浙江大学微积分复习资料

g(x)
=
lim
x®a
é êë
1+
f (x)
ù 1 f ( x) g ( x) f (x) úû
=
eA.
一些常见函数的极限：
xa
(1)
lim
x ® +¥
ex
=
lim
x ® +¥
a
xa ex
-1
=L
=
lim
x ® +¥
a (a
- 1)L(a ex
-
k )xa -k
= 0.
【注】：运用(k + 1) 此L¢Hosptial 法则后，可以使a - k £ 0.
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
目录
一. 极限与连续 ......................................................................................2 二. 导数与微分 ....................................................................................12 三. 不定积分 ........................................................................................23 四. 定积分及其应用 ............................................................................26 五. 级 数 ............................................................................................33
x®a
x®a
x®a
x®a
由于limln (1 +
f
) (x) g(x)
=
ln (1 +
lim
f
(x)) ´[
f
(x)g(x)] =
A，
x®a
x®a f (x)
根据连续函数的性质，lim(1 + f ) (x) g(x) = eA. x®a
( ) ( ) 此类极限计算的说明： lim 1 + f (x) x®a
=
1. 2
【方法二】：I
=
lim
ex
-1-
x
=
[1 + lim
x
+
1 2
x2
+
o(x2 )] -1 -
x
=
1.
x®0 x(ex - 1) x®0
x2
2
3、 求：lim
x2 + sin x - x .
x®-¥ x + ln x
x=-u
I = lim u ®+¥
u2 - sin u + u = lim
-u + ln u
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
一. 极限与连续
函数极限计算的一般方法：
(1) 先确定极限的类型；特别要注意在哪一点求极限. (2) 经过初等变换和无穷小量的等价，化简函数表达式(使求导计算尽可能简单)； (3) 分母若为低阶 (2-3 阶)无穷小量，可用 L¢Hosptial 法则；
x®0 xa (1 + 1 - x2 ) 2 x®0
2
1
15、
设
un
=
éêë(1 +
1)(1 + n
2)L(1 + n
n n
)
ù úû
n
，求：lim n®¥
un
.
å ò ò lim
n®¥
ln
un
=
lim
n®¥
1 n
n
ln(1 +
k =1
(2) 当a
>
0
时，lim x ® +¥
ln x xa
=
lim
x ® +¥
1 a xa
= 0.
特别的，lim ln x x x ® +¥
= 0.
1
(3) 当a
>
0 时，lim x ® 0+
xa
ln x
=
lim
x ® 0+
ln x x -a
=
lim
x ® 0+
x -a x-a -1
=
-a
lim
x ® 0+
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6) arctan x = x - x3 + x5 + o(x5)
6 40
35
(7) ln(1 + x) = x - x2 + x3 + o(x3)； (8) (1 + x)a = 1 + a x + a (a -1) x2 + o(x2 ).
23
2!
两个重要极限：
(1)
lim sin x
= 1；
(2)
lim(1 +
1)x
=
e
=
lim(1 +
1
x) x .
x®0 x
x®¥
x
x®0
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
关于 “1 ¥ ”型极限的计算：
设lim f (x) = 0，lim g(x) = ¥，且lim f (x)g(x) = A，则：lim(1 + f ) (x) g(x) = eA.
( ) 【方法一】：I
= lim
1 + (ex
-1- x)
1 × ex -1- x ex -1- x x2
1
= e2.
x®0
其中：lim ex -1 - x = lim ex - 1 = 1 .
x®0
x2
x®0 2x 2
1
【方法二】：记 y = (ex - x) x2 ，则：
lim ln y = lim ln(ex - x) = lim ex -1 = lim
=
-
1 6
.
14、 若 lim1 x®0
1- x2 xa
= 1，求：a 的值. 2
【方法一】Βιβλιοθήκη Baidu由于lim1 x®0
1- x2 xa
1 x2
=
lim
x®0
2 xa
= 1 lim x2-a 2 x®0
= 1，则：a = 2. 2
【方法二】：I = lim
x2
= 1 lim x2-a = 1，则：a = 2.
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
-1+
1 u
= 1.
1
-
sin u u2
1
9、 求：lim(cos x)sin2 x . x®0
( ) I
= lim
1 + (cos x -1)
1 × cos x -1 cos x -1 sin2 x
-1
= e 2.
x®0
其中：lim cos x -1
-1 = lim 2
x2
=
-1.
x®0 sin2
=
lim
x®0
x
× (- 1 2
- x3
x2)
=
1. 2
7、
求：lim x®0
12 x3 [(
+
cos x )x 3
- 1].
