高中数学复合函数求导公式及法则
高中数学知识点精讲精析 简单复合函数的求导法则
5 简单复合函数的求导法则1． 设函数)(u f y =与函数)(x u ϕ=构成复合函数))((x f y φ=；如果 ① 函数)(x u ϕ=在点x 处可导；② 函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=可导；则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导，且)()())((x u f x f x u x ϕ''='，即 x u x u y y ''='，或 . 证 设x 有增量0Δ≠x ，则相应地函数u = φ (x )有增量Δu ，从而函数y = f (u )有增量Δy ，由②及极限与无穷小的关系知 )(u f u 'α+∆∆=∆∆=→∆uy u y u 0lim （其中00→⇒→∆αu ）, 当0≠∆u 时有 uu u f y u ∆+∆'=∆α)(；(1)当0=∆u 时，规定α = 0，上式仍成立。
两边同除以x Δ，得 ⑵由于)(x u ϕ=点x 可导，必定在点x 连续，于是00)()(0→⇒→-∆+=∆⇒→∆αϕϕx x x u x ；再由①知，(2)式令0Δ→x 取极限，即得 x u x u u f xy x x x u x ∆∆⋅+∆∆'=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim )(lim α)()(x u f x u ϕ'⋅'=， 即x d u d u d y d x d y d ⋅=. xu x u u f x y u ∆∆α∆∆∆∆+'=)(xd u d u d y d x d y d ⋅=复合函数的求导法则也形象地称为链式法则——函数对自变量的导数=函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
它是微分运算技巧的重要基础。
1．2sin x y =，求xd y d . 【解析】设 2x u =，则u y sin =，所以 22cos 22)(cos )()(sin x x x u x u xd u d u d y d x d y d =⋅=''=⋅=. 注 熟练后不必写出中间变量了，但一定注意不能漏掉对中间变量的求导：. 2．x y tan ln =，求xd y d . 【解析】 x x x u x u xd u d u d y d x d y d tan sec sec 1)(tan )(ln 22=⋅=''=⋅=. 注 链式法则可以推广到有限多个函数：设函数)(,)(,)(x h v v g u u f y ===均可导，则有)()()(x h v g u f dx dv v d u d u d y d x d y d '⋅'⋅'=⋅⋅=. 3． )e cos(ln x y =，求y d . 【解析】 . 4．x y 1sin e =，求xd y d . 【解析】.5． μx y = ( x > 0 )，求y '.x x x x x x x e x d y d e tan e )()e sin ()e (cos 1)e (cos )e (cos 1-='⋅-='=2222cos 22cos )(cos x x x x x x x d y d =⋅='⋅=x x x x x x x x d y d x x x x 1cos e 1)1()1(cos e )1(1cos e )1(sin e 1sin 221sin 1sin 1sin ⋅-=-⋅⋅='⋅⋅='⋅=【解析】1ln ln ln )ln ()()(-=='='='='μμμμμμμμx x e x e e x y x x x .注 将幂函数转化为指数函数，和将幂指函数转化为指数的复合函数的方法是求极限和导数常用的方法。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数求导公式推导
复合函数求导公式推导复合函数指的是两个或多个函数的组合。
设有函数$y=f(u)$ 和$u=g(x)$，我们要求复合函数$y=f(u(x))$ 的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot\frac{{du}}{{dx}}$$在这个公式中，$\frac{{dy}}{{du}}$ 是 $y$ 对 $u$ 的导数，$\frac{{du}}{{dx}}$ 是 $u$ 对 $x$ 的导数。
证明如下：设 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$，我们要求 $\frac{{dy}}{{dx}}$。
根据定义，我们有：$$\frac{{dy}}{{du}} = \lim_{{\Delta u \to 0}} \frac{{\Deltay}}{{\Delta u}}$$其中，$\Delta y = f(u+\Delta u) - f(u)$，$\Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$。
我们可以把 $\Delta y$ 和 $\Delta u$ 都展开成一阶无穷小量：$$\Delta y \approx f'(u)\Delta u$$$$\Delta u \approx g'(x)\Delta x$$其中，$f'(u)$ 表示 $f(u)$ 对 $u$ 的导数，$g'(x)$ 表示$g(x)$ 对 $x$ 的导数。
代入上面的公式，我们有：$$\frac{{\Delta y}}{{\Delta u}} \approx \frac{{f'(u)\Delta u}}{{g'(x)\Delta x}} = \frac{{f'(u)}}{{g'(x)}}$$$\frac{{\Delta y}}{{\Delta u}}$ 在 $\Delta u \to 0$ 的极限下将等于 $\frac{{dy}}{{du}}$，$\frac{{\Delta x}}{{\Delta u}}$ 在$\Delta u \to 0$ 的极限下将等于 $\frac{{du}}{{dx}}$。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
高中数学复合函数求导公式及法则
高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。
设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
高中数学简单复合函数的求导法则
2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 （1） y sin (1 ) （2） y (1 sin 2 x)4 x （3） y cos ln( x 1)
2
（4） y ae
2 x2 1
例：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x)' [ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' f ( x) f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
§5 简单复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导公式
1.若y c(c是常数),则y / 0; 2.若y x (是实数),则y / x 1; 3.若y a x (a 0, a 1),则y / a x ln a 特别地(e x ) / e x ; 4.若y log x(a 0, a 1),则y /
想一的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
复合函数求导公式是什么怎么求导
复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的，该怎么求导呢?同学们清楚吗，不清楚的同学来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
拓展阅读：微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导，可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合导数公式及运算法则
复合导数公式及运算法则1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。
其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
2.4.2 复合函数求导法则、基本公式
x (2). y ; 2 tan x 2 x (4). y 2 ; 3 ( x 2) (6). y 2 .
