课时跟踪检测(十五) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
两直线间的距离公式是什么
在数学课堂学习中，我们会学到两直线间的距离公式，那么两直线间的距离公式是什么呢。
以下是由编辑为大家整理的“两直线间的距离公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
两直线间的距离公式两平行线之间的距离公式：d=|C1-C2|/√(A2+B2)。
两平行线方程分别是：Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0。
两平行线之间的距离公式设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|/√(A2+B2)=|-C1+C2|/√(A2+B2)=|C1-C2|/√(A2+B2)学习数学的方法一)、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二)、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
平行线间的距离公式
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
1.15点到直线的距离、两条平行直线间的距离
3.15点到直线的距离、两条平行直线间的距离一、知识结构二、重难点1.掌握点到直线、两条平行直线间的距离公式，并能警醒简单的应用2.能运用距离公式解决有关的综合问题知识点1 点到直线的距离1.一般的点()00,y x P 到直线l ：()==++d B A C By Ax 的距离不同时为0,0______________； 2.特殊的：①点()11,y x P 到x 轴的距离=d ______；②点()11,y x P 到y 轴的距离=d ______；③点()11,y x P 到与x 轴平行的直线a y =的距离=d ______；④点()11,y x P 到与y 轴平行的直线a x =的距离=d ______；求点到直线的距离例1.1求点()21，P 到下列直线的距离：()31-=x y ()12-=y ()轴y 3与定点的距离为定值的直线方程问题例1.2已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()3,1A 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧直线最值问题应用推导公式两条平行直线间的距离应用推导点到直线的距离公式距离最短距离问题例1.3已知直线l 经过直线052:1=-+y x l 与02:2=-y x l 的交点.()1若点()0,5A 到l 的距离为3，求l 的方程；()2求点()0,5A 到l 的距离的最大值.知识点2 两平行线间的距离1.两条平行直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，则21l l 与之间的距离公式：=d ____2.当两直线都与x 轴垂直时，2211:,:x x l x x l ==，则=d ______3.当两直线都与y 轴垂直时，2211:,:y y l y y l ==，则=d ______求两平行线间的距离例2.1求两条平行直线01543:,2086:21=-+=+y x l y x l 间的距离.一条直线与两平行线间距离为定值的问题例2.2已知直线0123:1=--y x l 和01323:2=--y x l ，直线l 与21,l l 间的距离分别是21,d d ，若1:2:21=d d ，求直线l 的方程.与定直线或定点距离为定值的直线例2.3过点()2,1-P 引一条直线l ，使它与两点()()5,43,2-B A ，的距离相等，求这条直线的方程.专题一 直线最值问题1.在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之和最小.①当两点B A ,在直线l 的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和大于第三边可知，点P 为AB 连线与l 的交点；点P 到两点距离之和的最小值为AB .如图：PB PA AB B P A P +=≥'+'，当且仅当P B A 、、三点共线时等号成立.例3.1已知平面上两点A(4,1),B(0,4),在直线L ：3x-y-1=0上求一点M ，使得|MA|+|MB|最小。
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
角坐标系．设A(a,1)，C(b，－2)，则有a2＋1＝b2＋4＝(a－b)2
＋9，即a2－b2＝3
①，且2ab－b2＝8 ②，由②得a＝
b2＋8 2b
，代入①得
b2＋8 2b
2－b2＝3，即3b4－4b2－64＝0，解得
b2＝
16 3
，所以该三角形边长的平方等于
16 3
＋4＝
28 3
，故该正三角形的面积是
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另 一条直线的距离．
(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋ b2，且 b1≠b2 时，得 d＝|b1k－2＋b21|；当直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋ C2＝0，且 C1≠C2 时，得 d＝ |CA1－2＋CB2|2.必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应 相等．
2．3.3 & 2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
(一)教材梳理填空
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax 两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：
公式 ＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C| _____A__2＋__B__2 _____
Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距
|C1－C2| 离 d＝ A2＋B2
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b. (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为|m－22n|. 答案：(1)× (2)√ (3)√
2024-2025学年高二上数学课时作业17：点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
2024-2025学年高二上数学课时作业(十七)点到直线的距离公式两条平行直线间的距离[练基础]1．点A(3，－7)到直线x＋y＝0的距离为()A.2B．2C．4D．222．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．2B．2－2C．2－1D．2＋13．两平行直线l1：x－2y－10＝0，l2：2x－4y＋310＝0之间的距离为()B．3A．522C．5D．224．已知斜率为1的直线l过直线3x－y＋1＝0与2x＋y－6＝0的交点，则原点到直线l 的距离为()B．22A．322C．1D．25．(多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则()A．a＝－3B．b＝2C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为21313D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为413136．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P 的坐标为________．7．已知两条平行直线3x＋4y－6＝0和3x＋4y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a的值为________.8．已知△ABC三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3).(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；(2)求点A到BC边所在直线的距离．[提能力]9．