资料：向量自回归模型__详解
向量自回归
向量自回归模型
向量自回归模型（简称VAR 模型）是一种常用的计量经济模型，由克里斯托弗·西姆斯（Christopher Sims ）提出。
它是AR 模型的推广。
[定义]VAR 模型描述在同一样本期间内的n 个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。
一个VAR(p)模型可以写成为：
其中：c 是n × 1常数向量，A i 是n × n 矩阵。
e t 是n × 1误差向量，满足：
1. —误差项的均值为0
2. —误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n 正定矩阵）
3.
（对于所有不为0的k 都满足）—误差项不存在自相关
一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为：
或者也可以写为以下的方程组：
[转换VAR(p)为VAR(1)]
VAR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。
比如VAR(2)模型：
y t = c + A 1y t − 1 + A 2y t − 2 + e t
可以转换成一个VAR(1)模型：
其中I 是单位矩阵。
[结构与简化形式]
[结构向量自回归]
一个结构向量自回归（Structural VAR ）模型可以写成为：
其中：c 0是n × 1常数向量，B i 是n × n 矩阵，εt 是n × 1误差向量。
一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为：
其中：
[简化向量自回归]
把结构向量自回归与B0的逆矩阵相乘：
让：
对于和我们得到p-阶简化向量自回归（Reduced VAR）：。
var-向量自回归模型
预测评估
采用适当的评估方法（如均方误差、平均绝 对误差等）对预测结果进行评估，以确保预 测的准确性和可靠性。
政策建议与展望
政策建议
根据VAR模型的实证分析结果，提出针对性 的政策建议，以促进经济的稳定和可持续发 展。
展望
对VAR模型未来的发展趋势和应用前景进行 展望，为进一步研究提供方向和思路。
05
VAR模型的优缺点与改 进方向
VAR模型的优点
01
描述经济变量之间的ຫໍສະໝຸດ 态关系VAR模型能够描述多个经济变量之间的动态关系，通过分析变量之间的
相互影响，揭示经济系统的内在机制。
02
避免结构化约束
VAR模型不需要对经济变量之间的因果关系进行结构化约束，而是通过
变量自身的历史数据来分析相互影响，减少了主观因素对模型的影响。
模型估计与结果解读
模型估计
采用适当的统计软件（如EViews、Stata等）对VAR模型进行估计，确定模型的最佳滞 后阶数，并检验模型的稳定性。
结果解读
对估计结果进行详细解读，包括各经济指标之间的动态关系、长期均衡关系等，以便更 好地理解经济现象。
模型预测与评估
模型预测
利用估计好的VAR模型对未来经济走势进行 预测，为政策制定提供参考依据。
拓展应用领域
可以将VAR模型拓展应用到其他领域，如金融市 场、环境经济学、健康经济学等，以揭示不同领 域变量之间的动态关系。
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金融市场分析
VAR模型可用于分析股票、债券等金 融市场的相关性，以及市场波动对其 他经济指标的影响。
国际经济关系研究
VAR模型可用于分析不同国家之间的 经济关系，例如贸易往来、汇率变动 等。
向量自回归模型讲义
第8章V AR模型与协整1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
8.1向量自回归（V AR）模型定义8.1.1 模型定义V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。
假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …)y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …)则无法捕捉两个变量之间的关系。
如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
V AR模型的结构与两个参数有关。
一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。
以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1)其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.2) 设， Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3)那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t ,u t ~ IID (0, Ω) (8.4)其中，Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )'c = (c 1 c 2 … c N )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN j N j N j N j jj N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ , j = 1, 2, …, ku t = (u 1 t u 2,t … u N t )',Y t为N⨯1阶时间序列列向量。
向量自回归(VAR)模型PPT课件
8.2.2 VAR模型的设定
1).使用平稳变量还是非平稳变量
