最优控制 动态规划法
最优控制-第七章-动态规划法
当∆t很小时，有
t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU
uU
tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t
t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU
(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
hjb 方程
HJB方程1. 简介HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程是一种偏微分方程，描述了最优控制问题中的动态规划原理。
它由William Rowan Hamilton、Carl Gustav Jacob Jacobi和Richard E. Bellman等人独立提出，被广泛应用于经济学、数学、物理学等领域。
HJB方程在最优控制理论中起着重要的作用。
它用于求解动态系统中的最优策略，帮助决策者在给定约束条件下实现最大化效益。
HJB方程是一个非线性偏微分方程，其解表示最优策略和相应的效用函数。
2. 基本形式HJB方程的基本形式可以表示为：ρ+minu∈U {f(x,u)+∇V(x)⋅F(x,u)+12Tr(G(x,u)∇2V(x)G T(x,u))}=0其中， - ρ表示时间变量 - x表示状态变量 - u表示控制变量 - f是一个标量函数，表示控制和状态之间的耦合关系 - V是值函数（value function），表示系统的效用函数 - F是一个矢量函数，表示状态变量和控制变量的关系 - G是一个矩阵函数，表示系统中的噪声项HJB方程可以看作是一个动态规划问题的最优性条件。
它通过最小化控制变量u来确定系统的最优策略，并求解值函数V(x)。
3. 求解方法由于HJB方程是一个非线性偏微分方程，其求解并不容易。
通常采用以下两种方法进行求解：3.1 动态规划法动态规划法是HJB方程求解的经典方法之一。
该方法将问题分解为一系列子问题，并通过递归地求解这些子问题来获得最优策略和值函数。
具体步骤如下： 1. 将状态空间离散化，得到有限个状态点。
2. 从终止时间开始，逆向递推计算值函数V(x)。
3. 对每个状态点x i，枚举所有可能的控制变量u j，计算f(x i,u j)+∇V(x i)⋅F(x i,u j)+12Tr(G(x i,u j)∇2V(x i)G T(x i,u j))。
4. 选择使上述表达式最小的控制变量u j，更新值函数V(x i)和最优策略。
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
现代控制理论_第9章_动态规划法
(9-3)
式中，x k 为n 维状态向量，u k 为 m 维控制向量，设J x k ，u k 为每一步转移中的性能指标。
第一步，系统初始状态 x 0 在 u 0 作用下转移至 x 1 ，即
x 1 f x 0 ，u 0
w x 1 如果我们用 wN x 0 表示 N 级过程的性能指标的极小值， N 1 表示 N 1 级过程性能指标的极小值，则我们就可以列写出级决策过 程的函数方程为：
w J x 0 ，u 0 wN 1 f x 0 ，u 0 x 0 min u 0
三者进行比较，由此作出第一级决策为u4,1 即应选 B2 C1路线。这 时 B2 F 最小路程为 w4 B2 9 。 函数方程是一个递推方程，一般说来，难于获得解析解，需要用 数 字计算机求解。
第二节 动态规划法解离散系统的 最优控制问题
设系统状态方程为
x k 1 f x k ，u k k 0,1,, N 1
最优性原理是动态规划法的基础和核心。动态规划法就是对一个 多级过程，应用最优性原理，进行分级决策，求出最优控制的一种 数学方法。
3、 多级决策过程的函数方程
应用动态规划法求解过程的最优决策时，首先要根据最优性原 理将多级决策过程表示成如下数学表达式：
wk xk min d xk , xk 1,i wk 1 xk 1,i
⑸ 在最后一级开始倒向逐级分析中，我们发现，由于各站的起 始点并未确定，因此需要把各中间站的所有通过点作为出发点进 行计算，并将所有对应的最佳决策存进计算机，建立起一个完整 的“档案库”，因此要求计算机有相当大的容量。 (6)第一级起始条件（地）是确定的，因此只有逐级倒向分析到第 一级时，才能作出确定的第一级决策，然后再根据第一级决策顺向 确定各级的起始条件（各站的通过点），这时由于“档案库”中存 有全部“资料”，因此用“查档”的方法就可逐级确定决策。由此 可见，一般情况下，多级决策过程包括两个过程：倒向“建档”及 顺向“查档”，而大量的计算工作是花费在建立“档案库”上。