(多选)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋9＝0C．3x－4y＋11＝0D．3x－4y－9＝010．若直线y＝2x，x－y＝1，mx＋ny＋3＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A．233B．5C．53D．35511．设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________．12．已知直线l的方程为x＋my－m－3＝0.点P的坐标为(2，0).(1)证明：直线l一定经过第一象限；(2)设直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，当点P到直线l的距离取得最大值时，求△PAB的面积．[培优生]13．已知平面内一点M(3，4)，若直线l上存在点P，使|PM|＝2，则称该直线为点M(3，4)的“2域直线”，下列直线中不是点M(3，4)的“2域直线”的是()A．4x－3y＝0B．y＝2C．x－4y＝0D．x＝5答案解析1．解析：点A (3，－7)到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|3－7|2＝22.答案：D2．解析：由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.∴|a ＋1|＝2，a ＋1＝±2.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a ＞0，∴a ＝－1＋2.答案：C3．解析：由题意得：∵直线l 1：x －2y －10＝0，l 2：2x －4y ＋310＝0，∴k 1＝12，k 2＝24＝12，两直线为平行直线，直线l 1：x －2y －10＝0⇔l 1：2x －4y －210＝0，两平行直线之间的距离为d ＝|310－（－210）|4＋16＝522.答案：A4．解析：x －y ＋1＝0x ＋y －6＝0，＝1＝4，又直线斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，∴原点到直线l 的距离为|0－0＋3|2＝322.答案：A5．解析：＝2＋b ＋a ＝0，解得a ＝－3，b ＝2，故A 、B 正确，∴(1，2)到直线－3x ＋2y ＋3＝0的距离d ＝|－3＋4＋3|（－3）2＋22＝41313，故C 错误，D 正确．答案：ABD6．解析：设点P 的坐标为(a ，5－3a )，由题意得|a －（5－3a ）－1|12＋（－1）2＝2，解得a ＝1或2，所以点P 的坐标为(1，2)或(2，－1).答案：(1，2)或(2，－1)7．解析：∵3x ＋4y －6＝0和3x ＋4y ＋a ＝0之间的距离等于2，∴d ＝|a ＋6|32＋42＝2，解得a ＝4或－16.答案：4或－168．解析：(1)∵B(－2，－1)，C(2，3)，∴k BC＝3＋12＋2＝1，则所求直线的斜率为：k＝－1，又BC的中点D的坐标为(0，1)，所以BC边上的中垂线所在的直线方程为：x＋y－1＝0；(2)直线BC的方程为：y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0，则点A(－1，4)到直线BC：x－y＋1＝0的距离为：d＝|－1－4＋1|2＝22.9．解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得|m－（－1）|32＋（－4）2＝2，解得m＝9或－11.答案：AB10．解析：＝2x－y＝1，＝－1＝－2，所以直线的交点为(－1，－2)，因为交点(－1，－2)在直线mx＋ny＋3＝0上，所以m＋2n－3＝0，所以点(m，n)到原点的距离的最小值为d＝|－3|12＋22＝355.答案：D11．解析：∵直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，化为：m(x－y)＋(x＋3y－8)＝0，－y＝0＋3y－8＝0，解得x＝y＝2，则直线l1恒过定点(2，2)；过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为：(m＋1)x－(m－3)y＝0，则经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为：y＝x.则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y＝x垂直．直线l2的方程为x＋y＝0.答案：(2，2)x＋y＝012．解析：(1)直线l：x＋my－m－3＝0，整理可得：x－3＋m(y－1)＝0，∴直线恒过x－3＝0和y－1＝0的交点，即直线恒过定点(3，1)在第一象限，∴直线l一定经过第一象限；(2)由(1)可得：直线恒过定点M(3，1)，当PM与l垂直时，P到直线的距离最大，为|PM|＝（3－2）2＋12＝2，又k PM＝1－03－2＝1，故直线l的斜率为－1，即－1m＝－1，可得m＝1，直线l的方程为：x＋y－4＝0，令y＝0得：x＝4；令x＝0得：y＝4，即A(4，0)，B(0，4)，∴|AB|＝42＋42＝42，∴S△P AB＝12·|AB|·|PM|＝12×42×2＝4.13．解析：A ：M 到直线的距离为d ＝05＝0＜2，故直线存在P 使|PM |＝2，符合“2域直线”；B ：M 到直线的距离为d ＝2，故直线存在P 使|PM |＝2，符合“2域直线”；C ：M 到直线的距离为d ＝|3－4×4|17＝1317＞2，故直线不存在P 使|PM |＝2，不符合“2域直线”；D ：M 到直线的距离为d ＝2，故直线存在P 使|PM |＝2，符合“2域直线”．答案：C。
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
d
y0
P0 (x0,y0)
R
By0 A
C
,
y0
O
x0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
y S
Q l : Ax By C 0
d R
P0 (x0,y0)
O
x
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样?？
练习
▪ P108 练习 1，2
P107 例6
解：设AB边上的高为h
S 1 | AB | h 2
y 3 A (1,3)
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
2
k AB
31 13
1
AB的方程为
1h
B (3,1)
y 3 1(x 1)
点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 同步训练 (含答案)人教A版-选择性必修一
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离基础过关练题组一 点到直线的距离1.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m 等于( ) A.0 B.34C.3D.0或342.已知直线l 1:ax+y-1=0与直线l 2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l 1的距离为( )A.1B.2C.√2D.2√23.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m 的值为(深度解析) A.-6或1 B.-12或1C.-12或12D.-6或124.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.75.在直线x+3y=0上求一点P,使点P 到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二两条平行直线间的距离6.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为()A.15B.√55C.35D.3√557.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是()A.0<d≤3B.0<d≤5C.0<d<4D.3≤d≤58.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是.9.直线l到其平行直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是.10.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.题组三距离公式的综合应用11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,√17]12.