自动控制原理第八章非线性控制系统资料
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理--第8章 非线性控制系统相关知识介绍
自动控制原理
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（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 x 。0除奇点外相轨迹在x轴上的斜率 为
f(x, x
x)
f(x, x
x)
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
（4
在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的
加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，
下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统
第 8 章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 非线性系统的特点 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.5 MATLAB在非线性控制系统分析中的应用
自动控制原理
1
8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在(x, x)和(-x, x)
点上的斜率相等，符号相同，应有 f(x, x) f(-x, x)
即有 f(x, x) f (x,x) 。
x
x
自动控制原理
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1.相平面图的特点
（2）相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x) ，只要不同时满足x 0和 f(x, x) 0，
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
12
8.3相平面法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
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j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
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例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
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系统奇点的分类
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理 第8章非线性控制理论系统
第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
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第8章 非线性控制系统分析
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典型非线性特性
图8.4 继电器非线
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第8章 非线性控制系统分析
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8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
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第8章 非线性控制系统分析
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8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析
《自动控制原理》课件第八章
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
图8-1 饱和非线性特性
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间
关系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无
0≤t＜1 1≤t＜2
0， 2≤t＜π
式中，1＝arcsin(h/A)，2＝π－arcsin(mh/A)。因为死区滞
环继电特性是多值函数，它在正弦信号x(t)＝A sinωt的作用
4． 摩擦特性 通常执行机构由静止状态开始运动时，必须克服机构中 的静摩擦力矩(或静摩擦力)。运动后，又要克服机构中的动 摩擦力矩(或动摩擦力)。一般情况下，静摩擦力矩大于动摩 擦力矩，摩擦非线性特性如图8-4所示。其中M1为静摩擦力 矩，动摩擦力矩M2可表示为
y M2signx， x 0
图8-4 摩擦非线性特性
cos td
t
,
B1 =
1 π
2π
0
y
t
sin
td
t
Y1= A12 +B12 ,
1
arctan
A1 B1
仿照线性环节频率特性的概念，非线性环节的描述函
数N(A)定义为非线性环节输出的基波分量与正弦输入的复
数比，即
N A
y1 t xt
Y1 e j1 A
B1
jA1 A
一般地，N(A)是输入信号的幅值A和频率ω的函数，但是， 如果在非线性元件中不包含储能元件，那么N(A)只是输入信号 幅值的函数。
t
+ 2 1 k A bsintd t+ 2 π k Asint+bsintd t
自动控制原理-第8章 非线性控制系统
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
自动控制原理：第八章 非线性控制系统分析(描述函数)
（2）G3(s)， s分析系统的稳定性。
【解】
先将系统结构图化为典型结构。
【解法I 】等效变换法 【解法II】特征方程法
G(s) (s)
1
G1 G1
G2G3 G1
1 G1G2G3 N G1
N G1G2G3 1
1 G1
D(s) 1 G1G2G3 N G1 0 G(s) G1G2G3
N( A)G( j) 1
4M
Ke j
1
A j(1 j )(2 j )
4MKe j 3 2 j(2 2 ) A
4 5 2 4 ( arctan 2 2 ) 3
比较模和相角得
K 10 9.93
arctan
1 3
0.322
M 2, h 1
【例6】系统如图，已知
1 G1
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N
(
A)
8 A2
A2
1
j
8 A2
( A 1)
（1）自振时,调整K使 G(s) 数(A,ω)以及输出振幅Ac。
2 s(s
K
1，) 求 此135时 的K值和自振参
（2）定性分析K增大后自振参数(A,ω)的变化规律。
【解】
8
N ( A) A2
A2 1 j
1 A2 1 j j A 2
N (A) G( j) 1
自动控制原理
原理： 因 故有 式中
dx 为相轨迹在某一点的切线的斜率 dx f ( x, x ) 令 dx dx ，则 x 满足此方程的点 ( x, x ) 出的斜率必为 ，有上式确定的 x x
输入
k ( x a ) y k ( x a ) y (t ) 0
( y / k x) a ( y / k x) a
特征： 元件开始运动 输入信号<a时，无输出信号； 当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良 影响。
