第四章相似和量纲分析分解
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第四章 相似和量纲分析
流体力学研究中，实验是的非常重要手段 实验既是发展理论的依据，又是检验理论的准绳。 理论可以指导实验，实验可以发展理论。 流体力学实验有两种：
工程性模型实验，目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况。 探索性的观察实验，目的在于寻找未知的流动规律。 由于流体力学的工程问题非常复杂，许多规律是在简化的条件下得到的，必须对其 进行实验验证。 还有许多问题理论上难以求解，必须使用实验来获得经验，指导应用。 直接实验方法的不足 真实的设备规模大，直接实验成本高，耗时，耗力。并且难以进行系列研究。如 三峡水库，飞机，航空设备。 这样可以通过建造小型模型的实验方法来模拟大设备来进行科学研究。但是，模 型的建立需要遵循一定的规则。
l ' ' '
F / A F p v 2 F '/ A ' A
功率比例尺
P
P M l 2 v 3 P ' t
4、无量纲系数比例尺为：
c 1
相似的实物流动与模型流动之间存在一切无量纲系数皆对应相等的关 系，这提供了在模型流动上测定实物流动中的流速系数、流量系数、 阻力系数等等的可能性。
将上式前三项分别去除第四项，分别得到下面三个常数： 1 Froude 弗劳德数，代表惯性力与重力之比。
2v 1 g l
v 2 v' 2 gl g ' l '
v2 Fr gl
2 Euler欧拉数，表压力与惯性力之比。
v 2 1 p
p p' Eu 2 2 v ' v'
4
2.雷诺模型法
用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的 场合。相似准则为Re，有：
惯性力 vl v ' l ' Re ； ； v 粘性力 ' l
vl
基本比例尺为： 长度、密度、运动粘度比例尺
l , ,
雷诺模型法的应用广泛，管道流动、液压技术、水利机械 多采用。
fx du 1 p 2 u x x x dt
则与其运动相似的实物流体中必与模型中各物理量存在着 一定的比例尺关系。故实际运动的方程式可表示为：
p 1 p v 2 v 2 dux g fx 2 u x l x l l dt
1.弗劳德模型法
用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。 相似准则为Fr，有：
1 v 2 惯性力 v2 v '2 Fr ； ； v l2 gl 重力 gl g ' l '
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺 l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。
3 Relynold雷诺数，惯性力与粘性力之比。
l v 1
vl
v' l ' Re '
三个相似准数
雷诺数 弗劳德数 欧拉数
惯性力 Re 粘性力 v 惯性力 Fr gl 重力 p 压力 Eu 2 v 惯性力
2
vl
主要反映 粘性力相似 主要反映 重力相似
qv ' 155l / s, v' 1.3m / s, F ' 50N , M ' 70Nm
1 v 2 惯性力 v 2 v '2 Fr ； ； v l2 gl 重力 gl g ' l '
解：闸门下的水流是水在重力作用下流动，按froude模型法计算 H H ' 0.4m
Re
vt d t
t
vm d m
m
qvt qvm t dt m d m
t qVm d m dt 99.7 m m m qVt
dt Dt d m Dm
3、 欧拉模型法
第五章将要讲到粘性流动中的一种特殊现象，当雷诺数大到一定界限以 后，惯性力与粘性力之比也大到一定程度，粘性力的影响相对减弱，继 续提高雷诺数，也不再对流动现象和流动性能发生质和量的影响，此时 尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的。这种现象叫做自动模型化， 产生这种现象的雷诺数范围叫做自动模型区。 雷诺数处在自动模型区时，雷诺准则失去判别作用。 设计模型时，粘性力的影响不再考虑 了,如果是管 中流动，或者气体流动，其重力影响也不必考虑 了，只考虑压力和惯性力之比的欧拉数即可。比 例尺的制约关系为： 基本比例尺为