已知正方形的两边所在直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.13.(2019山西太原高二上期中)已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.14.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.能力提升练题组一点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是()A.y=x+1B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=03.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是.4.()已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则直线l过定点,点P到直线l的距离d的最大值为.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二月考,)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;(2)求△OAB面积的最小值.题组二两条平行直线间的距离6.()若动点A(x 1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3√2B.2√3C.3√3D.4√27.()已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则√(m-a)2+(n-b)2的最小值为.8.(2019河北冀州中学高一月考,)已知三条直线l 1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的;(3)P点到l1的距离与P点到l3的距离点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12之比是√2∶√5?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.题组三距离公式的综合应用9.()到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=010.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l 1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(32,12),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为()A.√1302B.√13+3√22C.√13D.3√211.()已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1).(1)求点A到直线CD的距离;(2)求点C的坐标.答案全解全析 基础过关练1.D 点M 到直线的距离d=√2=3,解得m=0或m=34.2.C 由已知得,k l 1=-a,k l 2=1,又l 1⊥l 2, ∴-a×1=-1,解得a=1.此时直线l 1的方程为x+y-1=0, ∴点(1,2)到直线l 1的距离d=√22=√2,故选C.3.D 解法一:依题意得,直线mx+y+3=0过线段AB 的中点,或与直线AB 平行. ①线段AB 的中点坐标为(1,3),且在直线mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6; ②由两直线平行知4-2-1-3=-m,解得m=12.因此m 的值为-6或12,故选D. 解法二:由题意得√2=√2,解得m=-6或m=12,故选D.解题模板 两点到直线距离相等,可用几何法,即直线与两定点所在直线平行,或直线过以两定点为端点的线段的中点.此类题型也可用代数法.4.A 直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l ⊥PM 时,d 有最大值,结合两点间距离公式可得d 的最大值为√(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.5.解析 由题意可设P(-3y 0,y 0),则√9y 02+y 02=|-3y 0+3y 0-2|√22,即√10|y 0|=2√.∴y 0=±15.故点P 的坐标为(-35,15)或(35,-15). 6.D 由l 1∥l 2得,a=-12,因此l 1:2x-y-2=0,∴d=√2=√=3√55,故选D.7.B 当两条平行直线与AB 垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以0<d ≤5. 8.答案 5解析 两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5. 9.答案 x-2y+2=0解析 由题意设所求直线l 的方程为x-2y+C=0(C ≠4), 则√2=√2,解得C=2,故直线l 的方程为x-2y+2=0.10.解析 ①若直线l 1,l 2的斜率存在,设直线的斜率为k,设l 1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l 2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0, 因为直线l 1过点A(0,1),所以点A 到直线l 2的距离d==5,所以25k 2+10k+1=25k 2+25,解得k=125,所以l 1的方程为12x-5y+5=0,l 2的方程为12x-5y-60=0.②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x=0,l 2的方程为x=5, 它们之间的距离为5,同样满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程有两组:l 1:12x-5y+5=0,l 2:12x-5y-60=0或l 1:x=0,l 2:x=5.11.A 易知两直线之间的最大距离为P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=√(2+1)2+(-1-3)2=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5]. 12.答案 2解析 由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d=√=√2,所以正方形的面积为2.13.解析 (1)由题可知,直线BC 过(2,3),(3,-2),∴方程为x -23-2=y -3-2-3,化简得5x+y-13=0,∴直线BC 的方程为5x+y-13=0. (2)由题可知|BC|=√(3-2)2+(-2-3)2=√26,A(1,1)到直线BC 的距离d=√=726√26,∴S △ABC =12·|BC|·d=12×√26×726√26=72,∴△ABC 的面积为72. 14.解析 解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y 轴的距离不相等, ∴直线l 的斜率存在,设为k.又直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l 的距离相等, 得√2=√2,解得k=0或k=1.∴直线l 的方程是y=2或x-y+2=0.解法二:当直线l 过线段AB 的中点时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵AB 的中点是(-1,1),又直线l 过点P(0,2), ∴直线l 的方程是x-y+2=0;当直线l ∥AB 时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵直线AB 的斜率为0,∴直线l 的斜率为0,∴直线l 的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l 的方程是x-y+2=0或y=2.