2019高考考前押题卷 数学
2019年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(一)及解析
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学（一）本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4 C ．()3,2- D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．2．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店班级 姓名 准考证号 考场号 座位号添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A ．34B ．78C ．1516D ．3132【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，（2）()221143,3x x x i =--=-=， （3）()243187,4x x x i =--=-=， （4）()28711615,5x x x i =--=-=， 所以输出16150x -=，得1516x =，故选C ． 4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】B【解析】设第一天织布1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得：1111721284715a d a d a d a d +=⎧⎨+++++=⎩，解得11a =，1d =，∴第十日所织尺数为101910a a d =+=，故选B ．5．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】0.401.9 1.91a =>=，0.40.4log 1.91log 0b =<=， 1.9000.40.41c <=<=，a c b ∴>>，故选C ．6．已知函部分图像如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,0【答案】C【解析】由题意得A =()26282ωωππ=⨯+⇒=，把点(2,-代入方程可得34ϕπ=-()g x 的一个对称中心为()10,0，故选C ．7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()3222113fx x b x a c a c x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）A B C D 【答案】C【解析】函数()()3222113f x x b x a c a c x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=-()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ．8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A．BC．3D．3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，PA PB＝整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=选A ．10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）ABC．19D【答案】B【解析】如图所示，1S=正，23924Sπ⎛⎫=π=⎪⎝⎭圆则油（油滴的大小忽略不计）B．11()()()1g x f x k x=-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．[)1,3B．(]1,3C．[)2,3D．()3,+∞【答案】A【解析】函数()()()1g x f x k x=-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，等价于()y f x=与()1y k x=+()1y k x=+的图象是过定点()1,0-斜率为k的直线，当直线()1y k x=+经过点()1,2时，直线与()y f x=的图象恰有两个交点，此时，1k=，当直线经过点()0,3时直线与()y f x=的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与()y f x=的图象恰有两个交点，斜率在[)1,3内变化，所以实数k的取值范围是[)1,3．12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 4AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】椭圆2215y x +=，2514c ∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2，抛物线2x ay =44a y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4，24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -PA PO PB PO OB +=+≥，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为OB ====，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年全国普通高等学校招生统一考试(王后雄终极押题)数学(理)押题卷共3套(有答案)
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学（王后雄终级押题卷1)注意事项：1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分，满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上。
3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足(z+3)(l + i) = 4 + 3i(i 为虚数单位），则|z| = A. 21 B. 22C.1D. 22.已知集合 A={032|2≤--x x x }，B={23|-=x y y }，则 =A. [-1,2)B. [-1,3]C. (0,3]D. (2,3]3.随着经济和社会的发展，大气污染危害着生态环境和人类健康，公众对空气质量的要求也越来越高。
AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好。
AQI 指数值与空气质量的对应关系如下表：2018年某市环保部门为了改善空气环境，统计了该市6月1日至12日AQI 指数值，如下图所示：则下列叙述正确的是A.这12天的AQI 指数值的中位数是100B.这12天的AQI 指数值的平均值是100C.这12天中有5天空气质量“优良”D.从6月4日到9日，空气质量越来越好4.已知平面向量b a ,满足1||,1||==b a ，且10)3)(2(=-+b a b a ，则向量a 在b 方向上的投影是A. -1B. 21-C.1D. 215.函数)2<||0,>)(sin()(πϕωϕω+=x A x f 的部分图象如图所示，如果将)(x f y =的图象向左平移4π，则得到A.x y sin 2-=B.x y sin 2=C.x y cos 2=D.x y cos 2-=6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=0,20<,2)(22x x x x x x x f 在[-2,3]上随机取一个数a ，则0)()(≤+-a f a f 的概率为 A.52 B. 41 C. 53 D. 547.已知函数21cos )cos(sin 3)(2-++=x x x x f π，则函数)(x f 的一个单调减区间为 A. ],65[ππ B. ]65,3[ππ C. ]6,32[ππ-- D. ]2,2[ππ- 8. 5]12[-x的展开式中，2-x 的系数是 A. 80 B.-80 C. 40 D.-409.某家工厂在室内（正方体内）建造了一个四棱锥形容器 贮藏稻谷，此四棱锥的三视图如右图所示，其中每个小格是边长为1 的正方形，则该四棱锥的体积为 A.2B.34 C. 38D.3210.记][)(x x x f --=,其中][x 表示不大于x 的最大整数，⎪⎩⎪⎨⎧-≥=0<,10,)(x x x kx x g ，若方程)()(x g x f =在[-5,5]上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围是A.5161≤≤k B. 51<61≤k C. 41<k <51 D. 41<k 51≤ 11. 已知双曲线)4<m <1(11422=-+-my m x 4的焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2D.5 12.若关于x 的不等式0ln 2≥--x x ax >0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(1,+∞)B.[1,+ ∞) C.(e,+∞)D. [e,+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国2019届高三考前押题卷(一)理科数学
全国高考2019届高三考前押题卷（一）理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解指数不等式得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴．故选D．【点睛】本题考查指数函数单调性的应用以及集合交集的求法，解题的关键是正确求出集合，属于容易题．2.设为虚数单位,复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．3.学生李明上学要经过个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为,第四个路口遇到红灯的概率为,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分两种情况求解：①前三个路口恰有一次红灯，第四个路口为绿灯；②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯．分别求出概率后再根据互斥事件的概率求解即可．【详解】分两种情况求解：①前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为；②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为．由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为．故选A．【点睛】求解概率问题时，首先要分清所求概率的类型，然后再根据每种类型的概率公式求解．对于一些比较复杂的事件的概率，可根据条件将其分解为简单事件的概率求解，再结合互斥事件的概率加法公式求解即可．4.已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点,为渐近线上一点且在第一象限,且满足,若,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得为直角三角形，又得；由于，所以，故得为正三角形，所以得到直线的倾斜角为，即，由此可得离心率．【详解】设为坐标原点，∵，∴为直角三角形．又的中点，∴．∵，∴，∴为正三角形，∴直线的倾斜角为，∴．∴离心率．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．5.已知为锐角,,则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可求得，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可．【详解】∵，又为锐角，∴．∴，∴．故选D．【点睛】对于给值求值的三角变换问题，在解题时要注意根据条件及所求灵活应用公式，将所给的条件进行变形，逐步达到求解的目的，同时在解题过程中还要注意三角函数值符号的处理，避免出现错误．6.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】逐次运行框图中的程序可得所求的结果．【详解】逐步运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：，不满足条件，继续运行；第四次：，不满足条件，继续运行；第五次：，不满足条件，继续运行；第六次：，不满足条件，继续运行；第七次：，不满足条件，继续运行；所以输出的的值周期出现，且周期为6，因此当时，．故选B．【点睛】解答程序框图输出结果的问题时要注意两点：一是要搞清程序框图能实现的功能；二是要搞清程序框图的结构，若是条件结构，则要分清条件及程序的流向；若是循环结构，则要分清循环体以及终止条件．然后依次运行程序框图中的程序，逐步得到输出的结果．7.，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用赋值法求解，令和令即可．【详解】在展开式中，令，得，令，得，∴．故选C．【点睛】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图得到几何体，然后根据几何体的特征求出其表面积即可．【详解】由三视图可得几何体如下，可得该几何体是正方体被切去了个球．故几何体的表面积为．故选C．【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可．9.已知,则不可能满足的关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，从而可得，故，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．【详解】∵，∴，∴，整理得．对于A，由于，解得，所以A成立．对于B，由于，解得，所以B成立．对于C，，所以C成立．对于D，由于，所以，因此D不成立．故选D．【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式的应用，同时也要注意不等式所需的条件，即“一正、二定、三相等”．10.若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．【详解】函数的单调区间为，由，得．∵函数在区间内没有最值，∴函数在区间内单调，∴，∴，解得．由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数在区间内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．