Sims, Stock, 和 Watson (1990) 提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型 中，通过估计结果分析经济、金融含义。
估计方法
Yt C 1Yt1 2Yt2 L Yp t p t
t : i.i.d.N (0, )
(1)MLE : l () ( nT ) ln(2 ) (T ) ln 1
2
2
1 2
T t 1
(Yt
X t )1(Yt
Xt )
略了y 1 t 和 y 2 t 之间的互动关系，整个VAR模
型是一个互动的动态系统！
另一个例子,
y1t y2t
0.9
0
.1
0.1
0.8
y1,t 1 y2,t 1
1t
2
t
1 0.9 z 0.1z
(z) n 1z 0.2 z
关于VMA ( ) ，以下几点需要注意:
第一，因为矩阵F是由VAR模型中的 系数组成的，所以， ( L ) 是这些系数的非 线性函数。
第二，在VMA模型中，方程右侧只有
向量白噪音过程（和均值 ）出现。这可
以理解为，当滞后项Y t j 经过反复迭代之 后都从VAR(p)中被替换掉了。
8.2 VAR模型的估计与相关检验
n p 1 p1 2 p2 L p 0
的根落在单位圆内。
向量自回归模型
诊断主要是对模型残差进行一系列检验， 如果诊断结果表明模型存在问题，需要
以判断模型是否充分拟合了数据，是否 对模型进行修正或重新设定，以确保模
存在异常值或违反模型假设的情况。常
型的准确性和可靠性。
见的诊断方法包括残差诊断、正态性检
验、异方差性检验等。
03
向量自回归模型的实现
向量自回归模型的编程语言实现
诊断与修正困难
向量自回归模型在诊断和修正模型中的问题时较为复杂，需要较高 的统计技巧和经验。
对数据要求高
向量自回归模型要求数据具有平稳性，对于非平稳数据需要进行差分 或其他处理，可能会影响模型的准确性和稳定性。
向量自回归模型的发展趋势与未来展望
改进估计方法
针对向量自回归模型参数过多的问题，未来研究可以探索更加有 效的参数估计方法，提高模型的泛化能力。
能够更好地捕捉时间序列数据的长期趋势和稳定性。
解释性强
02
向量自回归模型能够清晰地揭示多个变量之间的相互影响关系，
有助于理解经济现象之间的内在联系。
适用范围广
03
向量自回归模型适用于多种类型的数据，包括平稳和非平稳时
间序列数据。
向量自回归模型的缺点
参数过多
向量自回归模型需要估计的参数数量较多，容易产生过拟合问题， 导致模型泛化能力下降。
极端天气事件预测
通过向量自回归模型预测极端天气事件的发生， 如暴雨、洪涝、干旱等，有助于减轻灾害损失。
3
气候变化对生态系统的影响
利用向量自回归模型分析气候变化对生态系统的 影响，如植被分布、物种多样性和生态平衡等。
向量自回归模型在社会科学领域的应用
经济发展预测
通过分析历史经济发展数据，利用向量自回归模型预测未来经济 发展趋势，为政策制定提供依据。
VAR-向量自回归模型
VAR-向量自回归模型简介VAR（Vector Autoregressive Model）是一种常用的多变量时间序列预测模型。
它对每个时间点上的变量都建立回归模型，通过自身过去时间点和其他变量的过去时间点进行预测。
VAR模型考虑了变量之间的相互影响，在经济学、金融学等领域得到广泛应用。
模型原理VAR模型是基于向量的自回归模型，其基本思想是将多个变量组合成一个向量，然后对该向量进行自回归建模。
VAR模型可以表示为以下形式：VAR模型VAR模型其中，X_t是一个n\times1的向量，表示在时间点t上的多个变量的取值；A_1,A_2,…,A_p是一个n\times n的矩阵，表示自回归系数；U_t是误差项，通常假设为服从均值为0且方差为\Sigma的白噪声。
VAR模型需要估计自回归系数矩阵和白噪声方差矩阵。
估计方法可以使用最小二乘法或者极大似然法，具体选择的方法取决于模型中的假设条件。
模型应用VAR模型在经济学、金融学等领域广泛应用，常见的应用场景包括：1.宏观经济预测：VAR模型可以用于预测国民经济指标、通货膨胀率、利率等宏观经济变量。
通过分析过去的数据，可以建立一个VAR模型，然后用于预测未来的经济变量走势。
2.金融市场分析：VAR模型可用于分析金融市场的相关变量，例如股票价格、汇率、利率等。
通过建立VAR模型，可以评估不同变量之间的关系，从而帮助投资者做出更准确的决策。
3.宏观经济政策分析：VAR模型可以用于评估不同的宏观经济政策对经济变量的影响。
通过建立VAR模型，可以模拟在不同政策变化下的经济变量走势，从而指导决策者制定合适的宏观经济政策。
模型评估对于建立好的VAR模型，需要对其进行评估，以验证模型的有效性。
常用的模型评估方法包括：1.残差分析：通过对模型的残差进行分析，可以评估模型是否存在偏差或者哪些变量对模型的解释能力较差。
可以使用残差的自相关图、偏自相关图等图形方法进行分析。
2.模型拟合度评估：通过计算模型的决定系数（R-squared）、均方根误差（RMSE）等指标，可以评估模型的拟合程度。
第四章向量自回归模型介绍
第四章向量自回归模型介绍向量自回归模型（Vector Autoregression，VAR）是一种时间序列分析模型，常用于分析多个相关变量之间的动态关系。
VAR模型可以看作是多个单变量自回归模型的组合，它对多个变量的信息进行了同时处理，能够更全面地捕捉变量之间的相互作用和影响。
VAR模型的基本假设是，当前时间点的所有变量值与过去时间点的所有变量值相关。
假设我们有p个变量，那么VAR(p)模型定义了每个变量在当前时间点的取值都是过去p个时间点的线性组合，同时还考虑了随机误差项。
数学表示为：Yt=A1*Yt-1+A2*Yt-2+...+Ap*Yt-p+εt其中Yt是一个p维列向量，包含当前时间点p个变量的取值；Yt-1至Yt-p是过去p个时间点的p维列向量；A1至Ap是p个p×p维矩阵，表示每个变量与过去时间点的线性关系；εt是一个p维列向量，表示随机误差项。
VAR模型的参数估计可以使用最小二乘法进行，通过最小化模型产生的残差平方和来求解参数。
