自动控制原理第八章非线性控制系统资料
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第八章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 描述函数法 8.3 相平面法
8.1 概述
8.1.1典型非线性特性
非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律; 非线性系统的运动形式多样，种类繁多; 线性系统只是在特定条件下的近似描述。
线性系统:线性元件组成，输入输出间有叠加性和均匀性。 非线性系统:有非线性元件，输入输出间无叠加性和均
4、频率响应
线性系统输入是正弦信号时，稳态输出也是同频率的正 弦量，可以用频率特性描述。
非线性系统的输入正弦信号时，稳态输出通常是非正弦 函数，甚至出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
backlash
y(t)
ωt
relay
8.1.3非线性系统的研究方法
)
k
x(t
)
a
y(t) 0 y(t) 0
输入x(t )
b s i gn x(t)
y(t) 0
b
1 si gn x(t) 1
x(t) 0 x(t) 0 液压传动中的油隙
特征： 元件开始运动：输入<a，无输出信号；
齿轮传动中的齿隙 等有间隙特性
输入>a，输出随输入线性变化;
元件反向运动：在运动方向发生变化瞬间的输出值；
特征：输入信号超出线性范围后，输出信号不再随输入信
号变化而保持恒定。
饱和特性的影响：
放大器的饱和输出特性、 （1）系统开环增益下降，对动
磁饱和、 元件的行程限制、 功率限制等有饱和特性。
态响应的平稳性有利。 （2）系统的快速性和稳态跟踪 精度下降。
3、间隙特性
输出 y(t)
b
k x(t) a
y(t
输入反向变化>2a，输出随输入线性变化;
输入输出之间具有多值关系。
对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏
自持振荡。
4、继电器特性
理想继电器
输出
输入
输出 输出
具有饱和死区的 单值继电器
输入
输出
输入
具有滞环的继电器
输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
具有死区和滞环的继电器的数学表达式
输入
大偏差时，有较大增益加快系统响应。 小偏差时，有较小增益提高零位附近的系统稳定性。
不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
液压控制阀中的 圆形窗口；阶梯形窗口；分段斜面；等有非线性增 益特性。
6、滞环特性
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
8.1.2非线性系统的若干特征
线性系统应用叠加原理，非线性系统不能应用叠加原理。 线性系统和非线性系统运动规律不同,目前没有求解非线
性微分方程的通用方法。
研究非线性系统的重点是:
系统是否稳定，是否产生自振荡，能否消除自振荡。
１、稳定性
线性系统稳定性与系统的结构和参数有关，与初始条件无 关。线性定常系统，稳定性取决于特征根在s平面的分布。 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与 初始条件有关。不同的初始条件，运动的最终状态可能完全 不同。
死区特性的影响： （1）增大系统稳态误差，降低 定位精度。 （2）减小系统开环增益，提高 系统的平稳性，减弱动态响应的 振荡倾向。
2、饱和特性
输出y(t)
k
输入x(t)
y(t)
k
x(t)
x(t) a
ka s i gn x(t) x(t) a
s
i
gn
x(t)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
2.时域响应
线性系统响应曲线形状与输入信号大小及初始条件无关。 非线性系统响应曲线形状与 输入信号大小及初始条件有 关。
如阶跃响应:
阶跃输入幅值不同 ，线性系 统输出响应曲线形状相同，
非线性系统响应曲线形状可 能不同。
3.自振荡
线性系统，有发散和收敛两种运动，不会产生稳定的 自振荡。
非线性系统，无外作用的情况下，也可能产生有一定振 幅和频率稳定的等幅振荡，叫自持振荡（或自激振荡、自 振荡）。即非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡。改变 非系统的结构和参数，可以改变自振荡的振幅和频率，或 消除自振荡。
匀性。 非本质非线性:能用小偏差线性化方法进行线性化处理的
