科学和工程计算复习题及答案
科学和工程计算复习题与答案
科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法是5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)()())(()(x f x f x x f cond x C '==6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根.8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式:2121),(),(y y L y x f y x f -≤-.其中常数L 只依赖于区域D .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称i ni A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径.10. 设1-A 存在,则称数A AA cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数. 11. 方程组f xB x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ. 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k n k n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=l k lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη15. 复化Simpson 求积公式⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=≈-=-=ban k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4b a f h a b R nS∈--=ηη16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为2n+1 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 P 阶的或具有P 阶精度 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用11k k kx x x ε--<+，其中的0>ε为 相对误差20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kx Bx f +=+收敛的充分必要条件是( A ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵.5. 设()[]2,f x C a b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-; C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-.6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( A ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?A. 基函数(){}n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -.11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( A ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( C ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+==是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
《科学技术领域》15个常考计算题及答案
《科学技术领域》科学综合常考15个计算题题集后附答案1. 力学中的能量守恒问题一个质量为2kg的物体从高度为10m的平台自由落下，落地时速度为多少？若落地后物体与地面碰撞，恢复系数为0.8，求物体反弹后的速度及能达到的最大高度。
2. 电磁场中的电荷运动在匀强电场中，一个带电量为+2e的粒子从静止开始加速，经过时间t后获得速度v。
若电场强度为E，求粒子的加速度a及在时间t内移动的距离s。
3. 热力学中的理想气体一定量的理想气体在恒温条件下从体积V1膨胀到体积V2，若已知初始压强P1，求膨胀后的压强P2。
假设过程中气体不对外做功，也不从外界吸收热量。
4. 光学中的干涉现象在双缝干涉实验中，已知双缝间距为d，光源到双缝的距离为L1，双缝到屏幕的距离为L2，光源波长为λ。
求屏幕上相邻两条亮条纹之间的距离Δx。
5. 化学中的摩尔计算在标准状况下，将30g的CO和CO2混合气体通入足量的石灰水中，得到25g白色沉淀。
求混合气体中CO和CO2的质量各是多少？6. 电路中的功率问题一个电阻为R的用电器接在电压为U的电源上，消耗的电功率为P。
若将该用电器与一个阻值为R/2的电阻串联后接入同一电源，求此时用电器消耗的电功率P'。
7. 声学中的多普勒效应一辆汽车以速度v向静止的观察者驶来，汽车喇叭发出频率为f的声波。
求观察者听到— 1 —的声波频率f'。
（假设声速为c）8. 量子力学中的波函数一个粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为a。
求粒子的波函数ψ(x)及对应的能量本征值En。
9. 相对论中的质能关系一个质量为m的物体以速度v运动，求其动能Ek及总能量E。
（光速为c）10. 流体力学中的伯努利方程水在水平管道中流动，管道直径为D，流速为v，压强为P。
若管道某处突然缩小至直径为d，求缩小处的流速v'和压强P'。
11. 信号处理中的采样定理一个模拟信号的频率范围为0到fm，若要用数字信号完整表示该模拟信号，求最低采样频率fs。
材料科学与工程基础第三章答案(供参考)
3.8 铁具有BCC晶体结构，原子半径为0.124 nm，原子量为55.85g/mol。
计算其密度并与实验值进行比较。
答：BCC结构，其原子半径与晶胞边长之间的关系为：a = 4R/3= 4⨯0.124/1.732 nm = 0.286 nmV = a3 = (0.286 nm)3 = 0.02334 nm3 = 2.334⨯10-23 cm3BCC结构的晶胞含有2个原子，∴其质量为：m = 2⨯55.85g/(6.023⨯1023) = 1.855⨯10-22 g密度为ρ= 1.855⨯10-22 g/(2.334⨯10-23 m3) =7.95g/cm33.9 计算铱原子的半径，已知Ir具有FCC晶体结构，密度为22.4g/cm3，原子量为192.2 g/mol。
答：先求出晶胞边长a，再根据FCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。
FCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为4，ρ= 4⨯192.2g/(6.023⨯1023⨯a3cm3) = 22.4g/cm3，求得a = 0.3848 nm 由a = 22R求得R = 2a/4 = 1.414⨯0.3848 nm/4 = 0.136 nm 3.10 计算钒原子的半径，已知V 具有BCC晶体结构，密度为5.96g/cm3，原子量为50.9 g/mol。
答：先求出晶胞边长a，再根据BCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。
BCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为2，ρ= 2⨯50.9g/(6.023⨯1023⨯a3cm3) = 5.96 g/cm3，求得a = 0.305 nm 由a = 4R/3求得R = 3a/4 = 1.732⨯0.305 nm/4 = 0.132 nm3.11 一些假想的金属具有图3.40给出的简单的立方晶体结构。
如果其原子量为70.4 g/mol，原子半径为0.126 nm，计算其密度。
答：根据所给出的晶体结构得知，a = 2R =2⨯0.126 nm = 0.252 nm 一个晶胞含有1个原子，∴密度为：ρ= 1⨯70.4g/(6.023⨯1023⨯0.2523⨯10-21cm3)= 7.304 g/cm33.12 Zr 具有HCP晶体结构，密度为6.51 g/cm3。
材料科学与工程基础期末考试复习解答题汇总 (2)
Be、Mg、Zn、Cd、 α-Ti 、 α -Co．
6 归纳总结3种典型金属结构（bcc、fcc 和hcp）的晶体学特点 （配位数、每个晶胞中的原子数、点阵常数、致密度和最近的 原子间距）。
体心立方（bcc）：8；2；a；0.68；
面心立方（fcc）: 12；4；a； 0.74；
密排六方（hcp）: 12；6；a，c，c/a =1.633；0.74；a
4 氧化镁与氯化钠具有相同的结构。已知Mg离子半径r1为 0.066nm，氧离子半径r2为0.140 nm。 镁的相对原子质量为 24.31；氧的相对原子质量为16.00。(1)求氧化镁的晶格常数? (2)求氧化镁的密度? (3) 求氧化镁的致密度?