可以使用矩阵形式进行计算，将所有时间点的变量值和延迟值堆叠成矩阵，并将所有误差项堆叠成矩阵，然后通过对应的矩阵运算求解参数矩阵。
VAR模型的参数估计结果可以用于分析变量之间的动态关系和相互影响。
通过观察参数矩阵中的元素值，可以了解到不同变量之间的关系类型（正相关还是负相关）、强度（系数大小）和延迟效应（系数所对应的时间点）。
同时，还可以利用VAR模型进行变量预测和冲击响应分析。
变量预测是VAR模型的一个常用功能，在给定过去时间点的变量值后，使用估计得到的参数矩阵可以预测未来时间点的变量取值。
这对于经济领域的预测和政策制定非常有用，可以根据变量之间的关系和历史数据进行未来变量值的估计。
冲击响应分析是指在VAR模型中引入一个外部冲击，观察该冲击对其他变量的影响。
冲击响应分析能够量化不同变量之间的直接和间接关系，帮助研究人员了解系统中各个变量对于一个特定冲击因素变化的反应情况。
计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型
33
第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票 价格等金融时间序列时，都发现时间序 列模型扰动方差的稳定性比通常认为的 差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称 为波动集聚性（volatility clustering）， 对于研究和控制金融风险等非常有用。
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
24
阶H滞0 ：后一的组高变斯量向数量据自由回p归0 阶生而成不。是p1 p0 H1 ：这组变量数据是由 p1 p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。
f (Y , YT , ,Y1 Y0 , ,Y p1 T , Y1 Y0 , , Y p1 ; θ)
因为 η Φ1Yt1 Φ pYt p 在时期t为常 数，而 εt ~ iidN[0,Ω]，因此
Yt Yt1, Yt2,, Y p1 ~ N[η Φ1Yt1 ΦpYt p ,Ω]
17
1
n1 1,t 1
Y (1)
nn n,t 1
Y ( p)
n1 1,t p
Y ( p) nn n,t p
nt
8
这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模 型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理 论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分， 每个方程都包含所有的变量；
18
向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ)
f YT ,
,Y1 Y0 ,
(Y , ,Y p1
向量自回归var模型
向量自回归var模型
Vector Autoregressive (VAR) model是一种常用的时间序列模型，用于研究在一段时间内几个变量之间的影响关系。
VAR模型根据变量的时间序列分析出多个变量之间的直接和间接影响。
VAR模型最常用于许多经济变量，如GDP、通货膨胀率和利率，这些经济变量之间有可能存在复杂的因果关系。
通常，VAR模型由几个变量的序列表示，并采用预测及其他统计程序来检验系统的影响。
一般而言，VAR模型的假设是参数是不变的，变量之间没有多个
共线性，变量存在自相关性，误差项是服从正态分布的独立同分布的，误差项的样本自相关为0/1特征（即不存在自相关）。
以上假设均有
助于我们更好地进行变量之间的因果关系研究。
VAR模型除了可以用来预测一个变量对另一个变量的变化对于研
究者来说还有另一个重要用处，可以捕捉变量之间复杂的因果关系。
作为时间序列模型，VAR模型最大的作用是识别变量之间的影响，可以解释在自然系统中发生的各种不确定性，并采取相应的行动及早消除
威胁。
总的来说，VAR模型是一种用于识别变量之间的影响关系的有效
方法，可以有效地使用多个变量时间序列来检验和预测这个系统的状态。
这种模型的强大特性使它在经济、金融和时间序列分析领域非常
流行，以检测变量之间的复杂关系以及把握因果效应。
向量自回归(VAR)模型PPT课件
s1 t1
F (s 11
)
(Yt
)
F (s) 12
(Yt
1
)
F (s) 1p
(Yt (
p 1)
)
其中：i
F (i 11
)
,
F (i 11
)
表示F i
矩阵的左上角
的部分，而F i 是矩阵F的 i次幂。
只 要 VAR(p)模 型 为 平 稳 系 统 ， 就 确 保 了
1 z 0.6z
(z) n 1z 0.5z
0 10.7z
(1 z)(10.7z) 0.3z2 0
z2 0.75z 2.5 0
z1 5/ 4, z2 2
在上面给出的例子中，很明显第一个 等式的自回归系数是1(11 1 )，但是整个 VAR(1)系统是平稳的！所以，整个VAR模 型系统的平稳与否，千万不能单凭某一个 等式中的自回归系数判断，而是要考虑整 个系统的平稳性条件。这是因为，在只考 虑单个等式中的某个自回归系数时，却忽
8.2 VAR模型的估计与相关检验
8.2.1 VAR模型的估计方法
虽然VAR模型系统比一维模型看上去 复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并 不一定很繁难。常见的估计方法包括最 大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估 计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估 计获得的系数是完全相同的。
8.1.5 VAR模型与VMA模型的转化
