等值线f(x,y)=k的法向量
9-9 方向导数与梯度
函数
f
(
x,
y,
z)在P0沿方向l的方向导数,记作¶¶
f l
. ( x0 , y0 , z0 )
l注 (1) 二元函数 f ( x, y)在P0( x0 , y0 )沿方向l(方向角为a , b )
的方向导数为
¶f
= lim f (x0 + t cosa, y0 + t cos b ) - f (x0, y0 )
函数变化0率为零
l注 梯度是一个向量 方向: 方向导数最大值的方向
q =0
q =p p
| grad f (x0, y0 ) | cosq
q=
2
梯度的投影
- grad f (x0, y0 )
¶f
q ¶l ( x0 , y0 )
grad f ( x0, y0 )
大小: 方向导数的最大值
z Ø几何意义
曲线L z = f ( x, y)在xOy面上的投影 z=c
为函数 f ( x, y)在点P0( x0, y0 )的梯度, 记作
grad f ( x0, y0 ), 或Ñf ( x0, y0 ). 即: grad f ( x0, y0 ) = Ñf ( x0, y0 ) = fx ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j, 其中 Ñ = ¶ i + ¶ j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
u例8 求曲面 x2 + y2 + z = 9在点P0(1,2,4)的切平面和法线方程.
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
场: 物理量在空间的分布
平面向量基本定理系数的等值线法(答案)
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然 （二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线 （1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ； （2）当等差线过A 点时，1=k ； （3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ； （4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ； （3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ； （4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ； （6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ； （7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则 当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则 当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是 解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ， 故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=， 则y x +的取值范围 解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小 由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近 此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为 解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值 解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大 计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ， 所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ， 设OB n OA m OC +=，则nm的值为 答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。
多元函数的等值线
多元函数的等值线多元函数的等值线是指在二维或三维坐标系中表示多元函数的等值的曲线或曲面。
在二维坐标系中，我们可以将多元函数表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
因此，等值线就是满足f(x, y) = c的曲线，其中c是常数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，等值线就是满足x^2 + y^2 = c的圆。
c的值越大，圆的半径就越大。
在三维坐标系中，我们可以将多元函数表示为z = f(x, y, z)，其中x、y和z是自变量。
等值线就是满足f(x, y, z) = c的曲面，其中c是常数。
例如，对于函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，等值线就是满足x^2 + y^2 + z^2 = c的球面。
c的值越大，球的半径就越大。
等值线在可视化多元函数时非常有用。
通过绘制等值线，我们可以直观地看到函数在不同自变量取值下的变化趋势。
在二维坐标系中，等值线可以将函数的值划分为不同的区域。
在三维坐标系中，等值线可以将函数的值划分为不同的表面。
通过分析等值线的形状和密度，我们可以得到关于函数的一些重要信息。
等值线还可以用来计算多元函数的最大值和最小值。
考虑一个有界的函数，等值线在相应的区域内会形成一个封闭曲线或曲面。
函数的最大值和最小值一定会出现在这个封闭曲线或曲面上。
因此，通过绘制等值线并找到最大最小值所在的曲线或曲面，我们可以确定函数的最大值和最小值。
在实际应用中，等值线可以用于地理学、物理学、经济学等领域。
例如，在地理学中，等值线可以用来表示地形的高度。
通过绘制等值线图，我们可以看到山脉、山谷等地形特征。
在物理学中，等值线可以用来表示电势分布、地磁场分布等。
在经济学中，等值线可以用来表示收入分布、物价分布等。
总之，多元函数的等值线是表示多元函数在二维或三维坐标系中的等值的曲线或曲面。
通过绘制等值线，我们可以直观地了解函数的变化趋势，并计算函数的最大值和最小值。
由点到直线距离公式引发的思考
。这就
是点到直线距离公式的推导
过程。由其形式可知，其特点
是将点的坐标带入到方程所
对应的函数中，得到函数值后
再进行某种运算得到最终结
果。
二尧等值线族的应用
在推导点到直线距离公
式的过程中我们引入了等值
域族的概念，而等值域族也
经常应用到优化问题的求解
图一
中，比如高中阶段涉及到的 线性规划问题就是最简单的
优化问题，即给定一个目标函数，在给定的边际条件下求解
下面我们用该方法来解决上文提到的水箱问题。
解：L=2(xz+yz)+xy+m(xyz-V )
（下转第 224 页）
222 祖国 2018.6 下