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
最优控制——最大值原理
最优控制——最大值原理最优控制问题是数学中的一个重要问题，研究如何在给定约束条件下使一个系统达到最优状态。
在数学的最优控制理论中，最大值原理是一种重要的工具和方法，被广泛应用于很多最优控制问题的求解中。
本文将详细介绍最优控制中的最大值原理及其应用。
最大值原理也称为哈密顿-雅可比-贝尔曼方程(hamilton-jacobi-bellman equation)，它是最优控制问题的一个基本性质。
最大值原理给出了在给定约束条件下系统状态的最优演化方程。
最大值原理的基本形式是哈密顿－雅可比－贝尔曼方程。
对于一个给定的最优控制问题，假设系统的演化满足一个偏微分方程，此方程将由状态变量、控制变量、时间变量以及一个哈密顿函数构成，具体形式如下：∂V/∂t + min(u) {H(x,u,t)+ ∇V⋅f(x,u,t)} = 0其中，V(x,t)是值函数(value function)，表示从状态x在时间t开始时，系统必须选择的最佳控制来最大化性能指标的期望值。
f(x,u,t)是状态方程(state equation)，描述系统状态的演化。
H(x,u,t)是哈密顿函数(Hamiltonian)，是一个将值函数、控制变量和状态方程综合起来的函数，它的作用是描述系统的动力学性质。
最大值原理的关键在于通过逐步迭代的方式求解值函数V(x,t)，找到使系统达到最优状态的最佳控制变量。
这一过程通常称为最优控制问题的动态规划(dynamic programming)。
最大值原理的主要应用涉及很多不同领域，例如经济学、工程学、生物学等。
在经济学中，最大值原理被广泛应用于决策理论、资产定价、宏观经济模型等领域。
在工程学中，最大值原理常用于控制系统设计、路径规划、优化问题等。
在生物学中，最大值原理被用于神经科学、生态学、生物系统动力学建模等。
最大值原理的应用还包括优化问题、最短路径问题、最优控制问题、反问题等。
它不仅可以用于求解连续问题，也可以用于离散问题。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
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特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
14讲 最优控制-动态规划-三法比较
26
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
27
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
30
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
由于在推导上述欧拉公式时，以最优 解存在为前提， •即哈密顿-雅可比方程成立 所以，导出的欧拉方程代表的是 •必要条件
?起点和终端的其他情况自行论证起点和终端的其他情况自行论证能源与动力学院系统控制与仿真研究室25最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室26最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室27能源与动力学院系统控制与仿真研究室28能源与动力学院系统控制与仿真研究室29能源与动力学院系统控制与仿真研究室30最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系由于在推导上述欧拉公式时以最优解存在为前提解存在为前提?即哈密顿雅可比方程成立所以导出的欧拉方程代表的是?必要条件?