VMA过程，就是用向量形式表示的移 动平均过程，在这样的移动平均过程中， 随机扰动项以向量白噪音的形式出现。所 以，一个VMA(q)过程的定义为：
向量自回归模型在经济预测中的应用研究
向量自回归模型在经济预测中的应用研究摘要：向量自回归模型（Vector Autoregressive Model，VAR）是一种广泛应用于经济学和金融学领域的时间序列分析方法，它能够捕捉多个经济变量之间的相互依赖关系，并用于预测未来的经济变量。
本文通过对向量自回归模型的原理和应用进行研究，分析了其在经济预测中的优势和局限性，并给出了一些实证研究的案例。
第一部分：简介1.1 背景和意义经济预测对于政府、企业和个人决策者具有重要意义。
传统的经济预测方法如回归分析、时间序列分析等主要关注单个经济变量的预测，无法捕捉多个变量之间的相互作用关系。
而向量自回归模型通过引入多个经济变量，能够更准确地进行经济预测。
1.2 向量自回归模型的原理和特点向量自回归模型是一种多变量时间序列模型，它基于单变量自回归模型的思想，假设每个变量的当前值与自身过去值以及其他变量的过去值相关。
具体而言，VAR模型可以用以下方程表示：X_t = c + A_1*X_(t-1) + A_2*X_(t-2) + ... + A_p*X_(t-p) + ε_t其中，X_t是一个n维向量，表示包含所有变量的观测值；c是一个常数项；A_i是n×n维系数矩阵；ε_t是一个误差向量，服从白噪声过程。
向量自回归模型的特点在于能够处理多个变量之间的互动关系，而不需要事先指定因果关系。
另外，VAR模型还具有灵活性高、模型拟合能力强和理论解释性好等优点。
第二部分：向量自回归模型的应用2.1 宏观经济预测向量自回归模型广泛应用于宏观经济预测。
通过引入多个宏观经济变量，如GDP、通货膨胀率、失业率等，可以更全面地预测经济走势。
在实证研究中，研究者们发现VAR模型相较于传统的单变量模型，能够提供更准确的宏观经济预测结果。
2.2 金融市场预测向量自回归模型也被广泛应用于金融市场的预测。
研究者们通过引入股票市场指数、汇率、利率等变量，分析它们之间的相互影响，从而预测未来的金融市场走势。
向量自回归var模型公式
向量自回归var模型公式向量自回归（VAR）模型是一种统计模型，广泛应用于经济学、金融学和其他社会科学领域。
该模型通过将多个变量的历史值与它们自己和其他变量的历史值建立联系来预测未来值。
本文将为您详细介绍VAR模型。
VAR模型中的向量表示一个包含多个变量的时间序列数据。
假设我们有P个变量，且时间序列的长度为T，则向量x_t表示一个大小为P的列向量，其中x_t^(i)表示第i个变量在t时刻的值。
因此，我们可以将所有时间序列数据表示为一个矩阵X，其中第t行表示x_t。
VAR模型的核心是向量自回归方程。
假设我们要预测向量x_t的值，我们可以使用两种方法。
第一种方法是依赖于过去的值来预测未来的值，这被称为自回归（AR）模型。
第二种方法是基于其他变量的值来预测向量x_t，这被称为多元回归模型。
VAR模型将这两种方法相结合，使得每个变量都可以同时受到它自身的历史值和其他变量的历史值的影响。
因此，VAR模型的一般形式可以表示为：X_t = c + A_1*X_(t-1) + A_2*X_(t-2) + ... + A_p*X_(t-p) + e_t其中，c是一个大小为P的常数向量，A_1，A_2，...，A_p是大小为P×P的系数矩阵，p是我们选择的时间滞后期数，e_t是一个大小为P的误差向量。
在VAR模型中，我们需要选择滞后期数p。
这个选择通常基于数据的特定性质和经验，一般使用信息准则（如AIC或BIC）或统计检验来确定最佳滞后期数。
VAR模型有许多应用，其中之一是预测未来的经济变量。
例如，我们可以使用VAR模型来预测通货膨胀率、利率和股票价格。
除了预测外，VAR模型还可以用于解释变量之间的相互关系，如在宏观经济学中，可以使用VAR模型来分析GDP、通货膨胀率、利率和就业率之间的关系。
在建立VAR模型时还需要注意一些问题。
首先，模型的系数必须是稳定的，即小扰动不会导致模型的爆炸性增长或衰减。
其次，模型的误差项必须是独立的和具有恒定的方差。
主题词 自向量回归 (var) 模型
自向量回归（VAR）模型是一种用于分析多变量时间序列数据的统计方法。
它可以帮助我们理解不同变量之间的相互关系，预测它们未来的变化趋势，并进行因果推断。
在本文中，我们将对VAR模型进行深入探讨，包括其基本原理、模型设定、参数估计和预测方法等方面。
一、基本原理VAR模型是由Sims（1980）提出的，它基于向量自回归（VAR）模型将多个时间序列变量表示成它们自身的滞后值的线性组合。
假设我们有p个时间序列变量，表示为Y_t=(y_1t, y_2t, …, y_pt)'，其中t表示时间，向量Y_t的期望和协方差分别为μ和Σ。
VAR模型可以写成如下形式：Y_t = μ + Φ_1Y_(t-1) + Φ_2Y_(t-2) + … + Φ_pY_(t-p) + ε_t其中Φ_1, Φ_2, …, Φ_p为p个参数矩阵，ε_t是一个p维白噪声过程。
通过对ε_t加入适当的分布假设，我们可以进行参数估计和假设检验。
二、模型设定在应用VAR模型时，需要考虑一些基本设定。
要确保所选取的时间序列变量之间是相互关联的，否则模型可能会失效。
要考虑时间序列变量的滞后阶数p，选择合适的滞后阶数可以帮助建立更准确的模型。
需要检验时间序列变量的平稳性和同阶整合性，如果时间序列变量是非平稳的，可能需要进行差分处理。
三、参数估计VAR模型的参数估计通常使用最大似然估计法或奇异值分解法。
最大似然估计法通过最大化似然函数来求取参数估计值，这要求时间序列变量的扰动项ε_t满足正态分布假设。
奇异值分解法则通过对VAR模型进行矩阵分解来求取参数估计值，它具有较好的数值稳定性和计算效率。
四、预测方法VAR模型的预测方法包括直接预测法和动态预测法。
直接预测法利用模型的滞后值来进行未来值的预测，它简单直观但可能忽略了变量之间的相互影响。
