初中数学：圆的基本性质章末总结提升练习

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九年级数学期末复习上第三章圆的基本性质试卷(浙教版含解析)

期末复习：浙教版九年级数学学上册第三章圆的基本性质一、单选题（共10题；共30分）1.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC等于（）A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°3.如图，AB是圆0的直径，弦CD AB于点E，则下列结论正确的是( )A. OE=BEB.C. △BOC是等边三角形D. 四边形ODBC是菱形4.如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）A. B. 2 C. 2 D. 36.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（）A. 28°B. 56°C. 60°D. 62°7.圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）A.90°B.120°C.150°D.180°8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°9.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥EF,垂点为G，∠EOD=40°，则∠DCF （）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°10.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°二、填空题（共10题；共30分）11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=________．12.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC=50°，则∠ABC= ________．13.如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M，N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是________．14.平面直角坐标系中，以点P（0，1）为中心，把点A（5，1）逆时针旋转90°，得到点B，则点B 的坐标为________．15.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是________°16.如图，点，，，在上，∠，∠，是中点，则∠的度数为________．17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．18.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为________．19.如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2，PC=4，则三角形ABC的边长为________20.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为________三、解答题（共8题；共60分）21.（2017•宁波）在的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．22.如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB ，垂足为点E，如果BE=OE ，AB=12，求△ACD 的周长23.已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B=∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．24.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．25.如图，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE．求证：BD=CE．26.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为弧ADB的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．27.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．28.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G，且EG⊥AB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若EF=2FG，AB= ，求图中阴影部分的面积；（3）若EG=9，BG=12，求BD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选A．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．2.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案。

专题3.10圆的基本性质章末题型过关卷(浙教版)(原卷版)

第3章圆的基本性质章末题型过关卷【浙教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（﹣1，1）D．（1，0）2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2B．√2C．√3D．33．（2022秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝6cm ，则球的半径为（）A ．3cmB ．134cmC ．154cmD ．174cm 4．（2022•武汉模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的弦，C 为优弧ABE 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AE ＝8，DB ＝2，则⊙O 的半径为（）A ．6B ．5C ．4√2D ．4√35．（2022•中山市三模）如图，AB 是⊙O 的直径，若AC ＝2，∠D ＝60°，则BC 长等于（）A ．4B ．5C ．√3D ．2√36．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC 的顶点A 在⊙O 上，边AB 、AC 与⊙O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DÊ上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则∠DFE 的度数为（）A ．115°B ．118°C ．120°D ．125°7．（2022•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④8．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD ⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）A．5B．2.5C．3D．29．（2022•江汉区模拟）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（）A．5B．2√2C．52D．√85410．（2022春•龙华区校级月考）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB̂上的一动点（不与A，B重合），点F是BĈ上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+√2．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022•平房区二模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．12．（2022•任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为．13．（2022•曹县三模）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．14．如图四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB＝6，∠ADC＝140°，则劣弧BD的长为．15．如图，已知扇形ACB中，∠ACB＝90°，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为8，则图中阴影部分的面积是．16．（2022•越秀区校级二模）如图，⊙O的半径为2√3，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．18．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD̂的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．19．（2022春•平南县期末）如图，两条原点重合，且互相垂直的数轴构成的平面叫做平面直角坐标系，其中横向的数轴叫做x轴，纵向的数轴叫做y轴，两数轴的交点叫做原点．现有△ABC位于一平面直角坐标系中．（1）请画出将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．̂=AÊ，BE分20．（2022•天心区二模）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB 别交AD、AC于点F、G．（1）证明：F A＝FG；（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．21．（2022•肥东县二模）如图，⊙O的直径CD分别与弦AB，AF交于点E，H，连接CF，AD，AO．已知CF＝CH，FB＝BD．（1）求证：AB⊥CD；（2）若AE＝4，OH＝1，求AO的长．22．（2022秋•梁平区期末）根据垂直定理解答下列问题：（1）如图①，在弓形ABC中，弓形高CD＝2米，弦AB＝12米，求弓形所在的圆的半径．（2）如图②中，作直径AC、BD，使得AC⊥BD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是；（3）在途②中，作直径A′C′⊥AB于点E，交CD于点F，作直径B′D′⊥BC于点G，交AD于H，求证：八边形AA′BB′CC′DD′是正八边形；（4）在图②中，直径A′C′将弓形AA′B分成面积相等的两部分，请你将图③中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由．23．（2022•社旗县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Biruni（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al ﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M̂的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．是ABC这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．̂的中点，∵M是ABC∴MA＝MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；̂上一点，∠ABD＝15°，CE⊥BD于点E，CE＝（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC2，连接AD，则△DAB的周长是．。

九年级数学下册第27章圆本章总结提升同步练习 (新版)华东师大版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题圆本章总结提升问题1 与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例1 有下列说法：①圆中最长的弦不一定是直径；②同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；③等弧的长度一定相等；④经过圆内一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径．其中正确的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个问题2 垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例2 如图27－T－1，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．图27－T －1【归纳总结】应用垂径定理时应注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．问题2 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例3 已知：如图27－T －2，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，连结AC ，OC ，CD ，BD .(1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝4，DE ＝1，求⊙O 的半径．图27－T －2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想．问题4 圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例4 如图27－T －3，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P .求证： (1)D 是BC 的中点； (2)△BEC ∽△ADC ； (3)AC ·CE ＝2PD ·AD .图27－T －3【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等．问题5 圆内接四边形什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例5 如图27－T －4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC .若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图27－T －4A ．45°B ．50°C ．55°D ．60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”．问题6 直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例6 如图27－T －5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，连结AD .求证：(1)∠1＝∠BAD ； (2)BE 是⊙O 的切线．图27－T －5【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理．问题7 求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例7 如图27－T－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )图27－T－6A．25π－6 B.25π2－6 C.25π6－6 D.25π8－6【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解．问题8 圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例8 如图27－T－7，一扇形纸片的圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为2 3 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( )图27－T－7A.23cm B.23π cmC.32cm D.32π cm问题9 正多边形与圆正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例9 (1)已知：如图27－T －8①，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PB ＋PC ；(2)如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PC ＋2PB ； (3)如图③，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，P 为BC ︵上一动点，请探究PA ，PB ，PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．图27－T －8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形； (2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形.教师详解详析【整合提升】例1 [解析] C 只有②③④正确．例2 [解析] (1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可以得到这两个三角形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可．(2)根据垂径定理，可以证明E 为AB 的中点，设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －2，根据勾股定理可得一个关于r 的方程，解方程即可．解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠A ＝∠D ，∠C ＝∠ABD ， ∴△AEC ∽△DEB.(2)∵CD ⊥AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴BE ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径为r.∵DE ＝2， ∴OE ＝r －2.在Rt △OEB 中，由勾股定理，得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(r －2)2＋42＝r 2，解得r ＝5，即⊙O 的半径为5. 例3 [解析] (1) 此题是结论开放性问题．由于AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°(直径所对的圆周角是直角)．进一步可得AC 2＋BC 2＝AB 2，或∠A ＋∠ABC ＝90°；因为 OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，所以CE ＝BE ，CD ＝BD ，CD ︵＝BD ︵(垂径定理)，OE 2＋BE 2＝OB 2.进一步可得到：∠COD ＝∠BOD ，∠A ＝12∠COB ＝∠COD ＝∠BOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到AC ∥OD ，△BOD 是等腰三角形等． (2)在Rt △OBE 中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径．解：(1) 答案不唯一，如：BE ＝CE ，∠BED ＝90°，∠BOD ＝∠A ，AC ∥OD ，AC ⊥BC ，OE 2＋BE2＝OB 2，△BOD 是等腰三角形等．(2)设⊙O 的半径为r ，则OB ＝r, OE ＝r －1. ∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE ＝12BC ＝2.∵在Rt △OBE 中，OE 2＋BE 2＝OB 2,∴(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝52.故⊙O 的半径为52.例4 [解析] (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由AC ·CE 联想到△BEC ∽△ADC.再由PD ·AD 联想到证明△BPD ∽△ABD ，综合可得AC ·CE ＝2PD ·AD.证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．(2)在△BEC 与△ADC 中， ∵∠C ＝∠C ，∠CBE ＝∠CAD ， ∴△BEC ∽△ADC.(3)∵△BEC ∽△ADC ，∴BC AC ＝CECD .∵D 是BC 的中点，∴2BD ＝2CD ＝BC ， ∴2BD AC ＝CE BD，则2BD 2＝AC ·CE.① ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD. 又∵∠CAD ＝∠CBE ， ∴∠CBE ＝∠BAD.又∵∠BDP ＝∠ADB ，∴△BPD ∽△ABD ， ∴BD AD ＝PD BD，则BD 2＝PD ·AD.② 由①②得AC ·CE ＝2BD 2＝2PD ·AD ， ∴AC ·CE ＝2PD ·AD. 例5 [解析] B 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B . 例6 证明：(1)∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD.又∵∠1＝∠BDA ，∴∠1＝∠BAD. (2)如图，连结BO ，∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°.∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠1＋∠BCD ＝180°. ∵OB ＝OC ， ∴∠1＝∠CBO ，∴∠CBO ＋∠BCD ＝180°，∴OB ∥DC. ∵BE ⊥DC ，∴BE ⊥OB.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线．例7 [解析] D 由菱形的性质，在Rt △ABO 中，易得AB ＝5，于是以AB 为直径的半圆的面积为12·π·(52)2＝258π，阴影部分的面积为以AB 为直径的半圆的面积减去Rt △ABO 的面积，即25π8－6. [点评] 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积．例8 [解析] A 由∠AOB 为120°，弦AB 的长为2 3 cm ，可以求出OA ＝OB ＝2 cm ，所以扇形的弧长为120180×2π，它等于圆锥的底面周长，即2πr ＝120180×2π，解得r ＝23(cm )．例9解：(1)证明：如图①，延长BP 至点E ，使PE ＝PC ，连结CE.∵∠1＝∠2＝60°， ∠3＝∠4＝60°， ∴∠CPE ＝60°，∴△PCE 是等边三角形， ∴CE ＝PC ，∠E ＝∠3＝60°. 又∵∠EBC ＝∠PAC ， ∴△BEC ≌△APC ，∴PA ＝EB ＝PB ＋PE ＝PB ＋PC.(2)证明：如图②，过点B 作BE ⊥PB 交PA 于点E.∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3.又易知∠APB ＝45°， ∴PB ＝EB ，∴PE ＝2PB.又∵AB ＝CB ，∴△ABE ≌△CBP ，∴PC ＝EA ， ∴PA ＝EA ＋PE ＝PC ＋2PB. (3)PA ＝PC ＋3PB.证明：如图③，在AP 上截取AQ ＝PC ，连结BQ.又∵∠BAP＝∠BCP，AB＝CB，∴△ABQ≌△CBP，∴QB＝PB.又易知∠APB＝30°，∴PQ＝3PB，∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋3PB.。