必要条件能源与动力学院系统控制与仿真研究室31最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系极小值原理与变分法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室32能源与动力学院系统控制与仿真研究室33最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系动态规划与极小值原理的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室34最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室35能源与动力学院系统控制与仿真研究室36最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室37能源与动力学院系统控制与仿真研究室38最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室39能源与动力学院系统控制与仿真研究室40能源与动力学院系统控制与仿真研究室41最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室42能源与动力学院系统控制与仿真研究室43最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系值得指出的是上述推证过程仅仅具有形式上的意义因为实际上除了线性二形式上的意义因为实际上除了线性二次型问题外哈密顿雅可比方程难以求解或者根本不存在二次连续可微的函解或者根本不存在二次连续可微的函但是上述推证揭示了变分法极小值动态规划之间的内在联系有利于深动态规划之间的内在联系有利于深入了解三种方法的应用条件和相互关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室44最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系重点掌握重点掌握连续控制系统动态规划最优解的求解步骤动态规划与极小值原理2
从规划到控制最优控制理论
从规划到控制最优控制理论最优控制理论是一门在现代控制理论中占据重要地位的学科，旨在通过数学方法和算法优化系统的动态行为。
无论是在工程、经济还是生物学等多个领域，最优控制理论都发挥着不可或缺的作用。
本文将系统阐述最优控制理论的发展、基本概念、相关方法及其在实际中的应用，帮助读者深入理解从规划到控制的过程。
最优控制理论的背景与发展最优控制理论源于20世纪50年代，当时科学家们面临着如何在动态系统中实现最优决策的问题。
随着计算机技术的发展，越来越多复杂的动态系统被引入到最优控制的研究中。
最先提出这一理论的学者主要有里昂·贝尔曼（Richard Bellman），他提出了动态规划（Dynamic Programming）的基本思想，为后来的最优控制问题奠定了基础。
此外，最优控制理论受到微分方程、变分法等数学工具的发展推动。
20世纪60年代，霍普斯科特（J. L. D. Hopf）引入了不等式条件和相应的反馈控制策略，使得这一理论可以适应更复杂的实际问题。
因此，最优控制论不仅丰富了控制理论的内涵，也为相关领域提供了新的解决思路。
最优控制问题的定义最优控制问题通常可以被描述为以下几个部分：状态空间：系统的状态可以表示为某个向量，通常是系统在某一时刻所处的位置。
在数学上，可以使用向量 (x(t)) 来表示状态，其中 (t) 是时间。
控制变量：控制变量是人为施加于系统以改变其状态的输入。
通常用向量 (u(t)) 表示。
动态方程：动态方程描述了状态如何随着时间和控制变量的变化而变化，一般可表示为： [ (t) = f(x(t), u(t), t) ]成本功能：成本函数用于评估某一特定策略下所需付出的代价，通常以积分形式表示： [ J(u) = _{t_0}^{t_f} L(x(t), u(t), t)dt + (x(t_f)) ] 其中，(L) 是给定时刻的即时成本，而 () 则是终点成本。
约束条件：实际应用中往往需要满足一定的约束条件，这些约束可以是对状态或控制变量的限制。
基于动态规划方法的商品期货投资决策最优控制浅析
中 国 管 理 信 息 化
Ｃｈ ｎ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｎ ｏｍａ ｉｎ ｚ ｔ ｎ ｉ ａＭａ ａ ｅ ｎ ｆ ｒ ｔｏ ｉａ ｉ Ｉ ｏ
Ｊ ｎ ，０ ２ ａ ．２ １
Ｖｏ ．５． ． １ １ Ｎｏ２
第 １ 卷 第 ２期 ５
基于动态规划方法的商品期货投资决策最优控制浅析
供 一 个新 的决 策 思 路 。 【 关键词 】 态规 划 ； 品 期 货 ；Ｐ算 法 ； 资 决 策 动 商 Ｂ 投 ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｉｉ ｎ １７ ０ ９ ． ０ ２ ０ ２ ｏ： ０ ３ ６ ，． ｓ ． ６ ３— ｌ ４ ２ １ ． ２０ １ ｓ
［ 中围分类号］Ｆ ３ ．；２ ４ ［ ８ ０ Ｆ ２ ． 文献标识码】Ａ ９ ３
李
［ 摘