动态预测法则从已知数据点开始，逐步向前预测未来值，能够更好地捕捉变量之间的动态关系。
五、实证分析为了验证VAR模型的有效性，我们通常进行实证分析来检验模型的拟合度和预测能力。
时变参数向量自回归模型
时变参数向量自回归模型1. 引言时变参数向量自回归模型（Time-Varying Parameter Vector Autoregressive Model，TVAR）是一种用于分析时间序列数据的经济计量模型。
它可以捕捉到时间序列数据中的动态性和非线性关系，因此在经济学、金融学等领域被广泛应用。
本文将介绍时变参数向量自回归模型的基本原理、建模方法以及应用案例，帮助读者全面了解该模型。
2. 基本原理2.1 自回归模型自回归模型（Vector Autoregressive Model，VAR）是一种多元时间序列分析方法。
它假设时间序列数据之间存在线性关系，并可以通过过去若干期的数据来预测未来的值。
VAR模型可以表示为：Y t=c+Φ1Y t−1+Φ2Y t−2+⋯+Φp Y t−p+εt其中，Y t是一个n维向量，表示第t期的观测值；c是一个常数向量；Φ1,Φ2,…,Φp是n×n的系数矩阵，表示自回归系数；εt是一个n维向量，表示误差项。
2.2 时变参数向量自回归模型时变参数向量自回归模型是在VAR模型的基础上引入了时变参数的扩展模型。
它认为自回归系数在时间上是可变的，可以通过某种方式来描述其动态性。
时变参数向量自回归模型可以表示为：Y t=c+Φ1(t)Y t−1+Φ2(t)Y t−2+⋯+Φp(t)Y t−p+εt其中，Φi(t)表示第i个滞后期的自回归系数在时间t上的取值。
3. 建模方法3.1 参数估计对于时变参数向量自回归模型，参数估计是一个关键步骤。
常用的方法有贝叶斯方法、频域方法和局部似然方法等。
贝叶斯方法通过引入先验分布来估计参数，可以获得参数的后验分布。
频域方法利用频域上的特征来估计参数，可以捕捉到数据的周期性。
局部似然方法则在每个时间点上估计参数，可以灵活地适应时变性。
3.2 模型选择在建立时变参数向量自回归模型时，需要选择合适的滞后阶数和模型形式。
滞后阶数决定了过去多少期的数据被考虑进模型中，一般通过信息准则（如AIC、BIC等）来选择最优阶数。
第四章向量自回归模型介绍
向量自回归模型
西姆斯创立了一种基于向量自回归的方法，来分析 经济如何受到经济政策临时性变化和其他因素的影 响。
西姆斯和其他研究者使用这一方法来研究诸如央行 加息等对经济的影响等问题。
9
向量自回归模型
虽然萨金特和西姆斯的研究是分别独立完成的，但 他们的贡献在几个方面都是互补的。 他们在 1970和 1980年代的创造性贡献已被世界各地 的研究者和政策制定者所采用。 现在，萨金特和西姆斯创立的方法已成为宏观经济 分析的基本工具。
第四章 向量自回归模型及应用
传统经济计量建模是以经济理论为基础，有以下特 点： 具有某些主观因素的影响 不足以描述变量间的动态联系 内生变量既可出现在方程的左端又可出现在方程的 右端,使得估计和推断变得更加复杂。 向量自回归模型的提出克服了这些缺点。
第一节 向量自回归模型
向量自回归模型 Vector Autoregression Model，简称VAR模型 由美国计量经济学家和宏观经济学家西姆斯于 1980 年提出。
他的贡献还有随机对策理论、Bondareva-Shapley规则 、Shapley-Shubik权力指数、Gale-Shapley运算法则、潜 在博弈论概念、Aumann-Shapley定价理论、HarsanyiShapley解决理论、Shapley-Folkman定理。 此外，他早期与R.N.Snow和Samuel Karlin在矩阵对 策上的研究如此彻底，以至于此后该理论几乎未有补充 。他在功用理论发展上扮演关键角色，他为冯-诺依曼摩根斯坦稳定集存在问题的解决奠定了基 础。他在非核 心博弈理论及长期竞争理论上与Robert Aumann的工作均 对经济学理论产生了巨大影响。
向量自回归模型简介
向量自回归模型简介一、Var模型的基本介绍向量自回归模型（Vector Autoregressive Models，VAR）最早由Sims（1980）提出。
他认为，如果模型设定和识别不准确，那么模型就不能准确地反应经济系统的动态特性，也不能很好地进行动态模拟和政策分析。
因此，VAR模型通常使用最少的经济理论假设，以时间序列的统计特征为出发点，通常对经济系统进行冲击响应（Impulse-Response）分析来了解经济系统的动态特性和冲击传导机制。
由于VAR模型侧重于描述经济的动态特性，因而它不仅可以验证各种经济理论假设，而且在政策模拟上具有优越性。
VAR模型主要用于替代联立方程结构模型，提高经济预测的准确性。
用联立方程模型研究宏观经济问题，是当前世界各国经济学者的一种通用做法，它把理论分析和实际统计数据结合起来，利用现行回归或非线性回归分析方法，确定经济变量之间的结构关系，构成一个由若干方程组成的模型系统。
联立方程模型适合于经济结构分析，但不适合于预测：联立方程模型的预测结果的精度不高，其主要原因是需要对外生变量本身进行预测。
与联立方程模型不同，VAR模型相对简洁明了，特别适合于中短期预测。
目前，VAR模型在宏观经济和商业金融预测等领域获得了广泛应用。
二、VAR模型的设定VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。
一个VAR(p)模型可以写成为：或：其中：c是n × 1常数向量，Ai是n × n矩阵，p是滞后阶数，A(L)是滞后多项式矩阵，L是滞后算子。
是n × 1误差向量，满足：1.―误差项的均值为02.Ω―误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵）3.（对于所有不为0的p都满足）―误差项不存在自相关虽然从模型形式上来看比较简单，但在利用VAR模型进行分析之前，对模型的设定还需要意以下两点：一是变量的选择。
向量自回归模型