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
a
b
c
NaCl晶体的微观结构（a、b）及等 同点分布（c）
高分子材料，大分子内的原子之间结合为共价键，而大分子 与大分子之间的结合为物理键。
复合材料是由二种或二种以上的材料组合而成的物质，因而 其结合键非常复杂，不能一概而论。
3 比较键能大小和各种结合键的主要特点。
化学键能 >物理键能， 共价键能 ≥离子键能 > 金属键能 > 氢键能> 范氏键能 共价键中：叁键键能 > 双键键能 > 单键键能 金属键，由金属正离子和自由电子，靠库仑引力结合，电 子的共有化，无饱和性，无方向性； 离子键以离子为结合单元，无饱和性，无方向性； 共价键共用电子对，有饱和性，有方向性； 范德华力，原子或分子间偶极作用，无方向性，无饱和性； 氢键，分子间作用力，氢桥，有方向性和饱和性。
(1-0.3)/ (1-0.18) =0.8537=erf(0.60*10-3/2 (1.28χ10-11 t)1/2 ( 3分 )
计算机科学与技术考试：2021软件工程真题模拟及答案(2)
计算机科学与技术考试：2021软件工程真题模拟及答案(2)共153道题1、软件生存周期的（）工作和软件可维护性有密切的关系。
（单选题）A. 编码阶段B. 设计阶段C. 测试阶段D. 每个阶段试题答案：D2、确认测试计划是在（）阶段制定的。
（单选题）A. 可行性研究和计划B. 需求分析C. 概要设计D. 详细设计试题答案：B3、软件设计一般分为总体设计和详细设计，它们之间的关系是（）。
（单选题）A. 全局和局部B. 抽象和具体C. 总体和层次D. 功能和结构试题答案：A4、软件生存周期模型不包括（）。
（单选题）A. 瀑布模型B. 对象模型C. 增量模型D. 喷泉模型试题答案：B5、下图是被测模块的流程图。
测试数据为：A＝1，B＝0，X＝3；A＝2，B＝1，X＝1。
判断符合如下哪个等级的逻辑覆盖：（）。
（单选题）A. 判定覆盖B. 语句覆盖C. 判定/条件覆盖D. 条件覆盖试题答案：D6、面向对象方法有许多特征，如软件系统是由对象组成的；（）；对象彼此之间仅能通过传递消息互相联系等。
（单选题）A. 开发过程基于功能分析和功能分解B. 强调需求分析重要性C. 把对象划分成类，每个对象类都定义一组数据和方法D. 对已有类进行调整试题答案：C7、测试的关键问题是（）（单选题）A. 如何组织软件评审B. 如何选择测试用例C. 如何验证程序的正确性D. 如何采用综合策略试题答案：B8、瀑布模型的问题是（）。
（单选题）A. 用户容易参与开发B. 缺乏灵活性C. 用户与开发者易沟通D. 适用可变需求试题答案：B9、软件质量必须在（）加以保证。
（单选题）A. 开发之前B. 开发之后C. 可行性研究过程中D. 分析、设计与实现过程中试题答案：D10、软件可维护性的特性中相互矛盾的是（）。
（单选题）A. 可修改性和可理解性B. 可测试性和可理解性C. 效率和可修改性D. 可理解性和可读性试题答案：C11、软件生存周期的（）工作和软件可维护性有密切的关系。
2022年河南工程学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年河南工程学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、哈希文件使用哈希函数将记录的关键字值计算转化为记录的存放地址，因为哈希函数是一对一的关系，则选择好的（）方法是哈希文件的关键。
A.哈希函数B.除余法中的质数C.冲突处理D.哈希函数和冲突处理2、若需在O（nlog2n）的时间内完成对数组的排序，且要求排序是稳定的，则可选择的排序方法是（）。
A.快速排序B.堆排序C.归并排序D.直接插入排序3、某线性表中最常用的操作是在最后一个元素之后插入一个元素和删除第一个元素，则采用（）存储方式最节省运算时间。
A.单链表B.仅有头指针的单循环链表C.双链表D.仅有尾指针的单循环链表4、已知有向图G=(V，E)，其中V={V1，V2，V3，V4，V5，V6，V7}， E=｛<V1，V2>，<V1，V3>，<V1，V4>，<V2，V5>，<V3，V5>， <V3，V6>，<V4，V6>，<V5，V7>，<V6，V7>｝，G的拓扑序列是（）。
A.V1，V3，V4，V6，V2，V5，V7B.V1，V3，V2，V6，V4，V5，V7C.V1，V3，V5，V2，V6，V7D.V1，V2，V5，V3，V4，V6，V75、在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为（）。
A.O(n)B.O(n+e)C.O(n*n)D.O(n*n*n)6、排序过程中，对尚未确定最终位置的所有元素进行一遍处理称为一趟排序。
下列排序方法中，每一趟排序结束时都至少能够确定一个元素最终位置的方法是（）。
Ⅰ．简单选择排序Ⅱ．希尔排序Ⅲ．快速排序Ⅳ．堆排Ⅴ．二路归并排序A．仅Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ B．仅Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ C．仅Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ D．仅Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ7、下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是（）。
Ⅰ．所有的顶点的度之和为偶数Ⅱ．边数大于顶点个数减1 Ⅲ．至少有一个顶点的度为1A．只有Ⅰ B．只有Ⅱ C．Ⅰ和Ⅱ D．Ⅰ和Ⅲ8、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（）个不同的码字。
科学与工程计算平时作业题及答案
第1个作业：（牛顿迭代法和斯蒂芬森加速法求非线性方程的根）使用牛顿迭代法和斯蒂芬森（Steffensen ）加速法求解x^5+x=1在1附近的根，要求精确到10^(-6),输出每步的全部中间结果。
解：一、牛顿迭代法：（1）算法说明牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：1()'()n n n n f x x x f x +=- 初始值可以取'()f a 和'()f b 中较大者，这样可以加快收敛速度。
（2）m 文件程序function root=NewtonRoot(f,a,b,eps)if (nargin==3)eps=1.0e-6;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if (f1==0)root=a;endif (f2==0)root=b;endif (f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0！');return ;elsetol=1;fun=diff(sym(f));fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);if (dfa>dfb)root=a-fa/dfa;elseroot=b-fb/dfb;endwhile (tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1);root=r1-fx/dfxtol=abs(root-r1)endend（3）输入程序r=NewtonRoot('x^5+x-1',0,1)（4）输出结果root =0.7644tol =0.0690root =0.7550tol =0.0094root =0.7549tol =1.4717e-004root =0.7549tol =3.5523e-008r =0.7549二、Steffensen 加速法（1）算法说明Steffensen 加速法是弦截法的一种变形，它的递推公式为：111111()()(())()k k k k k k k f x x x f x f x f x f x ------=-+-， 且有 1()()(())()f a x a f a f a f a f a =-+- Steffensen 法的收敛速度也很快。
科学与技术试题及答案
科学与技术试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪种物质不是单质？A. 氧气（O2）B. 氮气（N2）C. 二氧化碳（CO2）D. 氢气（H2）答案：C2. 植物通过光合作用制造的有机物主要是什么？A. 蛋白质B. 脂肪C. 淀粉D. 纤维素答案：C3. 以下哪个选项是牛顿第三定律的内容？A. 力是改变物体运动状态的原因B. 作用力和反作用力大小相等，方向相反C. 力可以使物体发生形变D. 重物比轻物下落得快答案：B4. 电流通过导体产生的热量与以下哪些因素有关？A. 电流的大小B. 导体的电阻C. 通电时间的长短D. 所有以上因素答案：D5. 以下哪种现象不属于基因突变？A. 染色体结构变异B. 染色体数目变异C. 碱基对的替换D. 碱基对的增添或缺失答案：A6. 以下哪种能源属于可再生能源？A. 煤炭B. 天然气C. 太阳能D. 石油答案：C7. 以下哪个选项是生态系统中生产者的主要作用？A. 将无机物转化为有机物B. 将有机物分解为无机物C. 直接或间接地以植物为食D. 调节生物体内的水平衡答案：A8. 以下哪种物质在化学反应中不会发生变化？A. 反应物B. 催化剂C. 生成物D. 溶剂答案：B9. 以下哪种现象是化学反应的典型特征？A. 颜色变化B. 放出气体C. 放出热量D. 质量守恒答案：D10. 以下哪种技术不属于现代生物技术？A. 基因工程B. 细胞工程C. 酶工程D. 酿酒技术答案：D二、填空题（每空2分，共20分）11. 光合作用是植物利用________、水和二氧化碳，通过叶绿体，在阳光的作用下，合成________和释放氧气的过程。