楠
（ 东北财经大学 管理科学与工程学院， 辽宁 大连 １６ ２ ） ０ ３ １
要】 品期 货投 资 与股 票投 资有 很 多相 似 之 处 ， 是金 融 市 场 中 一 种在 一 定风 险 约 束 下最 大 化 利 润 的 活动 ， 它 们 的 商 都 而 价 格 走 势都 可 以看 作 一 个 离散 时 间 系统 ， 因此 这 种金 融 投 资 活 动 可 以转 化 为 经 济控 制论 中 的 最优 控 制 问题 。本 文利 用动 态规 划 方 法 ， 对 大 资 金 在 商 品 期 货 市 场投 资 的 分 配 方 案 问 题 ， 控 制 论 的 角 度 进 行 简单 分 析 ， 图 为 商 品 期 货投 资 者提 针 从 力
［ 文章编号】１７ — ｌ４ ２ １ ）２ ０ ３ － ４ ６ ３ ０ ９ （０ ２０ ＿ ０ ５ ０
随着股指期货的上市 ， 国人对期货 的关注度越来越高 。人们 断 ， 货 的再 次 回归 必 将 推 动 金 融 市场 的发 展 。 因此 我 们 有必 要 期
最优控制(动态求解)
06
最优控制在现实生活中的应 用
经济问题
投资组合优化
通过最优控制理论，投资者可以 确定最佳的投资组合策略，以最 大化收益或最小化风险。
生产调度
在生产过程中，企业可以使用最 优控制理论来优化生产调度，以 提高生产效率并降低成本。
商业决策
商业决策者可以使用最优控制理 论来制定最佳的商业策略，例如 定价、库存管理和营销策略。
内点法
内点法是一种基于梯度下降的求解方法，通过迭代逼近最优解，适用 于大规模的优化问题。
最优控制的线性规划问题
最优控制问题可以转化为线性规划问 题，通过建立状态方程、目标函数和 约束条件，利用线性规划求解方法找 到最优控制策略。
在实际应用中，最优控制的线性规划 问题广泛应用于生产调度、物流优化、 金融投资等领域。
03
其中，V(x)表示状态x的价值函数，R(x,a)表示在状态x采取 行动a的即时奖励，p(x′∣x,a)表示从状态x采取行动a转移到 状态x′的概率。
递归求解方法
01
02
03
递归求解方法是动态规划的常用求解 方法，通过递归地求解子问题来得到 原问题的最优解。
递归求解方法的基本步骤是：将原问 题分解为若干个子问题，分别求解每 个子问题的最优解，然后利用子问题 的最优解来求解原问题的最优解。
03
状态方程的解可以给出系统在 任意时刻的状态，是进行最优 控制的基础。
性能指标函数
01
性能指标函数用于衡量控制策略的效果，通常表示为系统状态 和控制输入的函数。
02
性能指标函数的目标是最小化或最大化，例如控制能量、时间、
误差等。
性能指标函数的选取应根据具体问题的需求来确定，不同的性
03
最优控制模型
H
曲线1
曲线2
曲线3 0 b c
6.2.2 吃糕控制问题
• 1、问题 • 假设行为人拥有一些不可再生的资源，如一块 蛋糕s，该资源的初始存量为s0，行为人在时刻 t的消费量为c(t)，消费的效用函数为u(c)。又假 设行为人的规划期从0时到T时，时期长度固定， 其未来效用的折现率为固定折现率ρ，且行为 人要在T时期末将此蛋糕消费完，不留遗产。 问题是，该行为人如何在0到T的整个时期内分 配此蛋糕的消费量，以使其获得的效用最大？
6.1 离散跨期选择问题
• 1、离散跨期选择的经典问题——“吃糕”问题 • 假设行为人拥有一些不可再生的资源，如一块 蛋糕，该资源的初始存量为S0，行为人在时期t 的消费量为ct，则在时期t资源的存量为： St=St-1-ct 再假设行为人确切地知道他能活3个时期，如 青年、中年、老年三个时期，问题是该行为人 如何将其资源在各个时期中消费？
6.2 连续时间的最优控制
• 4、状态变量的运动方程 • 状态变量就是不由行为人直接控制的系统内生决 定的变量，而控制变量则是行为人可直接控制的 变量。行为人通过对控制变量的控制可以间接地 影响状态变量，状态变量的变化方程是控制变量 的函数，可表示为： ś(t)=g[s(t),c(t),t] 称为状态变量的运动方程。最优控制问题就是要 找出控制变量在各个时刻的最优取值，使得目标 函数值达到最大（或最小）。控制变量从初始时 刻到终结时刻的变化过程称为控制变量的路径， 状态变量的变化过程称为状态变量的路径。
6.2 连续时间的最优控制
• 1、跨期效用函数 • 如此设定的跨期效用函数具有可加性 (additivity)或称可分离性(separability)的性 质。 • 可分离性的条件为： Mij/ck=0 其中Mij为不同时期消费的边际替代率 (marginal rate of substitution between consumption in period i and j)，即： Mij=Ui(.)/Uj(.)=(U/ci)/(U/cj)