2、结构向量自回归模型 （Structural Vector Auto-Regression，SVAR）
添加标题
西姆斯（1986）以及布兰查德（Q.J.Blanchard）和匡赫（D.Quah）（1989）
添加标题
变量之间的当期关系揭示了变量之间的相互影响，实际上是对VAR模型施加了基于经济理论的限制性条件，从而识别变量之间的结构关系。
检验结果
4、几个应用中的实际问题
滞后期长度的选择问题
检验结果对于滞后期长度的选择比较敏感，不同的滞后期可能会得到不同的检验结果。 一般而言，需要进行不同滞后期长度下的检验，观察其敏感程度；并且根据模型中随机误差项不存在序列相关时的滞后期长度来选取滞后期。 例题中不同滞后期的检验结果
从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原因”的假设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。 滞后阶数为2或3时，两类检验模型都不存在序列相关性。 由赤池信息准则，发现滞后2阶检验模型拥有较小的AIC值。 可判断：可支配收入X是居民消费支出Y的格兰杰原因，而不是相反，即国民收入的增加更大程度地影响着消费的增加。
向量自回归模型(VAR)-Eviews实现
对于滞后阶数的选择存在主观性，可 能导致模型拟合不足或过度拟合；无 法进行因果检验和结构分析。
02 Eviews软件介绍
Eviews软件的特点
界面友好
Eviews软件采用图形用户界面，操作简便，易 于上手。
灵活多变
Eviews软件支持自定义函数和命令，用户可以 根据需要自行编写程序。
ABCD
系方面的有效性。
实证分析中，我们采用了国内生 产总值(GDP)、消费者价格指数 (CPI)和货币供应量(M2)三个经 济指标，通过VAR模型分析它们 之间的动态关系，并利用Eviews 软件进行了模型估计和检验。
实证结果表明，VAR模型能 够有效地描述多个时间序列 变量之间的动态关系，并且 通过Eviews软件可以实现方
02
模型通过估计变量之间的滞后系数来分析变量之间 的动态关系。
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滞后阶数决定了模型中包含的滞后项数量，滞后阶 数越多，模型拟合的自由度越少。
VAR模型的应用场景
用于分析多个经济指标或金融变量之间的动态关 系。 用于预测经济趋势和政策效应。
用于评估经济政策的有效性。
VAR模型的优缺点
优点
能够同时考虑多个时间序列变量之间 的动态关系，能够捕捉到变量之间的 长期均衡关系和短期调整机制。
预测性能评估
使用各种预测性能指标， 如MSE、MAE、RMSE等， 对VAR模型的预测性能进 行评估。
04 案例分析
案例选择与数据准备
案例选择
选择一个具有代表性的经济时间序列数据集，如股票收益率、汇 率等。
数据准备
收集所需数据，进行数据清洗和整理，确保数据准确性和一致性。
数据预处理
对数据进行必要的预处理，如缺失值填充、异常值处理等。
第10章 向量自回归模型 《计量经济学》PPT课件
其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m =d+ kj，
d是外生变量的个数，k是内生变量个数，Σˆ j1 和 Σˆ j 分别表 示滞后阶数为(j – 1)和 j 的VAR模型的残差协方差矩阵的估
计。
32
从最大滞后数开始，比较LR统计量和5%水平下的临
界值，如果LR
2 0.05
时，拒绝原假设，表示统计量显著，
4、几个应用中的实际问题
• 滞后期长度的选择问题
– 检验结果对于滞后期长度的选择比较敏感，不同的滞 后期可能会得到不同的检验结果。
– 一般而言，需要进行不同滞后期长度下的检验，观察 其敏感程度；并且根据模型中随机误差项不存在序列 相关时的滞后期长度来选取滞后期。
– 例题中不同滞后期的检验结果
从2阶滞后期开始，检验模型都拒绝了“X不是Y的格兰杰原因”的假 设，而不拒绝“Y不是X的原因”的假设。
• VAR的发展
– 在经济预测领域，特别是宏观经济预测领域，经典的 计量经济学结构模型（包括联立方程结构模型）几乎 为向量自回归模型所替代。
– 原因在于经典的计量经济学结构模型是以理论为导向 而构建的，特别是凯恩斯宏观经济理论，而经济理论 并不能为现实的经济活动中变量之间的关系提供严格 的解释。
• VAR模型是一种非结构化模型。
– 模拟试验表明，经济行为上不存在因果关系的平稳时 间序列之间也可能存在着统计上的因果关系。
– 例如：城镇居民收入（CZJMSR）是农村居民消费 （NCJMXF）的原因？
数据
检验结果
• 统计检验必须建立在经济关系分析的基础之上， 结论才有意义。
四、模型滞后阶数P的确定
VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在
VAR向量自回归模型
等式右边的变量相关
2
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得 到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
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（二） 在Eviews软件关于VAR模型的各种检验 一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被
估 计 的 VAR 模 型 的 各 种 视 图 。 将 主 要 介 绍 View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。
