黄金分割法编程

• 本题中if条件控制部分分了三部分，分别是f1>f2,f1<f2,f1==f2.
• 实际上f1==f2可以归纳到f1>f2,f1<f2中任意一个，如下
• if f1>f2
%if条件控制，对f1,f2大小进行比较
•
x1=a;
%满足条件，把a赋值给x1
•
a=b;
%把b赋值给a
•
b=x1+0.618*(x2-x1);
a2=a+0.618*(b-a)； （可分为两种情况，简化程序）
如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。 因为[a,b]为单谷或单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍， 处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间 上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到 满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解 。
%画出函数图形
• title('黄金分割法求函数最小值-1304卢贵兵')
• xlabel('x')
• ylabel('f')
• axis tight
• a=x2-0.618*(x2-x1); %用黄金分割法求出两个黄金分割点的值
• b=x1+0.618*(x2-x1);
• k=0;
• while (x2-x1)>=d
• 其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、 以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。
• 以下是对单谷函数求最小值做简单分析： • 具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。 ①
如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)； ② 如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-0.618*(b-a)； ③如果f(a1)==f(a2)，令a=a1,b=a2, a1=b-0.618*(b-a)；
• k=
•
2
• f1 =
• -0.4996
• f2 =
• -0.5000
• k=
•3
• ……
• ……
• f2 =
• -0.5000
• k=
• 10
• fmin =
•
-0.5000
函数图像：
• 运行程序后可以明显的看见函数的最小值fmin=-0.5000，迭代次数k=10 次和每次迭代循环过程中得出的f1，f2的值，并且画出函数图像用来和 计算得出的最小值做对照。
• 黄金比例的求法如下： 设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则a
比b就是黄金数
• 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间，[a,b] 内搜索极小点xmin的一种方法。它是优化计算中的经 典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著 称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间 上的单谷或单峰函数，即只在单谷或单峰区间内才能 进行一维寻优，其收敛效率较低。
Golden section method
Golden section method
• Problem:
• Minimize f（x）=-sin(x)*cos(x)
•
x=[40° ，50°] d=0.13°
• (1)Program
• (2)Example solution,report
• (3)Discussion(discuss the any significant aspects of the problem,characteristics of golden section method,and your own understanding of project)
%用黄金分割法计算新的b
•
else f1<f2
•
x2=b;
•
b=a;
•
a=x2-0.618*(x2-x1);
•
end
• 运行程序可以得到相同的结果
• 本题中需要注意的地方：1.度需要转化为弧度
• （3）讨论
• 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于 另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取 其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此 称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点。
• （1）M文件程序：
• function fmin=gold(x1,x2,d) %建立函数文件
• d=0.13/180*pi;
%将度转换为弧度
• x1=40/180*pi;
• x2=50/180*pi;
• x=x1:d:x2;
• f=-sin(x).*cos(x);
• plot(x,f,'r')
%while条件循环
• f1=-sin(a)*cos(a)
%计算黄金分割点对应的函数值
• f2=-sin(b)*cos(b)
• if f1>f2
%if条件控制，对f1,f2大小进行比较
• x1=a;
%满足条件，把a赋值给x1
• a=b;
%把b赋值给a
• b=x1+0.618*(x2-x1); %用黄金分割法计算新的b
• elseif f1==f2
•
x1=a;
•
x2=b;
•
a=x2-0.618*(x2-x1);
•
b=x1+0.618*(x2-x1);
• else f1<f2
•
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x2=b;
•
b=a;
•
a=x2-0.618*(x2-x1);
• end
• k=k+1
%迭代次数
• end
%迭代到满足条件就停止迭代
• w=(x2+x1)/2;
%计算平均值
• fmin=-sin(w)*cos(w)
%得出函数的极小值
• &本程序可以直接用来求不同 x1,x2,d的最小值。
（2）报告（结果）：
运行程序得：
• f1 =
•
-0.4996
• f2 =
•
-0.4996
• ans =
•
1
• k=
•
1
• f1 =
•
-0.4979
• f2 =
•
-0.4996