能力提升练1.A 根据题意得,当所求直线与直线OA 垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA 的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A.2.BC 选项A 中,点M 到直线y=x+1的距离d==3√2>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A 中的直线不是点M 的“相关直线”;选项B 中,点M 到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B 中的直线是点M 的“相关直线”;选项C 中,点M 到直线4x-3y=0的距离d==4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C 中的直线是点M 的“相关直线”;选项D 中,点M 到直线2x-y+1=0的距离d==11√55>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故D 中的直线不是点M 的“相关直线”.故选BC. 3.答案 2+√2解析 依题意得,点(1,1)到直线的距离d=√22=|cos θ+sin θ-2|=|√2sin (θ+π4)-2|.∴当sin (θ+π4)=-1时,d max =|-√2-2|=2+√2.4.答案 (1,1);√10解析 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y -(2+5λ)=0,化为(x+y-2)+λ(3x+2y -5)=0, 令{x +y -2=0,3x +2y -5=0,解得x=y=1,因此直线l 经过定点Q(1,1),当直线PQ ⊥直线l 时,点P 到直线l 的距离d 有最大值,最大值为|PQ|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.5.解析 (1)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O 到直线l 的距离d=√2=4,解得k=-724.故直线l 的方程为-724x-y-4×(-724)+3=0,即7x+24y-100=0. (2)因为直线l 的方程为kx-y-4k+3=0, 所以A (-3k +4,0),B(0,-4k+3).则△OAB 的面积S=12|OA|·|OB|=12×(-3k +4)×(-4k+3) =12(-9k-16k +24). 由题意可知k<0,则-9k -16k ≥2√(-9k )×(-16k)=24当且仅当k=-34时,等号成立.故△OAB 面积的最小值为12×(24+24)=24.6.A 由题意知,点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c ≠-7且c ≠-5),则√=√,即c=-6,所以点M 在直线x+y-6=0上,所以点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即√=3√2.7.答案 1解析 设点A(m,n),B(a,b),直线l 1:3x+4y=6,直线l 2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l 1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l 2:3x+4y=1上,|AB|=√(m -a)2+(n -b)2,由l 1∥l 2,得|AB|min =|6-1|√=1.8.解析 能.设存在满足条件的点P(x 0,y 0), 若点P 满足条件(2),则有|2x -y 0+3|=12·|-4x +2y 0+1|,化简得2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0.若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有|2x -y 0+3|=√√·|x +y 0-1|√22,即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|.∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去.由{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=-3,y 0=12.不合题意,故舍去. 由{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=19,y 0=3718.∴P (19,3718)即同时满足三个条件的点. 9.D 依题意知,所求直线与已知直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得√22=|C+1|5=2,则C 1=-11或C 2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D. 10.B 解法一:如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图1设点P(a,-a-2),则点Q (a +32,-a -12).所以|AP|+|PQ|+|QB|=√(a +3)2+(-a +1)2+3√22+√a 2+(-a -1)2=√(a +3)2+(a -1)2+3√22+√a 2+(a +1)2.设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则图2√(a +3)2+(a -1)2+√a 2+(a +1)2=|MC|+|MD|≥|CD|=√13. 所以|AP|+|PQ|+|QB|有最小值3√22+√13.解法二:如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图3过点A 作垂直于l 1的直线,并截取|AA'|=|PQ|. 设点A'(x 0,y 0),则{x 0=-3+3√22×√22=-32,y 0=-3+3√22×√22=-32.因此,点A'(-32,-32),则|A'B|=√13.连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP 是平行四边形, 故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=√13. 因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥3√22+√13.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3√22+√13.11.解析 (1)点A 到直线CD 的距离d=√=3√55.(2)依题意,点A 关于直线CD 的对称点A'在边BC 上,设A'(x 0,y 0). 则{2·x 0+12+y 0+22-1=0,y 0-2x 0-1·(-2)=-1,解得{x 0=-75,y 0=45, 即A'(-75,45). ∴直线BC 的方程为9x+2y+11=0.联立直线BC 与CD 的方程,解得点C 的坐标为(-135,315).。
两条平行直线间的距离公式
两条平行直线间的距离公式两条平行直线距离公式：若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
两条平行直线间的距离公式 1定义两条平行直线间的距离公式 1是指夹在两条平行直线间上午公垂线段的长。
夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。
公式若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
判断两条直线平行的方法1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
4.平面内永不相交的两直线平行。
5.平面内等距的两条直线平行。
6.在直角坐标系中，斜率相等或同时不存在的两直线平行。
两条直线相互垂直的条件两条直线在同一平面内1、如果斜率为k1和k2，那么这两条直线垂直的充要条件是k1·k2=－12、如果一直线不存在斜率，则两直线垂直时，一直线的斜率必然为零。
3、两直线垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0.如果是几何，那就证明两条线所形成的角是90度、勾股定理或是圆周角的性质。
不在同一平面内1、两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
2、线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线，一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边。
3、三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
4、三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2.3.3 点到直线的距离公式~2.3.4 两条平行直线间的距离(解析版)..