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培养，即加强对学生实践能 力 的 锻 炼 ，只 有 这 样 才 能 够 全 面 提升学生的综合素质，实现初中数学教学的目标。而在锻炼 学生实践能力的过程中，微课具有不容忽视的应用价值。具 有灵活性的微课视频，能够满足不同学生的学习需求，能对 学生的综合实践能力、数学知识应用能力进行有效地培养和 锻炼。
性规划问题就源于现实生活。但有些实际生活问题相对比
较复杂，这种简答的线性规划无法满足要求。例如，要设计
一个容量为 V 的长方体开口水箱，当水箱的长 x、宽 y、高 z
为多少时所用材料最省？这就需要我们用其他方法来解决。
三尧简答线性规划问题的推广
线性规划的两个要求
是要有目标函数和边界条
件，当目标函数不再是直
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由点到直线距离公式引发的思考
文 / 白瑞丰
摘要院点到直线距离公式是我们在高中阶段接触最早、也是最基本的公式之一，其形式和直线方程公式极其相似，那 么其中可能蕴含着一些道理和通用结论。本文将从点到直线距离公式出发，总结等直线族的简单应用，将其拓展到极
多元函数的等值线
多元函数的等值线多元函数的等值线是指在多元函数的定义域中，取定一个特定的函数值，将函数的定义域中相应的点连接起来形成的曲线或曲面。
等值线的形状和分布可以反映出函数在定义域内的变化规律，具有重要的物理和几何意义。
对于二元函数，即定义在二维平面上的函数，其等值线可以形成一条曲线或多条曲线。
例如，对于方程f(x,y)=c，其中c为常数，可以将f(x,y)视为z轴上的高度，等值线就是该曲面与xoy平面的交线。
等值线的高度等于常数c，因此等值线可以看作是在平面上表示函数f(x,y)取常数值c的点的集合。
这些点可以是连续的曲线，也可以是孤立的点。
不同的常数c对应不同的等值线，通过改变c的值，可以得到函数在二维平面上的等值线分布情况。
对于三元函数，即定义在三维空间中的函数，其等值线可以形成一条曲线、多条曲线或曲面。
例如，对于方程f(x,y,z)=c，其中c为常数，可以将f(x,y,z)视为空间中的等值面，等值线就是该等值面在xoy平面、yoz平面或xoz平面上的交线。
等值线的高度等于常数c，因此等值线可以看作是在空间中表示函数f(x,y,z)取常数值c的点的集合。
这些点可以是连续的二维曲线或三维曲面，也可以是孤立的点。
不同的常数c对应不同的等值线，通过改变c的值，可以得到函数在三维空间中的等值线分布情况。
等值线的形状和特征反映了函数在定义域内的变化规律。
对于二元函数，等值线的密集程度和曲线的陡峭程度表示了函数在该区域内的变化速率和梯度大小。
等值线的密集表示函数变化较快，而等值线的稀疏表示函数变化较慢。
曲线的陡峭程度表示函数的斜率和变化方向。
在物理学中，等值线可以用来表示电场、温度场、地形图等，从而揭示出这些量在空间中的分布情况。
对于三元函数，等值线的形状和分布更加复杂。
等值线的特征可以用来表示函数的梯度和曲率。
梯度表示函数在某一点处的变化率和变化方向，等值线在梯度方向上的投影越长，表示函数的变化越剧烈；而曲率表示函数曲线的弯曲程度，等值线的曲率越大，表示函数的变化越快。
高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
方向导数与梯度
二、方向导数
已知偏导数所反映的是函数沿坐标轴方向的变化率， 但在实际应用中这显然是不够的，如在热传导问题中，对 于温度场，就需要研究它对应的数量函数f(M)在各个方向 上的变化率，所以下面讨论函数在一点P沿任一指定方向 的变化率.
方向导数 与梯度
第六节 方向导数与梯度
鲨鱼在海洋里发现血腥味时，总能立即向 气味最浓的方向连续前进，但结果表明它前进 的路线从不是直线，这是什么原因呢？在了解 梯度的概念之后，再来尝试着解释这种现象.
一、数量场与向量场的概念
场是物理学中最重要的概念之一.已知磁铁周围有磁场， 电荷周围有电场，而它周围区域内点随位置不同，场强也随之 变化.为了以量化的形式描述场的特征，将引入场函数的概念.
那么这条水平截线L上的点对应的函数值显然都为c，为表现这 个特点，设这条截线L在xOy面上的投影曲线为L*，则L*为xOy 面上一条面曲线，它在xOy面上的方程为
f(x,y)=c,
三、梯度
将曲线L*上的所有点(x,y)，代入z=f(x,y)所得的函数值都 是c，所以称平面曲线L*为函数z=f(x,y)的等值线(见图8-19).
即
由此得如下结论：
函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向 相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线， 且为增长最快的方向.梯度的模就等于函数在这个法线方向的 方向导数.
二、方向导数
若对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)与之对应，则称在这空间区域G内确定了一个数量场.一个 数量场可由一个数量函数f(M)来确定.像温度场、密度场这样与 方向无关的量所构成的场都是数量场.
平面向量等值线法
技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。
二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。
（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，41=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则)(定值k =μλ，反之也成立。
高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度
证 由于函数可微，
j
P
故增量
o
x
f(x x ,y y ) f(x ,y ) f x f y o () x y 两边同除以 , 得到
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f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同， 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）
爬行． 如何确定这个方向？ 利用方向导数！
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一、方向导数的定义与计算
意义：确定函数 zf(x,y)在点 P 处沿某一方向
的变化率．
设函数 zf(x,y)在点 P(x, y) y
l
r rr ( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k ,
rr r 故 gu r( 1 ,1 a ,2 ) d 5 i 2 j 1 k .2
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为0.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
2 l x
推广: 若三元函数 u = f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 可微,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,
l
且 ffco sfco sfco s
l x
y
z
P(x,y,z)
其中 , , 为 l 的方向角.