方程中每一项的比例尺都是加速度的比例尺，所以各项都相等。
p 1 p v 2 v 2 dux g fx 2 u x l x l l dt
质量力 压力 粘性力 惯性力
p v v 2 g 2 l l l
力矩（功、能） 比例尺 动力粘度比例尺 压强（应力） 比例尺
'
m V m l 3 m ' 'V ' F ma F m a l 2 v 2 F ' m'a '
M
Fl F l l 3 v 2 F 'l '
V
1
l
除非 l 1 ，否则，很难同时满足。 l 1 ，又不是模型而是原型实验了 因此，许多问题需要利用近似模型法来解决，即满足部分法则即可
三、近似模型法
近似模型法是针对具体的问题，摒弃不是主要的无关紧要的力。从而 不去判断所有的准则数，而只考虑主要的准则数。 水利工程、明渠无压流动中，重力是支配流动的原因，粘性力不起作 用或作用不显著，那就只考虑弗劳德准则即可。 管中流动粘性力起主要作用，那就用雷诺准则。 自动模型区的管中流动、风洞实验及气体绕流，压力是主要的，欧拉 准则。
实物流动与模型流动应该受同种外力作用，而且对应点上的 对应力成比例。 如相应的密度、质量、力、压强、动力粘度、功率的比 例尺等。
密度比例尺是第三个基本比例尺，其它动力学的比例尺 均可按照物理量的定义或量纲由长度比例尺、速度比例 尺和密度比例尺确定出来。
基本比例尺 密度比例尺 质量比例尺 力的比例尺 导 出 比 例 尺
2 g l
V
p V2 lV
一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力
学相似是很困难的，实际采用近似模型法。
如果所选择的三个基本比例尺
l , v ,
V l
V ν l
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
2 g l
V
弗劳德数 Fr
主要反映 压力相似
如果两个流动力学相似，则它们的上述三个准则数必须相等。 于是： Fr Fr'
•
Eu Eu' Re Re'
这三个等式称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。判断两个流
动是否相似，只要判断这三个准则是否相等。
相似准则既是判断流动相似的标准，又 是设计模型的准则。 设计模型时，根据比例尺之间的关系确 定模型尺寸。即满足：
欧拉数 Eu 雷诺数 Re
3 2
能满足这三个关系，便是完全相似。实际上， 很难同时满足。
p v2 l v
因为
代入第一式，得 从第三式可得
g 1
所以 l
3 2
即流体的运动粘度比例尺和线性比例尺要保持 l 1 显然不现实。因为一般来说模型和实物所用流体 V l 2 一样，比如水、空气。此时 1
运动粘度比尺 角速度比尺
l 2 / t l2 ' 2' ' l v l / t t
v / l v ' ' ' v / l l
可见，一切运动学比尺都是长度比尺和速度比尺的 函数。速度比尺是运动相似的基本比尺。
3.动力相似
基本比例尺是密度比例尺
4.1 相 似 理 论
一、力学相似的基本概念
所谓力学相似:是指实物流动与模型流动在对应点上对应物理量都应有一定的比 例关系。具体来说，应有如下几个方面。（几何、运动、动力相似）
1.几何相似
模型流动与实物流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸成比例。 或者说模型与实物几何形状相似。
即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等
作用在单位质 量流体的压力 流体质点的加速度 （惯性力）
0 理想流体，
二、相似准则
模型流动与实物流动如果存在力学相似，则必然存在众多的比例尺。如果一 一检查这些比例尺相似的话，过程及其繁琐。而且也没有必要，下面介绍判 断相似的准则。用他们来判断力学相似。
设符合模型运动不可压缩流体的运动微分方程：
m m
p p
规定：用无上标的物理量表示实物流动，有上标的表示模型流动 基本比例尺 长度(线性)比例尺 面积比例尺 导出比例尺 体积比例尺
l
l l'
A l2 A ' 1 2 l2 A l
V l3 V ' '3 l3 V l
长度比例尺是基本比例尺，面积比例尺（L2）和体积比例尺（L3）是 导出比例尺。导出比例尺与基本比例尺的关系为导出物理量量纲与 基本物理量纲(L)间的关系。或者说对照导出物理量的量纲，可直接 写出导出物理量的比例尺。此结论不仅适合于几何相似，也适合于 运动、动力相似。