11.过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据导数的几何意义求得过A，B两点的切线方程，然后解方程组得到交点坐标，并结合点的坐标求得．再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线的方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程．【详解】由，得，∴．设，则，抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，由解得，又两切线交于点，∴，故得．∵过两点的切线垂直，∴，故，∴，故得抛物线的方程为．由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，由消去y整理得，∴，由和可得且，∴直线的方程为．故选B．【点睛】解决与抛物线有关的综合问题时，要注意知识间的灵活利用，如在本题中求切线方程时可根据导数的知识求解；同时也要注意抛物线本身知识的灵活应用，如利用定义可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化．12.在正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥)中，三条侧棱两两垂直，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为,与底面切于点,则三棱锥与的体积之比为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱锥的棱长为，内切球半径为，内切球的球心为，由题意可得．然后再根据几何知识求得三棱锥的体积，进而可得所求．【详解】如图，设正三棱锥的棱长为，内切球半径为，内切球的球心为，则有．又，∴，解得．把面单独拿出来分析，如图．∵是的中心，，∴．过D 作于，则，，．显然为等边三角形，，∴．故选B．【点睛】解答本题时注意：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）解决立体几何问题时要注意平面几何知识的运用，对于问题中的计算问题在求解是要注意运算的合理性和准确性．第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.在中,,,则与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】设，将与分别用表示，通过求可求出两向量的夹角．【详解】设，则，．∴，∴．∴与的夹角为．【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根据公式求出两向量夹角的余弦值，最后根据向量夹角的范围求出两向量的夹角．14.由不等式组,组成的区域为,作关于直线的对称区域,点和点分别为区域和内的任一点,则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的区域，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为，由此可得所求．【详解】画出不等式组表示的区域，如下图阴影部分所示．由题意得三个交点的坐标分别为．结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为．由题意得的最小值为，因此所求的最小值为．【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将区域和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，体现了转化思想方法在解题中的运用．15.函数满足,,当时,,过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有个交点,则的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】由题意得函数为偶函数且图象的对称轴为，由此得到函数的周期为，由此可画出函数的图象，然后结合图象求解的取值范围即可．【详解】∵，∴，即，∴函数的周期为．由时，，则当时，，故，因此当时，．结合函数的周期性，画出函数图象如下图所示．又过点且斜率为的直线方程为．结合图象可得：当时，．与联立消去整理得，由，得或(舍去)，此时，故不可能有三个交点；当时，点与点连线的斜率为，此时直线与有两个交点，又，若同相切，将两式联立消去y整理得，由，得或(舍去)，此时，所以当时有三个交点．综上可得的取值范围为．【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.在中,是边上的一点,,,则__________．【答案】【解析】【分析】在中由题意可得，故得．过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可得则，且．然后在中，由正弦定理得．【详解】在中，，，可得，∴．过点作，交的延长线于点，如下图，则，，，∴．在中，由正弦定理得，∴．【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在数列中,已知,.(1)若是等比数列,求的值；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)或2 (2)【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，可得，由题意知，于是得到关于的方程组，解方程组可得所求．（2）结合（1）中的结论，可得和，由以上两式消去可求得，即为所求．【详解】(1)设等比数列的公比为，则，整理得，又，∴解得或．(2)由（1）得，当时，，此时数列为等比数列，∴，①当时，，此时数列为等比数列，∴，②①-②得，∴．【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有关知识求解，求解过程中要结合方程（组）等知识的运用，需要认真计算，灵活处理已知条件．18.如图所示,平面,平面平面,四边形为正方形，,,点在棱上.(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析(2) 不存在,使得平面平面【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形为平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面，然后根据面面平行的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又根据题意可得两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．【详解】(1)∵平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴，又，∴四边形为平行四边形，∴．又平面平面，平面．，，又平面平面，平面．又平面平面，平面平面．（2）在中，由余弦定理得，，∴为直角三角形，且，，由平面可得，两两垂直.以点为坐标原点，依次为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示，则．设面的一个法向量为，则即令，解得，．设平面的一个法向量为，则即令，得，若平面平面，则，化简得，由于，故此方程无解，所以不存在实数，使得平面平面.【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．19.中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示:(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:参考公式:，期中，【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系(2) ①,②见解析【解析】【分析】（1）由题意可得列联表和等高条形图，并可作出判断，然后求出后与临界值表对照可得结论．（2）①根据题中的统计数据可得所求概率为；②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，由此可得的分布列．结合可得通过的人数为人．【详解】(1)列联表如下：等高条形图如下图，通过图形可判断学习先修课程与优等生有关系.又由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)①由题意得所求概率为．②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，，∴的分布列为今年全校参加大学生先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．【点睛】(1)独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式计算的值；③比较与临界值的大小关系作出统计推断．(2)的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大． 20.已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为,的面积为,求的最大值 .【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据题意可得椭圆的方程为，设，由，得，根据代入法可得曲线的方程为．（2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得．将与联立可得二次方程，然后由根与系数的关系及弦长公式可得，从而得到，，求得后再根据基本不等式求解即可得到所求．【详解】(1)依题意可得，由，解得，椭圆方程为.设，由，得，代人椭圆方程得曲线的方程为．(2)由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切可得，即.由消整理得又直线与椭圆交于两点，所以，故得．设，则，，.则，.，当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.知函数，，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围.【答案】(1) 。
2019高考数学押题卷及答案解析
山东省2019年高考数学押题试卷考试范围：学科内综合，第二轮复习用卷。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体的体积公式：V=3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）：如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=N x x M x,2110log 11的真子集的个数是 （ ）A ．902B ．9022-C ．9121-D ．1290-2．已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10），若AP →＝AB →＋λAC →（λ∈R ），则当点P 在第三象限时，λ的取值范围是 （ ） A ．（-1，0） B ．（-1，+∞） C ．（0，1） D ．（-∞，-1）3．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则 （ ）A ．bc ＋ad ≠0B ．bc -ad ≠0C ．bc -ad ＝0D ．bc ＋ad ＝04．等比数列{}n a 前项的积为n T ，若156a a a 是一个确定的常数，那么数列789,,T T T ,10T 中也是常数的项是 （ ） A ．7TB ．8TC ．9TD ．10T5．（理）已知（2x 2 - x p ）6的展开式中常数项为2027，那么正数p 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（文）如果函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤1111x x 则不等式()0xf x ≤的解集为 （ ） A ．[]1,1-B ．[]()1,01,-+∞C ．()()1,,1+∞-∞-D ．()()0,1,1-∞-6．已知函数()()1x xf x k a a -=--()0,1a a >≠为奇函数,且为增函数, 则函数x y a k =+的图象为（ ）7．抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过C 上一点),1(0y P 的切线l 与y 轴交于A ，则AF =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．148．如果执行右面的程序框图，输出的A 为 （ ） A ．2047 B ．2049 C ．1023 D ．10259．已知函数f(x)=)(23R c b a cx bx x ∈++、、的图象如图所示，则下列关于b 、c符号判断正确的是（）A ．b<0 c<0 B ．b>0 c<0 C ．b<0 c>0 D ．b>0 c>010．（理）如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是线段A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BE 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）A ．3010 B ．12 C ．3015 D ．1510（文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为 （ ）A ．12个B ．13个C ．14个D ．18个11．已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A1B1C．2D．2+12．（理）已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有 （ ） A ．021<x x B ．121=x x C ．121>x x D ．1021<<x x （文）已知函数f (x )=|lg x |.若0<a<b,且f (a )=f (b ),则如结论中错误的是 （ ） A ．0<a<1 B ．b>1 C ．ab=1 D ．2a b +≥第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高考数学押题卷及答案
2019届高考数学押题卷及答案数学是一切科学的基础，小编准备了高考数学押题卷及答案，希望你喜欢。