最优控制理论
最优控制理论本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目提供专业内容并参与编辑最优控制理论（optimal control theory），是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它是现代控制理论的重要组成部分。
1简介这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。
这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
2研究内容最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
3主要方法为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
最优控制理论简明教程教学设计
最优控制理论简明教程教学设计1. 前言最优控制理论是现代控制学领域的一种重要理论，广泛应用于电力、交通、工业等领域。
随着自主科学研究能力的提升，越来越多的大学生正在接触和学习这一领域的知识。
本篇文章旨在通过简明的教程介绍最优控制理论的基本概念和方法，并提供相关教学设计供教师参考。
2. 最优控制理论基本概念最优控制是指在一定约束条件下，使系统的某一性能指标达到最优的控制过程。
最优控制理论是一种以最小化某种指标（如能量消耗、时间等）为目标的控制系统设计方案。
最优控制问题的一般形式是：已知系统的状态方程和控制方程，以及某种指标函数，求最优控制律，使指标函数取最小值。
最优控制理论主要包括动态规划、变分法等内容。
动态规划是指通过列举所有可能的控制状态（即可能的控制量和被控制量的取值），从中选取最优控制状态。
变分法则是利用守恒原理对系统进行分析，通过求解欧拉-拉格朗日方程确定最优控制状态。
3. 最优控制理论基本方法最优控制分为离散时间和连续时间两种形式。
离散时间最优控制是指以离散时间点上的状态和控制量为变量，求解使目标函数最小化的最优控制量序列。
连续时间最优控制是指利用微积分理论描述系统状态和控制量的变化，从而求解最优控制策略。
最优控制方法的基本步骤如下：1.构造系统动态方程和控制方程。
2.定义目标函数，选择性能指标。
3.制定控制策略，求解最优控制量。
4.根据控制量和动态方程计算系统状态。
在最优控制中，控制量的选取和控制策略的设计是最关键的部分。
设计控制量需要考虑系统模型、控制目标和控制器类型等因素。
4. 最优控制理论教学设计最优控制理论在数字信号处理、电力控制、自动化控制等领域有广泛的应用，是控制工程学科中必须掌握的核心知识之一。
以下是一些教学设计供教师参考：4.1 课堂讲解最优控制理论的教学可以从实际案例入手，介绍最优控制理论的基本概念和方法，以及离散时间和连续时间最优控制方法。
可以使用PPT或黑板演示进行讲解，搭配简单的实例演示，让学生更好地理解。
航天器轨迹规划与控制领域的最优解算
航天器轨迹规划与控制领域的最优解算航天器轨迹规划与控制是航天工程中非常重要的领域，它涉及到如何合理规划航天器的运行轨迹以及如何控制航天器在运行中保持最优状态。
在过去几十年的发展中，研究者们提出了许多解算算法和方法来解决这个问题，不断推动了航天器技术的发展。
本文将介绍航天器轨迹规划与控制领域的最优解算，并探讨一些常见的最优解算方法。
首先，航天器轨迹规划与控制的最优解算目标一般是使得航天器的运行轨迹满足一定的约束条件，并且在满足约束的前提下尽可能优化某个性能指标。
例如，优化航天器轨迹的时间、能耗、燃料消耗等。
为了达到这个目标，研究者们发展了许多最优解算方法，下面将介绍其中几种常见的方法。
第一种方法是动态规划（Dynamic Programming），这是一种经典的最优化方法。
动态规划将问题分解为多个子问题，并使用递推的方式逐步求解，最后得到整体最优解。
在航天器轨迹规划与控制中，动态规划可以用来求解离散时间和状态下的最优控制策略。
通过对航天器的状态变量进行离散化，然后通过动态规划求解每一步的最优决策，可以得到整个轨迹的最优解。
第二种方法是基于优化算法的最优解算方法。
优化算法通过搜索参数空间，在满足约束条件的前提下寻找最优解。
其中一种常用的优化算法是遗传算法（Genetic Algorithm）。
遗传算法模拟生物进化的过程，通过利用基因交叉、变异等操作来搜索参数空间，不断优化目标函数的取值。
遗传算法在求解航天器轨迹规划与控制问题时，可以将航天器的轨迹参数作为染色体，通过迭代搜索找到最优的轨迹解。