l t l/v t ' ' ' t l /v v
v v2 a v/t a ' ' ' a v / t t l
加速度比尺
流量比尺
导 出 比 例 尺
q l 3 / t l3 2 q ' 3' ' l v q l / t t
l
qv q qv ' l qv ' 49m 3 / s v v v' l v 4.11m / s F F F ' l F ' 5 104 N
3 1 2
5 2
M M M ' l M ' 75 104 Nm
2.运动相似
速度比尺是其基本比例尺。
流动的速度场相似（流线形状相同）。即满足几何相似的两 系统对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。 (速度、时间、加速度、流量、粘度、角速度比例尺等，利 用速度和长度比例尺可以表示这些物理量) 基本比例尺
速度比尺 时间比尺
v v ' v
导出比例尺
5、单位质量力或重力加速度比例尺为：
g g ' 1 g
因为实物和模型均在地球引力作用范围内，重力加速度相同。
纳维-斯托克斯方程（N-S方程） 不可压缩实际流体的运动微分方程式
作用在单位质量 流体的质量分力 作用在单位质量流体上的粘性分力
2 vx 2 vx 2 vx dv v v v v 1 p fx [ 2 2 2 ] x x vx x v y x vz x x x y z dt t x y z 2vy 2v y 2v y dv v v v v 1 p fy [ 2 2 2 ] y y vx y v y y vz y y x y z dt t x y z 2 vz 2 vz 2 vz dv v v v v 1 p fz [ 2 2 2 ] z z vx z v y z vz z z x y z dt t x y z
例2 欲用一文丘里流量计测量空气（运动粘度）流量为qvt=2.78m3/s， 该 流量计的尺寸为Dt=450mm，dt=225mm， 现设计模型文丘里流量计用t=10 度水作试验，测得流量qvm=0.1028m3/s，这时水与空气和流动动力相似。 度确定模型文丘里流量计的尺寸。
解：影响这一流动主要作用力为粘性力，因此，决定性相似准数为雷诺数
流体力学研究中，实验是的非常重要手段 实验既是发展理论的依据，又是检验理论的准绳。 理论可以指导实验，实验可以发展理论。 流体力学实验有两种：
工程性模型实验，目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况。 探索性的观察实验，目的在于寻找未知的流动规律。 由于流体力学的工程问题非常复杂，许多规律是在简化的条件下得到的，必须对其 进行实验验证。 还有许多问题理论上难以求解，必须使用实验来获得经验，指导应用。 直接实验方法的不足 真实的设备规模大，直接实验成本高，耗时，耗力。并且难以进行系列研究。如 三峡水库，飞机，航空设备。 这样可以通过建造小型模型的实验方法来模拟大设备来进行科学研究。但是，模 型的建立需要遵循一定的规则。
l ' ' '
F / A F p v 2 F '/ A ' A
功率比例尺
P
P M l 2 v 3 P ' t
4、无量纲系数比例尺为：
c 1
相似的实物流动与模型流动之间存在一切无量纲系数皆对应相等的关 系，这提供了在模型流动上测定实物流动中的流速系数、流量系数、 阻力系数等等的可能性。
将上式前三项分别去除第四项，分别得到下面三个常数： 1 Froude 弗劳德数，代表惯性力与重力之比。
2v 1 g l
v 2 v' 2 gl g ' l '
v2 Fr gl
2 Euler欧拉数，表压力与惯性力之比。
v 2 1 p
p p' Eu 2 2 v ' v'
4
2.雷诺模型法
用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的 场合。相似准则为Re，有：
惯性力 vl v ' l ' Re ； ； v 粘性力 ' l
vl
基本比例尺为： 长度、密度、运动粘度比例尺
l , ,
雷诺模型法的应用广泛，管道流动、液压技术、水利机械 多采用。
fx du 1 p 2 u x x x dt
则与其运动相似的实物流体中必与模型中各物理量存在着 一定的比例尺关系。故实际运动的方程式可表示为：
p 1 p v 2 v 2 dux g fx 2 u x l x l l dt