一、选择题1.“A=B”是“sin A=sin B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不充分又不必要条件2.“k≠0”是“方程y=kx+b表示直线”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不充分又不必要条件3.a0C.>1D.>-14.命题p：α是第二象限角;命题q：sin α·tan α2}，P={x|xlg y”是“>”的__________条件.7.“ab≠0”是“a≠0”的__________条件.8.已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点;命题q：αβ，则p是q的______条件.三、解答题9.已知p：b=0，q：函数f(x)=ax2+bx+1是偶函数.命题“若p，则q”是真命题吗?它的逆命题是真命题吗?p是q的什么条件?10.已知M={x|(x-a)20”是“|a|>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.设p：实数x满足x2-4ax+3a20或x2-x-6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.参考答案：1.判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断.2.在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件知识梳理1.充分条件2.必要条件作业设计1.A [“A=B”“sin A=sin B”，反过来不对.]2.B [k=0时，方程y=kx+b也表示直线.]3.A [alg y，得x>y>0，由>，得x>y≥0.7.充分不必要解析ab≠0a≠0，所以是充分条件;a≠0，b=0ab=0，不必要条件.8.必要不充分解析命题q：αβ命题p：a与b无公共点，反之不对.9.解由f(x)=ax2+bx+1是偶函数，得f(-x)=ax2-bx+1=ax2+bx+1恒成立.bx=0对任意实数x恒成立，所以b=0，同理由b=0也可以得出f(x)是偶函数.故“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p 既是q的充分条件，又是必要条件.10.解由(x-a)20，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件;若|a|>0，则a>0或a0”不是“|a|>0”的必要条件.]12.解由x2-4ax+3a2。
2019年高考(全国卷)押题精粹数学试题(理科)含答案解析
泄露天机——2019年高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B ð等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<<ð2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b-=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A.121 C.1 D.12【答案】A【解析】由()1i 1i i z-=-+i ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z 的实部为12,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合. 5.若()(),,,Aa b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( )A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） A.12B.2C.3D.2【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.56 【答案】D【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的 2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2019，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2B.2C. 3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b上的投影为2()||⋅+====+a a b a b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题： p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）i【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C ,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cm D.73cm 【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去一个三棱锥11C B EF -后所得的多面体，其体积为1123222112.323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +， ∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.2916【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）A.2544B.1332C.2532D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231001011332A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1【答案】A【解析】因为()2cos 221x xf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x xx x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x x x x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0, 所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=，即s i n ϕ=所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131-【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）3 D.2 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a abc c， ,所以2222()()()a ab a c a c c -+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）C.2【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin 3θ=．∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．2D ．(0【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6【答案】A【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D.26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C 【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x'<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>()()63f ππ<，故选C ．28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( )A.(),e -∞B.()e,+∞C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t-'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e,结合()g t 图象,可得110e e a a <<⇒> ,故选B.29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(1AC =,()BD =,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4-【答案】C【解析】取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则2121 1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==-,(221,CD x y =-,求得2222((22AB CD x y ⋅=++-≥-,当111,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C.30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ，易知1AO =1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =. 33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520-【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g=＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=．35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+.(1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin 823bc bc π==.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+． 【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2n n n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n nT n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2019年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；② ()2,E X =().5D X =【解析】：2200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22AB S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B C A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =．又因为AE ∥PB ，且12AE PB =， 所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅22225λ===． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<，设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =， ∵121212cos ,6n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =，∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ，∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ．因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m =. 因为,,A P M 三点共线，所以APAM ，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t +=，整理得2202033y t x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m =同理，可得n =，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0).45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解． 若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x xf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅-令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <.令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅>得1x <-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得t a t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+.因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+，则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >，则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e =<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e<<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <，则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=. 综上知，1240()f x e<<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠,所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TDMC TC=,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-===∴24cos 2α=,cos α=4πα=或34π． (3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当2a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD =AC BD；（2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD. （2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC∽△ACD. ∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC (2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM .(3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭21922≥=.。