2．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离知识梳理知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2题型探究题型一、求点到直线的距离1．已知点()2,1P 和直线:2l y x =+，则点P 到直线l 的距离为_______.【答案】322【详解】由:2l y x =+可得20x y -+=，则点P 到直线l 的距离为222123221(1)d -+==+-，故答案为：322.2．(1)求点P (2，－3)到下列直线的距离．①y ＝43x ＋13；②3y ＝4.(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P (－1,0)的距离是3105的直线l 的方程．【详解】(1)①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185.②3y ＝4可化为3y －4＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|－3×3－4|02＋32＝133.(2)设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知，d ＝|3×(－1)－0＋m |32＋(－1)2＝|m －3|10＝3105.所以|m －3|＝6，即m －3＝±6.得m ＝9或m ＝－3，故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.题型二、由点到直线的距离求参数或范围1．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【答案】D【详解】因为(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，所以有22223(2)0(4)13441134523(4)3(4)a a a ⨯-+⨯-+⨯-+=⇒-=⇒=+-+-，或92a =，故选：D2．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,3【答案】D【详解】由题意知直线():22l y k x =-+过定点()2,2A ，且不与x 轴垂直，当直线():22l y k x =-+经过点()1,2P -时，，点()1,2P -到直线l 的距离最小为0，当过点()2,2A 的直线垂直于x 轴时，点()1,2P -到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：由于():22l y k x =-+的斜率存在，故点()1,2P -到直线l 的距离小于3，即点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是[)0,3，故选：D.3．已知点()M a b ，在直线34200x y +-=上,则22a b +的最小值为_____.【答案】4【详解】根据题意知，22a b +表示原点到直线34200x y +-=上的点的距离，∴22a b +大于等于原点到直线34200x y +-=的距离，原点到直线34200x y +-=的距离为2045=，∴224a b + ，∴22a b +的最小值为4．故答案为：4．题型三、两平行线间的距离1．直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】524【详解】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|52242d --==，故答案为：5242．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（）A ．235B ．2310C ．72D ．27【答案】C【详解】因为直线34120x y +-=与直线8110ax y ++=平行,所以8113412a =≠-,解得6a =,将68110x y ++=化为113402x y ++=,所以两平行直线34120x y +-=与113402x y ++=之间的距离为2211|12|72234--=+.故选：C3．若直线230x y +-=与直线420++=x y a 之间的距离不大于5，则实数a 的取值范围为（）A ．4a ≤B ．164a -≤≤C ．416a -≤≤D ．16a ≤或4a ≥【答案】B【详解】直线230x y +-=化为4260x y +-=，则两直线之间的距离226542a d +=≤+，即610a +≤，解得164a -≤≤.所以实数a 的取值范围为164a -≤≤.故选：B.4．过点(1,0)A 的直线1l 与过点(1,4)B -的直线2l 平行，且它们之间的距离为2，求直线1l 和2l 的方程．【答案】1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为1x =，1x =-，此时它们之间的距离为2，不满足题意；当两直线的斜率存在时，设方程分别为(1)y k x =-与()14=++y k x ，即kx y k 0--=，40kx y k -++=．它们之间的距离为2，22421+∴=+k k ，化简得287=0++k k ，解得1k =-，或7k =-，∴这两条直线的方程为1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=题型四、距离的综合应用1．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．【详解】(1)如图，显然有0<d ≤|AB |.而|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直．而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.2．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1)，B (m ，m )，C (4,2)，1<m <4.当m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【详解】|AC |＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，直线AC 的方程为y －12－1＝x －14－1，即x －3y ＋2＝0.因为点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|12＋(－3)2，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|m －322－14|.因为1<m <4，所以1<m <2，所以0<|m －322－14|≤14，0<S ≤18.所以当m ＝32，即m ＝94时，△ABC 的面积S 最大．跟踪训练1．点(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为___．【答案】165【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为22|31425|16534⨯+⨯+=+.故答案为：1652．在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．【答案】4【详解】()1,A a 在一象限，所以0a >，点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则43135a +-=，解得：4a =或6a =-.因为0a >，所以4a =.故答案为：4.3．在平面角坐标系xOy 中，直线l ：(21)10k x ky -++=，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为_____________．【答案】5【详解】由直线(21)10k x ky -++=可化为(1)(2)0x k x y -++=，联立方程组1020x x y -=⎧⎨+=⎩，解得x 1,y 2==-，即直线过定点(1,2)P -，由于直线(21)10k x ky -++=经过定点(1,2)P -，又221(2)5OP =+-=所以原点到直线l 的距离的最大值为5.4．已知点(,)M a b 在直线3410x y +=上，则22a b +的最小值为______【答案】2【详解】由点(,)M a b 在直线上得3410x y +=上，且22a b +表示点M 与原点的距离∴22a b +的最小值为原点到直线3410x y +=的距离，即2210234d ==+∴22a b +的最小值为2故答案为25．两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.【答案】12【详解】直线4310x y +-=可化为8620x y +-=，又直线8620x y +-=与直线8630x y ++=的距离为22|3(2)|8+6--，所以平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是12，故答案为：12.6．