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f(x,y)c1
而梯度的模等于函数在该法线 o
平面向量基本定理系数的等值线法
平面向量基本定理系数的等值线法r适用题型在平面向绘甚本定理的表达式中.若需研究两系■数的和•墓积商、线性表达式及平方和时•可以足等值线法.二、基本理论<-）平面向量共绘定理己知忑±2亦十“況‘若久十戸=1，眦丑,c三点共线；反之亦然｛二>等和线平而内一组基底及任—向量莎*。
尸二兄刀+左3?（九严$代）.若点戸在直线佃上或在平行于血的直线上*则八戸=肌逹值）仮之也成立，我们把直线ABVX及芍苴线AB平行的直线成为零和纯c（1）当等和线恰为直线宓时，血=仁（2）与等和线右匸点和直线』占之间吋.A E（OJ）：（3）兰直线AB^O点和等和线之间时M胡卄知；（4）当等和线过O点时，&=3<5）若两答和线关于O点对称*则是置丘互为相反数:C6）定值R的变化与等和线到卍点的距离成正比；（三》等差线平面内一组琏底OA^OBJk任一向<5P,OP=AOA±pOS｛A.jU G R],匸为线段月E的中点*若点尸在直线OC上或在平疔干g的直线上，则门-出=帆崔值）仮之也成立，我忙[把直线Of以及与直线GC平行的直线称为等羞线.（1）当等差线恰沟直线OC1时，k=Oi⑵当等螯线过/点时I^=1¥（3）兰雑菱线在直线OC点/上间时，kw（M）;<4）为筹差线与氏1延张线相交时，2（1卄｝：（5）若两等差线关于直线OQ对称r则两宦值丘互为相反数；CB3）鞭线平面内一组基底刃、励及任一向童存’帀=衣方+”审（扎声€町’若点P住IX賣线gOH为渐近线的双曲线上’1U戸为定值I反之也成立.我们把以总线Q4QB聞渐近线的双曲线称为答积线m当鞭曲线有—辿厶OR内时’^>0；（“当双曲线的两龙部不性"OR内时+20七（3）特别的Iiff OA={a,b\OB=►点尸在双曲线^l_Zl=］（fl>o^>o）肘.丄：a~肝4（H>誓商线平面内一组菇底鬲“血及任一向蜀亦，=2玉十"0巩无輕蓟若点尸在过O点〔不与阳重合）的直线上.则±=削定值），反之也成址我们把过点O的直线（除64外）称为驛商线-<1）当零商线过曲中点时*k=l,⑵当等商线与线段犹（除端点）相交时，柴山+讪C3）-J|等冏统与缄段BE{除端点〉村交时*^E（OJ）,（4）当馨裔线即为时，k=Oz⑸勻等商绣与线段民I延长;统相交时.圧日-叫-小（G与等冏线与线段拙延长线相交时’止買一⑼；（7）当馨帰绘与直线宓平柠时*—g尊平方和找平面内一组毘底6L丽及任一向童d OP^AOA十卫丽认且€町・且石卜阿卜若点戸在以厶03角平分线为半长釉的帏圆上’则犷为宦值I反之也戍立，我们把以以厶角平分线为半长轴的橢圆称为零呼方和线*<.如硼、*•—2工特别的.若尿（询显仏孙点尸在双椭畤琲刊小小三. 解题步骤k确宦等值线为]的线；艺平楼慌转或伸缩）该线’结合动点的可行燃分析何处取得蚩大值和最小ffi:儿从长度比或苦点的位置两伞猎度，汁算最大值和壘小值’四. 几点补充k平面向蟄其线址理的表达式中的三个向鱼的起点劳必一致*若邓一致.本着少数魔从多数的原则，优先平移同定的向童*2.若需哩研究的提蒋疾数的线性琢则需要iffiil变换基底向霾，使胃需婪研究的代数式为基底的系数和或苣：五r典型例题例1给罡两个辰度対1的平面向量石和亦，它们的夹角为120°.如图所-示*J9“■.点C在以o为圆心的圆弧倉上变动t^OC=xOA^yOB i其中齐yw.则-Y+7的席犬值是.M2在正兴边形ABCDEF中*尸危三他形EDE內（包括边界）的动点*设乔=工乔+y乔，則时y的取值范訪I答案t[3.4]例3如圏.在平行M^ABCD'|LM、N M CD边旳三導分戊.SAMBN的父点*P対边4B边上一动直I Q7J ASMN内一克（會边界h若PQ=T』Af+.!-ff.V、则A+丁的取值范用足例4^ABCD中，彳D丄AS.AD=DC=},括边界h AP=xA&^yAD.则“尸的取值范围R5设门上分別^MSC的边貝&別？上的点，AD=-AB,B£=-BC^DE=^Aff^^AC（l,JL为实数｝,则占+&的值为（注：此題为13江苏斶垮也總R題+但点E为三解分的無件英实没有必塑I可舍）:"'16任正方形卫肚D屮・E为M中点.尸为毀肿为直後的半風弧上任意一点, T^AE=X AJ>+vAPf刚2X+F的最小值为静：1的任意—乩设: 対匚则"，的虽小值曲闵9已知#6圜E:5VIO+13AO=ZAB^pAC.则A+ju=答案:例7任正方ABCD11r,E为AB'l T点i尸为以冲为阀心’AE、h半律的関弧上制gLife]OM=ON=\t OP=jc(M^yOM(x,y为实数).若是U1M为直/fi顶点的Fi角三的底，则r-V収fjl的Sift.zj =1的上顶点为/・直线y=^交椭圆于艮f（月在C的左侧），点尸在懦圆E上'若市=忌5匸,求的堀大值例10己知O为的外心*l^(0.0k5(2,0k J4C-LZ5JC=答案:6,0容案：4衣I例H 如閣■乂EC 足圖O 上的三点，CO 的延快线场线段加旌延底线交于風O 卜卜例1【已知O 为山初C ■的外心，ScosZ^C =-1AO =AAB^^iAC^\例12平面内有三个向蜀鬲、Qi.DC ,K 中与刃与而的夹角为120"»OA 与况的夬他为3『『且I 631=I 面1=1,I 龙|=鮎仔，若OC =mOA+nOB f+n 的值为夕卜的点Q.^OC^mOA+nOB.则加十但的取值范圉为例14在平ffll/fj 坐标系中’双曲找「的中心&原点’它的一个焦点坐标为 (75,0)T et=(2^＞忑=(2.-1)分别是两条渐近贱的方向向虽任恥观曲统「上的点儿若丽=亦+意(口"左尺人则°』满足的一个等式是__例15已知石=1亦=石+鬲•亦=0*点C 在厶(9B 内*且厶OC =30叫设 ■-——一™■=F ?TOC =mOA+nOB ・则一的讥如.n答案:3邀心浅沛梢 答鑒：(-ho)」•汝心渤瑞 M 16如IU 倾斜角対B 的宜线°尸号肚偷圆左第一彖限的部分交于点尸・单位 园与坐标轴交于怎心忆点占®"J 旳与F 轴交于詁、阳与工轴龙于 点M,设tyPN^yeR}^求x+y 的最屮值‘例门如国・在扇形ZAOB=60Q ,C 为弧AR 上且不与」B 重合的一个动点，OC=itOA^yOS 9若«=.u+2yU>0）存在最大值，则丸的取值范围为-的区域而职为. 答案：4^3例19已知和是两个互相垂直的单位向星且c-a =H =l t 则对任意的正实 数f*|t'+fa+-6的最小值头F . 答案：2^2 鋼洽住平面直角坐标系中，O 为坐标原点*两足点』』满足。
平面向量基本定理系数等值线
平面向量基本定理系数等值线潘成银(江苏省南京民办实验学校,210019) 平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这个平面内的任一向量a ,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,我们称λ1,λ2为平面向量基本定理系数.1 三点共线定理 定理1 平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则A ,P ,B 三点共线的充要条件是λ1+λ2=1,如图1.设线段AB 中点为C ,由平面向量加法平行四边形法则可知图 1当P 在点C 时,λ1=λ2=12;当P 在点A 时,λ1=1,λ2=0;当P 在点B 时,λ1=0,λ2=1;当P 在线段AC 上(除端点)时,0<λ2<λ1<1;当P 在线段BC 上(除端点)时,0<λ1<λ2<1;当P 在线段AB 延长线上时,λ1<0,λ2>1; 当P 在线段BA 延长线上时,λ1>1,λ2<0.