答案：光能；有机物12. 牛顿第一定律指出，如果一个物体不受任何力的作用，那么它将保持________或________状态。
答案：静止；匀速直线运动13. 在电路中，电压是电流流动的原因，而电阻是电流流动的________。
答案：阻碍14. 遗传物质的主要载体是________，它由DNA和蛋白质组成。
科学和工程计算复习题及答案
科学与工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:2. 计算机计费的主要依据有两项:一就是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二就是占据存储器的空间, 3. 用计算机进行数值计算时,4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法就是5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)()())(()(x f x f x x f cond x C '==6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限、 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf 、当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根、8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,就是指对于D 上的任意一对点()1,y x 与()2,y x 成立不等式:2121),(),(y y L y x f y x f -≤-、其中常数L 只依赖于区域D 、 9. 设n i RA i nn ,,2,1,,Λ=∈⨯λ为其特征值,则称i ni A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径、10. 设1-A 存在,则称数A A A cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅就是矩阵的算子范数、11. 方程组f x B x ρρρ+=,对于任意的初始向量()0x ρ与右端项f ρ,迭代法()()f x B xk k ρρρ+=+1收敛的充分必要条件就是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ、 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在、若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ、13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=lk lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列、 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη15. 复化Simpson 求积公式⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=≈-=-=ban k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4b a f h a b R nS∈--=ηη16. 选互异节点n x x x ,,,10Λ为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为2n+1 、17. 如果给定方法的局部截断误差就是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法就是P 阶的或具有P 阶精度 、18. 微分方程的刚性现象就是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性与精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象、 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用11k k kx x x ε--<+,其中的0>ε为 相对误差20.二、 选择题1、 下述哪个条件不就是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A 、 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B 、 A 对称正定;C 、 A 严格对角占优;D 、 A 的行列式不为零、2、 高斯消去法的计算量就是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A 、313n ; B 、 323n ; C 、 314n ; D 、 334n 、 3、 对于任意的初始向就是()0x 与右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f+=+收敛的充分必要条件就是( A )、 A 、()1B ρ<; B 、 1B <; C 、 ()det 0B ≠; D 、 B 严格对角占优、4、 下述哪个条件不就是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A 、 A 为严格对角占优阵;B 、 A 为不可约弱对角占优阵;C 、 A 的行列式不为零;D 、 A 为对称正定阵、5、 设()[]2,f x C a b =,并记()2max a x bM f x ≤≤''=,则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A )、A 、 ()()2218M R x b a ≤-; B 、 ()()2218M R x b a <-; C 、 ()()2216M R x b a ≤-; D 、 ()()2216M R x b a <-、6、 设()n x ϕ就是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( A )、A 、 都就是单实根;B 、 都就是正根;C 、 有非负的根;D 、 存在重根7、 Legendre 多项式就是( )的正交多项式、( B )A 、 区间[]1,1-上带权()x ρ=B 、 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C 、 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D 、 区间[]0,1上带权()1x ρ=8、 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?A 、 基函数(){}n k k x ϕ=; B 、 自变量序列{}0mi i x =;C 、 权数{}0mi i w =; D 、 离散点的函数值{}0mi i y =、 9、 Simpson 求积公式的余项就是( B )、A 、 ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B 、 ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C 、 ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D 、 ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10、 n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度、A 、 n ;B 、 1n +;C 、 21n +;D 、 21n -、 11、 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B )、 A 、 ()O h ; B 、 ()2O h; C 、 ()2o h ; D 、 ()32O h 、12、 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B )、A 、 高; B, 低; C 、 相同; D 、 不可比、13、 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式就是显式Euler 公式与隐式Euler 公式的( A )、A 、 算术平均;B 、 几何平均;C 、 非等权平均;D 、 与、 14、 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法就是绝对稳定的、 A 、 11h λ-≤≤; B 、 20h λ-≤≤; C 、 01h λ≤≤; D 、 22h λ-≤≤ 15、 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件就是( C ): A.20h λ-≤≤; B 、()2112h h λλ++≤;C 、()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D 、()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+、16、 