中考数学复习教材回归知识讲解反比例函数在中考中的常见题型
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∵点A在反比例函数y= 的图像上，得3a= ，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2 是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．
∴点A的坐标为（2，6）．
（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．
∵m>0，∴m= ．
解得m= ，经检验m= 是原方程的根，
∴点B的坐标为（0， ）．
设一次函数的解析式为y=kx+ ．
图1图2图3
2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－ ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．
（2）由 得x2+6x－6=0，
解得x1=－3+ ，x2=－3－ ．
∴A（－3+ ，3+ ），D（－3－ ，3－ ）．
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有
y= ．即xy=6．
∴S△DEO= │xDyD│=3，即S△DEO=S△ABO．
（3）由A（－3+ ，3+ ）和D（－3－ ，3－ ）可得AO=4 ，DO=4 ，即AO=DO．
由于这个一次函数图像过点A（2，6），
∴6=2k+ ，得k= ．
∴所求一次函数的解析式为y= x+ ．
例2如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y= 的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定， 请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
中考数学复习教材回归知识讲解
反比例函数在中考中的常见题型
◆知识讲解
1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （k≠0）．
2．反比例函数y= （k≠0）的性质
（1）当k>0时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y随x的增大而增大．
（3）在反比例函数y= 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值， 也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积， 通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．
（4）若双曲线y= 图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= ．
由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线， 该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．
【解答】（1）设B（x，0），则A（x0， ），其中0>0，m>0．
在Rt△ABO中，AB= ，OB=x0．
则S△ABO= ·x0· =3，即m=6．
所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y= ．
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．
二、选择题
9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴， 若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
4．若y= 中，y与x为反比例函数Baidu Nhomakorabea则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．
5．反比例函数y= 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．
6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+ 无交点，则b的取值范围是______．
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
◆例题解析
例1（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y= 的图像经过点A，
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB， 求这个一次函数的解析式．
由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．
【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．
◆强化训练
一、填空题
1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y= 可求得a的值，从而得出点A的坐标．
（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式， 从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．
【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．
7．反比例函数y= 的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．
8．（2008，咸宁）两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图3所示， 点P在y= 的图像上，PC⊥x轴于点C，交y= 的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y= 的图像于点B， 当点P在y= 的图像上运动时，以下结论：
（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x 轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．
【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的 ， 而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．
∴点A的坐标为（2，6）．
（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．
∵m>0，∴m= ．
解得m= ，经检验m= 是原方程的根，
∴点B的坐标为（0， ）．
设一次函数的解析式为y=kx+ ．
图1图2图3
2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－ ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．
（2）由 得x2+6x－6=0，
解得x1=－3+ ，x2=－3－ ．
∴A（－3+ ，3+ ），D（－3－ ，3－ ）．
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有
y= ．即xy=6．
∴S△DEO= │xDyD│=3，即S△DEO=S△ABO．
（3）由A（－3+ ，3+ ）和D（－3－ ，3－ ）可得AO=4 ，DO=4 ，即AO=DO．
由于这个一次函数图像过点A（2，6），
∴6=2k+ ，得k= ．
∴所求一次函数的解析式为y= x+ ．
例2如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y= 的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定， 请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
中考数学复习教材回归知识讲解
反比例函数在中考中的常见题型
◆知识讲解
1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （k≠0）．
2．反比例函数y= （k≠0）的性质
（1）当k>0时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y随x的增大而增大．
（3）在反比例函数y= 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值， 也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积， 通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．
（4）若双曲线y= 图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= ．
由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线， 该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．
【解答】（1）设B（x，0），则A（x0， ），其中0>0，m>0．
在Rt△ABO中，AB= ，OB=x0．
则S△ABO= ·x0· =3，即m=6．
所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y= ．
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．
二、选择题
9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴， 若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
4．若y= 中，y与x为反比例函数Baidu Nhomakorabea则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．
5．反比例函数y= 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．
6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+ 无交点，则b的取值范围是______．
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
◆例题解析
例1（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y= 的图像经过点A，
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB， 求这个一次函数的解析式．
由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．
【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．
◆强化训练
一、填空题
1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y= 可求得a的值，从而得出点A的坐标．
（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式， 从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．
【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．
7．反比例函数y= 的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．
8．（2008，咸宁）两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图3所示， 点P在y= 的图像上，PC⊥x轴于点C，交y= 的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y= 的图像于点B， 当点P在y= 的图像上运动时，以下结论：
（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x 轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．
【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的 ， 而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．