a －2 若a ≥21，当x =21时，y 最小值=－49．(2)若－2<a 且a +2<21，即－2<a <－23，当x =a +2时，y最小值=(a +2)2－(a +2)－2=a 2+3a ，若a <21≤a +2，即－23≤a <21，当x =21时，y 最小值=－49．若a ≥21，当x =a 时，y 最小值=a 2－a －2．例6 当|x +1|≤6时，函数y =x |x |－2x +1的最大值是 ．解：由|x +1|≤6，得－7≤x ≤5，当0≤x ≤5时，y=x 2－2x +1=(x42图1－1)2，此时y最大值=(5－1)2=16．当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2．因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．例7、已知二次函数y=x^2+(k+2)x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（ )＞4或k＜-5＜k＜-4≥-4或k≤-5≤k≤-4因为与X轴有2个交点所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 —— (1)设与x轴交点分别为x1，x2则x1+x2=-（k+2）>0 ——（2）x1*x2=k+5>0 ——（3）解得-5<k<-4选B例8.已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__[3/4，+∝）__.解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得b=-3/2 函数的对称轴为 x=-（-3/2）/2=3/4a=1＞0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4，+∝）.例9.二次函数y=ax^2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。

解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于的整点二次函数，（a≠ 0)则当x=0时，y=c，即c为整数，同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n 都应为整数，两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<，即|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的绝对值小于的整点二次函数。

（方法2）x＝0时，y＝c是整数x＝1时，y＝a＋b＋c是整数x＝－1时，y＝a－b＋c是整数∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整数而2c是整数例10.已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例11.已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例12 已知a <0，b ≤0，c >0，且ac b 42-=b －2ac ，求b 2－4ac 的最小值．解：令y =ax 2+bx+c ，由于a <0，b ≤0，c >0，则△=b 2－4ac >0，所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，B(x 2，0)．因为x 1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x =－ab2≤0，于是|x 1|=c aacb b a ac b b =--=-+-242422，故ab ac 442-≥c =aac b b 242--≥－aac b 242-∴b 2－4ac ≥4，当a =－1，b =0，c =1时，等号成立． 因此，b 2－4ac 的最小值为4．图2图3。