光路计算与近轴光学系统

（二）轴向放大率
轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。 它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示。
dl' dl
n' n n' n 对公式 微分，有 l' l r n' dl ' ndl 2 0 2 l' l
E
I’ φ r
C
U’
A’ -y’ B’
L’
练习：试用符号规则标出下列 光组及光线的位置
（1）r = -30mm、L = -100mm、U = -10° （2）r = 30mm、L = -100mm、U = -10° （3）r1 = 100mm、r2 = -200mm、d = 5mm、L = -200mm、U = -10° （4）r = -40mm、L’ = 200mm、U’ = -10° （5）r = -40mm、L = -100mm、U = -10°、L’= -200mm
1 1 1 1 n( ) n'( ) Q r l r l' n' n n' n l' l r
由近轴细光束成的完善像称为高斯像 光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
第四节 球面光学成像系统
一、单个折射面成像 二、球面反射镜成像 三、共轴球面系统
一、单个折射面成像
将物方倾斜角 U 限制在一个很 小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这 是可以认为可以成完善像
三、近轴光线的光路计算
U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧 度值来代替它的正弦值，并用 小写字母表示。
sin I i sin I' i' sin U u sin U ' u'
y n u y' n' u' J
B
y -u C O
n
E
n’ u’ A’ -y’ B’
A
上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成 像时，在一对共轭面内，其 n，u，y 或 n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。 J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质， 在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，也 就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。
n' u' nu n(
h( n' n ) r
1 1 1 1 ) n'( ) Q r l r l'
n' n n' n l' l r
h( n' n ) n' u' nu r
给出了 u 和 u’ 的关系
“阿贝不变量”。 当物点位置一定时， 物空间和像空间的 Q 值相等。
B E h O -L r L’ U’ C
y
A
-U
A’
-y’ B’
（2）光线与法线的夹角，如I、I’，以光线为起始边。
I -I” -I”
B
I’
-U
I h O
E I’ C r L’
-I’
U’
y
A
A’
-y’ B’
-L
（3）入射点法线与光轴的夹角φ
（球心角），以光轴为起始边。
B y A -L -U
I h O
同时 L，L’ 也用小写表示。
则实际光路公式可写成：
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n' U' U I I' sin I ' L' r( 1 ) sinU '
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' r( 1 ) u'
当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光 是平行于光轴的平行光，此时有 L = -∞，U = 0
n I E n’ φ r C
h O
h 入射角可以按 sin I 计算 r
然后再按其它实际光路公式计算
例：已知一折射球面其 r = 36.48mm，n = 1，n’ = 1.5163。 轴上点A的截距 L = -240mm，由它发出一同心光束，今 取 U 为 -1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折 射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方倾斜角U’）
-U A -L △AEC中，－L＋r = AC， 并由正弦定理可得：
U’
A’
在△EA’C中，CA’ = L’-r， 由正弦定理，可得
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n' U I U ' I '
ห้องสมุดไป่ตู้U' U I I'
L' r r sin I ' sinU '
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
n
i
h
E
i’ φ r
n’ C l’ u’
有：lu = l’u’ = h
A’
-u
A -l
O
i' lr 如将 i u 和 l' r( 1 ) r u' n i' i 中的 i, i’ 代入 n'
n 1 n'
上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。 角放大率表明了折射球面将光束变宽或变 细的能力，只与共轭点的位置有关，与光 线的孔径角无关
将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：

上式为三种放大率的关系。
y' n u y n' u'
即：
y n u y' n' u' J
可以发现：同一物点发出的物方倾斜角 不同的光线过光组后并不能交于一点！
n E n’
A O -240mm
C
轴上点以宽光束经 球面成像时，存在 像差（球差）。
折射球面对轴上点以宽光束成 像是不完善的，所成的像不是 一点，而是个模糊的像斑，在 光学上称其为弥散斑。 一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点 的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。
（三）角放大率
B y -u A -l n h C E
n’
u’ l’
A’ -y’
B’
O
r
在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线 与光轴夹角 u’ 与 u 的比值，用γ表示
u' u
将式
l u = l’ u’ = h
代入上式
可得

u' l u l'
上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得
1 1 1 1 n( ) n'( ) Q r l r l'
n' n n' n l' l r
给出了 l 和 l’ 的关系
由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l’ 与 u 无关。 这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍 是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。
整理后
dl' nl' 2 dl n' l 2
nl' n' l
所以
由于