浙教版九年级上《第三章圆的基本性质》期末复习试卷(含解析)

期末复习：浙教版九年级数学学上册第三章圆的基本性质一、单选题（共10题；共30分）1.已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC等于（）A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°3.如图，AB是圆0的直径，弦CD AB于点E，则下列结论正确的是( )A. OE=BEB.C. △BOC是等边三角形D. 四边形ODBC是菱形4.如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）A. B. 2 C. 2 D. 36.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（）A. 28°B. 56°C. 60°D. 62°7.圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）A.90°B.120°C.150°D.180°8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°9.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥EF,垂点为G，∠EOD=40°，则∠DCF （）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°10.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°二、填空题（共10题；共30分）11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=________．12.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC=50°，则∠ABC= ________．13.如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M，N分别是AB、BC 的中点，则MN长的最大值是________．14.平面直角坐标系中，以点P（0，1）为中心，把点A（5，1）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为________．15.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是________°16.如图，点，，，在上，，，是中点，则的度数为________．17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=________．18.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为________．19.如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2 ，PC=4，则三角形ABC的边长为________20.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为________三、解答题（共8题；共60分）21.（2017•宁波）在的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．22.如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB ，垂足为点E，如果BE=OE ，AB=12，求△ACD的周长23.已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B=∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．24.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．25.如图，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD、CE．求证：BD=CE．26.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为弧ADB的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．27.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．28.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G，且EG⊥AB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若EF=2FG，AB= ，求图中阴影部分的面积；（3）若EG=9，BG=12，求BD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选A．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．2.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案。

人教版圆的基本性质提高训练题(含答案)

人教版第二十四章 24.1圆的有关性质提高训练题（含答案）1、如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．解析：由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，∴AB==4；②当∠A'FE=90°时，如图2，∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；2、如图所示，M N为⊙O的直径，A是半圆上靠近N点的三等分点，B是的中点，P是直径M N上的一动点，圆O的半径为1，观察图形并思考，P A＋P B有最小值吗？若有，求出最小值是多少．解析：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故答案为：．3、已知圆O的直径CD=10cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，求AC的长4、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．5、如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．7、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.8、如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60．9、如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点（点F不与B、C重合），A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=12∠AOB=12×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-12α. 证明：由（1）知∠BOM ＝90°-α.又∠C ＝β＝12∠AOB, ∴β＝12（90°-α）＝45°-12α.10、如图，O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示：则DF CF =，132AG BG AB ===， 2EG AG AE ∴=-=，在Rt BOG ∆中，2OG ==，EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==，75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==故选：C ．11、如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质12、如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ， ∴． ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°．故选：D ．【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理13、半径为5的 O 是锐角三角形ABC 的外接圆,AB ＝AC,连接OB,OC,延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形,则弦BC 的长为______.【答案】【解析】∵△OBD 为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD ＝90°时,∠BOC ＝90°,在Rt △BOC 中,BO ＝OC ＝5,∴BC ＝当∠ODB ＝90°时,∵OB ＝OC,设∠OBC ＝∠OCB ＝x,∴∠BOD ＝2x,∠BOC ＝180°－2x,∴∠ABO ＝90°－2x,∠ABC ＝∠ACB ＝90°－x,∴∠A ＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x ＝2×2x,∴x ＝30°,∴∠BOC ＝120°,∵OB ＝OC ＝5,∴BC ＝综上所述,BC 的长度为14、如图，AC 是⊙O 的弦，AC =5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC =45°，若点M 、N 分别是 A C 、BC 的中点，则 M N 的最大值是____________．【答案】2【解析】∵MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ．当AB 为⊙O 的直径时，AB 有最大值，则MN 有最大值．当AB 为直径时，∠ACB=90°，∵∠ABC =45°，AC =5，∴AB=MN=2．【知识点】中位线定理；圆周角定理及其推论15、如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．【思路分析】（1）利用基本作图作AD 平分BAC ∠，然后连接OD 得到点E ；（2）由AD 平分BAC ∠得到12BAD BAC ∠=∠，由圆周角定理得到12BAD BOD ∠=∠，则BOD BAC ∠=∠，再证明OE 为ABC ∆的中位线，从而得到//OE AC ，12OE AC =．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）//OE AC ，12OE AC =．理由如下：AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 12BAD BOD ∠=∠， BOD BAC ∴∠=∠，//OE AC ∴，OA OB =，OE ∴为ABC ∆的中位线，//OE AC ∴，12OE AC =．【知识点】作图-基本作图；圆周角定理16、在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．（1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CB A【思路分析】【解题过程】（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠ AD ＝CD∴AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1.。

沪科版九年级数学下册24章：圆知识点梳理及练习

圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图例题2图例题3图例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图第2题图第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】5=R60%1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15 B. 30C. 45 D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式：、．4. 圆锥的侧面展开图是；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为：；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是：；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是：；圆柱的表面积的计算方法是：【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．D O A FE 例题2图 C B A OF D E【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A ．38 cm B ．316cm C ．3cm D ．34cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是㎝2. 4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（） A ．156 B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （） A ．是正方形 B ．是长方形 C ．是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（）A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm ．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的AO B 120o 120°OAB第1题图第2题图第3题图第4题图值等于（） A ．OD B ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（） A．3B．3C ．4D．35.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（）A．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（）A ．5B ．7C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第3题图第9题图第7题图第6题图第5题图第4题图。

初三数学下《圆》全章复习与巩固—知识讲解(提高)+巩固练习

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；2.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：在平面内，一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.如下图，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；(3)旋转中心是唯一不动的点；''').(4)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转对称图形:在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度θ（0°＜θ＜360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形.4.特殊的旋转—中心对称(1)中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形,而中心对称指的是两个图形的关系；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点二、圆的基本性质1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点三、圆周角1.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点四、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.2．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.3.切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点五、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角都等于它的内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点六、正多边形与圆1.正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形的作图：通过等分圆周的方法能作出正多边形.要点诠释：等分圆周的方法：用量角器等分圆周；用尺规等分圆周.3.正多边形的性质：把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于360n.要点七、弧长与扇形面积圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =． ∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3()33333324AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E 长即可.类型四、圆中有关的计算4．（ •丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF S△OFD??S△AOD??×??×??????，．类型五、圆与旋转综合运用5．如图，△ABC是等边三角形，D是弧BC上任一点，求证：DB+DC=DA.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.(3)利用AB=AC可以将△ACD绕点A逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【答案】证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．∴BC=AE， BD=DE，∠DAE=∠DCB,∴△BDE为等边三角形．∴BE=BD．∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．∴∠BAE=90°．∵在Rt△BAE中，，∴．6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2.已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（）.A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）.A．55° B．70° C．90° D．110°5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ).A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题9.如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.11.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= ．12．（•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18．（•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2.【答案】D；3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4.【答案】D；【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=110°，∴∠ADE=110°．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).6．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8．【答案】C；【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC＝12∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题9.【答案】24；10．【答案】99°；【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.11.【答案】83；【解析】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，∴OP⊥AB，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ为等边三角形，∴∠POQ=60°，∴∠APQ=30°，∴设PQ=OQ=AP=OC=r ，3r=AC=ABsin 30︒=233=4，∴CQ=83，∴CQ 的最小值为83．12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a ； 2(222)a ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =，即正八边形的边长为(21)a ．22222421)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α，则12(2)180n n ααα+++=-…°，∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】4；【解析】解：过点O 作OC ⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =AB •CD+AB •CE=AB （CD+CE ）=AB •DE=×2×4=4．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BC∴BF FC∴AF平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3∠FDB=∠FBD∴BF=FD.18．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=2，∴OE=OC•tan∠OCE=2•tan30°=2×=2，∴S△OEC=OE•OC=×2×2=2，∴S扇形OBC==3π，∴S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OEC =3π﹣2．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ．如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ．如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第3章圆的基本性质测试卷2(解析版)