借助上面的结论,我们可以对平面向量基本定理系数的性质作进一步研究.2 等和线 图 2如图2,平面内一组基底OA ,OB ,作直线l ∥AB ,直线OA ,OB 分别与l 交于A 1,B 1,设OA 1=k OA (k ∈R ),则OB 1=k OB ,若P 为l 上任意一点,OP =OA 1+A 1P =OA 1+t A 1B 1=OA 1+t (OB 1-OA 1)=(1-t )k OA +tk OB (t 为实数),设λ1=(1-t )k ,λ2=tk ,则λ1+λ2=k ,显然k 只与l 和直线AB 相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以,对于直线l 上任意一点P ,以O A ,OB 底的向量OP 的平面向量基本定理的系数和为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1+λ2=λ3+λ4,移项得λ3-λ1=点处的切线平行于这些弦.(2)椭圆焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上.(3)设椭圆的中心为C ,如果CP 平分平行于CD 的弦,那么CD 也平分平行于CP 的弦.(4)若椭圆在其点P 处的切线交长轴延长线于T ,PN 垂直于长轴,垂足为N ,C 是中心,A 是长轴的一个端点,则CN ·CT =CA 2.[1]等等.3 结语 今天,变换的基本观点与基本思想为中学数学教学,特别是解析几何的教学提供了十分有益的指导.显然,平面上的变换就是到自身的一个对应.或者说,“变换无非是简单的函数概念的推广.”[2]本文表明,在高中数学内容中引入变换的观点是非常必要的.变换观点与变换思想的引入是对高中数形结合思想的进一步提升,也使高中阶段用代数方法研究几何问题达到了一个更高的层次.特别地,对于解析几何的问题解决来说,一切都变得简单而又自然.参考文献:[1] [英]A .科克肖特,F .B .沃尔特斯著,蒋声译.圆锥曲线的几何性质[M ].上海:上海教育出版社,2002.[2] [德]F .克莱因著,舒湘芹等译.高观点下的初等数学(第二册)[M ].上海:复旦大学出版社,2007.(收稿日期:2012-10-23)-(λ4-λ2),所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(O A -OB )=(λ3-λ1)BA ,从而P 1P 2∥AB .于是有:定理2 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB λ1,λ2为实数),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线AB 以及与AB 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图3.根据证明过程可知:图 3(1)当等和线即为直线AB 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1);(3)当直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞);且以上定值的变化与等和线到点O 的距离成正比.(4)当等和线过点O 时,k =0;由相反向量概念可知:(5)若两等和线关于O 点对称,则相应的定值互为相反数.3 等差线 图 4如图4,平面内一组基底O A ,OB ,C 为线段AB 的中点,OC =12(OA +OB ),设P ′为直线OC 上任意一点,则OP ′=λOC =λ2O A +λ2OB ,此时λ1=λ2=λ2,λ1-λ2=0.作直线l ∥OC ,直线OA 与l 交于点M ,直线AB 与l 交点为N ,显然■OAC ∽■M AN ,设AM =k OA ,则OM =(1+k )OA ,NM =k OC =k 2(OA +OB ),若P 为直线l 上任意一点,则OP =O M +MP =(1+k )OA +t NM =(1+k )OA +kt OC =(1+k +kt 2)OA +kt 2OB (t 为实数),此时λ1=1+k +kt 2,λ2=kt 2,λ1-λ2=1+k ,由于k 只与l 和OC相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以对于直线l 上任意一点P ,以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数差为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1-λ2=λ3-λ4,移项得λ3-λ1=λ4-λ2,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)OA +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(OA +OB )=2(λ3-λ1)OC ,从而P 1P 2∥OC .于是有:定理3 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),C 为线段AB 中点,若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上,则λ1-λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线OC 以及与OC 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等差线,如图5.根据证明过程和定理1可知:图 5(1)当等差线过AB 中点C 时,k =0;(2)当等差线过点A 时,k =1;(3)当等差线在直线OC 与点A 之间时,k ∈(0,1);(4)当等差线与B A 延长线相交时,k ∈(1,+∞);由相反向量概念和平面几何知识易证:(5)若两等差线关于OC 对称,则相应的定值互为相反数.4 等商线 图 6如图6,平面内一组基底OA ,OB ,设直线l 是过点O 不与OA ,OB 重合的任意直线,设P 1,P 是直线l 上不同于O 的任意两点,则存在实数t ,使得OP 1=t OP ,若OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则OP 1=t (λ1OA +λ2OB )=t λ1OA +t λ2OB ,所以t λ1t λ2=λ1λ2,所以对于是直线l 上任意点P (非点O ),以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数的比值为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1O A +λ2OB ,OP 2=λ3O A +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数且非零),若λ1λ2=λ3λ4,则λ3λ1=λ4λ2,设λ3λ1=λ4λ2=k ,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(k λ1-λ1)OA +(k λ2-λ2)OB =(k -1)(λ1OA +λ2OB )=(k -1)OP 1,P 1P 2∥OP 1,即O ,P 1,P 2三点共线.于是有:定理4 平面内一组基底OA ,OB 及任一非零向量OP ,OP =λ1O A +λ2OB (λ1,λ2为实数),若点P 在过点O (不与OA 重合)的直线l 上,则λ1λ2=k (定值),反之也成立.我们把过点O 的直线(除O A 及不含点O )叫平面向量基本定理系数的等商线,如图7.