空间直线及其方程
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L可以用方程组
L1:
x-1= y = z +3 1 -4 1
和
L2:
x 2
=
y +2 = z 的夹角. -2 -1
解 两直线的方向向量分别为(1, -4, 1)和(2, -2, -1).
设两直线的夹角为j , 则
cosj = |12+(-4)(-2)+1(-1)| = 1 = 2 ,
12 +(-4)2 +12 22 +(-2)2 +(-1)2 2 2
两直线垂直与平行的条件
设有两直线
L1:
x- x1 = m1
y - y1 n1
=
z - z1 p1
,
L2:
x- x2 m2
=
y - y2 n2
= z - z2 p2
,
则
L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;
L1
L2
m1 m2
= n1 n2
=
p1 p2
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
四、直线与平面的夹角
首页
上页
空间直线及其方程
z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
空间直线的方程和性质
空间直线的方程和性质直线是空间几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特征。
本文将介绍空间直线的方程和一些主要性质，以便更好地理解和应用直线的概念。
一、空间直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。
1. 参数方程：设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a(m, n, p)。
则直线的参数方程为：x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt其中t为参数，表示直线上的任意一点。
2. 对称方程：设直线过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a(m, n, p)。
则直线的对称方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p这个方程表示直线上的所有点满足这个比值关系。
3. 一般方程：直线的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为不全为零的实数。
通过对这个方程的系数进行标准化处理，可以得到一个方便使用的一般方程。
二、空间直线的性质空间直线具有以下几个重要的性质：1. 直线的方向：直线的方向由其方向向量确定。
对于参数方程和对称方程，直线的方向向量就是其参数的系数。
对于一般方程，直线的方向向量可以通过系数A、B、C来确定。
2. 直线的倾斜类型：直线可以是水平的、竖直的或斜的。
根据直线的方向向量，我们可以判断直线的倾斜类型。
若方向向量的两个分量为0，第三个分量不为0，则直线是竖直的；若第三个分量为0，前两个分量不全为0，则直线是水平的；若前两个分量都不为0，直线是斜的。
3. 直线的截距：对于一般方程Ax + By + Cz + D = 0，直线在三个坐标轴上的截距分别为：x轴截距：x = -D / Ay轴截距：y = -D / Bz轴截距：z = -D / C4. 直线的倾斜角和垂直角：直线的倾斜角是指直线与坐标轴正向之间的夹角。
可以通过方向向量求得各个坐标轴的倾斜角。
空间直线及其方程
s1
L2
s2
s1 s2 cos = s1 s2
=
m m2 + n1n2 + p1 p2 1
2 2 2 m + n1 + p1 1 2 2 m2 + n2 + 2 p2
i j k 直线 的方向向量为 s2 = 1 1 0 = (2, 2, 1) 1 0 2 二直线夹角 的余弦为
cos =
从而
1× 2 + (4) × (2) +1× (1)
12 + (4)2 +12
=
π
2 + (2) + (1)
2 2
2
4
(参考P45 例2 )
2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为 s = (m, n, p) 平面 Π 的法向量为 n = ( A, B, C ) 则直线与平面夹角 满足
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 Π : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥Π s ×n = 0 A B C L // Π 夹角公式：
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
5.5 空间直线及其方程
y ≡ −2 表示直线上的动点在变动时， 这里， 这里， 表示直线上的动点在变动时，y 坐标始终 等于-2, 即直线与 y 轴是垂直的, 方向向量在 y 轴上投影为0.
(2) s = AB = (1 , 2 , −3), 所求直线方程为:
x +1 y − 3 z − 2 = = . 1 2 −3
x −1 y − 3 z + 2 = = . 3 −2 4
d s
平面束方程： 平面束方程： 设直线 L 的一般方程为
则直线外一点 P 1 到直线 L 的距离 可看作为以 s 和 P0 P 为邻边的平行四边形 s×P 0P 1 d= 在边 s 上的高. 于是由前面的结果知:
cos ϕ =
即
ϕ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
3
1 1 = , 2 2 2
.