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1．VAR模型滞后结构的检验 (1) AR根的图表 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即 位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些 结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共 有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。 如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k r个 根等于1。 对于例3.1，可以得到如下的结果：
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有2个单位根的 模大于1，因此例3.1 的模型不满足稳定 性条件，而且在输 出结果的下方会给 出警告(warning)。
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下面给出单位根的图形表示的结果：
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（2） Granger 因果检验 选择View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR 模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞ytΒιβλιοθήκη a10 a（111) yt1
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第十四章 向量自回归模型本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。
这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。
14.1 VAR 模型的背景及数学表达式VAR 模型主要应用于宏观经济学。
在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。
VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。
因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。
VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。
我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。
这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。
为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。
向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。
一般的VAR(P)模型的数学表达式是。
11011{,}t t p t p t t q t q ty v A y A y B x B x B x t μ----=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++∈-∞+∞ （14.1）其中1t t Kt y y y =⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵，并且假定t μ是白噪声序列；即，()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。
在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的全部动态关系信息。
但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。
因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。
一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。
2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）2/log /SC l n k n n =-+ （14.3）式（14-2）与（14-3）中()k m qd pm =+表示待估参数个数，n 表示观测样本个数，同时满足：'(1log 2log[det(/)]22t t t nm nl n πεε∧∧=-+-∑） （14.4）14.2 VAR 模型的估计在对VAR 模型进行估计时，首先必须对变量进行单位根检验。
具体操作步骤见本书前面章节，在此不多加阐述了。
14.2.1 VAR 模型输入在Eviews 里面设定VAR 模型之前必须创建VAR 系统，选择quick/Estimate VAR 或者直接在命令窗口内输入var 。
此时会出现var 对话框，你必须在对话框中填入适当的信息,如下图14.1。
(1)选择VAR 估计的类型：Unrestricted VAR （非限制性向量自回归）或者Vector Error Correct （向量误差修正模型），现在所谓的VAR 是指Unrestricted VAR （非限制性向量自回归），Vector Error Correct （向量误差修正模型）将在下一步做进一步介绍。
(2)设定需要估计的样本跨度。
(3)在对话框（Lag Intervals for Endogenous ）键入适当的滞后期间隙，滞后期间隙必须是成对键入：每一对数字都定义了滞后期的区间，例如右图中：1 4表示Eviews 使用内生变图14.1 VAR 设定的对话框量滞后第1期至第4期来估计系统中的（gdp cpi m1 r ）变量。