根据证明过程和定理1可得:图 7(1)当等商线过AB 中点C 时,k =1;(2)当等商线与线段AC (除端点)相交时,k ∈(1,+∞);(3)当等商线与线段BC (除端点)相交时,k ∈(0,1);(4)当等商线即为OB 时,k =0;(5)当等商线与B A 延长线相交时,k ∈(-∞,-1);(6)当等商线与AB 延长线相交时,k ∈(-1,0);(7)当等商线与直线AB 平行时,k =-1.5 等积线 平面内一组基底OA ,OB ,以O 为原点,∠AOB 平分线所在直线为x 轴,建立直角坐标系,如图8,设OA =(a ,b ),OB =(c ,d ),若点A 关于x 轴对称点为B 1,则OB 1=(a ,-b ),且OB =λOB 1(λ为正实数),设P (x ,y )是直线OA ,OB 外任意一点,根据平面向量基本定理,存在非零实数λ1,λ2,使得OP =λ1O A +λ2OB =λ1OA +λλ2OB 1=λ1(a ,b )-λλ2b ).x y 两式相乘得x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),图 8设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),它的渐近线为y =±b ax ,即为直线OA ,OB ,若当λ1λ2为定值,点P 在以OA ,OB 为渐近线的双曲线上;反之,若P 在以OA ,OB 为渐近线的某双曲线上,则x 2a 2-y 2b2的值为非零常数,所以4λ(λ1λ2)为常数,即λ1λ2为定值.于是有:定理5 平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB ,若λ1λ2为定值,则点P 在以直线OA ,OB 为渐近线的某条双曲线上;反之,点P 在以直线O A ,OB 为渐近线的某条双曲线上,则λ1λ2为定值.我们把以直线O A ,OB 为渐近线的双曲线叫平面向量基本定理系数的等积线,根据证明过程可知以下结论:(1)当双曲线有一支在∠AOB 内时,λ1λ2为正值;(2)当双曲线都不在∠AOB 内时,λ1λ2负值;(3)特别地,OA =(a ,b ),OB =(a ,-b ),点P 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上时,λ1λ2=14.应用平面向量基本定理系数等值线,可以直观、简捷、快速解决一些问题:图 9例1 (2009年安徽理科试题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120°,如图9,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC =x OA +y OB ,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值是.解析 连接AB ,过C 作直线l ∥AB ,则直线l 为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,显然当l 与圆弧相切于C 1时,定值最大,因为∠AOB =120°,所以OC 1=OA +OB ,即x =y =1,所以x +y 的最大值为2.说明 原解是利用向量坐标表示,借助向量数量积及三角函数知识求解,是典型的向量问题代数化,应用平面向量定理系数的等和线解决,尤显直观、简捷、快速!例2 如图10所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC =m OA +n OB ,则m +n的取值范围是.图 10图 11解析 作O ,的相反向量OA 1,OB 1,如图11,则AB ∥A 1B 1,过O 作直线l ∥AB ,则直线l ,A 1B 1为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,且定值分别为0,-1,由题意CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,所以C 在直线l 与直线A 1B 1之间,即过C 点的等和线在直线l 与直线A 1B 1之间,所以m +n ∈(-1,0).例3 (2010上海高考文科试题)在平面直角坐标系中,双曲线C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e 1=(2,1),e 2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线C 上的点P ,若OP =a e 1+b e 2(a ,b ∈R ),则a ,b 满足的一个等式是.解 因为e 1=(2,1),e 2=(2,-1)是渐进线的方向向量,所以双曲线渐近线方程为y =±12x ,又它的一个焦点坐标为(5,0),c =5,双曲线C 的方程为x 24-y 2=1,ab =14.(收稿日期:2012-09-02)一个不等式猜想的简证及推广戴志祥(浙江省绍兴市高级中学,312000)1 引言 文[1]的最后提出了四个不等式猜想,文[2]中用构造函数再结合导数的方法给出了猜想1的肯定性证明与推广.本文应用柯西不等式与均值不等式给出猜想1的简证,并在此基础上给出猜想1的进一步推广.猜想1 若a ,b ,c 都是正实数,且满足abc =1,则a 22+a +b 22+b +c 22+c ≥1.2 猜想1的证明证明 由柯西不等式得,(2+a +2+b +2+c )(a 22+a +b 22+b +c 22+c) ≥(a +b +c )2,∴a 22+a +b 22+b +c 22+c≥(a +b +c )2a +b +c +6=(a +b +c )2-36a +b +c +6+36a +b +c +6=a +b +c -6+36a +b +c +6=49(a +b +c +6)+36a +b +c +6 +59(a +b +c +6)-12。
山东省武城县第二中学高中数学一轮复习 3.11 空间向量
山东省武城县第二中学高中数学一轮复习：3.11 空间向量及其线性运算【知识导引】平面向量的加减法是如何规定的？有哪些运算法则？ 【自学导拨】1.在空间，具有 和的量叫做向量。
2.且的有向线段表示同一向量或相等的向量。
3.表示向量a的有向线段的叫做向量的长度或模，记作。
4.有向线段所在的叫做向量的基线。
5.如果空间向量的基线或，则这些向量叫做向量或向量。
a平行于b ，记作b a //.6.空间向量的加法与数乘向量运算满足加法、 以及数乘 。
7.设a OA，b OB ，则 BA＝，即b a表示从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的。
8.三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的。
【思路方法技巧】 知识点一：空间向量的概念例1.给出以下命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b满足||||b a ，则b a ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC ；④若空间向量m ，n ，p 满足n m ，p n ，则p m； ⑤空间中任意两个单位向量必相等。
其中假命题的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4知识点二：空间向量的加减运算例2.如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式。
（1）111B A AA ；（2）11112121D A B A ； （3）111112121D A B A AA ； （4）A A A C CC BC AB 1111 .例3.在正四面体BCD A 中，O 为底面正三角形DBC 的中心，化简：AO AD AC AB 3 .知识点三：平行六面体中的向量运算例4.利用空间向量知识证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。
【巩固练习】 1.下列命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十八章