已知直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，则=a ___________，此时1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】1-2【详解】直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，所以10a a ⋅-=，解得1a =±，当1a =时，1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，此时1l 与2l 重合，故舍去；当1a =-时，1l ：10x y -++=，2l ：10x y -+=，此时1l 与2l 平行；故1a =-；若12l l ∥，即1l ：10x y -++=，即1l ：10x y --=，2l ：10x y -+=，所以1l 与2l 之间的距离为()()2211211--=+-.故答案为：1-，2.7．若直线1:21l y x =-与直线2l 平行，且它们之间的距离等于5，则直线2l 的方程为___________.【答案】240x y -+=或260x y --=【详解】设直线2:2l y x b =+，将直线1l 与直线2l 化为一般式可得1:210l x y --=，2:20l x y b -+=，故它们之间的距离为22152(1)b +=+-，解得4b =或6-，故直线2l 的方程为240x y -+=或260x y --=.故答案为：240x y -+=或260x y --=.8．已知直线l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【答案】x ＋2y －3＝0【详解】当两条平行直线与A ，B 两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)．所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.高分突破1．与点()21M ,之间的距离为2，且在x 轴上的截距为4的直线是（）A ．4x =B ．34120x y --=C ．4x =或34120x y --=D ．4y =或34120x y --=【答案】C【详解】4x =与()21M ,的距离为2，在x 轴上的截距为4，故4x =符合要求；对于直线34120x y --=，有22|324112|23(4)d ⨯-⨯-==+-且0y =时4x =，故也符合要求；4y =与()21M ,的距离为3且x 轴无交点，不符合要求.∴4x =、34120x y --=都是与点()21M ,距离为2且在x 轴上的截距为4的直线.故选：C2．直线1l ：230x y --=与2l ：3610x y -+-=之间的距离为（）A ．455B ．253C ．4515D ．5【答案】B【详解】由3610x y -+-=可得1203x y -+=，即1l 与2l 平行，故1l 与2l 之间的距离为2231331(252)--=+-.故选：B.3．已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（）A ．4B ．1020C ．104D ．71020【答案】D【详解】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++=，则距离是221371022031+=+.故选：D.4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为20x y +=，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）A ．220x y +±=B ．250x y +±=C ．240x y +±=D ．2250x y +±=【答案】D【详解】由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为20x y c ++=，则22221c =+，∴25c =±，∴与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2250x y +±=.故选：D.5．①点()3,2P -到直线:34210l x y +-=的距离是___________.②两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离是___________.【答案】41326【详解】①()3,2,:34210P l x y -+-=；则点P 到直线l 的距离()22334221204534d ⨯+⨯--===+.②6430x y --=即为33202x y --=，所以两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离22311322632d -==+.6．点P 为直线3420x y +=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.【答案】3【详解】由题意得当点P 和点(3,1)-的连线和直线3420x y +=-垂直时距离最小，此时距离等于点(3,1)-到直线3420x y +=-的距离()223341233(4)⨯-⨯-+=+-，故P 到点(3,1)-的距离的最小值为3.故答案为：3.7．点(2,3)P 到直线(1)30mx m y +-+=的距离等于4，则实数m ___________.【答案】47或4【详解】由题意可得：22|23(1)3|4(1)m m m m +-+=⇒+-2103267m m -+=，解得47=m 或4．故答案为：47或4．8．两平行线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为______．【答案】210m n -【详解】因为直线1:340l x y m ++=，即为1:6820l x y m ++=，所以两平行直线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为22221068m n m n d --==+.故答案为：210m n-.9．设3450x y +-=，则22x y +的最小值是___________.【答案】1【详解】22xy +表示直线3450x y +-=上任意点(,)P x y 到原点的距离的平方，显然原点到直线3450x y +-=上的点的最小距离就是原点到直线3450x y +-=的距离，即2203045134d ⨯+⨯-==+，所以22x y +的最小值是2211d ==.故答案为：110．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【答案】(1)360x y --=；(2)24【详解】(1)因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．(2)()2227(21)310BC =++--=，直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 的距离为223334161013+⨯+=+，则ABC 的面积为11631024210⨯⨯=.11．求与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线．【答案】3243130x y -++=或3243130x y -+-=.【详解】设所求直线方程为320x y m -+=，由()22|4|332m -=+-，得4313m =+或4313m =-，所以与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线方程为3243130x y -++=或3243130x y -+-=.12．两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.【答案】(1)12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=；(2)(0,26⎤⎦【详解】(1)当1l ，2l 斜率不存在时，易知12:1,:0l x l x ==，1l ，2l 之间的距离为1，不合题意；当1l ，2l 斜率存在时，设斜率为k ，则12:(1),:5l y k x l y kx =--=，化为一般式得1:0l kx y k --=，2:50l kx y -+=，由1l ，2l 之间的距离为5，可得()22551k k --=+-，解得0k =或512k =，当0k =时，12:0,:5l y l y ==；当512k =时，12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.故两直线方程为12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.(2)如图：当1l ，2l 旋转到和AB 垂直时，1l ，2l 之间的距离d 最大为()2210(05)26-+-=，当1l ，2l 旋转到和AB 重合时，距离为0，又两平行直线1l ，2l 不重合，故(0,26d ⎤∈⎦.13．