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第3章圆的基本性质测试卷2（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC⌢沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数（）A．35°B．40°C．45°D．65°【答案】B【解析】如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°，根据翻折的性质,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB−∠A=65°−25°=40°.故选B.2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．√21−6√3B．3C．√13D．√10【答案】B【解析】连接CM，OM，∵点M为线段QP的中点，∴CM⊥AP，∴△AMC 是直角三角形， ∵点A （-2，0），点C （2，0）， ∴点O 是AC 的中点， ∴OM=OA=OC=2，∴点M 在以O 为圆心，2为半径的圆上， ∵两点之间线段最短，∴当点O ，M ，N 共线时，线段MN 的长最小， ∵点N （4，3），∴ON =√32+42=5， ∴MN=ON-OM=5-2=3. 故答案为：B.3．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是（）A ．4√3B ．8√3C ．4√33D ．8√33【答案】D【解析】过C 作CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°， ∵点C 为弧BD 的中点， ∴BC⌢=CD ⌢， ∴∠BAC=∠DAC ，BC=CD ， ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ， ∴CE=CF ，∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠D=∠CBE ，在△CBE 和△CDF 中{∠CBE ＝∠D ∠E ＝∠CFD CE ＝CF∴△CBE ≌△CDF(AAS)， ∴BE=DF ，在△AEC 和△AFC 中{∠E ＝∠AFC∠EAC ＝∠FAC AC ＝AC∴△AEC ≌△AFC(AAS)，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC=AEcos30°=8√3 3，故答案为：D.4．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【答案】C【解析】如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD，∴四边形ABDC是矩形，∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，∴OE⊥CD，OE⊥AB，∴PA=PB，PE=AC，∵AB=CD=16cm，∴PA=8cm，∵AC=BD=PE=4cm，在Rt△OAP，由勾股定理得，PA2+OP2=OA282+(OA−4)2=OA2解得，OA=10，则这种铁球的直径＝2OA=2×10=20cm.故答案为：C.5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，⊙O的半径为32，AC=√5，则sinB的值是（）A ．√52B ．√53C ．32D ．23【答案】B【解析】连接CD ，如图：∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD=90°．∵AD=2r=2×32=3，AC=2，∴sinD=AC AD =√53．∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠B=∠D ．∴sinB=sinD=√53．故答案为：B ．6．如图，已知AB 为⊙O 直径，弦AC ，BD 相交于点E ，M 在AE 上，连结DM.AB ＝1，∠DMC ＝∠B ，则cos ∠AED 的值始终等于线段长（）A ．DMB ．EMC ．AMD ．CM【答案】A【解析】如图，连接CD 、CB ，∵∠CDB =∠A ，∠DCE =∠DBA ， ∴△CDE ∽△BAE ， ∴CD AB =CE BE ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°，∴cos∠AED=cos∠BEC=CEBE=CD AB，∵∠DMC=∠DBA，∠DBA=∠DCA，∴∠DMC=∠DCM，∴DM=DC，而AB=1，∴cos∠AED=DMAB=DM.故答案为：A.7．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（）A．25B．50C．100D．150【答案】C【解析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD=c，则CN=CD=a，DE=EF=b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD=90°，∠FED=90°，∵半圆O的半径为10，∴ON=OF=10，由勾股定理得：NC2+CO2=ON2，OE2+EF2=OF2，∴a2+（a+c）2=102①，b2+（b-c）2=102②，①-②，得a2+（a+c）2-b2-（b-c）2=0，（a2-b2）+[（a+c）2-（b-c）2）]=0，（a+b）（a-b）+（a+c+b-c）（a+c-b+c）=0，（a+b）（a-b）+（a+b）（a-b+2c）=0，（a+b）（a-b+a-b+2c）=0，2（a+b）（a-b+c）=0，∵a+b≠0，∴a-b+c=0，即b=a+c，把b=a+c代入①，得a2+b2=102=100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，故答案为：C．8．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF=4EF=4，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG=（）A ．2B ．√5C ．√6D ．√7【答案】B【解析】连接FG 、FC ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BAD =90°， ∵AF ⊥DE ，∴AF 2=EF ⋅DF =4， ∴AF =2，∴AD =√AF 2+DF 2=2√5， ∵四边形FCDG 是圆内接四边形， ∴∠FCD =∠FGA ， ∵AB//CD ，∴∠FDC =∠AEF ， ∵∠BAD =90°，AF ⊥DE ， ∴∠FAG =∠AEF ， ∴∠FDC =∠FAG ， ∴△FAG ∽△FDC ，∴AG CD =AFDF ，即2√5=24，解得：AG =√5，∴DG =AD −AG =√5，故答案为：B ．9．如图，正方形ABCD 的边长AB ＝8，E 为平面内一动点，且AE ＝4，F 为CD 上一点，CF ＝2，连接EF ，ED ，则2EF+ED 的最小值为（）A ．12√3B ．12√2C ．12D ．10【答案】B【解析】如图，当点E 运动到点E′时，在AD边上取AH＝2，∵AE′＝AE＝4，∴AE′：AH＝2：1，∵AD＝8，∴AD：AE′＝8：4＝2：1，∴AD：AE′＝AE′：AH，∵∠DAE′＝∠E′AH，∴△DAE′∽△E′AH，∴DE′：E′H＝2：1，即DE′＝2E′H，∵2EF+ED＝2EF+E′D＝2EF+2E′H＝2HF，∴2EF+ED的最小值即为2HF的值，∵DH＝AD﹣AH＝6，DF＝DC﹣CF＝6，在Rt△DHF中，根据勾股定理，得HF＝√DH2+DF2＝6√2，∴2HF＝12√2．故答案为：B.10．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B恰好落在边AF的中点上，延长B′C′交EF于点M，则C′M的长为（）A．1B．65C．56D．95【答案】A【解析】如图，过点H作FA延长的垂线HQ，∵∠BAF=120°，∴∠HAQ=60°，∠HQA=90°，∴∠AHQ=30°，设AH=x，∴AQ=12x，QH=√32x，∴BH=B′H=AB−AH=6−x，∵AB′=12AB=3，∴B′Q=B′A+AQ=3+12x，在Rt△B′HQ中，根据勾股定理，得B′H2=B′Q2+QH2，∴(6−x)2=(3+12x)2+34x2，解得x=9 5，∴B′H=6−x=216，∵∠HAB′=∠F=∠HB′M=120°，∴∠AHB′+∠AB′H=60°，∠FB′M+∠AB′H=60°，∴∠AHB′=∠FB′M，∴△AB′H∽ΔFMB′，∴B′H B′M =AH B′F，∴216B′M=953，解得B′M=7，∴C′M=B′M−B′C′=7−6=1.故答案为：A.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为.【答案】4【解析】设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4.故答案为：4.12．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=10，AH=8，⊙O的半径为7，则AB=．【答案】565【解析】作直径AD ，连接BD ，∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°，又AH ⊥BC ，∴∠ABD ＝∠AHC ，由圆周角定理得，∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AHC ，∴AB AH =AD AC ，即AB 8=1410，解得，AB ＝565，故答案为：565．13．如图，在平面直角坐标系中，点A （－1，0），点B （1，0），点M （3，4），以M 为圆心，2为半径作⊙M.若点P 是⊙M 上一个动点，则PA 2＋PB 2的最大值为【答案】100【解析】设P （x ，y ），∵PA 2＝（x ＋1）2＋y 2，PB 2＝（x−1）2＋y 2， ∴PA 2＋PB 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2（x 2＋y 2）＋2， ∵OP 2＝x 2＋y 2，∴PA 2＋PB 2＝2OP 2＋2，当点P 处于OM 与圆的交点P'处时，OP 取得最大值，如图，∴OP 的最大值为OP'＝OM ＋P ′M ＝√42+32＋2＝7，∴PA 2＋PB 2最大值为2×72＋2＝100. 故答案为：100.14．如图，ABCD 为圆O 的内接四边形，且AC ⊥BD ，若AB=10，CD=8，则圆O 的面积为 .【答案】41π【解析】如图，连接 AO ，并延长交圆 O 于点 E ，连接 EB ， EC .则 AB ⊥BE ， AC ⊥CE .∵AC ⊥BD ，∴BD // EC ，∴CD⌢=BE ⌢∴BE=CD ， ∵CD =8∴EB =CD =8 .在Rt △ ABE 中，AB=10， EB =8所以，由勾股定理得， AE =√AB 2+BE 2=√102+82=2√41∴OA =12AE =√41 .所以圆 O 的面积为 π×OA 2=41π . 故答案为：41π.15．如图，AB 是⊙O 的直径，点M 是⊙O 内的一定点，PQ 是⊙O 内过点M 的一条弦，连接AM ，AP ，AQ ，若⊙O 的半径为4，AM =√5，则AP ⋅AQ 的最大值为．【答案】8√5【解析】如图，连接BP ，过点A 作AH ⊥PQ 交于点H ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠APB =90°，∴∠APB =∠AHQ =90°， ∵∠B =∠Q ，∴△APB ∽△AHQ ，∴APAH=ABAQ，∴AP⋅AQ=AB⋅AH，∵⊙O的半径为4，∴AB=8，∴AP⋅AQ=8AH，∴当点H与点M重合时，AP⋅AQ有最大值，即当AH=AM=√5时，AP⋅AQ有最大值，其最大值为8√5，故答案为：8√5．16．如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是．【答案】2√2a【解析】如图，连接AB，设AD、BC交于点E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵tan∠CBD＝13，∴DE DB=1 3，在Rt△DEB中，BE=√DE2+DB2=√10DE，∵CD⌢=CD⌢，∴∠CBD=∠ACD，∴tan∠CAD=13，∴CE AC=13设AC=m则CE=13m，∵AC＝BC，∴EB=23m，∴DE=√1010BE=2√1030m，Rt △ACE 中，AE =√AC 2+CE 2=√m 2+(13m)2=√103m ，∴AD =AE +ED =2√1030m +√103m =25√10m ，∵DB⌢=DB ⌢， ∴∠ECD =∠EAB ，又∠CED =∠AEB ， ∴△CED ∽△AEB ，∴CD AB =CE AE =13m √10m 3=1√10， ∵CD =a ，∴AB =√10a ， ∵AC =BC =m ， ∴AB =√2m ， ∴√2m =√10a ，解得m =√5a ，∴AD =25√10m =25√10×√5a =2√2a ，故答案为：2√2a ．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交CE 于点F ，（1）求证：CF ＝BF ；（2）若CD ＝12，AC ＝16，求⊙O 的半径和CE 的长。