第十八章 隐函数定理及其应用一、证明题一、证明题1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当则当 时,有2.设tgx yu =,x sin yv =.证明:当2x 0p<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算()()y ,x v ,u ¶¶和()()v ,u y ,x ¶¶并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()j q ,,r 的形式: 2221z u y u x u u ÷øöçè涶+÷øöçè涶+÷øöçè涶=D , 2222222zu y u x u u ¶¶+¶¶+¶¶=D . 4.证明对任意常数ρ,j ,球面2222z y x r =++与锥面2222z tg y x ×j =+是正交的. 5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数). 6.证明:在n 个正数的和为定值条件个正数的和为定值条件 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n nha .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值. £××××nn21x x x nxxxn21+×××++二、计算题二、计算题1．方程．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 . 2.方程方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 . 4.设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数? 1.试讨论方程组试讨论方程组ïîïíì=++=+2z y x 2zy x 22y 在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组. 5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数: (1)ïîïíì=+=++ax y x a z y x 222222, 求x y ¶¶,x z ¶¶; (2)ïîïíì=--=--0xu v y 0yv u x 2222, 求x u ¶¶,x v ¶¶,y u ¶¶,y v¶¶. (3)()()îíì-=+=y v ,x u g v y v .ux f u 2, 求x u ¶¶,xv ¶¶. 6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数: (1)ïîïíì-=+=,v cos u e y ,v sin u e x uu 求y x y x v ,v ,u ,u ; (2)ïîïíì+==+=3322v u z v u y ,v u x ,求x z . 7.设函数z=z(x,y)由方程组由方程组vu ex +=,vu e y -=,uv z =(u,v 为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz. 8.设u,v 为新的自变量变换下列方程: (1)()()0yz y x x zy x=¶¶--¶¶+,设22y x ln u +=, x y arctg v =; (2)0yz y x z x 222222=¶¶-¶¶,设x y u =,y x v =. 9.设函数u=u(x,y)由方程组由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 所确定,求xu ¶¶和yu ¶¶. 10.设2rxu =,2ryv =,2rzw =,其中222z y x r ++=, (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组; (2)计算()()z ,y ,x w ,v ,u ¶¶. 11.求平面曲线323232ayx=+()0a >上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面: (1)t sin a x 2=,t cos sin b y =,t cos c z 2=在点4t p =; (2)9z y 3x 2222=++.222y x 3z +=,在点(1,－1,2). 13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线: (1)0e y z x 2==-,在点(1,1,2); (2)1c z b y a x 222222=++,在点(3a ,3b 3c ). 14.求曲面上过点21z 3y 2x 222=++的切平面,使它平行于平面0z 6y 4x =++. 15.在曲线x=t,2t y =,3t z =上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4. 16.求函数222zy x xu ++=在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t 2y =,4t 2z -=在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面l =x yz 与椭球面++2222b y a x 1cz22=在某一点相切. 18.求曲面x z y x 222=++的切平面,使其垂直于平面2z 21y x =--和2z y x =--. 19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程. 20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值: (1)f(x,y)=22y x +,若x+y-1=0 (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4(其中x,y,z,t>0,c>0); (3)f(x,y,z)=xyz,若222z y x ++=1,x+y+z=0. 21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体. (2)求体积一定而表面积最小的长方体. 22.(1)求空间一点()000z ,y ,x 到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离. (2)求原点到二平面1111d z c y b x a =++, ++y b x a 2222d z c =的交线的最短距离. 23.设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数,求()n21x ,,x ,xf ×××=å=n1k k kx a在限制条件在限制条件1x x x 2n 2221£+×××++ 下的最大值. 24.求函数求函数()n21x ,,x ,xf ×××=2n2221x x x +×××++在条件å==n1k kk1xa ,()n ,,2,1k ,0ak×××=> 下的最小值. 三、考研复习题三、考研复习题1.方程()222x1x y --=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=()x f ? 2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数()y j 在区间(c,d)内连续,而()0y >j ¢.问在怎样的条件下,方程()()x f y =j 能确定函数y=()()x f 1-j.