1.弗劳德模型法
用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。 相似准则为Fr，有：
1 v 2 惯性力 v2 v '2 Fr ； ； v l2 gl 重力 gl g ' l '
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺 l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。
3 Relynold雷诺数，惯性力与粘性力之比。
l v 1
vl
v' l ' Re '
三个相似准数
雷诺数 弗劳德数 欧拉数
惯性力 Re 粘性力 v 惯性力 Fr gl 重力 p 压力 Eu 2 v 惯性力
2
vl
主要反映 粘性力相似 主要反映 重力相似
qv ' 155l / s, v' 1.3m / s, F ' 50N , M ' 70Nm
1 v 2 惯性力 v 2 v '2 Fr ； ； v l2 gl 重力 gl g ' l '
解：闸门下的水流是水在重力作用下流动，按froude模型法计算 H H ' 0.4m
Re
vt d t
t
vm d m
m
qvt qvm t dt m d m
t qVm d m dt 99.7 m m m qVt
dt Dt d m Dm
3、 欧拉模型法
第五章将要讲到粘性流动中的一种特殊现象，当雷诺数大到一定界限以 后，惯性力与粘性力之比也大到一定程度，粘性力的影响相对减弱，继 续提高雷诺数，也不再对流动现象和流动性能发生质和量的影响，此时 尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的。这种现象叫做自动模型化， 产生这种现象的雷诺数范围叫做自动模型区。 雷诺数处在自动模型区时，雷诺准则失去判别作用。 设计模型时，粘性力的影响不再考虑 了,如果是管 中流动，或者气体流动，其重力影响也不必考虑 了，只考虑压力和惯性力之比的欧拉数即可。比 例尺的制约关系为： 基本比例尺为
方程中每一项的比例尺都是加速度的比例尺，所以各项都相等。
p 1 p v 2 v 2 dux g fx 2 u x l x l l dt
质量力 压力 粘性力 惯性力
p v v 2 g 2 l l l
力矩（功、能） 比例尺 动力粘度比例尺 压强（应力） 比例尺
'
m V m l 3 m ' 'V ' F ma F m a l 2 v 2 F ' m'a '
M
Fl F l l 3 v 2 F 'l '
V
1
l
除非 l 1 ，否则，很难同时满足。 l 1 ，又不是模型而是原型实验了 因此，许多问题需要利用近似模型法来解决，即满足部分法则即可
三、近似模型法
近似模型法是针对具体的问题，摒弃不是主要的无关紧要的力。从而 不去判断所有的准则数，而只考虑主要的准则数。 水利工程、明渠无压流动中，重力是支配流动的原因，粘性力不起作 用或作用不显著，那就只考虑弗劳德准则即可。 管中流动粘性力起主要作用，那就用雷诺准则。 自动模型区的管中流动、风洞实验及气体绕流，压力是主要的，欧拉 准则。
实物流动与模型流动应该受同种外力作用，而且对应点上的 对应力成比例。 如相应的密度、质量、力、压强、动力粘度、功率的比 例尺等。
密度比例尺是第三个基本比例尺，其它动力学的比例尺 均可按照物理量的定义或量纲由长度比例尺、速度比例 尺和密度比例尺确定出来。
基本比例尺 密度比例尺 质量比例尺 力的比例尺 导 出 比 例 尺
2 g l
V
p V2 lV
一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力
学相似是很困难的，实际采用近似模型法。
如果所选择的三个基本比例尺
l , v ,
V l
V ν l
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
2 g l
V
弗劳德数 Fr
主要反映 压力相似
如果两个流动力学相似，则它们的上述三个准则数必须相等。 于是： Fr Fr'
•
Eu Eu' Re Re'
这三个等式称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。判断两个流
动是否相似，只要判断这三个准则是否相等。