第三种方法是强化学习（Reinforcement Learning），这是一种机器学习的方法。
强化学习通过智能体与环境的交互，通过试错的方式不断学习并优化策略，寻找最优解。
在航天器轨迹规划与控制中，可以将航天器视为智能体，将环境的反馈作为奖励信号，通过强化学习算法来寻找最优的轨迹规划和控制策略。
强化学习在航天器轨迹规划与控制中具有很大的潜力，可以在未知的环境中自主学习，并逐步优化轨迹规划和控制策略。
动态规划法
动态规划法[dynamic programming method (DP)]是系统分析中一种常用的方法。
在水资源规划中,往往涉及到地表水库调度、水资源量的合理分配、优化调度等问题,而这些问题又可概化为多阶段决策过程问题。
动态规划法是解决此类问题的有效方法。
动态规划法是20世纪50年代由贝尔曼（R. Bellman）等人提出,用来解决多阶段决策过程问题的一种最优化方法。
所谓多阶段决策过程,就是把研究问题分成若干个相互联系的阶段,由每个阶段都作出决策,从而使整个过程达到最优化。
许多实际问题利用动态规划法处理,常比线性规划法更为有效,特别是对于那些离散型问题。
实际上,动态规划法就是分多阶段进行决策,其基本思路是：按时空特点将复杂问题划分为相互联系的若干个阶段,在选定系统行进方向之后,逆着这个行进方向,从终点向始点计算,逐次对每个阶段寻找某种决策,使整个过程达到最优,故又称为逆序决策过程。
[1]动态规划的基本思想前文主要介绍了动态规划的一些理论依据，我们将前文所说的具有明显的阶段划分和状态转移方程的动态规划称为标准动态规划，这种标准动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的，适合用于理论上的分析。
在实际应用中，许多问题的阶段划分并不明显，这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦。
一般来说，只要该问题可以划分成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子化原理），则可以考虑用动态规划解决。
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。
由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。
其中贪心法的当前选择可能要依赖已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。
因此贪心法自顶向下，一步一步地作出贪心选择；而分治法中的各个子问题是独立的（即不包含公共的子子问题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成问题的解。
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应用动态规划法可使计算量减少许多。动态规 划法遵循一个最优化原则：即所选择的最优路线必 须保证其后部子路线是最优的。
例如在图2中，如果AQ1P2Q3B是最优路线，那么 从这条路线上任一中间点到终点之间的一段路线必 定也是最优的。否则AQ1P2Q3B就不能是最优路线 了。
根据这一原则，求解最优路线问题，最好的办 法就是从终点开始，按时间最短为目标，逐段向前 逆推。依次计算出各站至终点之间的时间最优值， 并据此决策出每一站的最优路线。如在图2中，从终 点B开始逆推。
第七章 动态规划法
动态规划是贝尔曼在50年代作为多段决策过程 研究出来的，现已在许多技术领域中获得广泛应 用。动态规划是一种分段最优化方法，它既可用来 求解约束条件下的函数极值问题，也可用于求解约 束条件下的泛函极值问题。它与极小值原理一样， 是处理控制矢量被限制在一定闭集内，求解最优控 制问题的有效数学方法之一。
P1 7
P2 2
P3
3
4
A
4 6 32
B
4
2
Q1
8
Q2
3
Q3
1
2
3
4
最后一段(第四段)：终点B的前站是P3或Q3，不 论汽车先从哪一站始发，行驶路线如何，在这最后 一段，总不外乎是从P3到B，历时为4，或从Q3到B， 历时为2，将其标明在图3中相应的圆圈内。比较P3与 Q3这一最后一段最优决策为Q3B。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
4
A
4
8 Q1
2
3
5
2
Q2
Q3
4 2B
最后一段(第四段)：终点B的前站是P3或Q3，不 论汽车先从哪一站始发，行驶路线如何，在这最后 一段，总不外乎是从P3到B，历时为4，或从Q3到B， 历时为2，将其标明在图3中相应的圆圈内。比较P3与 Q3这一最后一段最优决策为Q3B。