浙教版九上数学第三章圆的基本性质期末复习卷一

第三章圆的基本性质期末复习卷一一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，⊙ABC=20°，则⊙AOC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．如图，AB是⊙O的直径，若AC=4，⊙D=60°，则BC长等于（）A．8B．10C．2√3D．4√33．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．⊙OAB＝38°，则⊙E的度数为（）A．52°B．38°C．30°D．26°4．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC⌢上的点，若⊙BOC=40°，则⊙D 的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙CAD＝40°，则⊙B+⊙E的度数是（）A．200°B．215°C．230°D．220°（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）6．如图所示，在⊙O中，∠BAC=25°，∠CED=30°，则∠BOD的度数是（）A．55°B．110°C．125°D．150°7．如图，AD为⊙O的直径，AD=8，∠DAC=∠ABC，则AC的长度为（）A．4√2B．2√2C．4D．3√38．如图，将含有60°锐角的三角板ΔABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到ΔECD，若AB、CE相交于点F，AE=AF，则旋转角是（）A．45°B．40°C．35°D．30°9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，AC⌢，BC⌢的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长为（）A．9√2B．907C．13D．1610．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为BC⌢上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊙BD，则AD＝√2R；③若AC⊙BD，CF⌢＝CD⌢，AB＝√2，则BF+CE＝1.其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）（第10题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．在半径为15的圆中，120°的圆心角所对的弧长是.12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为cm2．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，⊙B的度数是．14．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为15．如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧AB⌢沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB= 2√10，则圆O的半径为．16．如图，等边⊙ABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，交BA的延长线于D，再以B为圆心，BD为半径画弧，交CB的延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧，交AC的延长线于F，则由弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形（CDEFC）的周长为．（第12题）（第13题）（第14题）（第15题）（第16题）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC⊙BD，交AD于点E，连结BC.（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，⊙ABC＝30°，求图中阴影部分的面积.18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊙AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：⊙1=⊙2；（2）若BE=2，CD=6，求⊙O的半径的长．19．如图，已知Rt⊙ABC中，⊙BAC＝90°，BC＝6，AC＝4√2，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求⊙DAC的余弦值．20．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊙BC，OD⊙AB，OE⊙BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.（1）求证：四边形DBEO是正方形；（2）若AB＝2，求⊙O的半径.21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，BC⊥AC且OD//BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F.⌢的中点；（1）求证：点D为AC（2）若DF=7，AC=24，求⊙O的直径.22．如图，在△ABC中，AB=AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O上任意一点，连接AD交BC 于点F ，过A 作 EA ⊥AD 交DB 的延长线于E ，连接CD.（1）求证： BE =CD（2）填空：①当 ∠EAB = ° 时，四边形ABDC 是正方形②若四边形ABDC 的面积为6，则AD 的长为 .23．已知：⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，且AD ⊥BC ．（1）如图1，求证：∠B =∠C ；（2）如图2，点E 在AC ⌢上，连接AE ，CE ，∠ACE =13∠ACB ，求证：∠CAE =2∠ACE ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A 作AF ⊥CE 交CE 的延长线于点F ，若AE =5，AB =13，求AF 的长．24．如图，⊙BCE 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，弦BD 交CE 于点F ，⊙CBD=⊙ABE.（1）如图1，求证：BD⊙CE ；（2）如图2，在BF 上取一点H ，使FH=FD ，连接EH 并延长交BC 于点N 、交AB 于点G ，若⊙BEN=30°，求证：BH=12AB ；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OH 交BC 于点R 、交BE 于点S ，若tan⊙ABE=√35，AB=4√7，求SE 的长.答案与解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，⊙ABC=20°，则⊙AOC 的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D【解析】∵⊙ABC=20°，∴⊙AOC= 2⊙ABC = 40°；故答案为：D ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，若AC=4，⊙D=60°，则BC 长等于（）A ．8B ．10C ．2√3D ．4√3【答案】D【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°，∵⊙A=⊙D=60°，∴⊙ABC=90°-⊙A=30°，∵AC=4，∴AB=2AC=8．∴BC=√AB2−AC2=√82−42=4√3．故答案为：D．3．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．⊙OAB＝38°，则⊙E的度数为（）A．52°B．38°C．30°D．26°【答案】D【解析】∵AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，∴AD⌢=BD⌢，∠ACO=90°，∵⊙OAB＝38°，∴∠AOC=90°−∠OAB=52°，∴∠E=12∠AOC=26°．故答案为：D．4．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC⌢上的点，若⊙BOC=40°，则⊙D 的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解析】∵⊙BOC=40°,⊙AOB=180°,∴⊙BOC+⊙AOB=220°,∴⊙D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,故答案为：B.5．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙CAD＝40°，则⊙B+⊙E的度数是（）A．200°B．215°C．230°D．220°【答案】D【解析】如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴⊙B+⊙AEC=180°，∵⊙CED=⊙CAD=40°，∴⊙B+⊙AED=180°+40°=220°．故答案为：D．6．如图所示，在⊙O中，∠BAC=25°，∠CED=30°，则∠BOD的度数是（）A．55°B．110°C．125°D．150°【答案】B【解析】如图，连接OC，已知∠BAC=25°，∠CED=30°，由圆周角定理可得⊙BOC=50°，⊙DOC=60°，所以⊙BOD=⊙BOC+⊙DOC=50°+60°=110°．故答案为：D．7．如图，AD为⊙O的直径，AD=8，∠DAC=∠ABC，则AC的长度为（）A．4√2B．2√2C．4D．3√3【答案】A【解析】连接CD∵∠DAC=∠ABC∴AC=DC又∵AD为⊙O的直径∴⊙ACD=90°∴AC2+DC2=AD2∴2AC 2=AD 2∴AC =√22AD =√22×8=4√2 故答案为：A ．8．如图，将含有 60° 锐角的三角板 ΔABC 绕 60° 的锐角顶点 C 逆时针旋转一个角度到 ΔECD ，若 AB 、 CE 相交于点 F ， AE =AF ，则旋转角是（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°【答案】B【解析】由旋转的性质得出AC=EC ，⊙ECA 为旋转角，∴⊙AEC=⊙EAC= 12(180∘−∠ECA) ， ∵AE=AF ，∴⊙AEC=⊙EFA=⊙EAC= 12(180∘−∠ECA) ， ∵⊙EFA=⊙ECA+⊙BAC=⊙ECA+ 30° ，∴12(180∘−∠ECA)=∠ECA +30∘ ∴⊙ECA= 40°故答案为：B9．如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连接AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ．DE ，FG ，AC⌢，BC ⌢的中点分别是M ，N ，P ，Q ．若MP+NQ ＝14，AC+BC ＝18，则AB 的长为（）A ．9√2B ．907C ．13D ．16【答案】C【解析】连接OP ，OQ ，∵DE ，FG ， AC⌢ ， BC ⌢ 的中点分别是M ，N ，P ，Q ， ∴OP⊙AC ，OQ⊙BC ，∴H 、I 是AC 、BC 的中点，∴OH+OI ＝ 12 （AC+BC ）＝9， ∵MH+NI ＝AC+BC ＝18，MP+NQ ＝14，∴PH+QI ＝18﹣14＝4，∴AB ＝OP+OQ ＝OH+OI+PH+QI ＝9+4＝13，故答案为：C ．10．如图所示，半径为R 的⊙O 的弦AC ＝BD ，AC ，BD 交于点E ，F 为 BC ⌢ 上一点，连结AF ，BF ，AB ，AD ，有下列结论：①AE ＝BE ；②若AC⊙BD ，则AD ＝ √2 R ；③若AC⊙BD ， CF ⌢ ＝ CD ⌢ ，AB ＝ √2 ，则BF+CE ＝1.其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】∵AC ＝BD ，∴AC ⌢＝ BD ⌢，即 AD ⌢ + CD ⌢ ＝ BC ⌢ + CD ⌢ ，∴AD ⌢ ＝ BC ⌢ ，∴⊙ABD ＝⊙BAC ，∴AE ＝BE ，所以①正确；连接OA 、OD ，如图，∵AC⊙BD ，∴⊙AEB ＝90°，∴⊙ABE 为等腰直角三角形，∴⊙ABE ＝45°，∴⊙AOD ＝2⊙ABD ＝90°，∴⊙AOD 为等腰直角三角形，∴AD ＝ √2 OA ＝ √2 R ，所以②正确；AF 与BD 相交于G 点，如图，∵⊙ABE 为等腰直角三角形，∴BE ＝ √22 AB ＝ √22 × √2 ＝1，∵CF ⌢ ＝ CD ⌢ ， ∴⊙FAC ＝⊙DAC ，∵AC⊙DG ，∴GE ＝DE ，即AE 垂直平分DG ，∴AG ＝AD ，∴⊙AGD ＝⊙ADG ，∵⊙BGF ＝⊙AGD ，⊙AFB ＝⊙ADB ，∴⊙BGF ＝⊙BFG ，∴BF ＝BG ，在⊙BCF 和⊙AGE 中，{∠CBE =∠GAE ∠EBC =∠GAE BE =AE ，∴⊙BCF⊙⊙AGE （AAS ），∴CE ＝GE ，∴BF+CE ＝BG+GE ＝BE ＝1，所以③正确.故答案为：D.二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在半径为15的圆中，120°的圆心角所对的弧长是 .【答案】10π 【解析】根据弧长的公式l=nπr 180，得到：l=120·π×15180=10π．故答案为10π．