课时跟踪检测(十五) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离

课时跟踪检测（十五） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
1．若点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D ．(－3,7)∪(7，＋∞)
解析：选C 根据题意，得
|3a －6|32＋42
>3，解得a >7或a <－3.
2．[多选]已知点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )
A ．(－8,0)
B ．(－12,0)
C ．(8,0)
D ．(0,0)
解析：选BC 设P (x 0,0)，因为d ＝
|3x 0＋6|
32＋(－4)2
＝6，所以|3x 0＋6|＝30，解得x 0＝8或
x 0＝－12.
3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A ．2
2
(a －b ) B ．b －a C ．
2
2
(b －a ) D ．a 2＋b 2
解析：选C ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0，∴a －b <0.
∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2
＝2
2(b －a )．
4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．42
3
B ．
82
3
C ．4 2
D ．2 2
解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a (a －2)－3＝0，
2a －6(a －2)≠0，
解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2
的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋2
3
＝0，∴l 1，l 2间的距离是
⎪⎪⎪
⎪6－2312＋(－1)
2
＝823.
5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )
A ．3 2
B ．2 3
C ．3 3
D ．4 2
解析：选A 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，
∴M 到原点的距离的最小值为d ＝
6
2
＝3 2. 6．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．
解析：两直线方程分别是x ＝－2和x ＝3，故两条直线间的距离d ＝|－2－3|＝5. 答案：5
7．已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．
解析：由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C (x,3x ＋3)， 由两点式得直线AB 的方程为y －25－2＝x －3
－1－3，
即3x ＋4y －17＝0.
利用点到直线的距离公式d ＝|3x ＋12x ＋12－17|32＋42＝4，解得x ＝－1或x ＝5
3.
答案：()－1，0或⎝⎛⎭⎫
53，8
8．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．
解析：直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋4
2＝3，
∴|PQ |min ＝3. 答案：3
9.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．
解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，
则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )， ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .
梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，
由梯形面积公式得2＋2b 2×b －1
2＝4，
∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.
10．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，l 1到l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．
解：①若l 1，l 2的斜率存在，设直线的斜率为k ， 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.
由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0. 则直线l 1到l 2的距离d ＝
|1＋5k |1＋k 2
＝5，
所以25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，解得k ＝12
5
.
所以l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.
②若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组：
⎩⎪⎨⎪⎧ l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.
1．若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
解析：选B 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB |＝
|－1＋3|
12＋12
＝ 2.
2．[多选]定义点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的有向距离为d ＝Ax 0＋By 0＋C
A 2＋
B 2
.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则下列命题中正确的是( )
A ．若d 1＝d 2，则直线P 1P 2与直线l 平行
B ．若d 1＝－d 2，则直线P 1P 2与直线l 垂直
C ．若d 1·d 2>0，则直线P 1P 2与直线l 平行或相交
D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交
解析：选CD 若d 1＝d 2＝0，则P 1∈l ，P 2∈l ，故A 不正确；若d 1＝－d 2，则P 1与P 2
在直线l 两旁. 故P 1P 2与l 相交，不一定垂直，故B 不正确；若d 1·d 2>0，则P 1与P 2在l 同旁，则P 1P 2∥l 或P 1P 2与l 相交，故C 正确；若d 1·d 2<0，则P 1与P 2在l 两旁，则P 1P 2与l 相交，故D 正确．
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．
解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A a ＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的
斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝⎛⎭⎫
－sin A a ＝－
1，所以两条直线垂直．
答案：垂直
4．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．
解：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n
－1
，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝4，
n ≠－2或⎩⎨⎧
m ＝－4，n ≠2.
①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以
|n ＋2|
16＋64
＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以
|－n ＋2|16＋64
＝5， 解得n ＝－18或n ＝22.
所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.
5．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．
解：设点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝
310
. 因为l AB ∥l CD ，所以可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝3
10.
又因为m ≠－13，所以m ＝－19， 即l AB ：x ＋3y －19＝0. 因为l AD ⊥l CD ，
所以可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，
则点P (1,5)到l AD 的距离等于点P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝3
10
，解得n ＝5或n ＝－1，
则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.
所以正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0. 6．已知三角形的三个顶点分别是A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求角A 的平分线的方程．
解：设P(x，y)为角A的平分线上任一点，
则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，
因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，所以由点到直线的距离公式，
有|4x－3y－13|
42＋(－3)2
＝
|3x＋4y－16|
32＋42
，
即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，
即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，
整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.
易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．。