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)x sin e 2y -=-. 3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求dx dy ,dxdz. 4.已知G 1(x,y,z),G 2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, g i (x,y)= Gi (x,y, f (x,y)),(i=1,2) 证明: ()()y ,x g,g 21¶¶=2z2y 2x 1z 1y 1x y x G G G G G G 1 f ,f --. 5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求x u ¶¶,y u ¶¶,z u¶¶. 6.试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ¶¶,yu ¶¶: (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u) (2)u=f(x+u,yu) 7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且()[]3y ,x f +xg(x,y)-y=0, ()[]3y ,x g +yf(x,y)-x=0. 8.设()0u,z ,y ,x 满足方程组满足方程组()()()()u F z f y f x f =++ ()()()()u G z g y g x g =++ ()()()()u H z h y h x h =++这里所有的函数假定有连续的导数. (1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z 作为u 的函数的充分条件; (2)在f(x)=x.,g(x)=x 2,h(x)=x 3的情形下,上述条件相当于什么? 9.求下列由方程所确定的陷函数的极值: (1)1y 2x y 2x 22=++(2)()()222222y x a y x -=+,(a>0) 10.设f=F(x)和一组函数()v ,u x j =,()v ,u y f =,那么由方程()()()v ,u F v ,u j =j 可以确定函数v=v(u).试用u,v ，dudv ，22duv d 表示dxdy ，22dx y d . 11.试证明:二次型二次型()z ,y ,x f =Fx Fxy y 2Ezx 2Dyz 2Cz By Ax 222+++++在单位球面在单位球面 1z y x 222=+上的最大值和最小值恰好是矩阵大值和最小值恰好是矩阵úúúûùêêêëé=F C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值. 12.设n 为自然数,0y ,x ³,用条件极值方法证明:2y x nn+ ()2y x n+³13.求出椭球22a x +22b y +22cz =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积. 14.设()0000z ,y ,x P 是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F 在U(p 0)可微,且为n 次齐次函数.证明:此曲面在P 0处的切平面方程为处的切平面方程为()0xP XF+()0yP yF +()0zP ZF =n. 。
二元函数的等值线
二元函数的等值线
摘要：
1.二元函数的等值线的定义
2.二元函数等值线的表示方法
3.二元函数等值线的性质
4.应用举例
正文：
二元函数的等值线是指在平面直角坐标系中，满足二元函数y=f(x,y) 等于某一常数的所有点(x,y) 组成的曲线。
这些曲线在数学、物理等科学领域中具有广泛的应用。
二元函数等值线的表示方法通常有三种：等高线、等压线、等温线。
等高线表示的是函数值相等的点组成的曲线，通常在地形图、海拔图等中使用；等压线表示的是压强相等的点组成的曲线，通常在天气预报图中使用；等温线表示的是温度相等的点组成的曲线，通常在气候图、体温图等中使用。
二元函数等值线具有一些重要的性质。
例如，等值线不会相交，因为如果相交，那么在这个点处函数值会有两个，与等值线的定义矛盾。
另外，等值线在无穷远处趋于零，因为当x 或y 趋向于无穷大时，函数值也趋向于无穷大或无穷小。
举个例子，假设我们有一个二元函数y=x^2+2x+1，我们可以通过求导数的方法来找到其等值线。
首先，求偏导数，得到y"=2x+2，然后解方程y"=0，得到x=-1。
将x=-1 代入原函数，得到y=0，所以等值线为y=0，
表示的是一条水平直线。
多元函数的等值线
多元函数的等值线多元函数的等值线是指在多元函数的图像中，所有与函数值相等的点所组成的曲线或曲面。
它可以用来表示多元函数在不同变量取值下的特征和变化情况。
首先，我们来看二元函数的等值线。
对于二元函数f(x, y)，其等值线可以表示为f(x, y) = c，其中c为常数。
这样的等值线可以是一条曲线或者一个封闭曲线。
考虑一个简单的二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们可以将等值线表示为x^2 + y^2 = c。
这是一个以坐标原点为中心、以c为半径的圆。
当c不同时，我们可以得到一系列同心圆，表示了函数在不同的取值下的特征。
对于三元函数f(x, y, z)，其等值线可以表示为f(x, y, z) = c，其中c为常数。
这样的等值线可以是一个曲面或者封闭曲面。
考虑一个简单的三元函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，我们可以将等值线表示为x^2 + y^2 + z^2 = c。
这是以坐标原点为中心、以c为半径的球面。
当c不同时，我们可以得到一系列半径不同的球面，表示了函数在不同取值下的特征。
在实际应用中，多元函数的等值线可以提供丰富的信息。
例如，在自然科学中，我们经常使用等值线来表示地形地貌、温度分布、压力分布等。
在地图上，等值线可以展示山脉、河流、湖泊等地理特征。
在物理学中，等值线可以表示电场、磁场等物理量的分布情况。
在经济学中，等值线可以表示价格、收入、消费等经济变量的关系。
同时，通过对多元函数的等值线的观察和分析，我们可以得到一些重要的信息和结论。
首先，等值线的密集程度和形状可以反映函数在不同变量取值下的变化情况。
当等值线的密集程度较高时，表示函数的变化幅度较大；当等值线的形状发生变化时，表示函数在不同变量取值下的变化趋势不同。
其次，等值线的交叉和重叠可以表示函数的驻点和拐点，即函数的极值和转折点。
当等值线交叉时，表示函数存在驻点；当等值线发生重叠时，表示函数存在拐点。
多元函数的等值线
多元函数的等值线
在二元函数的情况下，等值线可以表示为平面上的曲线。
对于二元函数$f(x,y)$，它的等值线是由满足$f(x,y)=c$（其中$c$为常数）的点$(x,y)$所组成的曲线。
例如，考虑函数$f(x,y)=x^2+y^2$，当$c=1$时，等值线是一个圆；当$c=2$时，等值线是另一个圆；当$c=3$时，等值线是两个圆；以此类推。
在三元函数的情况下，等值线可以表示为三维空间中的曲面。
对于三元函数$f(x,y,z)$，它的等值线是由满足$f(x,y,z)=c$的点$(x,y,z)$所组成的曲面。
例如，考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，当$c=1$时，等值线是一个球面；当$c=2$时，等值线是另一个球面；当$c=3$时，等值线是两个球面；以此类推。
等值线可以通过绘制等值线图来展示。
等值线图可以提供有关多元函数的各种信息，如函数的最大值、最小值、局部极值点、鞍点等。