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2cm ，以直角顶点B 为圆心，AB 长为半径画弧，再以AC 为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 cm 2．【答案】2【解析】∵等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2cm∴AC =√AB 2+BC 2=2√2cm∴阴影部分面积π×(2√22)2×12−(14π×22−12×2×2)=π−(π−2)=2cm 2. 13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形AOCD 是菱形，⊙B 的度数是．【答案】60°【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴⊙B+⊙D=180°，∵四边形OACD 是菱形，∴⊙AOC=⊙D ，由圆周角定理得，⊙B=12⊙AOC ， ∴⊙B+2⊙B=180°，解得，⊙B=60°，故答案为：60°．14．如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为【答案】3【解析】作OC⊙AB 于C ，连结OA ，如图，∵OC⊙AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt⊙AOC中，OA=5，∴OC=√OA2−AC2=√52−42=3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．15．如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧AB⌢沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB= 2√10，则圆O的半径为．【答案】3√2【解析】连接OA，设半径为x，∵将劣弧AB⌢沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC=23x，OC⊥AB，∴AC=12AB=√10，∵OA2−OC2=AC2，∴x2−(23x)2=10，解得，x=3√2．故答案为3√2．16．如图，等边⊙ABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，交BA的延长线于D，再以B为圆心，BD为半径画弧，交CB的延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧，交AC的延长线于F，则由弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形（CDEFC）的周长为．【答案】6π+3【解析】∵ΔABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC =1，∠CAB =∠BCA =∠ABC =60°，∵以A 为圆心，AC 为半径画弧，交BA 的延长线于D ，∴AD =AC =1，∠CAD =120°，∠DBE =120°，∠FCE =120°，∴BD =AB +AD =2，∴CE =CF =CB +BE =1+2=3，∴弧CD 的长为：120°×π×1180°=23π，弧DE 的长为：120°×π×2180°=43π，优弧EF 的长为：240°×π×3180°=4π， ∴23π+43π+4π+3=6π+3，故答案为：6π+3．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC⊙BD ，交AD 于点E ，连结BC.（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝6，⊙ABC ＝30°，求图中阴影部分的面积.【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ADB ＝90°，∵OC⊙BD ，∴⊙AEO ＝⊙ADB ＝90°，即OC⊙AD ，又∵OC 为半径，∴AE ＝ED ，（2）解：连接CD ，OD ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙ABC ＝30°，∴⊙AOC ＝⊙OCB+⊙ABC ＝60°，∵OC⊙AD ，∴AC⌢=CD ⌢ ， ∴⊙COD ＝⊙AOC ＝60°，∴⊙AOD ＝120°，∵AB ＝6，∴BD ＝3，AD ＝3 √3 ，∵OA ＝OB ，AE ＝ED ，∴OE ＝ 12BD ＝ 32 ， ∴S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S ⊙AOD ＝ 120⋅π×32360 ﹣ 12×3√3 × 32 ＝3π﹣ 9√34 . 18．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊙AB 于E ，连接AC ，OC ，BC ．（1）求证：⊙1=⊙2；（2）若BE =2，CD =6，求⊙O 的半径的长．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD⊙AB ，∴BC⌢=BD ⌢． ∴⊙A=⊙2．又∵OA=OC ，∴⊙1=⊙A ．∴⊙1＝⊙2．（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，弦CD⊙AB ，CD=6∴⊙CEO ＝90°，CE ＝ED ＝3．设⊙O 的半径是R ，EB=2，则OE=R -2∵在Rt⊙OEC 中，R 2=(R −2)2+32 解得：R =134 ∴⊙O 的半径是R =134． 19．如图，已知Rt⊙ABC 中，⊙BAC ＝90°，BC ＝6，AC ＝4√2，以A 为圆心，AB 为半径画圆，与边BC 交于另一点D ．（1）求BD 的长；（2）连接AD ，求⊙DAC 的余弦值．【答案】（1）解：过点A 作AH⊙BD 于H ，如图1所示：∵Rt⊙ABC ，⊙BAC ＝90°，BC ＝6，AC ＝4√2，∴AB ＝√BC 2−AC 2＝√62−(4√2)2＝2，∵12AB•AC ＝12BC•AH ， ∴AH ＝AB⋅AC BC ＝2×4√26＝43√2， ∴BH ＝√AB 2−AH 2＝√22−(43√2)2＝23， ∵AH⊙BD ，∴BH ＝HD ＝23， ∴BD ＝43；（2）解：过点D 作DM⊙AC 于M ，如图2所示：由（1）得：AH ＝43√2，BD ＝43，AB ＝2， ∴AD ＝AB ＝2，CD ＝BC ﹣BD ＝6﹣43＝143， ∵12AH•CD ＝12DM•AC ， ∴DM ＝AH⋅CD AC ＝43√2×1434√2＝149，在Rt⊙ADM 中，由勾股定理得：AM ＝√AD 2−DM 2＝√22−(149)2＝89√2， ∴cos⊙DAC ＝AM AD ＝89√22＝49√2．20．如图，AB 、BC 是⊙O 的两条弦，且AB⊙BC ，OD⊙AB ，OE⊙BC ，垂足分别为D 、E ，AB ＝BC.（1）求证：四边形DBEO 是正方形；（2）若AB ＝2，求⊙O 的半径. 【答案】（1）证明：∵OD⊙AB 于D ，OE⊙BC 于E ，∴BD＝12AB，BE＝12BC，⊙BDO＝⊙BEO＝90°，∵AB⊙BC，∴⊙DBE＝90°，∴四边形DBEO是矩形，∵AB＝AC，∴BD＝BE，∴四边形DBEO是正方形，（2）解：∵⊙ABC＝90°，∴AC为直径，∵AB＝BC＝2，∴AC＝√22+22＝2 √2，∴OA＝√2，∴⊙O的半径为√2.21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，BC⊥AC且OD//BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F.（1）求证：点D为AC⌢的中点；（2）若DF=7，AC=24，求⊙O的直径.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD//BC，∴∠OFA=90°，∴OF⊥AC，∴AD⌢=CD⌢，即点D为AC⌢的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=12AC=12，∵DF=7，∴OF=OD−DF=OA−7，∵OA2=AF2+OF2，∴OA2=122+(OA−7)2，∴OA=19314，∴⊙O的直径为1937.22．如图，在△ABC中，AB=AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O上任意一点，连接AD交BC于点F，过A作EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD.（1）求证： BE =CD（2）填空：①当 ∠EAB = ° 时，四边形ABDC 是正方形②若四边形ABDC 的面积为6，则AD 的长为 .【答案】（1）证明： ∴BC 为 ⊙O 直径，∴∠BAC =∠EAD =90° ，∴∠EAB =∠DAC =90°−∠BAD ，∵ 四边形ABDC 为 ⊙O 的内接四边形，∴∠ABE =∠ACD ，在 △ABE 和 △ACD 中，∠EAB =∠DAC ，AB =AC ，∠ABE =∠ACD ，∴△ABE ≅△ACD ，∴BE =CD（2）45；2√3【解析】（2）①当⊙EAB=45°时，四边形ABDC 是正方形.理由：∵⊙CAD=⊙BAD=45°，∴BD⌢=CD ⌢ ， ∴BD=CD ，∴⊙ABC ，⊙BCD 都是等腰直角三角形，∵BC=BC ，∴⊙ABC⊙⊙DBC （ASA ），∴AB=AC=BD=CD ，∴四边形ABDC 是菱形，∵⊙BAC=90°，∴四边形ABDC 是正方形.又⊙CAD+⊙BAD=⊙EAB+⊙BAD=90°∴⊙EAB=⊙CAD∴当⊙EAB=45°时，四边形ABDC 是正方形.故答案为：45.②∵⊙EAB⊙⊙DAC ，∴AE=AD ，S ⊙ABE =S ⊙ADC ，∴S ⊙AED =S 四边形ABDC =6，∴12 •AD 2=6， ∴AD= 2√3 ，故答案为 2√3 .23．已知：⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，且AD ⊥BC ．（1）如图1，求证：∠B =∠C ；（2）如图2，点E 在AC ⌢上，连接AE ，CE ，∠ACE =13∠ACB ，求证：∠CAE =2∠ACE ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A 作AF ⊥CE 交CE 的延长线于点F ，若AE =5，AB =13，求AF 的长．【答案】（1）证明：∵AD ⊥BC ，AD 过圆心O ，∴BD =CD ，且AD ⊥BC ，∴AB =AC ，∴∠B =∠C（2）证明：连接BE ，设∠ACE =α，则∠ACB =3α，∴∠ABC =∠ACB =3α，∵∠ABE =∠ACE =α，∴∠CBE =∠ABC −∠ABE =3α−α=2α，∴∠CAE =∠CBE =2α=2∠ACE ；（3）解：过点E 作EG ⊥AC 于点G ，在CG 上截取GH =AG ，连接EH ，∴EH =AE =5，∴∠AHE =∠EAH =2α，∴∠CEH =∠AHE −∠ECH =2α−α=α=∠ECH ，∴CH =EH =5，∵AC =AB =13，∴AH =AC −CH =13−5=8，∴AG =GH =4，∴CG =4+5=9，在RtΔAEG 中，EG =√AE 2−AG 2=√52−42=3，在RtΔCEG 中，CE =√EG 2+CG 2=√32+92=3√10， ∵S ΔACE =12AC ⋅EG =12CE ⋅AF ，∴12×13×3=12×3√10×AF ，∴AF =13√1010．24．如图，⊙BCE 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，弦BD 交CE 于点F ，⊙CBD=⊙ABE.（1）如图1，求证：BD⊙CE ；（2）如图2，在BF 上取一点H ，使FH=FD ，连接EH 并延长交BC 于点N 、交AB 于点G ，若⊙BEN=30°，求证：BH=12AB ；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OH 交BC 于点R 、交BE 于点S ，若tan⊙ABE=√35，AB=4√7，求SE 的长.【答案】（1）证明：连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙AEB=90°∴⊙A+⊙ABE=90°∵BE⌢=BE ⌢， ∴⊙A=⊙C∵⊙CBD=⊙ABE.∴⊙C+⊙CBF=90°∴⊙BFC=90°∴BD⊙CE.（2）证明：延长EN 交⊙O 于点K ，连接OK 、BK 、DE.∵BK⌢=BK ⌢，⊙BEN=30° ∴⊙BOK=2⊙BEK=60°∵OB=OK ，∴⊙OBK 是等边三角形∴BK=BO∵BD⊙CE ，FH=FD∴ED=EH ∴⊙EDH=⊙EHD ∵BE⌢=BE ⌢， ∴⊙EDH=⊙HKB ，∵⊙KHB=⊙EHD∴⊙KHB=⊙HKB∴BK=BH ，BH=BO ，∴BH=12AB ．（3）解：延长EN 交⊙O 于点K ，连接OK 、BK 、DE 、AE.作OT⊙BE ， ∵AB=4√7由（2）知BO=BH ，⊙OBK 是等边三角形 ∴BO=12AB=2√7，⊙OBK=60° ∵⊙CBD=⊙ABE ∴⊙RBS=⊙OBK=60°∵BO=BH ，∴⊙BHO=⊙HOB ∵⊙CBD=⊙ABE ∵⊙BHR=180°-⊙BHO ，⊙BOS=180°-⊙BOH ∴⊙BHR=⊙BOS∴⊙BHR⊙⊙BOS∴BR=BS ∴⊙RBS 是等边三角形∴⊙OSB=60°∵OT⊙BE ∴BE=2BT ∵tan⊙ABE=√35，设OT=√3x ，BT=5x∵OT 2+BT 2=OB 2∴(√3x)2+(5x)2=(2√7)2∴x =1∴OT=√3，BT=5∴BE=2BT=10∵tan∠OSB =OT OS =tan60∘=√3 ∴TS=1∴BS=BT+TS=5+1=6∴SE=BE -BS=10-6=4.。