2019年高考数学押题卷及答案(一)
2019年高考数学押题卷及答案（一）一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2)i i +的虚部是2．如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于3. 若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f = 4．等比数列}{n a 中，n S 表示前n 顶和，324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 5．在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .6．设,αβ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则，其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知0>xy ，则|21||21|xy y x +++的最小值为 8．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f > 9．已知角A 、B 、C 是ABC 的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量2(23sin,cos ),22A Am =，(cos,2)2An =-，m n ⊥，且2,a =3cos 3B =则b = 10．直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b+的取值范围为 11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω=__________．12. 在区间[],1t t +上满足不等式3311x x -+≥的解有且只有一个，则实数t ∈13． 在△ABC 中，1tan,0,()022C AH BC AB CA CB =⋅=⋅+=，H 在BC 边上，则过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为14. 已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若47a =，则m 所有可能的取值为二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15.（14分）设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ， 其中0,a a R ≠∈．（1）求m 、n 的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,3)A m n -+．求tan()3πβ+的值．16. （14分）在直角梯形PBCD 中，,2,42D C BC CD PD π∠=∠====，A 为PD 的中点，如下左图。
2019年高考数学(理)终极押题卷(新课标Ⅱ卷)(解析版)
秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】，，则，故选B.2．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z-的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1 D【答案】D 【解析】：复数1z i =+，∴111111,,--1222i z z i z i z+=-∴-=-，虚部，实部虚部 【点睛】：该小题几乎考查了复数部分的所有概念,是一道优秀试题。
3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C. 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D. 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 【答案】C【分析】对照表中数据逐项检验即可.【详解】观察表中数据知A,B,D 正确，对选项C ，2018年2月CPI 环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C 错误，故选：C【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人 【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：()()45456789481818888888888187-+++++=+=+--，故选D ．5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1,2,,10i A i =⋅⋅⋅表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）A ．iB B A =+B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+- D ．22i B B A =+【答案】B 【解析】由()()()222122n x x x x x x sn-+-+⋅⋅⋅+-=()222212122n n x x x x x x x nx n ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=22222222212122n n x x x nx nx x x x x n n ++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+==- 循环退出时11i =，知221A x i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．∴2221210B A A A =++⋅⋅⋅+，故程序框图①中要补充的语句是2i B B A =+．故选B ． 6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，4π，则2π时，4π3，π，排除A ，故选D ． 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ．32B ．643C ．323D ． 8【答案】B【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，∴该四棱锥的体积为16444433⨯⨯⨯=，故选B ．9. 设点1F ， 2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ）A ．12B ．3C ．5D ．8【答案】B【解析】∵点1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点；即()12,0F -，()22,0F ，29a =，25b =，24c =，2c =，设()00,P x y ，()100,2PF x y =---，()200,2PF x y =--，由12PF PF m ⋅=可得22004x y m +=+，又∵P 在椭圆上，即2200195x y +=，∴20994m x -=， 要使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<<，解得15m <<，∴m 的值可以是3．故选B ．10．若1x 是方程1x xe =的解，2x 是方程ln 1x x =的解，则12x x =（ ）A ．1B ．1-C ．eD ．1e【答案】A【解析】：11x xxe e x =⇔=，1ln 1ln x x x x =⇔=，设1y x=与ln x y e y x ==和分别交于121211(,),(,)A x B x x x ,由对称性得211212211111ABx x k x x x x x x -==-=-⇔=-,故选A 11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为,,9,10,11x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有2220(10)(10)8x y x y +=⎧⎨-+-=⎩，按一般同学的常规思路解出,x y ，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：x y -=20x y +=与圆22(10)(10)8x y -+-=的交点到直线0x y -=x y -242x y -==,故选D 。
2019年高考押题数学(理)(Ⅲ)(试题)
x 2 3 cos
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2
sin
，其中 为参数，在以坐标原点 O
(2 2, )
为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为
4 ，直线 l 的极坐标方程为
sin( ) 4 2 0
4
．
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程；
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
封
密
不
订
装
只
卷
此
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1．己知集合 A {x | x 1} ， B {x | x 0}，则 ðR( A B)
4 D． 5
x2 y2 1 4．已知双曲线 m 的离心率大于 2 ，则实数 m 的取值范围为
(1 , ) A． 2
B．[1, )
2019年全国高考押题数理(学生用卷).docx
2019 年全国高考押题数学理科本卷共 48 题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30 小题，填空题 4 小题，解答题 14 小题。
一、选择题（ 30 个小题）1.已知集合A{ x|log2 x 1}, B { x| x2x 6 0}, 则(e R A )B 等于（）A. { x | 2 x 1}B. { x | 2 x 2}C. { x | 2 x 3}D. { x | x2}4bi的实部为 1，则复数z b 在复平面上对应的点位于（）2.已知复数z b R1iA．第一象限B．第二象限 C ．第三象限D．第四象限3若复数z满足z 1 i 1 i i,则的实部为（）.zA.21B.21C.1D.21 224.下列函数中，既是奇函数又在区间(0, ) 上是减函数的是（）2A．y x3 B.y sin x C． y 2 x 1 D ．y cosx5 A a,b ,B c,d是f x ln x图象上不同两点, 则下列各点一定在f x图象上的是. 若( )A. a c,b dB. a c，bdC.ac,b dD.ac,bd6.双曲线C : x2y2 1 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）3A. 1B.2C.3D.3 2232.在区间1,1内随机取两个实数， y ，则满足21的概率是（）7x y x A.2 B.7 C.1 D.599668.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（）A ． 2B．－1C ．－ 3D．1 239x 值为2016，则输出的i值为 ( ). 一个算法的程序框图如右图所示，若输入的A.3B.4C.5D.610.若向量a,b满足|a| |b| 2 ，a与b的夹角为60 ，a在a+b上的投影等于( )A.2B.2C.3D.4 ＋ 2311.不等式组的解集记为D，，有下面四个命题：1：，p 2：，pp ：，p ：，34其中的真命 是 ( )A ． p ， p2B ． p ， pC ． p ， pD ． p ， p113142 312. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体 的 程中构造的一个和 美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成, 相 的两个曲面在同一个 柱的 面上 , 好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形 ( 方盖 ) ．其直 如下左 , 中四 形是 体 其直 性所作的助 ．当其主 和 完全相同 , 它的俯 可能是（）13所示 ( 位： cm)， 几何体的体 是（ ）．一个几何体的三 如 2 A.23cm 3 3B. 22 cm 33C.47cm 363D.7cm14. 若数列 { a n } 足1－1=d （ n N * , d 常数）， 称数列 {a n } 和数列．已知数－aa n 1n1x 1＋ x 2＋⋯＋ x 20＝ 200， x 5列{} 和数列，且x 16等于（）x nA ． 10B． 20C． 30D． 4015《 丘建算 》卷上第. 《九章算 》之后，人 学会了用等差数列的知 来解决 ，22 ：“今有女善 ，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多 相同量的布） ，第一天 5 尺布， 一月（按 30 天 ）共390 尺布”， 从第 2 天起每天比前一天多（）尺布 .A ．1B.8 C.16 D.16215312916.在某次联考测试中，学生数学成绩X N 100,20 ，若P ( 80X 120 )0 .8, 则 P ( 0X80 ) 等于（）A． 0.05B． 0.1C． 0.15D． 0.217组成没有重复数字的三位数，其中 0 不在个位上，则这些三位数的和为（）．由 1,2,3,0A.2544B.1332C.2532D.132018.已知f x2xax cos2x,ππ2x1若 f (3) =2,则 f (3 ) 等于（）A. 2B.1C.0D. 119.函数 f ( x) A sin2x(部分图象如图所示，对不同的x1 , x2 a , b ，若)2f x1f x2，有f x1 x23，则（）A． f x在(5,) 上是减函数B． f x在 (512,) 上是减函数1236C． f x在 (5,) 上是增函数D． f x在 (, 5) 上是增函数12123620．若1 x 1 2x 7a2x2a8x8，则a1a2a0 a1x a7的值是（）A. 2B.3C．125 D.131. 