下面以最优路线问题为例，来讨论动态规划求 解多段决策问题。
设汽车从A城出发到B城，途中需穿越三条河 流，它们各有两座桥P、Q可供选择通过，如图2所 示。各段间的行车时间(或里程、费用等)已标注在 相应段旁。问题是要确定一条最优行驶路线，使从 A城出发到B城的行车时间最短。
P1 7
P2 2
P3
3
4
如图1所示，对于中间的任意一段，例如第k+1
段作出相应的“决策”(或控制)uk后，才能确定该段 输
入状态与输出状态间的关系，即从xk变化到xk+1的状 态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk 以后，那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到 xN也就被完全确定。全部“决策”的总体，称为 “策
略”。
u0
u1
x0
1 x1
2 x2
uk
xk
k+1 xk+1
uN-1
xN-1
N
xN
图1 多段决策过程示意图 当然，如果对每一段的决策都是按照使某种性 能指标为最优的原则作出的，那么这就是一个多段 最优决策过程。
容易理解，在多段决策过程中，每一段(如第 k+1段)的输出状态(xk+1)都仅仅与该段的决策(uk)及 该段的初始状态(xk)有关。而与其前面各段的决策 及状态的转移规律无关。这种性质称为无后效性。
动态最优的核心是最优性原理，它首先将一个 多段决策问题转化为一系列单段决策问题，然后从 最后一段状态开始逆向递推到初始段状态为止的一 套求解最优策略的完整方法。
下面先介绍动态规划的基本概念，然后讨论连 续型动态规划。
一、多段决策问题
动态规划是解决多段决策过程优化问题的一 种强有力的工具。所谓多段决策过程，是指把一 个过程按时间或空间顺序分为若干段，然后给每 一步作出“决策”(或控制)，以使整个过程取得最 优 的效果。
A
4 6 32
B
4
2
Q1
8
Q2
3
Q3
1
2
3
4
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。
由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
2
3
5
2
4 2B
Q1
Q2
Q3
第二段： P2、Q2的前站是P1、Q1。同样不管 汽车是如何到达的P1、Q1，重要的是保证从P1或 Q1到B要构成最优路线。从P1到B的两条路线中， P1P2Q3B，历时为11；P1Q2Q3B，历时为11，取最
短历时11，标注在P1旁。从Q1到B的也有两条路 线中，Q1P2Q3B，历时为8；Q1Q2Q3B，历时为 13，取最短历时8，标注在Q1旁。比较P1与Q1的 最优值，可知这一段的最优路线是Q1P2Q3B。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
2
3
5
2
4 2B
Q1
Q2
Q3
第三段：P3、Q3的前站是P2、Q2。在这一段也
不论其先后的情况如何，只需对从P2或Q2到B进行最 优决策。从P2到B有两条路线：P2P3B，历时为6； P2Q3B，历时为4，取最短历时4，标注在P2旁。从Q2 到B也有两条路线：Q2P3B，历时为7；Q2Q3B，历时 为5，取最短历时5，标注在Q2旁。比较P2与Q2的最 优值，可知这一段的最优路线是P2Q3B。
2) 最优路线的整体决策是从终点开始，采用逆推方 法，通过计算、比较各段性能指标，逐段决策逐步延 伸完成的。
全部最优路线的形成过程已充分表达在图3中。 从最后一段开始，通过比较P3、Q3，得到Q3B； 倒数第二段，通过比较P2、Q2，得到P2Q3B； 倒数第三段，通过比较P1、Q1，得到最优决策为 Q1P2Q3B； 直至最后形成最优路线AQ1P2Q3B。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
4
A
4
8 Q1
2
3
5
2
Q2
Q3
4 2B
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
Hale Waihona Puke 综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如 上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次 加法和6次比较。如果过程为n段，则需做加 法。以上例为例，用穷举法需作4608次加法， 而后者只需做34次加法。