第3章圆的基本性质浙教版数学九年级上册章末强化训练

A．1个B．2个A．40°B．41°C．42°D．45°6．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．4米B．5米C．6米D．8米8．如图，将半径为的⊙沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（）A． B． C． D．9．如图，将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD的长为（）A．2B．4C．4﹣4D．2﹣210．正△ABC与正六边形DEFGHI的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I顺时针旋转使得AC 与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2021次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（）A．AB B．BC C．AC D．无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE＝55°，则∠BOD＝________°．12．如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则弦BC所对的弧长是________13．如图，已知扇形的圆心角为，半径为1.则弓形的面积为________．14．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB上一点，AP平分∠BAC交⊙O于点P，AB=3，AC=1，则点P到线段AB的距离为____．15．如图，⊙O的半径为13，AB＝24，若点P在弦AB上运动，则OP的取值范围是_____．16．如图，点是等腰直角三角形斜边的中点，分别以点，为圆心，，的长为半径作圆心角为的扇形，两扇形分别与，边交于点，，过点，作边的垂线．若图中阴影部分的面积为，则__________．17．定义：平面上一点到图形的最短距离为d，如图，OP=2，正方形ABCD的边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，d的取值范围是_________ ．18．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共46分）19．如图，某家设计公司设计了这样一种纸扇：纸扇张开的最大角度与的比为黄金比，那么制作一把这样的纸扇至少要用多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果精确到）20．如图，A是上一点，是直径，，点D在上且平分，求的长．21．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60 m，拱高18 m，当水面涨至其跨度只有30 m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4 m，问是否需要采取紧急措施？22．已知在中，，，在平面内有一个点（点与点，不重合），以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）如图，若点在边上；①依题意补全图形；②设，则________．（2）如图，若点不在边上，猜想线段，之间的数量关系及位置关系，并证明．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，P为⊙O上一动点（P，A分别在直线BC的两侧），连接PC．（1）求证：∠P＝2∠ABC；（2）若⊙O的半径为2，BC＝3，求四边形ABPC面积的最大值．。

初三数学圆知识点总结与典型习题精练

圆一）【圆的定义及与圆相关的定义】在一个平面内，一条线段 OA 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 叫做圆心，这个线段 OA 叫做半径，以点 O 为圆心的圆，记作，读作“圆 O ”。

圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。

例1.如图，将半径为1的圆的边上的A点与数轴的原点重合，然后沿着数轴向右滚动，滚动一周得到点A′，则点A′表示的数为_____．弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示。

二）【圆的确定】三）【垂径定理及其应用】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等2.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（直径）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。

3.在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d（圆心到弦的距离）、半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者的关系，它们的关系为r2=d2+(a/2)2，r=d+h。

例2：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=_____:例3：如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为()A.6.5米B.9米C.13米D.15米例4：等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8cm，⊙O半径为5cm，求S△ABC．分为两种情况：如图1，当O在△ABC外部时，连接AO，交BC于D，连接OB，例5：如图，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠AOC的度数为_____，∠ADC的度数为_____．例6：如图，AB是⊙O的直径，C、D是弧BE的两个等分点，∠COD=35°，则∠AOE的度数为_____度．五）【圆周角定理及推论】1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第3章圆的基本性质测试卷1(解析版)