已知直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，且直线1l 与直线2l 之间的距离为10，求m 、n 的值．【详解】因为直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，所以2312m n =≠，解得6m =，4n ¹，又因为直线1l 与直线2l 之间的距离为10，所以2241062n -=+，解得24n =或16n =-.综上，m 的值为6；n 的值为24或16-.14．已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.【详解】设点P 的坐标为(,)a b .∵(4,3)A -，(2,1)B -，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-.而AB 所在直线的斜率31142AB k -+==--，∴线段AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=.∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=……①；又点(,)P a b 到直线4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±……②.联立①②，解得1,4,a b =⎧⎨=-⎩或27,78.7a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求点P 的坐标为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知平行四边形ABCD ，(1,2)A 、(2,4)B 、1(,5)2C ，求：(1)点D 的坐标及点A 到直线CD 的距离；(2)平行四边形ABCD 的面积．【详解】(1)设点00(,)D x y ，则有线段BD 的中点坐标为00(1,2)22x y ++，依题意，线段AC 中点坐标为37(,)42，由平行四边形性质知：0031247222x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得001,32x y =-=，所以点D 的坐标为1(,3)2D -；直线CD 的斜率53211()22k -==--，直线CD 的方程为152()2y x -=-，即240x y -+=，所以点(1,2)A 到直线CD 的距离22|2124|4552(1)d ⨯-+==+-.(2)由（1）知，线段CD 长2211||()(35)522CD =--+-=，所以平行四边形ABCD 的面积45||545S CD d =⋅=⨯=.。
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式两条平行直线间的距离要计算点到直线的距离，我们需要知道直线的方程以及点的坐标。
一般来说，直线的方程可以用一般式（Ax + By + C = 0）或截距式（y = mx + b）表示。
点的坐标通常以（x，y）的形式给出。
我们以一般式为例来介绍如何计算点到直线的距离。
假设我们有一个直线的一般式方程为Ax+By+C=0，点的坐标为（x0，y0）。
要计算这个点到直线的距离，我们可以使用以下公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)下面我们来详细解释这个公式。
首先，我们可以通过将点的坐标代入直线方程得到：Ax0+By0+C=0根据这个等式，我们可以得到点在直线上的投影点(xp，yp)：xp = x0 - (A(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))yp = y0 - (B(Ax0 + By0 + C) / (A² + B²))接下来，我们可以计算这两个点之间的距离。
使用两点间距离公式：距离= √((xp - x0)² + (yp - y0)²)代入xp和yp的值，我们可以得到：距离=√((x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-x0)²+(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))-y0)²)化简这个表达式，我们可以得到：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))因为xp和yp是点到直线上的投影点，所以(x0 - xp)是点到投影点的水平距离，(y0 - yp)是点到投影点的垂直距离。
因此，我们可以将上述公式进一步简化为：距离= √((A²(x0 - xp)² + B²(y0 - yp)²) / (A² + B²))最后，我们可以再次替换xp和yp的值，将它们表示为点的坐标和直线方程：距离=√((A²(x0-(x0-(A(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²+(B²(y0-(y0-(B(Ax0+By0+C)/(A²+B²))))²)/(A²+B²))进一步简化，我们可以得到最终的公式：距离=，Ax0+By0+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。
(2021年整理)点到直线、两条平行直线间的距离
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点到直线、两条平行直线间的距离[学习目标］ 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题。
2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离。
知识点一点到直线的距离1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.2.公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!.思考在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？答点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式.知识点二两平行直线间的距离1。
概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2。
公式:两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2:Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝错误!。
思考两条平行直线间的距离公式写成d＝错误!时对两条直线应有什么要求？答两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.题型一点到直线的距离例1 求过点P(1,2)且与点A（2，3)，B(4，－5）的距离相等的直线l的方程.解方法一由题意知k AB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1），所以过点P(1,2）与直线AB 平行的直线方程为y－2＝－4(x－1），即4x＋y－6＝0。
此直线符合题意.过点P(1,2)与线段AB中点C（3,－1)的直线方程为错误!＝错误!，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意.故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0。
高中数学课时素养评价.3.3_.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离含解析选择性第一册
十五点到直线的距离公式两条平行直线间的距离（25分钟·50分)一、选择题（每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分,有选错的得0分）1.（多选题)直线l过点B(3，3)，若A（1，2）到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为()A.3x+4y-21=0B.4x+3y-21=0C。
x=3 D.y=3【解析】选AC。
直线l:x=3满足条件.直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y-3=k(x-3),即kx—y+3-3k=0。
由题意可得:=2,解得k=—，所以直线l的方程为:3x+4y-21=0.综上可得:直线l的方程为：x=3或3x+4y-21=0.2。
已知点A（1，3)，B(3,1),C(—1，0)，则△ABC的面积等于（）A。
3 B.4 C.5D。
6【解析】选 C.设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.｜AB｜==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y—4=0.点C到直线x+y—4=0的距离为=,因此，S△ABC=×2×=5。