设点A、F c,0x2y21(a 0,b0)的右顶点、右焦点 , 直线xa2分别是双曲线b2c 21a2交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（）A. 3 B.3 C.2 D.222. 过抛物线 y 2＝ 4x 焦点 F 的直线交其于 A, B 两点， O 为坐标原点．若 AF3 ，则AOB 的面积为（）A.2 2C.32 2B.D.22223. 已知圆 C 1 : x 2 2cx y 2 0 ，圆 C 2 : x 2 2cx y 20，椭圆22C :x2y 2 1(a b 0) 的焦距为 2c ，若圆 C 1 , C 2都在椭圆 C 内，则椭圆 C 离心率的ab范围是（）A ． [ 1B． (0 1C ．[ 2D． ，2 ,1)， ],1)(0]222224. 已知向量 AB 、 AC 、 AD 满足 ACABAD , AB2 , AD 1 , E、 F 分别是线段 BC 、 CD 的中点．若 DEBF5, 则向量 AB与向量 AD 的夹角为（）4A ．πB ．2πC．πD． 5π3 36625f x x 3, x 0 满足条件：对于 x 1R ，唯一的 x 2R ，使得. 已知函数ax b, x 01f x 2. 当f 2 af 3 b 成立时，则实数 a b ()f x6 B. 6 C.6 D.6 A.2+3+322226. 函数 y2 x的图象大致为（）ln x27 . 已知定义在 (0, ) 上的函数 f (x ) , f ( x) 为其导数 , 且 f ( x)f (x ) tan x 恒成立，则（ ）2A. 3 f ( )2 f ( )B.2 f ( ) f ( )436 4C. 3 f ( )f ( ) D.f 12 f ( ) sin163628若过点 P a, a与曲线 f xxln x相切的直线有两条, 则实数 a 的取值范围是 ( ).A.,eB.e,C.0,1D.1,e. ABCD,,,AB CD已知四边形 的对角线相交于一点 AC 1, 3BD 3,1 则的最小值是（ ）A. 2B.4C.2D.430. 定义在 R 上的函数 f x 对任意 x 1, x 2 x 1f x 1 f x 20 ，且函数x 2 都有x 1 x 2y fx 1 的图象关于 （ 1,0 ）成中心对称， 若 s,t 满足不等式 f s 2 2sf 2tt 2 ，则当 1s 4 时，ts2 s的取值范围是（）tA ．3,1B．3,1C ．5,1D．5,12222二、填空题（ 4 个小题）31. 已知边长为 3的正 ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且 OA 与平面 ABC 所成的角为 30 ，则球 O 的表面积为 ________．yx32. 设 m 1, 当实数 x, y 满足不等式组y 2x 时，目标函数 zx my 的最大值等于 2，xy1则 m 的值是 _______．. 已知数列{ a n } 中 , 对任意的*,若满足a na n 1a n 2a n 3 s （ s 为常数） , 则称33n N该数列为 4阶等和数列 , 其中 s 为 4阶公和；若满 a n a n 1 a n 2 t （ t 为常数） , 则称该数足列为 3阶等积数列,其中t为 3阶公积,已知数列{ p n}为首项为1的4阶等和数列,且满足p4p3p22；数列{ q}为公积为 1的3阶等积数列,且q1q21, 设n 为数列np3p2p1S{ p n q n }的前n项和,则 S 2016___________ ．34.用g n表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有1,3,9 ，g 99,10的因数有1,2,5,10， g 105，那么g 1g 2 g 3g220151.三、解答题（ 14 个小题）35.（本小题满分12 分）在ABC 中，角A, B , C所对的边分别为 a , b, c ，已知2cos B C 1 4sinBsinC.(1)求 A ；(2) 若a 2 7 ，ABC 的面积2 3，求 b c .36.（本小题满分12 分）如图，在ABC 中，点D在边 BC 上，CAD, AC7， cos ADB 2 .4210（1）求sin C 的值；（2）若ABD 的面积为7，求 AB 的长.37.（本小题满分12 分）已知公差不为0的等差数列{ a n}中，a12，且a21, a41, a81成等比数列.(1)求数列 a n通项公式；(2) 设数列 { b n3，求适合方程 b1b2 b2b3 ... b n b n 145的正整数 n 的值. } 满足b na n32. （本小题满分12 分）38设 n N *，数列 a n的前 n 项和为S n，已知S n 1S n a n 2 ， a1 ,a2 ,a5成等比数列.（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b满足b n( 2)1 a n，求数列的前 n 项和T n.n a n b n39.（本小题满分12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双 11 期间 , 某购物平台的销售业绩高达918 亿人民币. 与此同时, 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系. 现从评价系统中选出200 次成功交易, 并对其评价进行统计, 对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为 0.75, 其中对商品和服务都做出好评的交易为80 次 .(1)能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下 , 认为商品好评与服务好评有关？(2) 若将频率视为概率, 某人在该购物平台上进行的 5 次购物中 , 设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求 X 的数学期望和方差.P( K 2≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（ K 2n( ad bc)2, 其中n a b c d ）(a b)(c d )(a c)(b d )40.（本小题满分12 分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了A、B 两所学校各 60 名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)记事件 C 为“A校学生计算机优秀成绩高于 B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或 7 分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件 C 的概率．41.（本小题满分12 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD平面ABPE = AB ，且AB BP 2, AD AE 1， AE AB , 且AE∥BP．（1）设点M为棱PD EM∥中点，求证：平面 ABCD ；（2）线段PD N，使得直线BN与平面PCD 所成角的正弦值等于2？若上是否存在一点5存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．42（本小题满分 12分）.正方形 ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD CD , AB / / CD ,AB AD 1CD 2 ，点M在线段EC上且不与 E , C重合．2（1）当点M是EC中点时，求证：BM // 平面 ADEF；（2）当平面BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为6时，求三棱锥M BDE的6体积．43.（本小题满分12分）已知点 F 是椭圆x2y21( a0) 的右焦点，点 M (m, 0)、 N (0, n) 分别是x轴、y 1a2轴上的动点，且满足MN NF0．若点 P 满足OM 2ON PO ．（ 1）求点P的轨迹C的方程；（ 2）设过点F任作一直线与点P 的轨迹交于 A 、 B 两点，直线OA、OB与直线x a 分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断FS FT是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．4412 分）. （本小题满分以椭圆 C : x2y2 6 ，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于221(a b 0) 的离心率为a b32 3 .（1）求椭圆C的标准方程；（ 2）过原点且斜率不为0的直线 l 与椭圆 C 交于P,Q两点，A是椭圆 C 的右顶点，直线AP 、 AQ 分别与y轴交于点M、N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过 x轴上的定点，请说明理由.45.（本小题满分12 分）已知函数 f x aln x ax 3（a0 ）．（1）讨论 f x 的单调性；（2）若f x a 1 x 4 e 0对任意x2恒成立，求实数的取值范围（ e为e, e a自然常数）；（3）求证：ln 22 1 ln 32 1 ln 421ln n2 1 1 2ln n! （ n 2 ，n）．所以原不等式成立46（本小题满分12 分）.已知函数 f ( x) a ( x 1)( e x a ).（常数a R且a0 ）.（1）证明：当a0 时，函数f x 有且只有一个极值点；（2）若函数 f x x1 , x2，证明：044存在两个极值点 f x12且 0 f x2e 2 .e47.（本小题满分10 分）从下列三题中选做一题A. 选修4-1 ：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC， TD分别交内圆于A、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M .(1) 证明：AB// CD；TNA BC M D(2)证明： AC MD BD CM .B. 选修4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x轴的正半轴 , 建立平面直角坐标系x 1 t cos, 直线l的参数方程是（ t 为参数）．y t sin（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点 , 且AB14 ,求直线l的倾斜角的值．C.选修 4-5 ：不等式选讲设函数 f x x 1 2 x 1 的最大值为m.（1）求m；（2）若a,b, c0,,a22b2c2m ，求ab bc 的最大值.48.（本小题满分12 分）从下列三题中选做一题A. 选修 4-1 ：几何证明选讲在△ ABC中， AB=AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点P，交 BC延长线于点D．（1）求证：PC=PD；AC BD（2）若 AC=3，求 AP?AD的值．B. 选修 4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是 1 ，将C1向上平移 1个单位得到曲线C2 .(1) 求曲线C2的极坐标方程；(2) 若曲线C1的切线交曲线 C 2于不同两点M , N ,切点为T.求TM TN的取值范围.C.选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x)m | x 2 |,m R,且 f ( x 2) 1 的解集A满足1,1 A．（1）求实数m的取值范围B；（2）若a,b, c0,, m0为B中的最小元素且111a2b m0,3c 求证： a 2b3c9 .2参考答案一、选择题（ 36 个小题）1.【答案】 B【解析】 A x | x 2 , B x | 2 x 3 , 得 e R A x | x 2 ，(e R A) B x | 2x 2 .2.【答案】 C【解析】试题分析：z =4 + bi＝ (4bi)(1i ) 4 b 4 b i1 - i(1i)(1i)22，则由4b1 ，得b 6，2所以 z 1 5i ，所以z b7 5 i ，其在复平面上对应点为( 7, 5) ，位于第三象限.3.【答案】 A【解析】由 z 1 i1i i = 2 i ,得z2i( 2i)(1i) = 2 12 1i ,1i(1i)(1i)22所以 z 的实部为 2 1,故选 A．24.【答案】 B【解析】选项C、 D不是奇函数，yx 3在 R 上都是增函数，只有选项 B 符合 .5. 【答案】 C【解析】因为 A a,b , B c,d 在 f x ln x图象上,所以b ln a, d ln c, 所以b d ln a lnc ln ac ,因此ac,bd 在 f x ln x图象上,故选C．6.【答案】 A【解析】 a 1, c 2, C顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1 . 27.【答案】 D【解析】由题意知1x1表示的区域为边长为 2 的正方形，面积为 4，满足y x211y11dx 2 (x 1 x3) |110，所以所求的区域即为图中阴影部分，面积为 2 11 x2113310 5 概率 P3，故 D ．468. 【答案】 A由程序框 知：s2, i1 ； s1 2 3, i2 ； s1 3 1, i 3 ;121 321 ( 1) 1s21,i 4 ;1 ( ) 321 1s32, i 5 ⋯⋯，可知 S 出 周期4，1)13当 i 20174 504 1， 束循 出 S ，即 出的s 2 .9. 【答案】 A【解析】：运转程序， a 2016, i 1;b 1 2,a 1,i ;2015 2015b 2015 3, a 2015,i ;2016 2016 b 2016,结束，输出 i 3.10. 【答案】： C【解析】： a 在 a +b 上的投影 a (ab )a 2a b a 24 26 3.| a b |(a b ) 22a b b 22 311. 【答案】 D【解析】可行域如图所示，A(1 ，3),B(2 ，1) ，所以所以，故2， 3 正p p 确，故答案为 D.12. 【答案】 B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形, 排除 A,C, 又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线, 故选 B.13. 【答案】 A【解析】该几何体是棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1 D 1截去一个三棱锥C 1B1EF后所得的多面体，其体积为V 2 2 21 1 1 1 223 .323 14.【答案】 B【解析】∵数列11-1＝ xn 1x n＝ d ，∴x n是等差数列. x n为调和数列，∴11x n1x n又∵ x1x2x20 200=20( x1x20)，∴x1x 2020.2又x1x20x5x16 , x 5x16 20.15.