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第3章圆的基本性质测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠AFB=（）A．54°B．63°C．72°D．81°【答案】C【解析】∵正五边形ABCDE内角和为：180°(5−2)=540°，AB=AE，AE=ED∴∠BAE=∠AED=540°5=108°，∵AB=AE，AE=ED，∴∠AEB=∠ABE=12(180°−∠EAB)=36°，∠EAD=∠ADE=12(180°−∠AED)=36°，∴∠EAF=∠AEF=36°，∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=72°.故答案为：C.2．如图，在平面直角坐标系中，C(0，4)，A(3，0)，⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1B．32C．2D．√2【答案】B【解析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH.∵CE=EP，CH=AH，∴EH=12PA=1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C(0，4)，A(3，0)，∴H(1.5，2)，∴OH =√22+1．52=2.5 ，∴OE 的最小值 =OH −EH =2.5−1=1.5 ，故答案为：B. 3．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边 △ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以 AB 长为半径作 BC⌢ ， AC ⌢ ， AB ⌢ ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个曲边三角形的周长为 2π ，则此曲边三角形的面积为（）A ．2π−2√3B ．2π−√3C ．2πD ．π−√3 【答案】A【解析】∵区别三角形的周长为2π，等边三角形ABC ， ∴BC ⌢=AC ⌢=AB ⌢=2π3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴2π3=60π·BC 180， ∴BC=2，∴S 扇形ABC =12×2π3×2=2π3，S ABC =12×2×√3=√3， ∴S 曲边三角形=S ABC +3（S 扇形ABC -S ABC ）=√3+3×2π3-3√3=2π-2√3.故答案为：A.4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6，点D ，E 分别在AC 和BC 上，CD =2，若以DE 为直径的⊙O 交AB 的中点F ，则⊙O 的直径是（）A ．2√3B ．2C ．2√5D ．5【答案】C【解析】作FG ⊥AC ，FH ⊥CB ，垂足分别为G 、H ，如图则四边形BCGF 是矩形，AC//FH ，CB//FG ， ∵AC =BC =6，点F 是AB 的中点，∴CG =CH =GF =HF =12×6=3，∴四边形BCGF 是正方形， ∴∠GFH=90°，∵DE 是直径，则∠DFE=90°，∴∠DFG +∠DFH =∠DFH +∠EFH =90°，∴∠DFG=∠EFH，∵∠DGF=∠EHF=90°，GF=HF=3，∴△DFG≌△EFH，∴DF=EF，∵在直角△DFG中，DG=3−2=1，GF=3，∴DF=√12+32=√10=EF，在直角△DEF中，DE=√(√10)2+(√10)2=2√5；故答案为：C.5．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为()A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)【答案】D【解析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，∵A′D⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ∴S△ABC=12BC·AD=12×2sinθ(1+cosθ)=sinθ(1+cosθ).故答案为：D.6．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4 √3，∠CAB＝75°，则AB的长是（）A．8 √3B．4 √3C．8D．4【答案】C【解析】过点O作OE⊥CD交于点E，连接OC，则CE=DE=12CD=2√3，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB＝75°，∴∠CBA=90°-∠CAB=15°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA=15°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠ACB=45°，∴∠OCE=∠BCD−∠OCB=45°−15°=30°，设OE=x，则OC=2x，在Rt△OCE中，由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，(2x)2=x2+(2√3)2解得x1=2，x2=−2（舍），∴OC=4，∴AB=2OC=2×4=8，故答案为：C．7．如图，⊙O的半径为√5，其中BC⌢=AD⌢，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．52√2D．2+√3【答案】D【解析】连接OC，OE，BC、CE，∵BC⌢=AD⌢，∴BC=AD=2，∵∠CDE=30°，∴∠COE=60°，∠CBE=∠CDE=30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE=√5，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ，在Rt △BCH 中，CH=12BC=1，BH=√22−12=√3，在Rt △CEH 中，HE ＝√(√5)2−12＝2，∴BE ＝2+√3.故答案为： D.8．如图，点A ，B ，C ，D 都在 ⊙O 上， BD 交 AC 于点E ， BC⌢=CD ⌢，CE =1，BC =2 ，则 AE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】∵BC ⏜=CD ⏜，∴∠A=∠EBC ，∵∠BCE=∠ACB ， ∴△BCE ∽△ACB ， ∴AC BC =BC CE 即AC 2=21 解之：AC=4，∴AE=AC-CE=4-1=3. 故答案为：B.9．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形ABCD 的边BC 至点M ，作矩形ABMN ，以BM 为直径作半圆O 交CD 于点E ，以CE 为边做正方形CEFG ，G 在BC 上，记正方形ABCD ，正方形CEFG ，矩形CMND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1S 2+S 3=（）A ．3+√54B ．1+√52C ．3+√24D ．1+√22【答案】A【解析】连接BF 、ME 、BE ，如图，∵EF ∥BM ， ∴BF⌢=ME ⌢， ∴BF ＝ME ，∵∠BGF ＝∠MCE ＝90°，GF ＝CE ， ∴Rt △BGF ≌Rt △MCE （HL ）， ∴BG ＝CM ，∵BM 是⊙O 的直径， ∴∠BEM ＝90°，∴∠CEM+∠CEB ＝∠CEM+∠CME ＝90°， ∴∠CEB ＝∠CME ， ∵∠BCE ＝∠ECM ＝90°， ∴△BCE ∽△ECM ，∴CE CB =CM CE，即CE 2＝CB•CM ，设正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，BG ＝CM ＝c ，则{b =a −c b 2=ac，∴（a ﹣c ）2＝ac ，整理得，a 2+c 2＝3ac ，即a c +ca =3，∴a c =3+√52，或a c =3−√52 ∵a ＞c ，∴a c =3−√52舍去， ∴S 1S 2+S 3=a 2b 2+ac =a 2ac+ac =a 2c =3+√54，故答案为：A. 10．如图， △ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC 沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点 D ．若 AC=6，∠C=60°，则⊙O 的半径长为（）A ．13√7B ．23√7C ．13√21D ．23√21【答案】D【解析】如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A ，O′D ，∴∠AO′D ＝2∠ACB ＝120°，连接OA ，OB ，同理：∠AOB ＝120°， ∴∠AOB ＝∠AO′D ， ∵⊙O 与⊙O′是等圆， ∴AB ＝AD ，设⊙O 的半径为R ，过O 作OG ⊥AB 于G ， ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°，AB ＝2AG ， ∴OG ＝12OA ＝12R ，∴AG=√OA 2−OG 2=√32R ，∴AB ＝2AG ＝√3R ，如图2，过A 作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AD ，∴设BM ＝DM ＝x ，则BD ＝2x ， ∵D 为BC 的中点， ∴CD ＝BD ＝2x ，∴MC ＝DM+CD ＝3x ， ∵AM ⊥BC ，∠ACB ＝60°， ∴∠MAC ＝30°，在Rt △AMC 中，MC ＝12AC ＝3，∴3x ＝3， ∴x ＝1，∴AM ＝√AC 2−NC 2=3√3，BM ＝x ＝1，在Rt △ABM 中，AB ＝√AM 2−BM 2=2√7， ∵AB ＝√3R ，∴R=2√213.故答案为：D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．已知A 为⊙O 外一点，若点A 到⊙O 上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O 的半径为．【答案】1【解析】∵点A 在圆外，点A 到⊙O 上的点的最短距离为2，最长距离为4，∴⊙O 的半径为（4-2）÷2=1. 故答案为：1.12．如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，点E 为边BC 的中点，以点A 为圆心的弧经过点C ，分别与AD 、AE 的延长线交于点F 、G ，则弧FG 的长是．（结果保留π）【答案】√54π或√5π4【解析】如图，连接AC由题意知， BE =CE =12BC =1∴BE =AB由矩形的性质可知∠BAD =∠B =90° ∴∠BAE =45°在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =√AB 2+BC 2=√5 ∴FG⌢=45×π×√5180=√54π 故答案为：√54π．13．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且CD ∥AB ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，AD ，BC ．若∠COD +∠AOB =180°，AB =2√3，OA =2，则AD 的长是．【答案】√2+√6 【解析】如图，过点A 作AE ⊥AB 交DC 的延长于E ，连接AC ，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，过点O 作OG ∥CD∵AB =2√3，OA =2，∴AF =√3，AO =2∴cos∠OAB =AF AO =√32∴∠OAB =30° ∵AO =BO ∴∠AOB =120°∵∠COD +∠AOB =180°∴∠COD =60°∴△COD 是等边三角形，∴CO =AO =2∵CD ∥AB ，OG ∥CD∴OG ∥AB∴∠DOC =∠COG ，∠FAO =∠AOG∴∠COA =∠COG +∠AOG =∠OCD +∠FAO =30°+60°=90°∴△ACO 是等腰直角三角形∴AC =√2AO =2√2∵AC⌢=AC ⌢ ∴∠ADC =12∠AOC =45° ∴△EAD 是等腰直角三角形∴AD =√2AE ，ED =AE设EC =a ，则AF =CD +EC =2+a 在Rt △AEC 中，AE 2+EC 2=AC 2 ∴(2+a)2+a 2=(2√2)2解得a =√3−1或a =−√3−1∴AF =2+a =√3+1 ∴AD =√2AF =√2+√614．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，弦BE 与CD 交于点F ，F 为BE 中点，AF ∥ED ．若AF =2√3，则BC 的长为．【答案】2√6【解析】如图，连接AE ．∵F 为BE 中点，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥BE ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴AE ⊥BE ， ∴AE ∥DF ． ∵AF ∥ED ，∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴AE =DF ．∵F 为BE 中点，O 为AB 中点，∴OF 为△ABE 中位线， ∴AE =2OF ．设OF =x ，则AE =DF =2x ， ∴OD =OF +DF =x +2x =3x ， ∴AB =2OD =6x ，∴BE =√AB 2−AE 2=√(6x)2−(2x)2=4√2x ，∴EF =12BE =2√2x ．∵AF 2=AE 2+EF 2，∴(2√3)2=(2x)2+(2√2x)2，解得：x 1=1，x 2=−1（舍），∴OF =1，BF =2√2，OC =OD =3， ∴CF =OF +OC =4，∴BC =√CF 2+BF 2=√42+(2√2)2=2√6．故答案为：2√6．15．如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆O 上一点，C 是 BD⌢ 的中点，连结AC 交BD 于点E ，连结AD ，若BE ＝4DE ，CE ＝6，则AB 的长为 .【答案】4√10【解析】如图，连接OC 交BD 于K.∵CD̂=BC ̂ ， ∴OC ⊥BD ， ∵BE ＝4DE ，∴可以假设DE ＝k.BE ＝4k ，则DK ＝BK ＝2.5k ，EK ＝1.5k ， ∵AB 是直径，∴∠ADK ＝∠DKC ＝∠ACB ＝90°， ∴AD ∥CK ，∴AE ：EC ＝DE ：EK ， ∴AE ：6＝k ：1.5k ， ∴AE ＝4，∵△ECK ∽△EBC ， ∴EC 2＝EK•EB ，∴36＝1.5k×4k ， ∵k ＞0， ∴k ＝ √6 ，∴BC ＝ √BE 2−EC 2 ＝ √96−36 ＝2 √15 ，∴AB ＝ √AC 2+BC 2 ＝ √102+(2√15)2 ＝4 √10 .故答案为：4 √10 . 16．如图，在 ⊙O 中，弦 AB =1 ，点 C 在 AB 上移动，连接 OC ，过点 C 作 CD ⊥OC 交 ⊙O 于点 D ，则 CD 的最大值为 .【答案】12【解析】连接 OD ，如图，∵CD ⊥OC ， ∴∠DCO =90° ，∴CD =√OD 2−OC 2=√r 2−OC 2 ，当OC 的值最小时， CD 的值最大，而OC ⊥AB 时， OC 最小，此时 OC =√r 2−(12AB)2 ，∴CD 的最大值为 √r 2−(r 2−14AB 2)=12AB =12×1=12.故答案为： 12.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图①，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的点，连结AC 并延长AC 至点D ，使CD=CA ，连结ED 交⊙O 于点B ．（1）求证：点C 是劣弧 AB̂ 的中点；（2）如图②，连结EC ，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接CE ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AD ， ∵AC=CD ， ∴AE=ED ，∴∠AEC=∠DEC ， ∴BĈ=AC ̂ ； ∴点C 是劣弧 AB̂ 的中点；（2）连接BC ，OB ，OC ， ∵AE=2AC=4， ∴∠AEC=30°，AE=AD ， ∴∠AED=60°，∴△AED 是等边三角形， ∴∠A=60°，∵BĈ = AC ̂ ， ∴BÊ = BC ̂ = AC ̂ ， ∴AE ∥BC ，∠BOC=60°， ∴S △OBC =S △EBC ，∴S 阴影=S 扇形= 60⋅π×22360= 23 π．18．如图，DE 是△DBC 的外角∠FDC 的平分线，交BC 的延长线于点E ，DE 的延长线与△DBC 的外接圆交于点A ．（1）求证：AB =AC ；（2）若∠DCB =90°，sinE =√55，AD =4，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DE 是△DBC 的外角∠FDC 的平分线， ∴∠FDE =∠CDE ，∵∠ADB =∠ACB =∠FDE ，∠ABC =∠CDE ， ∴∠ABC =∠ACB ，∴AB =AC（2）解：∵∠DCB =90°， ∴∠DCE =∠BAD =90°，∴∠E +∠CDE =∠ABD +∠ADB =90°， ∵∠ADB =∠FDE =∠CDE ， ∴∠ABD =∠E ，∵sinE =√55，∴sin∠ABD =AD BD =√55， ∵AD =4， ∴BD =4√5．19．请阅读下列材料，并完成相应的任务。