I
=
ex
ln
æçè1+
cos x 3
-1
ö ÷ø
lim
-1
= lim
x ln(1 +
cos x -1) 3
=
lim cos x
-1
=
-1 lim 2
x2
=
- 1.
x®0
x3
x®0
x3
x®0 3x2
x®0 3x2
6
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
8、 求：lim
4x2 + x +1 + x +1 .
x ® -¥
x2 + sin x
x=-u
I = lim u ®+¥
4u2 - u + 1 - (u -1) = lim
u2 - sin u
u ®+¥
4- 1 u
+
1 u2
x®0
x2
x x ® 0
2
x x ® 0
2
22
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
13、
求：lim(
2
+
cos
x
)
1 x2
.
x®0
3
I
=
lim
x®0
æçè1
+
cos x 3
- 1 ö 3 × cos x-1 cos x-1 3x2 ÷ø
=
-1
e 6.
其中：lim x®0
cos x 3x2
1
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
( ) I
= lim
1 + (xsin x + cos x -1)
= e . 1
× x sin x+ cos x-1
x sin x +cos x -1
x2
1 2
x®0
其中：lim xsin x + cos x -1 = lim sin x + lim cos x -1 = 1 - 1 = 1 .
x®0
xa
=
0.
【注】：极限 lim ex 并不存在，因为 lim ex = +¥，lim ex = 0.
x®¥
x ® +¥
x ® -¥
1
1
1
同样，极限 lim 2x 也不存在；因为 lim 2x = +¥，lim 2x = 0.
x®0
x ® 0+
x ® 0-
对于一些复杂的数列极限，一般利用函数极限的“归结原理”化为函
2
常见函数的 Maclaurin 展开式：
· 常见函数的Maclaurin展开式:(最高展开到 x5)
(1) ex = 1 + x + x2 + x3 + o(x3)； 2! 3!
(2) sin x = x - x3 + x5 + o(x5)； 3! 5!
(3) cos x = 1 - x2 + x4 + o(x4 )； 2! 4!
u ®+¥
u®+¥ u2 - 2u - 5 + (u - 2)
= lim
2u -1
= 1.
u®+¥ u2 - 2u - 5 + (u - 2)
2、
求：lim( 1 x®0 x
-
1
ex
-
). 1
【方法一】：I
=
lim
x®0
ex -1- x x(ex -1)
=
lim
x®0
ex
-1x2
x
=
lim
x®0
ex -1 2x
lim ln(1 +
x)
- sin
x
=
1 -3lim 1 +
x
-
cos x
x®0
- 1 x2
x®0
2x
3
=
-3lim
-
(1
1 + x)2
+ sin
x
=
3.
x®0
2
2
【方法二】：I
=
[x lim
-
1 2
x2
+
o(x2 )] - [x
-
x3 6
+ o(x3)]
=
3.
x®0
- 1 x2
2
3
1
5、 求：lim(ex - x) x2 . x®0
x x ® 0
2
2
10、
求：lim( sin
x
)
1 x2
.
x®0 x
I
=
lim
x®0
æçè1
+
sin x x
x ö x ×sin x- x sin x - x x3 ÷ø
-1
= e 6.
其中：lim sin x - x = lim cos x -1 = - 1 .
x x ® 0
3
x®0 3x2
6
1
11、 求：lim(x sin x + cos x) x2 . x®0
【注】：计算 x ® -¥ 时的极限，一般宜通过变量代换x = -u 化为 u ® +¥的极限.
【例如】：lim [ x2 + 2x - 5 + (x + 2)]. x ® -¥
令x = -u，则：I = lim [ u2 - 2u - 5 - (u - 2)] = lim (u2 - 2u - 5) - (u - 2)2
x2
x®0 x
x x ® 0
2
22
1
12、 求：lim (sin2 x + cos x) x2 . x®0
( ) I
= lim
1 + (sin2 x + cos x -1)
1
×sin2 x +cos x -1
sin2 x +cos x -1
x2
1
= e2.
x®0
其中：lim sin2 x + cos x -1 = lim sin x2 + lim cos x -1 = 1 - 1 = 1 .
数极限进行计算. 函数极限的“归结原理”
设f
(x)
在
x0
的某领域内有定义，则：lim x® x0
f
(x)
=
AÛ
对任意满足
lim
n ® +¥
xn
=
x0 (xn
¹
x0
)
的数列
{xn}
均有，lim n ® +¥
f
(xn )
=
A.
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
1、 求：lim [ x2 + 2x + sin x - (x + 2)] x ® +¥
u ®+¥
1-
sin u u2
+1
=
-2.
-1 + ln u
u
其中：lim
ln
u
L¢Hosptial
=
法则
lim
1
= 0.
u u ® +¥
u u ®+¥
4、 求：lim ln(1 + x) - sin x . x®0 3 1- x2 -1
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答
【方法一】：I
=