直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角定义为直线与平面法线夹角的余角 (不取钝角). 若直线的方向向量为 s = ( m, n, p ) , 平面的法向为 n = ( A, B, C ) , 直线与平面的夹角为 ϕ θ = ( s , n ), 0 ≤ θ ≤ π ，则 2
L1
s1
s1 ⋅ s2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = . 2 2 2 2 s1 ⋅ s2 m1 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
π 0 ≤ ϕ ≤ 2
例8 求直线 特别， 特别，两直线垂直 ⇔ s1 ⊥ s2
x + 2y + z =1 x − y − z = 1 与 的夹角. x − 2y + z = 3 x − y + 2z =1
高等数学第六节空间直线及其方程
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
第七章空间解析几何第7节直线及其方程
投影直线为
小结
空间平面
一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 法点式 n M 0 M 0
x y z 1. 截距式 p q r
空间直线
交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. x x0 y y 0 z z 0 对称式: s M 0 M 0, 即 m n p 参数形式:
x3 y 3 z 故直线方程为 . 2 2 2
例6. 求直线 l1: x+y1=0, y+z+1=0, 在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程. 解：直线l1的方向
s1 1 1 0 i j k =(1, 1, 1). 0 1 1
i
j
k
再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解
即
x 1 y z 1 . 1 4 1
l1
M1
n
M0
思想：
求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ；
求过M0，M2 的投影直线方程.
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式 两点式
x 0 y 1 z 2 t. 2 1 2
设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足
22t +1+t+2(2+2t )=0 1 t 3 2 4 4 ). 得交点 M2(x2, y2, z2) ( , , 3 3 3 所求直线方程为 x 1 y 0 z 1 , 2 4 4 1 0 1 3 3 3
空间直线的方程与性质
空间直线的方程与性质一、空间直线的方程在三维空间中，要确定一条直线，我们需要知道直线上的一点和直线的方向。
因此，一般来说，表示空间直线的方程形式为：R: (x-x₁) / l₁ = (y-y₁) / l₂ = (z-z₁) / l₃其中，(x₁, y₁, z₁) 是直线上的一点，l₁, l₂, l₃是直线的方向比例。
二、空间直线的性质1. 直线的方向向量直线上的两个任意点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，则直线的方向向量可以表示为：V = [x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁]2. 直线的平行与垂直若两个直线的方向向量分别是 V₁=[l₁₁, l₁₂, l₁₃] 和 V₂=[l₂₁,l₂₂, l₂₃]，则有以下条件：- 若 V₁∥ V₂，则直线平行。
- 若 V₁⊥ V₂，则直线垂直。
3. 直线与平面的关系直线与平面相交时，有以下几种情况：- 若直线和平面有且只有一个交点，则交点为直线上的一点。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面平行，则直线在平面上。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面垂直，则直线与平面互相平行。
4. 直线的距离直线与一点 P (x₀, y₀, z₀) 之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算：d = |(x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁) · V| / |V|其中 |·| 表示向量的模，"·" 表示向量的点积。
5. 直线的参数方程若直线的方向向量为 V=[l₁, l₂, l₃]，直线上的一点为 P(x₁, y₁, z₁)，则直线的参数方程形式为：x = x₁ + l₁ * ty = y₁ + l₂ * tz = z₁ + l₃ * t其中 t 为参数。
6. 直线的对称式方程直线的对称式方程形式是通过点和方向向量来表示的，如下：(x - x₁) / l₁ = (y - y₁) / l₂ = (z - z₁) / l₃ = t其中 (x, y, z) 为直线上的任意一点。
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
首页
x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
首页
上页
返回
L
下页
结束
例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
首页
上页
返回
下页
结束
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
首页
上页
返回
下页
结束
i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线及其方程
三、直线与平面
注意
当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此 时规定直线与平面的夹角为
三、直线与平面
设直线的方向向量为s=（ m,n,p, ）平面的法向量为n=
（ A,B,C, ）直线与平面的夹角为φ,则
，所以
.由两向量夹角余弦的坐标表示式,有
三、直线与平面
【例6】
设直线
，平面π:x-y+2z=3，
一、空间直线方程
同时，这个平行六面体的体积V还可表示为高与底面积的乘 积，即V=d·s1×s2，从而有 由两直线不平行，可知s1×s2≠0，故有
二、两直线的夹角及位置关系
1. 两直线的夹角
把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向 向量有两个方向，这里同样约定
设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，
一、空间直线方程
【例3】
已知直线的一般方程
试求其
点向式方程及参数方程. 解 首先任求直线上的一点，如令x=1，可得到 解得y=-1,z=2，于是点1,-1,2在直线上.
设两平面的法向量分别为n1，n2，直线的方向向量为s，则
一、空间直线方程
因此，直线的点向式方程为
令 程为
，得所给直线的参数方
一、空间直线方程
求直线与平面的夹角.