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+==L 就是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶就是( D )阶的、A 、 1;B 、 0;C 、 2<;D 、 2≥、17、 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶就是( D )阶的、 A 、 1; B 、 0; C 、 2<; D 、 2≥、18、 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶就是( C )阶的、A 、 1;B 、;C 、12; D 、 2、 19、 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差容限、A 、 11k k k x x x ε--<+;B 、 1k k k x x x ε--<;C 、 1k k x x ε--<;D 、 111k k k x x x ε---<+、20、 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,就是使线性方程组的( C )、 A 、 系数矩阵非奇异; B 、 系数矩阵的行列式不等于零; C 、 系数矩阵非奇异并良态; D 、 系数矩阵可逆、三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就就是构造算法的构造问题、( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高、( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律与结合律成立、( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
科学与工程计算平时作业题及答案
第1个作业：（牛顿迭代法和斯蒂芬森加速法求非线性方程的根）使用牛顿迭代法和斯蒂芬森（Steffensen ）加速法求解x^5+x=1在1附近的根，要求精确到10^(-6),输出每步的全部中间结果。
解：一、牛顿迭代法：（1）算法说明牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：1()'()n n n n f x x x f x +=- 初始值可以取'()f a 和'()f b 中较大者，这样可以加快收敛速度。
（2）m 文件程序function root=NewtonRoot(f,a,b,eps)if (nargin==3)eps=1.0e-6;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if (f1==0)root=a;endif (f2==0)root=b;endif (f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0！');return ;elsetol=1;fun=diff(sym(f));fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);if (dfa>dfb)root=a-fa/dfa;elseroot=b-fb/dfb;endwhile (tol>eps)r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1);root=r1-fx/dfxtol=abs(root-r1)endend（3）输入程序r=NewtonRoot('x^5+x-1',0,1)（4）输出结果root =0.7644tol =0.0690root =0.7550tol =0.0094root =0.7549tol =1.4717e-004root =0.7549tol =3.5523e-008r =0.7549二、Steffensen 加速法（1）算法说明Steffensen 加速法是弦截法的一种变形，它的递推公式为：111111()()(())()k k k k k k k f x x x f x f x f x f x ------=-+-， 且有 1()()(())()f a x a f a f a f a f a =-+- Steffensen 法的收敛速度也很快。
现代科学工程计算基础复习题
-1 4/3
÷ ÷÷ø
(2)由于矩阵 A 满足不可约弱对角占优,所以对任意初始 x(0), 由 A 形成的 Jacobi 迭代式和 Gauss-seidel 迭代式都
> 9,
二分 9 次即可.
(3)
根据 Newton 迭代公式 xn+1
=
xn
-
f (xn ) f ¢(xn )
可得递推公式
xn+1
=
xn
-
xn3 - 3xn -1 3xn2 - 3
取 x0=1.4, x1=2.6,x2=2.15, 所以 x*»x2=2.15
或
xn+1
=
2 xn 3 3( xn 2
+1 -1)
0 0
2/3 1/ 3
1 0
1 0
÷ ÷÷ø
®
ç ççè
0 0
2/3 0
1 -1 / 2
1 -1 /
2
÷ ÷÷ø
®
ç ççè
0 0
1 0
0 1
0 1
÷ ÷÷ø
æ1 2 3ö æ 1
ö æ u11 u12 u13 ö
(2)矩阵
A
的
Doolittle
分解(LU
分解),设
ç ç
2
3
4
÷ ÷
=
ç ç
l21
1
xk +1
=
xk
-
xk3 - 3xk + 1 3( xk 2 - 1)
=
2 xk 3 3( xk 2
-1 - 1)
取 x0=1.5, x1=1.533, x2=1.532, 因为 |x2-x1|=0.001<e, 所以 x*»x2=1.53
科学工程计算_习题答案
1. 3 40.510-⨯（或0.00005） 2. 4 3. 22sin 1(或2sin 21cos 2+4. 55. 2537623x x +- 4x 6. 是 7. 1 1/2 8.13 59. ()1B ρ<(或答B 的谱半径小于1) 10. 发散 11.线性(或1阶)3312217217()33k k k k k kx x x x x x +-+=-或 12. 2 2()O h 1. × 2. × 3.√ 4. √ 5. ×34()122(1)(1)(2)3N x x x x x =++-+-----2分N(1.5)=5---2分2、建立法方程组42122 1.2 6.68a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--------10分 解得a=1.3 b=3.4 ------4分 Y=1.3+3.4x---------1分3.11110.5(1)(40.25(11)4k k k k k k k k k k y y x y y y x y x y ++++=+⋅+---------⎧⎨=++-++----⎩分）（分）1 1.6250.6250.5(3)k k k y y x +=+-----分12(0.5)0.5(2);(1)1(2)y y y y ≈=-------≈=---------分分4. 12341242621123121363321119212312122332147(9,5,3,1)(0.5,2,3,1)TTA y y LY b y y Y UX Y X ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==-求解即得求解得 5.022:101 --4 00---2220()01---2J J J Jacobi B I B B Jacobi λλρ-⎛⎫⎪=-=⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=<∴分分迭代法收敛分1-112100022:()110 - =(D-L)02144210862202100286()21--G G G G S D L B U I B B G S λλλλλλρ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--=-=⇒==-±-+∴=+∴-分分迭代法发散2分6.021233345514,33()1,,11()0,0332(),3A A a A af x x x f x x a a a a f x x a a=======⨯-⨯===时等式均成立时，左边右边2时左边=，右边5 7.47(4)24;2(2)24(2)617.3321 (1)15()(1)168150.0416718016n h hS f x x R -==--------=⋅+⋅--=--=-----≈⋅≈---分分分分(2)分 8. 令1y'= y a b x'=+--------------------（2分） 建立法方程组：27199274b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------------------（3分）解得： 3.23496250.9379699a b ==--------（2分）9. 