【答案】 D【解析】设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m,3029则由题意知30 5 d 390,216解得 d.16.【答案】 B【解析】由题意知P (80120)0.8 ，则由正态分布图象的对称性可知，P(0 X 80) 0.51 P (80X120) 0.1 ，故选 B ．217. 【答案】 A【解析】分两种情况：（ 1）所有不含 0 的三位数的和为 1 2 3 A 22 100 10 1 1332， (2) 含 0 且 0 只能在十位上的三位数的和为 1 2 3A 21 100 11212，那么可得符合条件的这些三位数之和为1332 1212 2544 .18. 【答案】 A2x【解析】因为f x 2x 1ax cos2x , 所以f xfx2x2 x2cos2x 2x 12cos2x 1 2cos2x , 所2x 1 2 x2x1 1 2x1以f (π f (π 2 cos2π) + ) =1+=0,333 所以 f ( π)f ( π)2.3319. 【答案】 C【解析】由图可知A 2 ，又由 f x 1f x 2 ，知函数的图象关于直线xab x 1 x 22 2对称，所以 a bx 1x 2 ．由五点法作图， 得 2 a0 ，2b ，所以 ab，2则 f ( ab) ＝ 2sin(2) 2sinf x 1x 23 ，即 sin3，所以23，所以 f ( x)2sin(2 x) ，在 ( 5 , ) 上， 2 x ( ,) ，所以 f x 在3 12 1232 25,) 上是增函数，故选 C ．(12 1220. 【答案】 C【解析】令 x0 ，得 a 0 1 ；令 x 1 ，得 2 a 0 a 1a 2a 8，即a 1 a 2a 83 ．又 a 8 ( 2)7C 77128，所以 a 1a 2a 73 a 8 125，故选 C ．21. 【答案】 D【解析】显然 PFPA , PFAF , 所以由PAF 是等腰三角形得 PA AF . 易知A(a ，0) a 2 ab a 2 2ab 2(c a)2, P (， ) , 所以 (c a) ( ),ccc( a) 2 ( a c) 2( a) 2 (c 2 a 2 ) (c a) 2( a ) 2 ( a ) 2c a1cc ccc a1 1 e 1e2e2e1.1解得 e2 . 故选 D.22. 【答案】 C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0) 及 BFm ，∵ AF 3 ，∴点 A 到准线l : x1的距离为 3 ，∴ 23cos 3 , 即 cos12 2，则 sin ．33∵ m 2 m cos() ，∴ m231 cos.2∴ AOB 的面积为 S1OFAB sin1 1 (3 3) 2 2 3 2.22 23 223. 【答案】 B【解析】由题意，得圆C 1, C 2 的圆心分别为( c, 0) 和(c, 0) ，半径均为，满足题意的圆与c椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆C 1 , C 2 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ，所以离心率 0ec 1 ，故选 B ．a224. 【答案】 A 【解析】 DEBF( 1CB CD )( 1 CD CB )5CB CD1CD 21CB 25 .224224 由 CDAB2 , BC AD 1 , 可得 cos CB ，CD1 , 所以 CB ，CDπ 2, 从而3AB ，ADπ. 故选 A.325. 【答案】 D【解析】由题设条件对于x 1R ，存在唯一的x 2R ，使得 f x 1f x 2 知 f x 在,0 和 0 ,上单调，得 b 3 ，且 a 0 . 由 f 2 af 3b有 2a 239 3 ，解之得 a6 6 3，选 D.，故 a b2226. 【答案】 D【解析】当 0 x 1时， ln x 0 ，所以 y 0 ，排除 B 、 C ；当 x 1 时，由于函数 y 2 x比 yln x 随x 的增长速度快，所以随 x 的增大， y2 x的变化也逐渐增大，排除A ，故ln x选 D ．27. 【答案】 C 【解析】因为 x (0,) ，所以 sin x 0,cos x 0 ，则由 f ( x)f ( x) tan x 得2f ( x)f ( x)sin x，即 cos xf ( x)sin xf (x ) 0 ．令 F(x)=sinx，则cos xf (x)F (x)=(sin x) cos f ( x) sin xf (x)0 ，所以 F ( x) 在 (0,) 上递减，所以f (x)[ f ( x)]2 2sin sinF ( )F ( ) ，即63，即3 f ( )f ( ) ，故选 C ．63f ( )f ()636328. 【答案】 B【解析】设切点为Q t,t lnt , 则切线斜率 k f t =1ln t , 所以切线方程为yt ln t 1 ln t x t , 把 P a,a代入得 at ln t 1 ln t a t, 整理得a ln tt , 显然 a 0 , 所以1ln t , 设 g tln t, 则问题转化为直线 y 1 与函数a t 1 ln t ta g t图象有两个不同交点 , 由 g t , 可得 g t 在 0,e 递增 , e,递减 , 在t 2xe 处取得极大值1, 结合 g t图象 , 可得 011 ae , 故选 B.ea e29. 【答案】 C【解析】取 A(0, 0) , 则 C(1, 3) ；设 B ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) x 2 x 1 3, , 则y 11.y 2 所以 ABx 1 , y 1 x 23, y 2 1 , CD x 2 1, y 2 3 ,求得 AB CD (x 23 1)2 ( y 2 3 1)2 2 2 ,22x 13 1 3 12,x 2,当且2 时 , AB CD 取到最小值2, 此时四边形 ABCD 的对角y 13 1 31 2 , y 22线恰好相交于一点 , 故选 C.30. 【答案】 Dx 1x 2，则x 1x 2f (x 1) f (x 2)( x 1 ) f ( x 2 )0 ，即【解析】不妨设 ．由x 20，知 fx 1f ( x 1 ) f( x 2 ) ，所以函数 f ( x) 为减函数． 因为函数 yf ( x 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对 称 ， 所 以 yf ( x) 为 奇 函 数 ， 所 以 f (s 22 s)f (2 tt 2 )f ( t 2 2t )， 所 以s2 st22t ，即 (st )( st2) 0 ．因为 t2s1 3s13 ，而在条件2s ts t1 ts( s t )( s t 2) 0t[ 1 ,1] ，所以 1 t [ 1 , 2] ，所以 3 [ 3,6] ，1 s4下，易求得s2 s 2 1 t2s所以 13 [ 5, 1 ] ，即 t 2s [ 5,1] ，故选 D ．1 t2 s t 2s二、填空题（ 4 个小题）31. 【答案】 16【解析】设正 ABC 的外接圆圆心为 O 1，易知 AO3 ，在 Rt OO 1 A 中，1OAO 1 A 2 ，故球 O 的表面积为 42 216 .cos 3032. 【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为y1 xz，因为mmm1，所以 11 0 ，将函数 y1 x 的图象平移经过可行域时， 在 G 点 ( 1 ,2 ) 处mm 3 3 y 取最大值，此时 z 2 ，所以有 21 2 m，解得 m 5 .33233. 【答案】2520【解析】由 意可知,p 1 1,p 22 ,p 34 ,p 48 ,p 51 ,p 62 ,p 74 ,p 88 ,p 91, p 10 2,p 114 , p 128 ,p 131 , ⋯⋯ , 又∵ { p n } 是 4 等和数列 , 因此 数列将会照此 律循下去 , 同理 , q 11 , q2 1 , q3 1 ,q 4 1 , q 51 , q 6 1 ,q 71,q 81 , q 9 1,q 101 , q 111 , q 121 ,q 131 , ⋯⋯ , 又∵ { q n } 是 3 等 数列 , 因此 数列将会照此 律循 下去 , 由此可知 于数列{ p n q n } , 每 12 的和循 一次 , 易求出p 1 q 1 p 2 q 2 ... p 12 q 12 15 ,因此S 2016中有168循 构 , 故S 201615 1682520．42015134. 【答案】3【解析】 由 g ( n ) 的定 易知当 n偶数 ，( n ) g ( n) ，且当 奇数 ， g ( n ) n ．令g2 nf (n)g (1) ＋ g (2)g (3) g (2 n 1)，f ( n 1)g (1) g (2)g (3)g (2n 11)＝13(2n11)＋g (2)g (4)g (2n 12)＝2n (12n 11) g(1) g(2)g(4)g(2n 12) 4n f (n) ，即 f ( n1) －2f ( n )4 n ，分 取 n 1, 2,, n 并累加得 f ( n 1)f (1) 44 24n4 (4 n 1) ．又3f )1( )1( g＝ 1，所以 f ( n1) 4 (4 n1) 1 ，所以3f ( n )g (1)g (2)g (3)g (2n1) ＝ 4(4 n 11) 1 ．令 n2015 ，得3g(1) g(2) g(3)g(220151)42015 1 ．3三、解答题（ 14 个小题）35. 【答案】：（ 1）2，（ 2） b c6.3【解析】：（1）由 2cos B C 1 4sin Bsin C ， 得 2 cosBcosC sin BsinC4sin BsinC 1，即 2 cosB cosCsin BsinC 1 ，亦即 2cos B C1，∴ cosB C1.2∵ 0B C,B C, ∵ A B C , ∴ A2.33 （2）由（ 1）得 A2. 由 S 2 3 ，得 1 bc sin22 3, bc8 . ①3232由余弦定理 a2b2c22b2c22bc cos2bc cos A ，得 2 7，23即 b 2 c 2bc28 . ∴ b cbc 28 . ②, 将①代入②，得 b28 28 ，∴ bc 6 .c36. 【答案】（ 1） 4；（ 2） 37 ．5【解析】（1）因为 cosADB2ADB 7 2, 所以 ，所以 sin. 又因为 CAD10104C ADB 4, 所以 sin C sin( ADB) sin ADB coscos ADB sin4447 2 22 2 4102102 . 5（2）在 ADC 中，由正弦定理得AD AC，sin CsinADCAC sin C AC sin C AC sin C 7 4故 AD2 5 22 .sin ADCsin( ADB) sin ADB7 210又SABD1AD AB sinADB 1 2 2 BD 72 7, 解得 BD5.22 10在ADB 中，由余弦定理得AB 2 AD 2 BD 2 2AD BD cos ADB 8 25 2 2 2 5 (2) 37.1037. 【答案】（ 1） a n3n 1 ；（ 2） 10.【解析】： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，由 a 2 1, a 4 1, a 81 ，得(33d ) 2(3 d )(3 7 d ),解得d3或 d0 （舍），故a na 1( n 1) d2 3( n 1)3 n 1.(2) 由（ 1）知b n3， b n b n 1911).3n1(3n1)(3n2)3(13n3n2b1b2b2 b3...b n b n13( 11 + 1 1 +111)3(11)9n, 25583n3n223n26n4依题有9 n445,解得 n10.6n3238. 【答案】（ 1）a n2n 1；（2）T n(2 n3)2n 1 6 ．【解析】 (1)由 S n 1S n a n2得：a n 1a n2(n N* ) ，∴数列a n是以 a 1为首项， 2 为公差的等差数列，由 a1 ,a2, a5成等比数列得( a1 2 )= a 1 ( a 1 +8) ，解得 a 1 =1，∴a n 2n 1(n N* ) .（2）由 (1) 可得b n(2n 1) ( 2)2n(2n 1)2n，∴ T n b1 b2 b3... b n 1b n ,即 T 1 21 3 22 5 23 ... (2n1)2n①，n2T n 1 22 3 23... (2n3) 2n(2n 1) 2n 1②，①- ②可得T n 22(22 23... 2n )(2n 1)2n 1,∴T n (2n 3)2n 1 6.39.【答案】（ 1）能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①X012345C51 ( 2)(3) 4C52 (2)2 (3) 33233242431P( 3)5C5( 5 ) (5)C5( 5 ) ( 5 )( 2)55555556②E ( X ) 2, D ( X ).5【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2× 2 列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K 2200(80104070)211.11110.828,1505012080故能在犯错误的概率不超过0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2) ①每次购物时 , 对商品和服务都好评的概率为2, 且X的取值可以是 0,1,2,3,4,5.5其中P ( X 0) (3 5 ；123)4；2 2 233 ；5)P ( X 1) C5( 5)( 5P( X 2) C5( 5 )( 5 )P( X 3) C53 ( 2) 3 (3) 2； P ( X4)C54 (2) 4 (3)1； P( X5) (2) 5.55555X 的分布列为：X012345P351 2 34C22 233C53 (2) 3 (3) 2C54 (2) 4 (3)125 ( )C5( )( )5( )( )5555( ) 555555②由于 X ~ B(5, 2) ,则 E ( X )522, D ( X )52(1 2 ) 6 . 5555540. 【答案】（ 1）x A x B 1.5,S2 1.5,S2 1.8;（2）P(C )0.02 .A B【解析】：（1）从 A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为 4 分、 5 分、 6 分、 7 分、 8 分、 9分的学生分别有： 6 人、 15 人、 21 人、 12 人、 3 人、 3 人.A 校样本的平均成绩为x A 4651562171283936 （分），60A 校样本的方差为S A216(46) 23(96) 2 1.5.60从 B 校样本数据统计表可知：B 校样本的平均成绩为x B 495126217986936 （分），60B 校样本的方差为S B219(46) 23(96) 2 1.8.60A B22S A S B，所以 A 校的学生因为 x x ,所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比 B 校好 .