x ln x
2
(5). y ln( x 1 x );
2
1 (1).(ln | x |) , x
/
( x 0);
(2). y x cot x,
2 2
y 2x cot x x 2 cot x ( csc x)
2 3 2 2 2 /
4 x(1 x ) 2 ; 4 ( x 2)
2
(5).y
/
1 x 1 x
2
(1
x 1 x
2
)
1 1 x
2
;
1 ln x x x x ln x 1 / x ln x ln x (6). y 2 ln 2 2 ln 2 . 2 2 (ln x ) (ln x)
/
ln x /
(a ) (e
x /
x ln a /
)
e
x ln a
( x ln a) e
/
x ln a
ln a a ln a.
x
[ x tan(sin x)] ( x)/ tan(sin x) x[tan(sin x)]/
tan(sinx) x sec (sin x) (sin x)
/ 2 /
1 1 x
2
1 x / 例 : (arctan arccos e ) x
1 e 1 1 x . 2 e 2 2 2x 1 x 1 (e x ) 2 1 x 1 e 1 x
1
x
课内练习
高考数学复合函数求导公式总结
高考数学复合函数求导公式总结高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。
在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。
下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。
一、基本复合函数求导法则1.基本求导法则对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。
例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。
而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。
另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。
在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。
2.复合函数求导法则复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。
在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。
例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)这个公式称为复合函数求导的链式法则。
二、特殊复合函数求导公式1.反函数设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹2.自然对数函数的复合设 y = ln(u)，则有以下公式：[ln(u)]′= u' / u3.幂函数的复合设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'其中v'是v的导数，u'是u的导数。
4.指数函数的复合设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：[a^u]′= ln(a) a^u u'其中u'是u的导数。
5.对数函数的复合设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'其中u'是u的导数。
复合函数求导公式
复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。
复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。
链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。
三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。
解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。
根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。
【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。
解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。
2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。
【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。
解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。
根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。
复合函数导数的基本公式14个
复合函数导数的基本公式14个下面是复合函数导数的14个基本公式：1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx等于dy/du乘以du/dx，即(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
2.反函数法则如果函数y=f(x)的反函数存在，则反函数y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
3.乘积法则设函数y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，即(dy/dx)=(u'(x)v(x))+(u(x)v'(x))。
4.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，且v(x)不等于0，则函数y的导数dy/dx等于(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2，即(dy/dx)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^25.幂函数法则设函数y=u(x)^n，其中u(x)是关于x的函数，n是常数，则函数y的导数dy/dx等于n(u(x))^n-1*u'(x)，即(dy/dx)=n(u(x))^n-1*u'(x)。
6.指数函数法则设函数y=a^u(x)，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于a^u(x)ln(a)*u'(x)，即(dy/dx)=a^u(x)ln(a)*u'(x)。
7.对数函数法则设函数y=log_a(u(x))，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于1/(u(x)ln(a))*u'(x)，即(dy/dx)=1/(u(x)ln(a))*u'(x)。
8.双曲函数法则设函数y=sinh(u(x))，其中u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)cosh(u(x))，即(dy/dx)=u'(x)cosh(u(x))。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数求导法则是指在求解一个函数的导数时，若这个函数可以表示为另外两个函数的复合，那么可以通过复合函数求导法则来简化求导的过程。
复合函数指的是由两个或多个函数通过相互嵌套来构成的函数，例如：f(g(x))。
下面是复合函数求导法则的公式:1. 链式法则公式链式法则是复合函数求导中最常用的方法，它用于求解形如f(g(x))的复合函数的导数。
具体地说，设f和g都是可导的函数，则f(g(x))的导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(g(x))表示f对g(x)的导数，g'(x)表示g对x的导数。
链式法则可以看作是微元法在函数中的应用，它是通过链式的推导而得出的。
实际上，链式法则可以推广到一般的复合函数上，即：(f1(f2(...fn(x)..)))' = f1'(f2(...fn(x)..)) * f2'(f3(...fn(x)..)) * ... * fn-1'(fn(x)) * fn'(x)其中，f1、f2、...、fn为可导函数，'表示求导，()表示括号内的函数作为整体。
链式法则的推导可以用微元法来证明。
假设有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，则y的微元(dy)可以表示为：dy = f'(u) * du根据微元法，dy是y对x的导数，因此：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)将u=g(x)带入，得到：(dy/dx) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)2. 乘积法则公式乘积法则是用于求解两个可导函数f(x)和g(x)的乘积的导数。
具体地说，设f(x)和g(x)都是可导函数，则f(x)g(x)的导数为：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)乘积法则的推导可以用微元法或是导数定义的极限来证明。
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高中数学复合函数求导公式及法则
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过
u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
1 复合函数如何求导f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f’[g(x)]=f’(u)*g’(x)
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心
看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f’[g(x)]=[sin(u)]’*(2x)’=2cos(u),再用2x 代替u，得f’[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y’=[cos(3x)]’=-3sin(x)
y’={sin(3-x)]’=-cos(x)
一开始会做不好，老是要对照公式和例子，
但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
1 复合函数求导法则证法一：先证明个引理
f(x)在点x0 可导的充要条件是在x0 的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0
连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f’(x0)=H(x0)
证明：设f(x)在x0 可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U’(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f’(x0),x=x0。