1011210101L ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭---（2分） 1020101212U ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭-----（2分） ,Ly b Ux y ==，(5,3,6,4)T y =---（2分）(1,1,2,2)T x =---（2分）10.Jacobi 方法：1002/3()001/211/20J B D L U -⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭-----(2分)120,,()1J B λλρ===<-------（2分） Gauss-Seidel 方法：1002/3()001/20011/12J B D L U --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭-----(2分)120,11/12,()11/121J B λλρ===<------（2分）Gauss-Seidel 方法快-----------------------(1分)11.123423421()(()())(4()()3())2411()()()()()23!1111()[()()()()()]2223!1 [4(()()42n n n n n n n n n n n n n n n n n n hT y x h y x y x h y x h y x y x h y x hy x h y x h y x O h y x y x hy x h y x h y x O h h y x hy x h +'''=+-+--+-+-''''''=++++''''''---+-+''''''-++32334()())()13(()()()())]25()()8n n n n n n y x O h y x y x hy x h y x O h h y x O h '+-+''''''-++'''=-+------（6分）其中，写出Tn+12分；写出泰勒展开式2分；计算合并给出结果2分；故方法是二阶的，局部截断误差的主项为35()8n h y x '''-----(3分)12.、证：Jacobi 迭代矩阵为1211121220a a B a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，其谱半径为1()B ρ= 而G-S 迭代矩阵为121121221112200a a B a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其谱半径为122121122().a a B a a ρ=显然1()B ρ与2()B ρ同时小于1、等于或大于1，因而雅可比和高斯－赛德尔法具有相同的敛散性。
材料科学与工程基础部分习题答案
2-2： 12Mg: 25.11172-3: N 壳层: 共32个电子；K 、L 、M 、N 全满时： 70个2-4 O 壳层： 共50个电子K 、L 、M 、N 、O 全满时： 102个2-6： CO 2： C sp 杂化，CH 4： C sp 3杂化，CH 2=CH 2： C sp 2杂化，H 2O ： O sp 3杂化，苯环： C sp 2杂化，羰基： C sp 2杂化。
2-10：若(按K +半径不变) 求负离子半径, 则：CN=6 r - = 0.321 nmCN=4 r - = 0.591 nmCN=8 r - = 0.182 nm2-11：（a ）: 一个Au 原子： 3.274×10-22（g ）（b ） （b ） 5.895×1019(个)（c ） （c ） v = 1.696×10-2（cm 3）(d) v’ = 1.253×10-2 (cm 3)(e) (e) v’/ v = 73.88%2-12 3.41 (g/cm 3)2-14 （a ） PF = 0.74（b ） PF = 0.64结论: (1) 同种原子晶体的致密度只与晶胞类型相关,与原子尺寸无关(2) 化合物晶体的离子致密度与离子大小相关2-15 2-15: x = 2 (个)2-16: V = 35.3 (A 0)32-17 面心立方: 0.74体心立方: 0.68密排六方: 0.742-182-20 (a) 8.07×1020 (个)(b) 1.79×10-22 (g)2-21 (a) 1.5346 ×1019个(b) (b) 0.6845mm(c) (c) 钡属于 体心立方结构(致密度0.68)2-22 x = 4 (4个Mg 2+, 4个O 2-)2-24 过 (0, -1/2 , 0) , (1, 1/2 , 1) 点2-25 (a)θ=35.3°(b)θ=35.3°八面体间隙四面体间隙2-26 (3 2 0)2-27 (2 3 3)2-28 (a) [1 1 1] 和 [1 1 1](b) [1 1 0]2-29 (a) λ= 0.154 (nm)(b) (b) 2θ= 10.24°2-30 d 200= 0.2×10-9m a =0.4nm2-31 0.598 (A 0)2-33 Li:6.94 F:19 Mg:24.31 O:16MgO: 40 (w%)LiF: 60 (w%)(a) Li +: 16 (w%) F -: 44 (w%)Mg 2+: 24.1 (w%) O 2-: 15.9 (w%)2-37 ρ= 5.73 (g/cm 3)2-39 (1) ΔV / V = (0.0486-0.0493)/0.0493 = - 0.014 = - 1.4%(2) (2) 室温至912℃, 体积增大; 912℃, 体积减小；912℃至1000℃, 体积增大2-41 溶入的Sn 重量为 45.25(g)2-42 300 ~ 700℃: α相；800℃: β相；1000℃: 液相2-45 J= 1.05×1019/m 2sJ u C= 84原子/min2-46右螺型 左螺型滑移矢量平行位错线 2-49 D =1.13×10-17 (m 2/s)2-50 x=75%a=5%y=15%正刃型 滑移矢量垂直位错线 负刃型3-6 结晶性：1，2，3，6，7，10非结晶性：5，8，9，11，（12，4）3-19 非桥氧的分数0.2153-21 临界半径比：r/R(1)(1)立方体配位：0.732(2)(2)八面体配位：0.414(3)(3)四面体配位：0.255(4)(4)三角形配位：0.1553-22立方晶系：Ca2+占立方体顶角，O2-占立方体面心，Ti4+占立方体体心配位数：Ca2+为12（12个O2-），Ti4+为6（6个O2-），O2-为（4个Ca2++2个Ti4+）3-25（a）：F （铁素体）+ A（奥氏体）（b）：F 0.01%C; A 0.4%C.(c): A是48.7%; F是51.3%.3-37 1.01×106g/m3 (1.01g/m3)4.1 V= 0.06638(nm3)4.2 0.37的黄铜大。
四川大学现代科学工程计算基础课后习题答案
现代科学工程计算基础课后习题<Version 1.0 >第一章绪论基本上不会考，略第二章函数的插值与逼近1.(1) 证明：由题意有ωk(x)=(x−x0)(x−x1)···(x−x k;1)，则有以下式子:ω0(x)=1ω1(x)=0,(x=x0)ω2(x)=0,(x=x0,x1)······ωk;1(x)=0,(x=x0,x1,···,x k;2)ωk(x)=0,(x=x0,x1,···,x k;2,x k;1)考察a0ω0(x)+a1ω1(x)+···+a k;1ωk;1(x)+a kωk(x)=0的系数，依次代入x0,x1,···,x k;1得：a0ω0(x0)=0,又ω0(x)=1,可得a0=0a0ω0(x1)+a1ω1(x1)=0,可得a1=0······a0ω0(x k;1)+a1ω1(x k;1)+···+a k;1ωk;1(x k;1)=0,可得a k;1=0最后代入x k 得：a 0ω0(x k )+a 1ω1(x k )+···+a k ωk (x k )=0,可得a k =0 由于a 0=a 1=a 2=···=a k;1=a k =0,所以*ωk (x )+(k =0,1,···,n)线性无关. 1.(2)证明： 由题意有l j (x )=(x;x 0)···(x;x j−1)(x;x j+1)···(x;x n )(x j ;x 0)···(x j ;x j−1)(x j ;x j+1)···(x j ;x n ),以及l j (x k )=δij ={1,k =j0,k ≠j(j,k =0,1,···,n).考察a 0l 0(x )+a 1l 1(x )+···+a j;1l j;1(x )+a j l j (x )=0的系数， 代入x 0得：a 0l 0(x 0)=0，又l 0(x 0)=1，可得a 0=0 ······代入x j 得：a j l j (x j )=0，又l j (x j )=1，可得a j =0由于a 0=a 1=a 2=···=a j;1=a j =0,所以*l j (x )+(j =0,1,···,n)线性无关. 2.(1)证明：令f (x )=x k ,则f (x )的n 次Lagrange 插值多项式L n =∑y i l i (x)n i<0，讨论其插值余项R n (x )=f (x )−L n =f n+1(ξ)(n:1)!ωn:1(x)，因为k =0,1,···,n n ，f(x)的n 阶导数：f n (x )=k ！(k; )!x k;n (k n)，所以有 f n:1(x)=0，可得f (x )−L n =R n (x )=0，f(x)= L n .则有L n f (x ) ∑y i l i (x)n i<0 x k ，原命题得证.2.(2)证明：原式 = ∑(x j −x)kn j<0l j (x)= ∑,∑(k i )x j k;i (−x )i k i<0n j<0l j (x )- (二项式定理) = ∑,∑(k i )x jk;i (−x )i nj<0k i<0l j (x )- = ∑,(k i )(−x )i ∑x jk;i n j<0k i<0l j (x )- (交换符号顺序) = ∑,(k i )(−x )i xk;in j<0- (2.1中结论，其中k −i =0,1,···,n ) = (x −x)k (二项式定理) = 0则∑(x j −x)kn j<0l j (x) 0,(k =1,2,···,n)，原命题得证. 3.解：f(x)在x=100,121,144三点的二次插值多项式为L 2(x )=√100×(x −121)(x −144)(100−121)(100−144)+√121×(x −100)(x −144)(121−100)(121−144)+√144×(x −100)(x −121)(144−100)(144−121)使用内插法，f(x)在x=100,121两点的一次插值多项式为L1(x)=√100×(x−121)(100−121)+√121×(x−100)(121−100)代入x=115得f(115)L1(115) = 10.714。