(2) 记C A1表示事件“ A 校学生计算机成绩为8 分或 9 分”，C A2表示事件“A校学生计算机成绩为9 分”，C B1表示事件“B校学生计算机成绩为7 分”，C B2表示事件“ B 校学生计算机成绩为8 分”，则 C A1与 C B1独立， C A2与 C B2独立， C B1与 C B2互斥， C C B1C A1C B2C A2．P(C) P(C B1C A1C B2C A2 ) P(C B1C A1)P(C B2C A2 )P(C B1)P(C A1)P(C B2)P(C A2 ) ．由所给数据得 C A1， C A2， C B1， C B 2发生的概率分别为P(C)=6， P(C)= 3，P(C B 1 )=9 ，6，A160A26060P( C B 2 )60故 P(C )=9 6 +630.02 ．6060606041. 【答案】：（ 1）证明见解析；（ 2）当点 N 与点 D 重合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角 的正弦值为2，理由见解析．5【解析】：（ 1）证明：（方法一） 由已知，平面 ABCD 平面 ABPE ，且 BC AB ，则 BC平面 ABPE ，所以 BA , BP , BC 两两垂直， 故以 B 为原点， BA, BP, BC 分别为 x 轴， y轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则 P(0,2,0), D(2,0,1),M (1,1, 1 1,0, 1 ) ．), E(2,1,0), C(0,0,1) ，所以 EM =(22易知平面 ABCD 的一个法向量等于 n (0,1 ,0) ，因为 EMn=( 1,0, 1)(0,1,0) 0 ，所以 EMn ，2又 EM 平面 ABCD ，所以 EM ∥平面 ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD平面 ABPE ，且 BC AB ，则 BC 平面 ABPE ，所以 BA , BP , BC 两两垂直．连结 AC , BD ，其交点记为 O ，连结 MO ， EM ．因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点．因为 M 为 PD 中点，所以 OM ∥ PB ，且 OM1PB ．2又因为 AE ∥ PB ，且 AE1PB ，2所以 AE ∥ OM ，且 AE = OM ．所以四边形 AEMO 是平行四边形，所以 EM ∥ AO .因为 EM平面 ABCD ， AO平面 ABCD ， 所以 EM ∥平面 ABCD ．（2）当点 N 与点 D 重合时，直线BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 ．5理由如下：因为 PD(2, 2,1),CD (2,0,0)，设平面 PCD 的一个法向量为 n 1 (x 1, y 1 , z 1 )，n 1 PD0, 2x 1 2 y 1 z 10,由得n CD2x 10.1取y 11 ，得平面 PCD 的一个法向量 n 1 (0,1,2) ．假设线段 PD 上存在一点 N ，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 2．5设 PN PD(0 1)，则 PN (2, 2,1) (2 , 2 , ) ， BNBP PN (2,2 2 , ) ．所以 sin| cos BN , n| | BN n 1 |1| BN | | n 1 |222 ． 5 (2 )2(2 2 )2 ( )25 9 2 84 5所以 92810 ，解得1 或1（舍去）．9因此， 线段 PD 上存在一点 N ，当 N 点与 D 点重合时， 直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 2．542. 【答案】：（ 1）证明见解析； （ 2） 4.3【解析】：（ 1）由题意：以点D 为坐标原点， DA 方向为 x 轴， DC 为 y 轴， DE 为 z 轴建立空间直角坐标系，则A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,C 0,4,0 ,E 0,0,2 ,M 0,2,1 ，∴ BM2,0,1 ，平面 ADEF 的一个法向量 DC 0,4,0 ，BMDC0 ，∴ BMDC ，即 BM // 平面 ADEF．（2）设 EM tEC t 0,4, 2 0,4t , 2t，故点 M 0,4t,22t 0 t 1 ，设平面 BDM 的一个法向量 n 1x, y, z ，则DB n 1 2x 2y 0, DM n 1 4ty2 2t z 0．令 y1 ，则 n 11, 1,2t，易知平面 ABF 的一个法向量 n 21,0,0 ，1 t∵ cosn 1 , n 2n 1 n 2161n 1n 24t，解得 t，226 21 t 2∴ M 0,2 ,1 为 BC 的中点， S DBM1 SCDM2 ， B 到面 DEM 的距离 h2 ，2∴ V MBDE1 S DEM h4 .3343. 【答案】（ 1） y 24ax ；（ 2） FS FT 的值是定值，且定值为 0 ．【解析】（ 1） 椭圆x 2 y 2 1(a 0) 右焦点 F 的坐标为 (a, 0) ，1 a 2NF ( a, n) ． MN ( m, n) ， 由 MN NF0 ，得 n 2 am 0 ．设点 P 的坐标为 ( x, y) ，由 OM2ON PO ，有 (m, 0)2(0, n) (x,y) ，m x,n代入 n 2am0 ，得 y 2 4ax ．y .2（ 2） ( 法一 ) 设直线 AB 的方程为 xty a ， A(y 12, y 1) 、 B(y 22, y 2 ) ，4a4a则 l OA : y4ax ， l OB : y4ax ．y 1y 2y4a x, 22y 1 ，得 S( a, 4a ) ， 同理得 T ( a,4a ) ．由xay 1y 2FS ( 2a, 4a 2 ) ， FT( 2a, 4a 2 ) ，则 FS FT4a 216a 4 ．y 1 y 2y 1 y 2x ty a,4aty 4a20 ， y 1 y 24a 2．由24ax ，得 y 2y则 FSFT 4a216a 44a 2 4a20 ．( 4a 2 )因此， FS FT 的值是定值，且定值为0 ．( 法二 ) ①当 ABx 时， A(a, 2a) 、 B(a,2a) ，则 l OA : y 2 x ， l OB : y 2x ．由y 2x, 得点 S 的坐标为 S( a,2a) ，则 FS(2a, 2a) ．x a由y 2x, 得点 T 的坐标为 T (a, 2a) ，则 FT( 2a, 2a) ．xaFS FT ( 2a) ( 2a)( 2a) 2a 0 ．②当 AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为yk( x a)( k 0) ， A(y 12, y 1 ) 、4ay 22，同解法一，得 FS FT4a216a 4B(, y 2 )．4ay 1 y 2yk( x a),4ka 2y 1 y 24a 2．由4ax，得 ky 24ay 0 ，y 2则 FS FT4a 216a 424a 20 ．( 4a 2 ) 4a因此， FS FT 的值是定值，且定值为0 ．44. 【答案】（ 1）x 2y 2 1；（ 2）以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (1,0) ， (1, 0) .3【解析】（ 1）依题意，得c 6, ab3,又a 2b 2c 2 ,a3解得a3,故椭圆 C 的标准方程为 x 2 y 2 1.b 1,3（ 2） A( 3,0)，设 M (0, m) ， N (0, n) ， P ( x 0 , y 0 ) ，则由题意，可得x 0 2 y 0 2 1（1），3且Q ( x 0 ,y 0 )，AP( x3, y ) ， AM ( 3,m) .因为 A , P , M 三点共线，所以 AP AM ，故有 (x 03)m3y 0 ，解得 mx 03y 0 ；同理，可得 n3y0 .3 x 03假设存在满足题意的x 轴上的定点 R ( t ,0)，则有 RMRN，即 RMRN 0 .因为 RM ( t,m) ， RN ( t,n) ，所以 t2mn0 ，即t23y0 3 y00，整理得 t2 3 y02，x03x03x023又由（ 1），得3y023x02，所以 t 2 1 ，解得t1或 t1.故以 MN 为直径的圆恒过x轴上的定点(1,0) , (1, 0) .方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l的斜率不存在时，有 P (0,1)， Q (0,1)， M (0,1) ， N (0,1) ，此时以MN为直径的圆经过轴上的点(1,0)和(1, 0)；x②当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx，联立方程组x2y21,，解得 P(3,3k) ，Q (3,3k) .3kx,3k 213k213k 213k 21y设 M (0, m) ， N (0, n )又直线 AP 的斜率k1k，直线 AM的斜率k2m 13k2，13因为 A , P , M三点共线，所以k1k 2，解得得m3k，3k 211同理，可得 n3k，3k211假设存在满足题意的x轴上的定点R ( t ,0)，则有 RM RN ，直线 RM的斜率k3m，直线 RN 的斜率k4n ，t t所以k 3 k 41，故有 t 2mn ，即t23k23k13k，13k211整理，得 t 2 1 ，解得t1或 t1，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x轴上的定点(1, 0)， (1, 0).45. 【答案】：（ 1）当a0 时，增区间为0,1 ，减区间为1,；当a0 时，增区间为 1,e 1e2，减区间为0,1 ；（2）a；（ 3）见解析．2【解析】：（1） f ( x)a (1x )( x0) ，x当 a 0 时， f ( x) 的单调增区间为 ( 0,1] ，单调减区间为 [1, ) ；当 a0 时， f ( x) 的单调增区间为 [1,) ，单调减区间为 ( 0,1] ．（2）令 F ( x ) a ln x ax 3 ax x 4 e a ln x x 1 e , F (x )x a0.x若 a e ， ae ， F ( x) 在 e, e 2 上 是增函数，F(x)max F (e 2 ) 2a e 2 e1 0,ae 1 e 2 无解．2若 ea e2， e 2 ae ， F ( x ) 在 [ e, a] 上是减函数；在[ a, e 2 ] 上是增函数，F ( e ) a 1 0 , a1 . F (e2 ) 2a e 2e 1 0, ae 1 e 2 ,2e 2 ae 1 e 2 .2若 ae 2 ， ae 2 ， F ( x ) 在 [e,e 2 ] 上是减函数，F(x)max F(e) a 1 0, a1ae 2 .，综上所述ae 1 e 2 .2（3）令 a1 （或 a1 ），此时 f ( x )ln x x 3 ，所以 f (1)2 ，由（1）知 f (x ) ln x x 3 在 (1,) 上单调递增， ∴当 x(1,) 时， f ( x)f (1) ，即 ln xx 1 0 ，∴ ln xx 1 对一切 x (1,) 成立，∵ n2, n N* ，则有 ln(11) 11 1 1 ，n 22(n 1)nn1 nn要证 ln(2 2 1) ln(3 21)ln(4 21)ln( n 21)12ln n !( n 2, n N) ，只需证 ln( 11) ln( 1 1) ln( 11)ln( 1 1) 1(n2, n N),32 42n 22 2ln(11) ln(11) ln( 1 1)ln(11)(1 1 ) (1 1) (11 )(11 ) 1 1 1.22324 2n 22 23 3 4n 1 nn46.【解答】：依题意，f ( x ) a[( x1) ( e xa ) ( x 1)( e xa ) ]a ( x e xa),令h ( x )a ( x e xa)，则h ( x ) a ( x 1) e x.（1）①当 x0 时， x x0 ， a 0 ，故 h ( x)f ( x) 0 ，所以 f ( x ) 在 (,0) 上 不e存在零点，则函数f ( x ) 在 ( ,0) 上 不存在极值点；②当 x时，由h ( x ) a ( x 1) e x0 ，故 h ( x ) 在 [0,)上 单调递增 .又h (0)a 20 ，h( a)a (a e aa )a 2 (e a1) 0 ，所以 h ( x ) f ( x ) 在 [0, ) 上 有且只有一个零点 .又注意到在 f ( x) 的零点左侧， f ( x) 0 ，在 f ( x) 的零点右侧， f ( x) 0 ，所以函数 f ( x) 在 [0, ) 有且只有一个极值点 .综上所述，当 a0 时，函数 f( x) 在 ( ,) 内有且只有一个极值点 .（2）因为函数 f ( x) 存在两个极值点 x 1 , x 2 （不妨设 x 1x 2），所以 x 1 , x 2 是 h ( x ) f ( x ) 的两个零点，且由（1）知，必有 a 0 .令h ( x ) a ( x 1) e x0 得 x1 ；令h ( x ) a ( x 1) e x0 得 x 1；令h ( x ) a ( x 1) e x0 得 x1 .所以 h ( x ) f ( x ) 在 (, 1] 单调递增，在 [1,) 单调递减，又因为h (0)f (0) a 2 0，所以必有 x 1 1x 2.令f (t ) a ( t e ta )0 ，解得 a t e t ，此时f (t ) a (t 1)( e ta )te t( t 1)( e tte t)e 2 tt ( t 1)2e 2 t(t32t2t ) .因为x 1 , x 2 是 h ( x )f ( x) 的两个零点，所以 f (x 1) e 2x 1(x 132x 12 x 1 ) ， f (x 2 ) e 2x 2 (x 23 2x 22 x 2 ) .将代数式 e 2 t ( t 3 2t 2t ) 视为以 t 为自变量的函数g (t )e 2 t (t 32t 2t )，则g (t ) e 2t(t21)(2 t1).当 t 1 时，因为 t 210, 2 t1 0, e2 t0 ，所以 g '(t )0 ，则 g( t ) 在 ( , 1) 单调递增 .因为 x 11，所以f ( x 1 )g ( x 1 ) g ( 1)4 ，e 2又因为 f (x 1)e 2x 1 x 1 (x 1 1)2 0，所以f ( x 1 )4 .e当 1 t 0 时，因为 t 2 1 0, 2t10, e 2 t0 ，所以 g '(t ) 0 ，。
2019年高考数学原创押题预测卷 01(江苏卷)(参考答案)
即 2k 1 (2m 9)2 ，则 k m 10 50 ，（13 分）
2m 1
2m 1
因为 m, k 都是正整数，所以 2m 1 1, 5, 25 ，
即 m 1,3,13时，对应的 k 61, 23, 25 .