在等值线图中，等值线通常以不同的颜色或线型来表示不同的等值线。
较浓的等值线表示较大的取值，而较淡的等值线表示较小的取值。
通过观察等值线图，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
等值线还可以用于解决约束条件下的优化问题。
例如，我们需要在一些区域内找到使得函数取最大值或最小值的点，可以将约束条件作为等值线，通过在等值线上最大值或最小值来找到满足要求的点。
总而言之，多元函数的等值线是描述函数取值相等的点组成的曲线或曲面，通过绘制等值线图可以更好地理解函数的性质和特点，在优化问题中也有着广泛的应用。
二元函数的等值线
二元函数的等值线二元函数的等值线是指在平面上表示该函数取相同值的点的集合。
等值线可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点，并且在许多领域中有着广泛的应用，如地理信息系统、物理学、工程学等。
本文将从几何形状、代数性质和实际应用等方面，介绍二元函数的等值线。
一、几何形状二元函数的等值线可以呈现出各种几何形状，如直线、曲线、圆形、椭圆形、双曲线等。
这些形状是由函数的具体表达式决定的，不同的函数表达式会产生不同的等值线形状。
例如，对于一元函数y=f(x)，其等值线为平行于x轴的直线；对于二元函数z=f(x,y)，其等值线可以是平面上的任何几何形状。
二、代数性质二元函数的等值线具有一些重要的代数性质。
首先，等值线上的点代表函数取相同值的点，因此等值线上的点满足函数的方程。
其次，等值线可以分为正值线和负值线，正值线表示函数取正值的点的集合，负值线表示函数取负值的点的集合。
最后，等值线可以通过改变函数的参数来改变形状和位置，从而得到不同的等值线。
三、实际应用二元函数的等值线在实际应用中具有重要的意义。
首先，等值线可以用于解决方程组，通过求解等值线与坐标轴的交点，可以得到方程组的解。
其次，等值线可以用于描述物理现象，如等压线、等温线、等高线等。
例如，在地理信息系统中，等高线可以用于表示地形的高度，通过等高线可以直观地了解地形的起伏和坡度。
再次，等值线可以用于优化问题，通过找到等值线上的最大值或最小值，可以得到函数的极值点。
最后，等值线还可以用于数据可视化，通过绘制等值线图可以直观地展示数据的分布和变化。
二元函数的等值线是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解函数的性质和特点，并且在许多领域中有着广泛的应用。
通过研究等值线的几何形状、代数性质和实际应用，我们可以更好地理解和应用二元函数的等值线。
希望本文能够对读者对二元函数的等值线有更深入的了解和认识。
多元函数的等值线
多元函数的等值线多元函数是指多个变量之间存在一种函数关系的函数。
多元函数的等值线是指在二维坐标系上，将函数值相等的点连接起来所得到的曲线。
多元函数的等值线在实际中有着广泛的应用，例如在地理学、物理学、经济学等领域中。
在地理学中，地势高度、气温分布、降雨分布等可以用多元函数表示，通过等值线可以直观地展示出地形、气温、降雨等的空间分布。
在物理学中，电势场、磁场、速度场等也可以用多元函数表示，通过等值线可以展示出电势、磁场、速度等的空间分布。
在经济学中，收入分布、物价分布等也可以用多元函数表示，通过等值线可以展示出收入、物价等的空间分布。
为了更好地了解多元函数的等值线，我们以二元函数为例进行讨论。
假设有一个二元函数f(x,y)，其中x、y分别是二维坐标系上的两个变量，函数值为z。
那么，多元函数的等值线就是将函数值相等的点(x,y)连接起来所得到的曲线。
那么，如何确定等值线呢？我们可以采用如下的步骤进行推导。
第一步，确定函数的等值线方程。
假设f(x,y)=c，其中c为常数。
那么，我们可以将函数表达式f(x,y)=z转化为f(x,y)-c=0的形式。
第二步，确定等值线方程的形式。
由于我们是在二维坐标系上绘制等值线，因此等值线的方程通常是x、y的函数。
那么，我们将等值线方程f(x,y)-c=0形式化为g(x,y)=0的形式，其中g(x,y)=f(x,y)-c。
第三步，推导等值线方程。
根据第二步所述的形式，我们需要将等值线方程f(x,y)-c=0转化为g(x,y)=0的形式。
这可以通过一些代数运算和化简来实现。
例如，对于一些简单的函数，我们可以直接通过整理等值线方程得到g(x,y)=0的形式。
而对于一些复杂的函数，则需要通过使用变量替代等技巧来推导等值线方程。
第四步，绘制等值线。
根据等值线方程g(x,y)=0，我们可以将二维坐标系分为一系列的小方格，在每个小方格内计算g(x,y)的值，如果g(x,y)的值接近于0，则认为该点在等值线上。
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Santa II, p.165
等值线 f(x, y)=k 的法向量
∇f = { f x , f y }
法向量
( x, y )
f ( x, y ) = k
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
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特别地， 在一点(x, 处 特别地，曲线 f(x, y)=0 在一点 y)处 的梯度（ 的法向量为 f 的梯度（取k=0）： ）：
{1,
fy fx
}
或
{ f x , f y } = ∇f ( x , y )
处的梯度。 这正好是函数 f(x, y)在(x, y)处的梯度。 在 处的梯度 所以， 所以，函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数 在 处的梯度垂直于函数 经过该点的等值线。 经过该点的等值线。
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
2 April 2012
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徐小湛
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设方程 f(x, y)=k 确定了隐函数 y=y(x)。 。 将此函数代回原方程，得恒等式： 将此函数代回原方程，得恒等式：
f ( x, y ( x)) ≡ 0
求导： 等式两端对 x 求导：
f x ⋅1 + f y ⋅ y′( x) = 0
Santa II, p.165
等值线 f(x, y)=k 的法向量
四川大学数学学院
徐小湛
花舞人间April 2012 2 17MAR2012
Santa II, p.165
等值线 f(x, y)=k 的法向量
推导如下结论： 推导如下结论： 函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于 在 处的梯度垂直于 函数经过该点的等值线。 函数经过该点的等值线。 所以函数的梯度就是函数等直线的 法向量。 法向量。
{ f x ,f y } = ∇f ( x , y )
∇f = { f x , f y }
法向量
( x, y )
f ( x, y ) = 0
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
得：
fx y′( x) = − fy
2 April 2012
四川大学数学学院
徐小湛
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在一点(x, 处的法线斜率为 处的法线斜率为： 等值线 f(x, y)=k 在一点 y)处的法线斜率为：
fy 1 k =− = y′( x) f x
在一点(x, 处的法线向量为 处的法线向量为： 故等值线 f(x, y)=k 在一点 y)处的法线向量为：