非线性。 本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
非线性特性
有些是组成系统的元件的固有非线性特性，这些特 性对控制系统的性能不利；如
•饱和特性; •死区特性; •滞环特性。
另一些是为了改善系统性能而人为加入的，加入这类 特性，使系统具有比线性系统更优良的动态特性。如
y(t)
M
a ma
ma a
M
对系统性能的影响：
a为动作值,ma为释放值 a＝0为理想继电器特性 m=1为死区继电器特性 m=-1滞环继电器特性
x(t)
0 ma x a, x(t) 0
y(t)
M0
s
i
gn
a x(t)
x
ma, x(t) x(t) a
0
M
x(t) ma , x(t) 0
M
x(t) ma , x(t) 0
•利用继电控制实现快速跟踪。
•带死区的继电特性，会增加系统的定位误差，对 其他动态性能 的影响类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
5、非线性增益
输出 y(t)
k2
k1
x(t)
y(t
)
k1
x(t
)
x(t) a
k2x(t) (k1 k2 )a x(t) a
目前没有成熟、通用的方法分析、设计非线性系统。工 程上研究非线性系统常用方法有五种:
1.数值解法 利用计算机直接求非线性微分方程。该方法几乎能
解任何非线性系统，但它注重系统特解，不能反映系统 全部解的性质。
2.描述函数法 该方法实质是应用谐波线性化法，将非线性特性线性
化，看成线性理论频率法在非线性系统中的推广。该方法 简单有效，不受系统阶次限制，可以研究高阶系统。
•继电器特性; •变增益ห้องสมุดไป่ตู้性，
1、死区特性
输出 y(t)
k
y (t )
0
k
x(t ) x(t)
a a s i gn
x(t
)
x(t) a
输入 x(t)
s
i
gn
x(t
)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
特征：输入在零位附近变化时，没有输出。输入大于某一数 值时才有输出，且与输入呈线性关系。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等有死区特性
3. 相平面法 是图解法，能提供系统稳定性信息和动态信息。此法是
时域分析法在非线性系统中的推广应用，仅适用于一阶、二 阶系统 。
4. 李亚普诺夫直接法(JIanyHOB) 此方法原则上适用于任何非线性系统，不用求解运动方
8.1 概述 8.2 描述函数法 8.3 相平面法
8.1 概述
8.1.1典型非线性特性
非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律; 非线性系统的运动形式多样，种类繁多; 线性系统只是在特定条件下的近似描述。
线性系统:线性元件组成，输入输出间有叠加性和均匀性。 非线性系统:有非线性元件，输入输出间无叠加性和均
4、频率响应
线性系统输入是正弦信号时，稳态输出也是同频率的正 弦量，可以用频率特性描述。
非线性系统的输入正弦信号时，稳态输出通常是非正弦 函数，甚至出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
backlash
y(t)
ωt
relay
8.1.3非线性系统的研究方法
)
k
x(t
)
a
y(t) 0 y(t) 0
输入x(t )
b s i gn x(t)
y(t) 0
b
1 si gn x(t) 1
x(t) 0 x(t) 0 液压传动中的油隙
特征： 元件开始运动：输入<a，无输出信号；
齿轮传动中的齿隙 等有间隙特性
输入>a，输出随输入线性变化;
元件反向运动：在运动方向发生变化瞬间的输出值；
特征：输入信号超出线性范围后，输出信号不再随输入信
号变化而保持恒定。
饱和特性的影响：
放大器的饱和输出特性、 （1）系统开环增益下降，对动
磁饱和、 元件的行程限制、 功率限制等有饱和特性。
态响应的平稳性有利。 （2）系统的快速性和稳态跟踪 精度下降。
3、间隙特性
输出 y(t)
b
k x(t) a
y(t
输入反向变化>2a，输出随输入线性变化;
输入输出之间具有多值关系。
对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏
自持振荡。
4、继电器特性
理想继电器
输出
输入
输出 输出
具有饱和死区的 单值继电器
输入
输出
输入
具有滞环的继电器
输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
具有死区和滞环的继电器的数学表达式
输入
大偏差时，有较大增益加快系统响应。 小偏差时，有较小增益提高零位附近的系统稳定性。