n' 2 n
讨论：
由

n' 2 得到以下结论： n
（1）折射球面的轴向放大率恒为正， 说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴 同方向移动。 （2）轴向与垂直放大率不等，空间物 体成像时要变形，立方体放大后不再 是立方体。折射球面不可能获得与物 体相似的立体像。 （3）公式应用条件：dl 很小。
B n E n’ C O -l r l’ u’ A’ -y’ B’
y
-u A
h
（一）垂轴放大率
垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’，则
y' y
β 称为垂轴放大率或横向放大率
B y
n h
E
n’
-u
A -l O r
C
l’
u’
A’ -y’
B’
y' l' r △ABC ∽ △A’B’C 有： y l r l' r nl' 由阿贝不变量公式可得： 代入上式 l r n' l y' nl' 可得： y n' l
l l’
可归结为： β>0，成正立像且物像虚实相反。 β<0，成倒立像且物像虚实相同。
（3）若 |β| > 1，则 |y’| > |y|，成放大像，反
之 |y’| < |y|，成缩小像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时， 即 l 变小，则β增大 成像的位置、大小、虚实、 倒正极为重要！！！
只知道无符号的参数，光线可能有四种 情况。要确定光线的位置，仅有参量是 不够的，还必须对符号作出规定。
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。 正向光路
反向光路
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到 终点的方向与光线传播方向相 同，为正；反之为负。
即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。 原点 － + 原点
称为近轴公式
n
i h O
E φ r
n’ C
当无限远物点发出的平行光入射时，有
h i r
继续用其余三个公式。
例2：仍用上例的参数 r = 36.48mm, n = 1, n’ = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017 求：l’, u’
lr 240 36.48 i u ( 0.017 ) 0.1288 r 36.48
（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）
O1
O2 +d O2 O1
O1
O2
2. 垂轴线段：以光轴为界， 上方为正，下方为负。 B E
+y
A
+h O C
A’ -y’ B’
（三）角度
角度的度量一律以锐角来度量，由起始边 顺时针转到终止边为正，逆时针为负。
起始边规定如下：
（1）光线与光轴的夹角，如 U、U’，以光轴为起始边。
n E n’
sin I Lr sin U r n sin I ' sin I n' U' U I I'
A
O -240mm
C
L' r( 1
sin I ' ) sinU '
U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm U= -2°: U’= 3.291334° L’=147.3711mm U= -3°: U’= 5.204484° L’=141.6813mm
sin I ' L' r( 1 ) sinU '
sin I
Lr sin U r n sin I ' sin I n' sin I ' L' r( 1 ) sinU '
U' U I I'
上述四个公式就是子午面内光路计算 的实际光路公式，当 n、n’、r 和 L、 U 已知时，可依次求出 U’ 和 L’。
（1）曲率半径 r，以球面顶点 O 为原点， 球心 C 在右为正，在左为负。 E
A
O +r A
C
E C
-r
O
（2）物方截距 L 和像方截距 L’ 也以顶点 O 为原 点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。 E
A
O -L A C +L’
A’ E A’ C -L O
-L’
（3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为 原点，向右为正，向左为负。
n 1 i' i 0.1288 0.085 n' 1.5163
u' u i i' 0.017 0.12886 0.085 0.02686
i' 0.085 l' r( 1 ) 36.48 ( 1 ) 151.923mm u' 0.02686
符号规则是人为规定的， 一经定下，就要严格遵 守，只有这样才能导出 正确结果
二、实际光线的光路计算
n I E I’ -U A -L O φ r L’ C U’ A’ n’
当结构参数 r , n , n’ 给定时，只要 知道 L 和 U ，就可求 L’ 和 U’
n
I
E
φ O r I’
n’ C L’
第三节 光路计算与近轴光学系统
一、基本概念与符号法则 二、实际光线的光路计算 三、近轴光线的光路计算
一、基本概念与符号法则
n I E
n’
C L’ U’ A’
-U A -L
h φ I’
O r
※ O：顶点。 ※ C：球面曲率中心。 ※ OC：球面曲率半径，r。 ※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。 ※ h：光线投射高度。 ※ 物方截距：顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示。 ※ 物方倾斜角：入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示。 ※ 像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。 ※ 像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示。 ※ 入射角I ※ 折射角I’ ※ 法线与光轴的夹角φ ※ 子午平面：通过物点和光轴的截面
可见β只取决于介质折射率和物体位置。
对横向放大率的讨论
根据β的定义和公式，可以 确定物体的成像特性：
（1）若β> 0，即 y 与 y’ 同号，表示 成正立像。反之成 倒立像。
（2）若β > 0，即 l 与 l’ 同 号，表示物象在折射球面 同侧，物像虚实相反。反 之 l 与 l’ 异号，物像虚实 相同。