《科学与工程计算基础》总复习
总复习一、有效数字与误差界（1）两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下：)(21a a ±δ≤1a δ+2a δ，)(21a a r ±δ≤2121a a a a ±+δδ+)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ（2）函数值的相对误差公式对一元函数)(x f y =，若x 有绝对误差x δ，则)(x f 有绝对误差 )(x f δ=)(x f 'x δ， 从而相对误差为：)(x f r δ=)()(x f x f 'x δ例1 设1a =1.21，2a =3.65，3a =9.81均为有效数字，试求1a -2a ，1a +2a +3a ，1a 2a +3a 的相对误差.解：因1a ，2a ，3a 均为有效数字，故1a δ≤21021-⨯，1a r δ=11a a δ≤21021.15.0-⨯， 2a δ≤21021-⨯，2a r δ=22a a δ≤21065.35.0-⨯ 3a δ≤21021-⨯，3a r δ=23a a δ≤21065.35.0-⨯ 从而)(21a a r -δ≤2121a a a a ±+δδ=0.4098210-⨯)(321a a a r ++δ≤321321a a a a a ++++δδδ=0.1022210-⨯)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ≤21021-⨯+21021-⨯)(321a a a r +δ≤321321)(a a a a a a ++δδ≤81.965.321.1105.032+⨯⨯⨯-=0.1054210-⨯例2 设计算球体积允许其相对误差限为1％，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 解：记球的半径为R ，体积为V ，则V r δ≤1％.由公式：V =334R π，得到V '=24R πV r δ=VV 'R δ=32344R R ππR δ=3R R δ≤1％⇒R R δ≤31％=0.33％. 二、线性方程组的追赶法及迭代的收敛性1. 追赶法对一个三对角矩阵（33⨯阶）A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3322211b a c b a c b 如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3322211b ac b a c b =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11132l l ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32211u d u d u =L ⨯U 则系数2132132,,,,,,d d u u u l l 满足如下关系：1d =1c ，2d =2c 1u =1b ；2l =12u a ；2u =2b -2l 1c ；3l =23u a ；3u =3b -3l 2c 例3 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L 和U .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----113210*********x x x 解：设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012，L =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11132l l ，U =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32211u d u d u ，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113 因1b =2b =3b =2，1a =2a =1c =2c =-1，由追赶法得 1d =2d =-1，1u =2，2l =12u a =21-，2u =2b -2l 1c =2-)1(21-⨯-=23，3l =23u a =231-=32- 3u =3b -3l 2c =2-)1(32-⨯-=34即L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1321211，U=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312由L y =b ⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3211321211y y y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-113⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213由U x =y ⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1122. 关于迭代的收敛性问题对迭代格式f Bx x k k +=+)()1( 则（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*x 的充要条件是迭代矩阵B 的谱半径1)(<B ρ利用性质B B ≤)(ρ，可以得到收敛的一个充分条件是：（2） 若有1<B ，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*x且有误差估计式：)1()(*)(1---≤-k k k x x BB x x 及)0()(*)(1x x BBx x k kk --≤-记*)(x x e k k -=，)0()(0x x e k -=，上式可以写成01e BBe kk -≤或者BBe e kk -≤10从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.例 4 设*x 表示线性方程组b Ax =精确解，现用迭代格式f Bx x k k +=+)()1(进行求解，其中8.0)(=B ρ，记误差向量*)(x x e k k -=，如果要求计算精度达到6010-≤e e k，试估计大约需要进行多少次迭代. 解：要使6010-≤e e k，因BBe e kk -≤10及)(B ρB ≤将B 近似地用谱半径)(B ρ代替则如果)(1)(B B kρρ-610-≤，那么6010-≤e e k .由)(1)(B B kρρ-610-≤得到 k )8.0(610)8.01(-⨯-≤算得k ≥70.即至少需要70次迭代才能满足要求.例5 设有线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111211111112321x x x 试证明：在迭代求解时，用-J 迭代发散，而用-GS 迭代收敛。
管理科学与工程题库及答案
练习题1.某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种型号的产品，每一单位产品对各原料的消耗系数及价格系数等已知条件如下表：（1）为解决“在现有原料量限制下，如何安排A、B、C、D四种产品的产量，使总销售收入最大”这一问题，可用一线性规划模型，令\、x2、x3、x4依次表示各型号产品的计划产量，试列出这个模型，并记该模型为模型1；（2）利用一解线性规划的程序解上述问题（模型1），已求得的结果如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE （目标函数值）1）525.0000VARIABLE（变量）VALUE REDUCED COST （检验数负值）X10.0000000.050000X225.0000000.000000X3125.0000000.000000X40.000000 3.500000ROW（行SLACK OR SURPLUS（松弛/剩余变量）DUAL PRICES （对偶价2）0.0000000.3000003）425.0000000.0000004）0.000000 1.800000RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED （基不改变条件下允许变化范围）： OBJCOEFFICIENT RANGES（目标函数系数范围）VARIABLE CURRENT （现ALLOWABLE （允许增ALLOWABLE （允许减COEF INCREASE DECREASEX1 4.0000000.050000INFINITYX2 6.000000 3.0000000.076923X3 3.0000009.0000000.999998X4 1.000000 3.500000INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGES （右端项范围）ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE 2550.000000250.000000416.6666563700.000000INFINITY425.0000004200.000000625.00000062.500000用Excel求解结果初始数据表运算结果表运算结果报告约束敏感性分析报告可变单元格根据以上计算结果，分析并回答以下问题：(a)最优生产方案是A产品的产量x1= B产品的产量x2= C产品的产量也=D产品的产量x4= 总销售收入Z= 按此方案生产，现有的原料哪一种有剩余，剩余多少？(b)如市场上甲原料的价格为0.2,那么从市场上购得200单位的原料甲扩大生产是否合算，为什麽？(c)若A产品的价格系数增大到5时，生产A产品是否会使总收入更大？为什么？(d)在原考虑的A、B、C、D四种型号产品基础上，如果又提出产品E，它对甲、乙、丙的消耗系数分别为5、6、2,价格系数为5,那么原最优方案是否要改变，为什么？（e ）写出模型1的对偶问题，并给出对偶问题的最优解。