2. 研究非线性系统的方法
1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线 性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分 析非线性系统特性的方法。 2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发 展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波 线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中 的推广。
在下平面，因 x 0 ，因此下半平面相轨迹的走向是沿着x的 方向减小，相轨迹左行。
总之，相轨迹上的箭头方向总是按顺时针方向。
奇点
dx f ( x, x) dx x dx 0 当相轨迹斜率方程右边式中，分子分母同时为0，则 dx 0
为不定值，于是称这样的特殊点为奇点，奇点也是系统的 平衡点。通过奇点的相轨迹不止一条，说明相轨迹在奇点 发生相交，而经过其他点的相轨迹是唯一的。另外，由于奇点 处 x 0 ，所以奇点只能出现在x轴上。
x 例 做出 x x 0 的相轨迹， x(0) 1 、 x(0) 0 。
自控第8章 非线性系统
6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会 很容易畸变。
11
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法
时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分
析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。
二、继电特性
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电
特性的典型元件。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
15
2、数学表达式
y
M y M
x0
M
x 0
0
-M
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。
（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
16
旋线，这种奇点称为稳定
焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
51
4、稳定节点
1
x(t ) A1e
q1t
这时方程的解为
A2e
q2t
其中
A1
x0 x0 2
1 2
A2
x0 x0 1
1 2
(t ) A1q1e q1t A2q2e q2t x
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
35
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量；
k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。
为方便计算令 m=k=1 ；
已知初始条件
x(0) x0 x(0) x0
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
8. 《自动控制原理》胡寿松主编 第五版 电子课件——第八章
第八章 非线性控制系统分析§8－1 非线性控制系统的基本概念§ §8 8－－2 典型非线性环节及其对系统的影响 §8－4 用描述函数法分析非线性系统§8－3 描述函数法主要内容1． 非线性系统的基本概念2． 典型非线性环节及其对系统的影响 3． 描述函数的基本概念及应用前提 4． 典型非线性特性的描述函数5. 用描述函数分析非线性系统的稳定性和自激振荡6、 非线性系统的简化重 点 与 难 点1．非线性系统的性质特点2．用描述函数分析非线性系统的稳定性3. 基于描述函数法计算系统自振参数4. 非线性系统的简化系统自振参数的计算与非线性与非线性系统的简化 重 点难 点点本章引言前述均为线性系统。
严格说来，任何一 个实际 控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想 的线性系统实际上不存在。
当能够采用小偏差法将非 线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用 线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差 法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、 继电特性等等。
这时不能采用线性理论进行研究，所 以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析 非线性理论。
本章引言（续）饱和特性 继电特性§ §8 8－－1 非线性控制系统的基本概念 若系统含有一个或一个以上的非线性部件或 环节，则此系统为非线性系统。
线性系统用传递函 数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特 性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输 入信号下和零初始条件下进行分析研究。
而由于非 线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采 用线性系统的分析方法。
用线性系统的分析方法。
k例如：对于线性系统， 时， 当 22 1 1 x a x a x + = ； 2 2 1 1 y a y a y + = 但对于非线性系统，例如饱和 特性： 单独作用时， ， 1 1 kx y = ； 2 2 kx y = ， 若 cx x x > + = 2 1 ， 则 B y = 而不等于 21 kx kx + cx c x < < 2 1 ， 设 ； ) ( kc B y = = ∴非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定性、运动形式等方面具有独特的特点。
自动控制原理：第八章 非线性控制系统
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
x
dx dx
w
2x
0
积分得相轨迹方程
x 2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
§8.2 相平面图
自动控制原理第8章 非线性系统分析
一、 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2
x2
f
(
x1,
x2
)
dx2 f ( x1, x2 )
dx1
x2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x1 为横坐标，x2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
x1 x2
x x
x1 x2
x2
f ( x1, x2 )
一般形式为
x1
f1( x1, x2 )
x2 f2 ( x1, x2 )
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx2 f2 ( x1, x2 ) dx1 f1( x1, x2 )
求解可得相轨迹方程，即
奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
图8-4 -1＜＜0
时的相轨迹