最新：人教版九年级上册数学第24章《圆》小结与复习【练习】

分析:因为是用扇形
围成一个圆锥,所以围
成的圆锥的侧面积就
是这个扇形的面积,所
以圆维的側面积是：
120 R2
S=
12
360
★跟踪训练 4.(白州中考)如图,△ABC内接于⊙O,点D在半径OB的延长线上,∠BCD=∠A=30゜。 (1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径长为1,求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积(结果保留π和根号).
作OC⊥AB于D,交弧AB于C.
∵OC⊥AB
∴BD=
1 2
AB=
1 2
×16=8
cm
由题意可知,CD=4cm.
设半径为xcm, 则OD=(x-4)cm.
在Rt△BOD中,由勾股定理得:
OD2+BD2=OB2,
∴(x-4)2+82=x2
∴x=10
答:这个圆形截面的半径为10cm
O D
C
★跟踪训练
1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,则 ∠DCF等于( )
∴BD是⊙O的切线
【例2】(南平中考)如图,线段AB经过圆心O,交⊙O 于点A,C,点D在AB⊙O上,连接AD,BD,∠A=∠B=30°。 BD是⊙O的切线吗?请说明理由。
证明四: 连接OD ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠A=30° 连接CD，则∠ADC=90° ∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60° ∵OD=OC ∴∠OCD=60° ∵∠B=30° ∴∠BDC=∠ODC+∠BDC=90° ∴OD⊥BD ∴BD是⊙O的切线
★跟踪训练
3.(履门中考)已知:如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D.

九年级数学上册第3章圆的基本性质章末总结提升练习浙教版(2021年整理)

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章末总结提升（见A本35页）, 探究点 1 圆的定义应用的延伸性）【例1】2017·青岛中考如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连结BE，ED,BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．例1图变式图变式如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的平分线交△ABC外接圆于点D,连结BD，若AB＝2AC＝4。

（1）则BD长为__2__；(2)设点P在优弧CAB上由点C向点B移动(不与点C，B重合），记∠PBC的角平分线与PD 交点为I，点I随点P的移动所经过的路径长l的取值范围是__0＜l＜错误!__．，探究点 2 “弧”与“圆周角"的主角性)【例2】如图所示,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C。

求证：（1)CB∥PD；（2)错误!＝错误!。

例2图证明：(1)∵∠P，∠C所对的弧都是错误!，∴∠P＝∠C。

∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P,∴CB∥PD。

(2)∵∠1＝∠C,∴错误!＝错误!。

∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB，∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!。

变式图变式如图所示，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D,错误!＝错误!，BE 分别交AD,AC于点F，G。

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初中数学：圆的基本性质章末总结提升练习 , 探究点 1 圆的定义应用的延伸性)
【例1】如图所示,在四边形 ABCD 中,∠ABC ＝∠ADC ＝90°,E 为对角线AC 的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD＝58°,则∠EBD 的度数为__32__度．
例1图
变式图
变式如图所示,在Rt △ABC 中,∠BCA ＝90°,∠BAC 的平分线交△ABC 外接圆于点D,连结BD,若AB ＝2AC ＝4.
(1)则BD 长为__2__；
(2)设点P 在优弧CAB 上由点C 向点B 移动(不与点C,B 重合),记∠PBC 的角平分线与PD 交点为I,点I 随点P 的移动所经过的路径长l 的取值范围是__0＜l ＜4π
3
__． , 探究点 2 “弧”与“圆周角”的主角性)
【例2】如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,点P 在⊙O 上,∠1＝∠C.
求证：(1)CB∥PD；(2)BC ︵＝PC ︵
.
例2图
证明：(1)∵∠P ,∠C 所对的弧都是BD ︵
,
∴∠P ＝∠C.∵∠1＝∠C ,∴∠1＝∠P , ∴CB ∥PD.
(2)∵∠1＝∠C ,∴BD ︵＝PC ︵
. ∵AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB , ∴BC ︵＝BD ︵,∴BC ︵＝PC ︵.
变式图
变式如图所示,BC 是⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,AD ⊥BC,垂足为D,AB ︵
＝AE ︵
,BE 分别交AD,AC 于点F,G.求证：FA ＝FB.
例2答图
证明方法1：连结OA,OE,∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BAC ＝90°,∴∠BAF ＋∠CAD＝90°, ∵AD ⊥BC,∴∠C ＋∠CAD＝90°, ∴∠C ＝∠BAF ,
∵AB ︵＝AE ︵
,∴∠C ＝∠ABF , ∴∠BAF ＝∠ABF ,∴FA ＝FB. 方法2：延长AD 交⊙O 于H,
由AD⊥BC 易得BH ︵＝AB ︵＝AE ︵
,∴∠ABF ＝∠BAF ,∴FA ＝FB.
, 探究点 3 圆与正多边形、扇形、弓形的关联性)
例3图
【例3】如图所示,正方形ABCD的对角线AC所在的直线上有一点O,OA＝AC ＝2,将正方形绕O点顺时针旋转60°,在旋转过程中,正方形扫过的面积是( C)
A．2πB．2π＋1 C．2π＋2 D．2π＋3 , 探究点 4 圆中的最值问题)
【例4】如图所示,已知在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝3,P是以CD为直径的半圆上的一个动点,连结BP,则BP的最大值是__13＋2__．
例4图
变式如图所示,C,D是以AB为直径的圆O上的两个动点(点C,D不与A,B 重合),在运动过程中,弦CD始终保持不变,M是弦CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝6,AB＝8,PM＝x,则x的最大值是( C)
A．5 B．2 5 C．4 D．2 3
1．如图所示,在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形(阴影部分),拼成一个四边形．若拼成的四边形的面积为2,则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为( D)
第1题图
A．5 B．6 C．8 D．10
第2题图
2．如图所示,AB为⊙O的直径,点P为其半圆上任意一点(不含A,B两点),点Q为另一半圆上一定点,若∠POA为x°,∠PQB为y°,则y与x的函数表达式
为y＝90－1
2
x,且0＜x＜180 ．
第3题图
3．如图所示,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连结DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连结OP.
(1)求证：BD＝DC.
(2)求∠BOP的度数．
第3题答图解：(1)证明：如图,连结AD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°,即AD⊥BC,
∵AB＝AC,∴BD＝CD.
(2)∵∠BAC＝30°,AB＝AC,
∴∠ABC＝1
2
×(180°－30°)＝75°.
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形,
∴∠EDC＝∠BAC＝30°.
∵BP∥DE,∴∠PBC＝∠EDC＝30°,
∴∠OBP＝∠ABC－∠PBC＝45°.
∵OB＝OP,∴△OBP为等腰直角三角形,∴∠BOP＝90°.
第4题图
4．在⊙O中,弦AC,BD相交于点M,且∠A＝∠B.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若OA＝2,∠A＝30°,当AC⊥BD时,求弧CD的长．解：(1)证明：作OE⊥BD,OF⊥AC,则AC＝2AF,BD＝2BE. 在Rt△OFA和Rt△OEB中,OA＝OB,∠A＝∠B.
∴Rt△OFA≌Rt△OEB.∴AF＝BE,∴AC＝BD.
(2)连结OC,OD,CD.∵OC＝OA＝OD＝OB,∠A＝30°,
∴∠OCA ＝∠ODB＝∠B＝30°.
∵AC ⊥BD,∴∠MCD ＋∠MDC＝90°.∴∠OCD ＋∠ODC＝∠OCM＋∠MCD＋∠MDC ＋∠MDO＝90°＋30°＋30°＝150°,
∴∠COD ＝30°,∴CD ︵＝30°
360°×π×2×2＝π3.
第5题图
5．如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,半径OD⊥BC 于点E,连结AE,CD ︵
的度数为60°.
(1)求证：OE ＝DE.
(2)若OE ＝2,求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵OD⊥BC ,∴CD ︵＝BD ︵
＝60°. ∴∠BOD ＝60°.∵OD ＝OB,连结BD, ∴△BOD 为等边三角形． ∵BC ⊥OD,∴OE ＝DE.
(2)连结AC,OC,∵AB 为直径,∴AC ⊥BC. 又∵OE⊥BC ,∴AC ∥OE, ∴S △OAC ＝S △EAC .
∵∠BOE ＝60°,OE ⊥BC, ∴∠OBC ＝30°, ∴∠AOC ＝2∠OBC＝60°, ∴OA ＝AC ＝2OE ＝4,
∴S 阴＝S 扇形AOC ＝60π·42360＝8
3
π.
6．在⊙O 中,AB 为直径,点C 为圆上一点,将劣弧AC ︵
沿弦AC 翻折交AB 于点
D,连结CD.
(1)如图1,若点D 与圆心O 重合,AC ＝2,求⊙O 的半径r ；
(2)如图2,若点D 与圆心O 不重合,∠BAC ＝25°,请直接写出∠DCA 的度数．
第6题图
解：(1)如图1,过点O 作OE⊥AC 于点E, 则AE ＝12AC ＝1
2
×2＝1,
∵翻折后点D 与圆心O 重合,∴OE ＝1
2r,
在Rt △AOE 中,AO 2＝AE 2＋OE 2, 即r 2
＝12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r 2
,解得r ＝233.
第6题答图
(2)如图2,连结BC,∵AB 是直径,∴∠ACB ＝90°,
∵∠BAC ＝25°,∴∠B ＝90°－∠BAC＝90°－25°＝65°, 根据翻折的性质,AC ︵所对的圆周角为∠B ,ABC ︵
所对的圆周角为∠ADC , ∴∠ADC ＋∠B＝180°,∴∠B ＝∠CDB＝65°, ∴∠DCA ＝∠CDB－∠A＝65°－25°＝40°.。