《科学与工程计算》2009试题与解答《计算方法》2009试题与答案
( 0)
= ( 0, 0, 0, 0 ) 。
T
3 ⎞ −1 ⎛ 0 −2 ⎜ ⎟ 0 4/5 2/5 −1/ 5 ⎟ ⎜ 迭代矩阵为 Gs = ⎜ 0 1/ 7 1/14 −2 / 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1/ 7 −1/14 58 /105 ⎠
取初始迭代向量为 x
( 0)
= ( 0, 0, 0, 0 ) ，得到 x(1) = (1, 0,1.0714, 0.6619 ) ，
R1 (0.56789) = 0.001089973950sin ξ x < 0.0006154428911
（2）
L2 ( x ) =
0.38942( x - 0.5)( x - 0.6) (0.4 − 0.5)(0.4 − 0.6)
+
0.47943( x - 0.4)( x - 0.6) (0.5 - 0.4)(0.5 − 0.6)
3 99 xi + 3 4 4 xi
x1 ≈ 3.167, x2 ≈ 3.154, x3 ≈ 3.154 近
x5 5 xi − i 4 396
x1 ≈ 3.136, x2 ≈ 3.154, x3 ≈ 3.154 近似
− 3 x4 = 1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ 2x + 5 x2 − 5 x4 = 2 ⎪ 三.、 （18 分）求解方程 ⎨ 1 + 14 x3 + x4 = 16 ⎪ x1 ⎪ + 15 x4 = 8 ⎩−3 x1 − 5 x2 + x3
F(x) T 0.5 0.65
0.682647 0.690538
k
T1( k )
0.5
T2( k )
0
“材料科学与工程基础”第二章习题 答案题目整合版
“材料科学与工程基础”第二章习题1. 铁的单位晶胞为立方体，晶格常数a=0.287nm ，请由铁的密度算出每个单位晶胞所含的原子数。
ρ铁＝7.8g/cm3 1mol 铁＝6.022×1023 个=55.85g所以， 7.8g/1(cm)3=(55.85/6.022×1023)X /(0.287×10-7)3cm3X ＝1.99≈2（个）2.在立方晶系单胞中，请画出：（a ）[100]方向和[211]方向，并求出他们的交角； （b ）（011）晶面和（111）晶面，并求出他们得夹角。
（c ）一平面与晶体两轴的截距a=0.5,b=0.75,并且与z 轴平行,求此晶面的密勒指数。
（a ）[2 1 1]和[1 0 0]之夹角θ＝arctg2=35.26。
或cos θ==， 35.26θ=（b ）cos θ==35.26θ= （c ） a=0.5 b=0.75 z = ∞倒数 2 4/3 0 取互质整数（3 2 0）3、请算出能进入fcc 银的填隙位置而不拥挤的最大原子半径。
室温下的原子半径R ＝1.444A 。
（见教材177页） 点阵常数a=4.086A最大间隙半径R’=（a-2R ）/2=0.598A4、碳在r-Fe （fcc ）中的最大固溶度为2.11﹪(重量百分数),已知碳占据r-Fe 中的八面体间隙,试计算出八面体间隙被C 原子占据的百分数。
在fcc 晶格的铁中，铁原子和八面体间隙比为1：1，铁的原子量为55.85，碳的原子量为12.01所以 （2.11×12.01）/(97.89×55.85)＝0.1002 即 碳占据八面体的10％。
5、由纤维和树脂组成的纤维增强复合材料，设纤维直径的尺寸是相同的。
请由计算最密堆棒的堆垛因子来确定能放入复合材料的纤维的最大体积分数。
见下图，纤维的最密堆积的圆棒，取一最小的单元，得，单元内包含一个圆（纤维）的面积。
科学和工程计算复习题及答案
科学和工程计算复习题及答案(总27页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2.算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,. 3. 用计算机进行数值计算时,4.5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)()())(()(x f x f x x f cond x C '==6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限.7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根.8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式:2121),(),(y y L y x f y x f -≤-.其中常数L 只依赖于区域D .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称i ni A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径.10. 设1-A 存在,则称数A A A cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数.11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k +=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ.12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni i n x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=lk lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}n k k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη15. 复化Simpson 求积公式⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=≈-=-=ban k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4b a f h a b R nS∈--=ηη16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为 2n+1 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 P 阶的或具有P 阶精度 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用11k k kx x x ε--<+，其中的0>ε为 相20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ij n nAx b A a ⨯==的充分条件 ( D )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的 ( B )A. 313n ;B. 323n ;C. 314n ;D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x 和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kx Bx f +=+收敛的充分必要条件是( A ).A. ()1B ρ<;B. 1B <;C. ()det 0B ≠;D. B 严格对角占优. 4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ij n nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件 ( C )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵.5. 设()[]2,f x C a b =，并记()2max a x bM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A ).A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-; C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-.6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( A ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x eρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关A. 