不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
液压控制阀中的 圆形窗口；阶梯形窗口；分段斜面；等有非线性增 益特性。
6、滞环特性
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
8.1.2非线性系统的若干特征
线性系统应用叠加原理，非线性系统不能应用叠加原理。 线性系统和非线性系统运动规律不同,目前没有求解非线
性微分方程的通用方法。
研究非线性系统的重点是:
系统是否稳定，是否产生自振荡，能否消除自振荡。
１、稳定性
线性系统稳定性与系统的结构和参数有关，与初始条件无 关。线性定常系统，稳定性取决于特征根在s平面的分布。 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与 初始条件有关。不同的初始条件，运动的最终状态可能完全 不同。
死区特性的影响： （1）增大系统稳态误差，降低 定位精度。 （2）减小系统开环增益，提高 系统的平稳性，减弱动态响应的 振荡倾向。
2、饱和特性
输出y(t)
k
输入x(t)
y(t)
k
x(t)
x(t) a
ka s i gn x(t) x(t) a
s
i
gn
x(t)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
2.时域响应
线性系统响应曲线形状与输入信号大小及初始条件无关。 非线性系统响应曲线形状与 输入信号大小及初始条件有 关。
如阶跃响应:
阶跃输入幅值不同 ，线性系 统输出响应曲线形状相同，
非线性系统响应曲线形状可 能不同。
3.自振荡
线性系统，有发散和收敛两种运动，不会产生稳定的 自振荡。
非线性系统，无外作用的情况下，也可能产生有一定振 幅和频率稳定的等幅振荡，叫自持振荡（或自激振荡、自 振荡）。即非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡。改变 非系统的结构和参数，可以改变自振荡的振幅和频率，或 消除自振荡。
匀性。 非本质非线性:能用小偏差线性化方法进行线性化处理的
非线性。 本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
非线性特性
有些是组成系统的元件的固有非线性特性，这些特 性对控制系统的性能不利；如
•饱和特性; •死区特性; •滞环特性。
另一些是为了改善系统性能而人为加入的，加入这类 特性，使系统具有比线性系统更优良的动态特性。如
y(t)
M
a ma
ma a
M
对系统性能的影响：
a为动作值,ma为释放值 a＝0为理想继电器特性 m=1为死区继电器特性 m=-1滞环继电器特性
x(t)
0 ma x a, x(t) 0
y(t)
M0
s
i
gn
a x(t)
x
ma, x(t) x(t) a
0
M
x(t) ma , x(t) 0
M
x(t) ma , x(t) 0
•利用继电控制实现快速跟踪。
•带死区的继电特性，会增加系统的定位误差，对 其他动态性能 的影响类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
5、非线性增益
输出 y(t)
k2
k1
x(t)
y(t
)
k1
x(t
)
x(t) a
k2x(t) (k1 k2 )a x(t) a
目前没有成熟、通用的方法分析、设计非线性系统。工 程上研究非线性系统常用方法有五种:
1.数值解法 利用计算机直接求非线性微分方程。该方法几乎能
解任何非线性系统，但它注重系统特解，不能反映系统 全部解的性质。
2.描述函数法 该方法实质是应用谐波线性化法，将非线性特性线性
化，看成线性理论频率法在非线性系统中的推广。该方法 简单有效，不受系统阶次限制，可以研究高阶系统。
•继电器特性; •变增益ห้องสมุดไป่ตู้性，
1、死区特性
输出 y(t)
k
y (t )
0
k
x(t ) x(t)
a a s i gn
x(t
)
x(t) a
输入 x(t)
s
i
gn
x(t
)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
特征：输入在零位附近变化时，没有输出。输入大于某一数 值时才有输出，且与输入呈线性关系。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等有死区特性
3. 相平面法 是图解法，能提供系统稳定性信息和动态信息。此法是
时域分析法在非线性系统中的推广应用，仅适用于一阶、二 阶系统 。
4. 李亚普诺夫直接法(JIanyHOB) 此方法原则上适用于任何非线性系统，不用求解运动方