你可以键入任何成对滞后数字。
滞后期的设定如下：2 4 6 9 12上面数字意味着使用滞后2-4，6-9和12-12。
(4)在对话框中键入需要估计的内生变量和外生变量名称，此处我们把gdp ，cpi ，m1和r 作为内生变量序列，同时把常数项c 作为一个外生变量键入对话框内。
剩下来的对话标签（Cointegration 和VEC Restrictions ）仅仅和我们下一步需要介绍的向量误差修正模型有关。
14.2.2 VAR 模型输出如果设定好var 模型以后，就可以点击ok ，在var 窗口中会显示估计的结果。
如图14.2。
图14.2 VAR 模型估计结果图中每一列代表相应VAR 模型中每一个内生变量的方程。
每一个变量的右端Eviews 汇报了待估系数，标准差（圆括号内）以及t 统计量（中括号内）。
例如在方程GDP 中GDP(-1)的系数为0.848803，标准差为0.13700，t 统计量为6.19545，根据t 统计量分布表，可知在5%的显著水平下，该系数是显著不为0的。
在系数估计表的下端，Eviews 汇报了一些额外的信息，如图14.3。
图14.3 VAR 模型回归统计量在图14.3中，第一部分表示的是每一个方程标准的OLS 统计量。
根据各自的残差分别计算每一个方程的结果，并显示在对应的每一列中。
输出的第二部分表示的是整个VAR 系统的回归统计量。
残差的协方差行列式值（自由度进行调整以后）的计算原理是'1det()t t tT m εε∧∧∧∑=-∑ （14.5） 在式（14-5）中m 表示的是VAR 系统中每一个方程待估参数的个数，非调整的估计可以忽略m 。
通过假定服从多元正态分布（高斯分布）的似然对数值的计算如下：{(1log 2)log }2Tl k π∧=-++∑ （14.6）AIC 和SC 两个信息准则的计算原理如下：2/2/AIC l T n T =-+ （14.7）2/log /SC l T n T T =-+ （14.8）其中()n k d mk =+表示VAR 模型中待估参数的总数，根据这些准则可以决定VAR 模型适当的滞后期长度，这些准则的值越小，那么模型的滞后期就越合适。
14.3 VAR 模型的诊断如果完成了VAR 模型的估计，那么Eviews 会提供各种视窗来反映估计的VAR 模型是否恰当。
在这一节中我们将要讨论VAR 模型的设定，并对VAR 模型进行诊断。
在VAR 系统视窗的View/Lag Structure 和 View/Residual Tests 菜单下提供了一系列帮助我们进行VAR 模型诊断的视图。
14.3.1 VAR 模型滞后期的确定对于VAR(1)，11t t t Y c Y μ-=+∏+模型稳定的条件是特征方程10I λ∏-=的根都在单位圆以内，或相反的特征方程10I L -∏=的根都要在单位圆以外。
对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。
1Y C AY t t t μ-=++ （14.9）模型稳定的条件是特征方程0A I λ-=的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。
所以也可以通过估计得到相应()VMA ∞模型的参数。
这一小节主要介绍的是如何给VAR 模型确定去合适的滞后期，在滞后结构中提供许多确定滞后期的方法，见图14.4。
图14.4 VAR滞后结构视窗对话框1)AR根的图表关于AR特征根多项式的倒数可以参考：Lütkepohl (1991)。
如果VAR系统中所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，那么VAR系统就是稳定的。
如果VAR系统不是稳定的，即部分根的模的倒数位于单位圆外，那么估计的某些结果(例如，脉冲响应的标准误差)就可能无效，估计过程中存在kp个根，其中k表示内生变量的个数，p表示最大滞后期。
如果估计一个带有r个协整关系的向量误差修正模型，那么必须有k-r个根的模等于1。
根据这一原则，我们得到的估计结果如表14.1。
表14-1 AR根表Roots of Characteristic PolynomialEndogenous variables: GDP CPI M1 RExogenous variables: CLag specification: 1 4Root Modulus0.992091 0.9920910.965850 0.965850-0.413574 - 0.711282i 0.822779-0.413574 + 0.711282i 0.8227790.814673 0.8146730.698590 - 0.408019i 0.8090160.698590 + 0.408019i 0.8090160.356653 - 0.683437i 0.7709010.356653 + 0.683437i 0.770901-0.168418 - 0.667357i 0.688281-0.168418 + 0.667357i 0.688281-0.535191 0.5351910.478679 0.478679-0.255845 - 0.372175i 0.451632-0.255845 + 0.372175i 0.4516320.290012 0.290012No root lies outside the unit circle.VAR satisfies the stability condition.从表14.1估计的结果可知，所有根的模的倒数都小于1，所以估计的VAR系统满足稳定性条件，为了更加直观的所有根的模的倒数在单位圆中的位置，我们根据AR根图来判断VAR系统的稳定性。
见图14.5。
图14.5 AR根图根据图14.5可知，所有AR根的模的倒数都位于单位圆内，由此可以判断VAR系统是稳定的。
如果VAR系统是稳定的，那么进一步进行VEC估计的结果就是有效的，否则某些估计的结果可能不是有效的。