解 直线L的方向向量为s=（ 2,-1,2, ）平面π的法向量
为n=（ 1,-1,2, ）则L与π的夹角φ满足
因此，L与π的夹角φ为
三、直线与平面
2. 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有两种情况：相交（包含垂直）， 平行（包含在平面上）.设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π 的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、 平行的充要条件分别为：
空间直线及其方程
例如, 当
直线方程为
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :Biblioteka 例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
,得
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 已知直线的两平面的法向量为
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
t
是直线上一点
习题课
三、杂例
例4. 求与两平面 x–4z=3 和2x–y–5z=1的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
解: 所求直线的方向向量可取为
利用点向式可得方程
例5. 求直线
的交点 . 解: 化直线方程为参数方程
与平面
代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.
例6. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，
因此其一般式方程
(不唯一)
1 2
2. 对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，则这个向量叫做 这条直线的方向向量。
已知直线上一点
和它的方向向量
设直线上的动点为
L
则
故有
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
在平面 故应有：
得
从而得投影直线方程
这是投影平面 这是给定的平面
例8.
一直线过点
且垂直于直线
又和直线
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积. 的方向向量为
面的法向量为
则所求直线的方向向量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14/14
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
——空间直线的一般方程。
2/14
二、对称式方程与参数方程 z
s
L
如果一个非零向量平行于直
M
线L，就称这个向量为直线L的一
M0
个方向向量．
o
y
s
设 M0( (m, n,
x0 , y0 , z0 ) L,
x
p) 为 L的一个方向向量，则
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p 各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
13/14
思考题解答
s (2m,n,6 p),
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
*例 4 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n (1,1,2), s (2,1,2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
M( x, y, z) L M0M// s
x x0 y y0 z z0 ——直线L的点向式方程
m
n
p 或对称式方程。
直线L的一组方向数。
3/14
又
M0 M // n
M0M
tn，
即 ( x x0 , y y0 , z z0 ) t(m, n, p)，
得
x x0 mt
L:
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
M
N
x 由 y
3t 2t
1 代入平面方程，得t 1，
3 7,交点 NhomakorabeaN(2 7
,13 , 7
3) 7
z t
取方向向量 MN ( 2 2, 13 1, 3 3) 77 7
6 (2,1,4), 所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 .
(s , n)
或
(s , n)
2
2
sin | cos(s , n) |
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
——直线与平面的夹角公式。
10/14
直线与平面的位置关系：(1) L A B C .
(2) L // Am Bn Cp 0. m n p
y
y0
nt
z z0 pt
——直线的参数方程。
4/14
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解又 x 令s//53z(，1,y10,1, )32得，(2得2,xx直1,y3线y)1上4(4的 0,0一1,,3点解(),
之，得 5 , 2 ,0). 33
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
11/14
五、小结
1、空间直线的一般方程. 2、空间直线的对称式方程、两点式方程与参数 方程. 3、两直线的夹角.
（注意两直线的位置关系）
4、直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
12/14
作业
• 习题7-6
4
7
16-(1)(4)
思考题
得
x 5 y 2
对称式方程
3
3
z
4
1 3
参数方程 x 5 4t , y 2 t , z 3t .
3
3
5/14
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，求
其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA (2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
注：若
M1( x1, y1, z1)、M2( x2 , y2 , z2 ) L，M1
M
，则
2
L : x x1 y y1 z z1 ——两点式方程。 x2 x1 y2 y1 z2 z1
6/14
例
3
求过M (2,1,3)且与
x1
L:
y 1
z
垂直相交的直
3 2 1
线方程.
L
解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
9/14
四、直线与平面的夹角
直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
L : x x0 y2 y0 z z0 ,
s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
7
2 1 4
7/14
另解 先做过点M (2,1,3)且与已知直线
L : x 1 y 1 z 垂直的平面 :
3
2 1
L
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0.
再求过M与L的： M0(1,1,0) L
' L M
s
n // M0M s (3,0,3) (3,2,1)
y y1 n1
z z1 , p1
L2 :
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
——两直线的夹角公式。
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
（6 1,2,1）
: (x 2) 2( y 1) (z 3) 0
所求直线： 3(x 2) 2( y 1) (z 3) 0 (x 2) 2( y 1) (z 3) 0
8/14
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
L1
:
x x1 m1
第六节 空间直线极其方程
1. 一般方程 2. 对称式方程与参数方程 3. 两直线的夹角 4. 直线与平面的夹角 5. 小结、作业
1/14
一、一般方程
若空间直线L为两平面
z 1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2
与
L
o
y
2 : A2 x B2 y C2z D2 0 x
的交线， 则