(b) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一 族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所 示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。
图 8-5 ＜-1时的相轨迹
(c)对图所示的正反馈二阶系统
r(t)
n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2n x2 n2x1
dx1
x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x1 0, x2 0 为系统的奇点。
系统的特征根为
1，2 -n n 2-1
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
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特征：输入信号超出线性范围后，输出信号不再随输入信
号变化而保持恒定。
饱和特性的影响：
放大器的饱和输出特性、 （1）系统开环增益下降，对动
磁饱和、 元件的行程限制、 功率限制等有饱和特性。
态响应的平稳性有利。 （2）系统的快速性和稳态跟踪 精度下降。
3、间隙特性
输出 y(t)
b
k x(t) a
y(t
M
x(t) ma , x(t) 0
•利用继电控制实现快速跟踪。
•带死区的继电特性，会增加系统的定位误差，对 其他动态性能 的影响类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
5、非线性增益
输出 y(t)
k2
k1
x(t)
y(t
)
k1
x(t
)
x(t) a
k2x(t) (k1 k2 )a x(t) a
线性系统应用叠加原理，非线性系统不能应用叠加原理。 线性系统和非线性系统运动规律不同,目前没有求解非线
性微分方程的通用方法。
研究非线性系统的重点是:
系统是否稳定，是否产生自振荡，能否消除自振荡。
１、稳定性
线性系统稳定性与系统的结构和参数有关，与初始条件无 关。线性定常系统，稳定性取决于特征根在s平面的分布。 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与 初始条件有关。不同的初始条件，运动的最终状态可能完全 不同。
•继电器特性; •变增益特性，
1、死区特性
输出 y(t)
k
y (t )
0
k
x(t ) x(t)
a a s i gn
x(t
)
x(t) a
输入 x(t)
s
i
gn
x(t
)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
特征：输入在零位附近变化时，没有输出。输入大于某一数 值时才有输出，且与输入呈线性关系。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等有死区特性
4、频率响应
线性系统输入是正弦信号时，稳态输出也是同频率的正 弦量，可以用频率特性描述。
非线性系统的输入正弦信号时，稳态输出通常是非正弦 函数，甚至出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
backlash
y(t)
ωt
relay
8.1.3非线性系统的研究方法
第八章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 描述函数法 8.3 相平面法
8.1 概述
8.1.1典型非线性特性
非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律; 非线性系统的运动形式多样，种类繁多; 线性系统只是在特定条件下的近似描述。
线性系统:线性元件组成，输入输出间有叠加性和均匀性。 非线性系统:有非线性元件，输入输出间无叠加性和均
目前没有成熟、通用的方法分析、设计非线性系统。工 程上研究非线性系统常用方法有五种:
1.数值解法 利用计算机直接求非线性微分方程。该方法几乎能
解任何非线性系统，但它注重系统特解，不能反映系统 全部解的性质。
2.描述函数法 该方法实质是应用谐波线性化法，将非线性特性线性
化，看成线性理论频率法在非线性系统中的推广。该方法 简单有效，不受系统阶次限制，可以研究高阶系统。
死区特性的影响： （1）增大系统稳态误差，降低 定位精度。 （2）减小系统开环增益，提高 系统的平稳性，减弱动态响应的 振荡倾向。
2、饱和特性
输出y(t)
k
输入x(t)
y(t)
k
x(t)
x(t) a
ka s i gn x(t) x(t) a
s
i
gn
x(t)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
)
k
x(t
)
a
y(t) 0 y(t) 0
输入x(t )
b s i gn x(t)
y(tt) 1
x(t) 0 x(t) 0 液压传动中的油隙
特征： 元件开始运动：输入<a，无输出信号；
齿轮传动中的齿隙 等有间隙特性
输入>a，输出随输入线性变化;
元件反向运动：在运动方向发生变化瞬间的输出值；
3. 相平面法 是图解法，能提供系统稳定性信息和动态信息。此法是
时域分析法在非线性系统中的推广应用，仅适用于一阶、二 阶系统 。
4. 李亚普诺夫直接法(JIanyHOB) 此方法原则上适用于任何非线性系统，不用求解运动方
输入反向变化>2a，输出随输入线性变化;
输入输出之间具有多值关系。
对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏
自持振荡。
4、继电器特性
理想继电器
输出
输入
输出 输出
具有饱和死区的 单值继电器
输入
输出
输入
具有滞环的继电器
输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
具有死区和滞环的继电器的数学表达式
匀性。 非本质非线性:能用小偏差线性化方法进行线性化处理的
非线性。 本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
非线性特性
有些是组成系统的元件的固有非线性特性，这些特 性对控制系统的性能不利；如
•饱和特性; •死区特性; •滞环特性。
另一些是为了改善系统性能而人为加入的，加入这类 特性，使系统具有比线性系统更优良的动态特性。如
y(t)
M
a ma
ma a
M
对系统性能的影响：
a为动作值,ma为释放值 a＝0为理想继电器特性 m=1为死区继电器特性 m=-1滞环继电器特性
x(t)
0 ma x a, x(t) 0
y(t)
M0
s
i
gn
a x(t)
x
ma, x(t) x(t) a
0
M
x(t) ma , x(t) 0
2.时域响应
线性系统响应曲线形状与输入信号大小及初始条件无关。 非线性系统响应曲线形状与 输入信号大小及初始条件有 关。
如阶跃响应:
阶跃输入幅值不同 ，线性系 统输出响应曲线形状相同，
非线性系统响应曲线形状可 能不同。
3.自振荡
线性系统，有发散和收敛两种运动，不会产生稳定的 自振荡。
非线性系统，无外作用的情况下，也可能产生有一定振 幅和频率稳定的等幅振荡，叫自持振荡（或自激振荡、自 振荡）。即非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡。改变 非系统的结构和参数，可以改变自振荡的振幅和频率，或 消除自振荡。
输入
大偏差时，有较大增益加快系统响应。 小偏差时，有较小增益提高零位附近的系统稳定性。
不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
液压控制阀中的 圆形窗口；阶梯形窗口；分段斜面；等有非线性增 益特性。
6、滞环特性
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
8.1.2非线性系统的若干特征