相似准则既是判断流动相似的标准，又 是设计模型的准则。 设计模型时，根据比例尺之间的关系确 定模型尺寸。即满足：
欧拉数 Eu 雷诺数 Re
3 2
能满足这三个关系，便是完全相似。实际上， 很难同时满足。
p v2 l v
因为
代入第一式，得 从第三式可得
g 1
所以 l
3 2
即流体的运动粘度比例尺和线性比例尺要保持 l 1 显然不现实。因为一般来说模型和实物所用流体 V l 2 一样，比如水、空气。此时 1
运动粘度比尺 角速度比尺
l 2 / t l2 ' 2' ' l v l / t t
v / l v ' ' ' v / l l
可见，一切运动学比尺都是长度比尺和速度比尺的 函数。速度比尺是运动相似的基本比尺。
3.动力相似
基本比例尺是密度比例尺
4.1 相 似 理 论
一、力学相似的基本概念
所谓力学相似:是指实物流动与模型流动在对应点上对应物理量都应有一定的比 例关系。具体来说，应有如下几个方面。（几何、运动、动力相似）
1.几何相似
模型流动与实物流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸成比例。 或者说模型与实物几何形状相似。
即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等
作用在单位质 量流体的压力 流体质点的加速度 （惯性力）
0 理想流体，
二、相似准则
模型流动与实物流动如果存在力学相似，则必然存在众多的比例尺。如果一 一检查这些比例尺相似的话，过程及其繁琐。而且也没有必要，下面介绍判 断相似的准则。用他们来判断力学相似。
设符合模型运动不可压缩流体的运动微分方程：
m m
p p
规定：用无上标的物理量表示实物流动，有上标的表示模型流动 基本比例尺 长度(线性)比例尺 面积比例尺 导出比例尺 体积比例尺
l
l l'
A l2 A ' 1 2 l2 A l
V l3 V ' '3 l3 V l
长度比例尺是基本比例尺，面积比例尺（L2）和体积比例尺（L3）是 导出比例尺。导出比例尺与基本比例尺的关系为导出物理量量纲与 基本物理量纲(L)间的关系。或者说对照导出物理量的量纲，可直接 写出导出物理量的比例尺。此结论不仅适合于几何相似，也适合于 运动、动力相似。
l t l/v t ' ' ' t l /v v
v v2 a v/t a ' ' ' a v / t t l
加速度比尺
流量比尺
导 出 比 例 尺
q l 3 / t l3 2 q ' 3' ' l v q l / t t
l
qv q qv ' l qv ' 49m 3 / s v v v' l v 4.11m / s F F F ' l F ' 5 104 N
3 1 2
5 2
M M M ' l M ' 75 104 Nm
2.运动相似
速度比尺是其基本比例尺。
流动的速度场相似（流线形状相同）。即满足几何相似的两 系统对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。 (速度、时间、加速度、流量、粘度、角速度比例尺等，利 用速度和长度比例尺可以表示这些物理量) 基本比例尺
速度比尺 时间比尺
v v ' v
导出比例尺
5、单位质量力或重力加速度比例尺为：
g g ' 1 g
因为实物和模型均在地球引力作用范围内，重力加速度相同。
纳维-斯托克斯方程（N-S方程） 不可压缩实际流体的运动微分方程式
作用在单位质量 流体的质量分力 作用在单位质量流体上的粘性分力
2 vx 2 vx 2 vx dv v v v v 1 p fx [ 2 2 2 ] x x vx x v y x vz x x x y z dt t x y z 2vy 2v y 2v y dv v v v v 1 p fy [ 2 2 2 ] y y vx y v y y vz y y x y z dt t x y z 2 vz 2 vz 2 vz dv v v v v 1 p fz [ 2 2 2 ] z z vx z v y z vz z z x y z dt t x y z
例2 欲用一文丘里流量计测量空气（运动粘度）流量为qvt=2.78m3/s， 该 流量计的尺寸为Dt=450mm，dt=225mm， 现设计模型文丘里流量计用t=10 度水作试验，测得流量qvm=0.1028m3/s，这时水与空气和流动动力相似。 度确定模型文丘里流量计的尺寸。
解：影响这一流动主要作用力为粘性力，因此，决定性相似准数为雷诺数