3。
若直线l平行于直线3x+y—2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是()A。
3x+y±10=0 B.3x+y±=0C。
x-3y±10=0 D。
x-3y±=0【解析】选A.设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0，由原点到直线l的距离为，得=,则m=±10,所以直线l的方程是3x+y±10=0.4。
已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2:6x+by+c=0间的距离为3，则b+c等于（) A.—12B。
48C。
36D。
-12或48【解析】选D.将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行,所以b=8.由=3解得c=—20或c=40,所以b+c=—12或48.二、填空题（每小题5分,共10分）5。
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课时跟踪检测（十五） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离1．若点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D ．(－3,7)∪(7，＋∞)解析：选C 根据题意，得|3a －6|32＋42>3，解得a >7或a <－3.2．[多选]已知点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )A ．(－8,0)B ．(－12,0)C ．(8,0)D ．(0,0)解析：选BC 设P (x 0,0)，因为d ＝|3x 0＋6|32＋(－4)2＝6，所以|3x 0＋6|＝30，解得x 0＝8或x 0＝－12.3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A ．22(a －b ) B ．b －a C ．22(b －a ) D ．a 2＋b 2解析：选C ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0，∴a －b <0.∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2＝22(b －a )．4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．423B ．823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 6．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．解析：两直线方程分别是x ＝－2和x ＝3，故两条直线间的距离d ＝|－2－3|＝5. 答案：57．已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．解析：由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C (x,3x ＋3)， 由两点式得直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0.利用点到直线的距离公式d ＝|3x ＋12x ＋12－17|32＋42＝4，解得x ＝－1或x ＝53.答案：()－1，0或⎝⎛⎭⎫53，88．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ |min ＝3. 答案：39.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )， ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.10．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，l 1到l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．解：①若l 1，l 2的斜率存在，设直线的斜率为k ， 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0. 则直线l 1到l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5，所以25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，解得k ＝125.所以l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.②若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上，满足条件的直线方程有两组：⎩⎪⎨⎪⎧ l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.1．若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选B 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB |＝|－1＋3|12＋12＝ 2.2．[多选]定义点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的有向距离为d ＝Ax 0＋By 0＋CA 2＋B 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则下列命题中正确的是( )A ．若d 1＝d 2，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝－d 2，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1·d 2>0，则直线P 1P 2与直线l 平行或相交D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选CD 若d 1＝d 2＝0，则P 1∈l ，P 2∈l ，故A 不正确；若d 1＝－d 2，则P 1与P 2在直线l 两旁. 故P 1P 2与l 相交，不一定垂直，故B 不正确；若d 1·d 2>0，则P 1与P 2在l 同旁，则P 1P 2∥l 或P 1P 2与l 相交，故C 正确；若d 1·d 2<0，则P 1与P 2在l 两旁，则P 1P 2与l 相交，故D 正确．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A a ＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝⎛⎭⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直4．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以|－n ＋2|16＋64＝5， 解得n ＝－18或n ＝22.所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.5．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：设点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. 因为l AB ∥l CD ，所以可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝310.又因为m ≠－13，所以m ＝－19， 即l AB ：x ＋3y －19＝0. 因为l AD ⊥l CD ，所以可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则点P (1,5)到l AD 的距离等于点P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝310，解得n ＝5或n ＝－1，则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0. 6．已知三角形的三个顶点分别是A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求角A 的平分线的方程．解：设P(x，y)为角A的平分线上任一点，则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，所以由点到直线的距离公式，有|4x－3y－13|42＋(－3)2＝|3x＋4y－16|32＋42，即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．。