基函数(){}0nk k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =; C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -.11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ). A. ()O h ; B. ()2O h ; C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( A ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和.14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( C ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+==是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的.; C.12; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差容限.A.11k k k x x x ε--<+; B. 1k k k x x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D. 111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ). A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零; C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ )3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × )4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
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科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是5. 6. 7. 8. 9. 10.11.敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ. 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=lk lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k k xBx f +=+收敛的充分必要条件是( A ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵.5. 设过点(,a 6. 设ϕ)1,则n ϕ A. 7. A. C. 8. A. C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -.11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ). A. ()O h ; B. ()2O h ; C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( A ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 15. A C.16. 在代法),2,k x +是否收敛( 17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 18. 19. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。
(√ )5. 设n n B R ⨯∈, 则lim 0kk B →∞=的充要条件是B 的谱半径()1B ρ<.( √ )6. 若n n A R ⨯∈,则一定有()2A B ρ=.( × )7. 求解线性代数方程组,当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了一半. (√ )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel 方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商)与点列(){},ni i i x f x =的次序有关. (× )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 求积公式是4阶收敛的. (√ ) 12. Gauss 求积系数都是正的. (√ )13.在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的算术平均,而Euler 公式和隐式Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. (× )14. 在Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. (√) 15. 求解(),0y y λλ'=<的梯形公式是无条件稳定的. (√ )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. (√ )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. (√)18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. (√ )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.(× )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。
3352det =⨯⨯=A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7177207807171672603117第二次消元：消元因子13432=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-9121791196007171672603117 回代得28311962173==x ，1492-=x ，28191=x 易知⎥⎤⎢⎡001⎥⎤⎢⎡-117⎥⎦⎢⎣2432第一次消元：消元因子2,23121==l l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----023********1 第二次消元：消元因子5332=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣--01000550 回代得03=x ，02=x ，11=x 易知⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡=132012001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100550331U⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----521121052121104112 第二次消元：消元因子11132-=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣---116011600052121104112 回代得13=x ，12=x ，31=x 易知⎥⎤⎢⎡001⎥⎤⎢⎡--112解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1902568116144642781101694124321 第一次消元：消元因子1,1,1413121===l l l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡188252781404260246081262024321 第二次消元：消元因子332=l ，742=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1321683600182460081262024321 第三次消元：消元因子643=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2424000182460081262024321 回代得14=x ，13-=x ，12=x ，11-=x 易知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1671013100110001L ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2400024600126204321U 28824621det =⨯⨯⨯=A~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即1234124121286452310887941210682x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。