m 1 m 3 m 13
所以存在
k
或
61
k
23
或
k
25
，使得
cm , cm5 , ck
4
又 OAOB 0 ，所以 OAOB x1x2 y1y2 0 ，
又 y1 y2 (kx1 2)(kx2 2) k 2 x1x2 2k (x1 x2 ) 4 ，
所以 x1x2 y1 y2 (1 k 2 )x1x2 2k (x1 x2 ) 4
(1
k
2
)
1
12 4k
所以直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 0 ．（5 分）
（2）由题意可得直线
l1
的倾斜角为
π 4
，且过点
M
(1,
0)
，
x 1 所以直线 l1 的参数方程为
2t 2 （ t 为参数），（7 分）
y
2t 2
数学 第 6页（共 10页）
把参数方程代入方程 x2 y2 1 ，整理得 2t2 2t 2 0 ， 3
（3）因为 cn 2 2bn 3 2(n 1) 3 2n 1，
所以 cm 2m 1,cm5 2(m 5) 1 2m 9,ck 2k 1 ，
若存在正整数 m, k ，使得 cm , cm5, ck 成等比数列，则 (2m 9)2 (2m 1)(2k 1) ，
数学 第 5页（共 10页）
【解析】（1）因为 a 1, b 3 ，所以 f (x) x3 3x2 4 ，从而 f (x) 3x2 6x .
陕西省2019年高考数学押题卷4套及答案
2019年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：（1）三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ 2cos 2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ （2）正棱台、圆台的侧面积公式 l )c 'c (21S +=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜面高或母线长。
（3）台体的体积公式h )S S 'S 'S (31V ++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 是高。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图1，I 是全集，I M ⊂，I N ⊂，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．N MB ．N MC ．N MD ．N M（2）过点P （1，2）的直线交圆9y )2x (22=+-于两点A 、B ，若点P 是弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A ．2x+y+3=0B ．2x-y-3=0C ．x+2y-4=0D ．x-2y+3=0（3）空间四条直线a 、b 、c 、d ，其中a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么a 与b ，c 与d 这两对（ ）A ．都平行B ．都不平行C ．至少有一对平行D ．至多有一对平行（4）设函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=0)x (-1 x -1)x (0 x )x (f 2，则其反函数的图象为（ ）（5）等差数列{}n a 中，15a a a 321=++，)3n (78a a a n 1n 2n >=++--，155S n =，则n 为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（6）（理）在极坐标系中，曲线22=ρ与直线2cos =θρ之间的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 （文）已知∈（0，2π），使sin α+cos α<0的角α的取值范围为（ ）A ．)23,(ππB ．)47,23(),43(ππππC ．)47,43(ππD ．)2,0(π（7）有如下四个命题：①若函数)3k x sin(2y π+=的周期为2π，则k=1；②函数)x 3cos()x 3cos(y -π++π=是偶函数；③函数x 2sin 2y =在]2,0[π上是增函数；④函数x cos 3x sin y -=的最大值是2。
2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）
在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为
a ， b ， c ，且 2
2A 3sin
sinA
2
（ 1）求角 A 的大小；
3 0．
（ 2）已知 △ABC 外接圆半径 R 3 ，且 AC 3 ，求 △ ABC 的周长．
【答案】（ 1） A
答案
B
D
C
D
B ZxxkCom
D
C
B
B
A
D
A
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.2
14. 乙
15.2
16. 2
27
三、解答题（共 70 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第
17～ 21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答，第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）
得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。
04 别看他人答题的速度
考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。在考场上和比较熟悉的
老师、同学可以主动打个招呼。即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”
，一般老师都会像老朋友似
地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。有心
计划不如变化快，我们的计划要随着试题的难易程度随时调整，目的是在有限的时间里有质有量的完成每
一道试题。要随机而动，在发卷后的 5 分钟里，要先浏览一下第二卷的试卷结构和试题的分布、难易程度
等等，初步制定出本试卷的答题计划和答题顺序。先易后难，先熟后生，这就要充分利用这
2019年高考考前押题密卷-理科数学(全解全析)
(3t 2)2 4(2t 1) 0
r2
(3t
2)r
2t
1,
r
[0,
)
，则
h(0) 2t h(1) t
1 0
0
0
3t
2
2
1
，得 1 t 4 ，故实数 t 的取值范围为
2
9
高三理科数学 第 3 页（共 8 页）
( 1 , 4) . 29
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）当 n 1 时， 3a1 2a1 m 0 ，即 a1 m ；（1 分）
设平面
CEF
的法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
FC
0
，即
2x
y
3z 0 ，
n FE 0 x 2 y 0
4 令 y 1 ，可得 x 2 ， z 3 ，所以平面 CEF 的一个法向量为 n (2,1, 3) ，（10 分）
38 设直线 AD 与平面 CEF 所成的角为 ，
75 92 则 sin | cos<n, AD> |
（2）由题意可得，销售单价共有 5 个，其中使得月销售量不低于 10 万件的有 2 个，月销售量不低于 8
万件且不足 10 万件的有 1 个，月销售量低于 8 万件的有 2 个.
故 X 的可能取值只有 2，1.5，1， 0.5 ，0.
则 P( X 2) C22 1 ； P( X 1.5) C12C11 1 ； P( X 1) C12C12 2 ；
当n
2 时，3Sn
2an
m
0 ，3Sn1
2an1
m
0 ，两式相减，可得 3an
【考前押题】2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(解析版)
A ．()M P S)P S C ．()U MP C S)U P C S【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是S ，属于集合S )U P C S 故选：图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．对应的点到直线1y x =+的距离是75g μ/m )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（A. 这天中有天空气质量为一级B. 从日到日 2.5PM 日均值逐渐降低天中日均值的中位数是日从图可知从日到日从图可知，这天中日，所以由图可知，这天中日均值的中位数是【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要A ．2π3C ．2π 【答案】B6-⎣B,6x π⎡∈-⎢⎣A.12PF F ∴△22x y -=ABC -中，0,2=9-=16-,PAH AH h Rt PBH BH h ABH 中有，同理在中有在中由余弦定理得：2022234112cos309-9162316,233BH BA BH h h h h -=+--⨯⨯-⨯⇒=，即 41111,33=故选第Ⅱ卷5分，共20分）(1,3)cos cos 2a b a b ===方向上的投影为0x y -≤⎧15. 已知函数()1x x f x e e -=--，则关于x 的不等式【答案】1x x ⎧⎫>-⎨⎬三点共线，23sin60,2AE DE O ABC ===为正的中心，2,设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有()0r <22θ= cos3【解析】（1）依题意，2|1||24|x x x ++->，当1x <-时，原式化为2142x x x --+->，即2330x x +-<，解得312x -<<-；当12x -≤≤时，原式化为2142x x x ++->，即250x x +-<，解得1x -≤< 当2x >时，原式化为2124x x x ++->，即2330x x -+<，无解. 综上所述，所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 （2）由题意可知，[0,3]x ∈时，2|1||2|x x x m ++-≥+恒成立．当02x ≤≤时，23x m +≤，得2min (3)1m x ≤-=-；当23x ≤≤时，221x m x +≤-，得2min (+21)4m x x ≤--=-.综上所述，实数m 的取值范围为(,4]-∞-．…………………………………………………………………10分。
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2019学通教育考前第六次模拟（数学）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2{|2}A x x =<，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,1,0,1}--
2．复数21
i i
-在复平面内对应的点的坐标为
A ．(1,1)
B ．(1,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1)--
3．若a b >-，则下列不等式不恒成立的是 A ．0a b +> B ．||+0a b >
C ．
11
0a b
+> D ．330a b +>
4．已知向量22(2,),(1,2)x y ==--a b ，若,a b 共线，则y 的取值范围是 A ．[1,1]-
B
．[
C
．
D
．)+∞
5．若cos tan x x =，则sin(π)x +=
A
C
．2 D
．2-+6．某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了300名职工进行调查，并将调
查结果分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，则这300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为
A ．90
B ．135
C ．150
D ．210
7．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤11y y x x
y 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，
则m －n 等于
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 8．已知0.9log 2019a =，0.92019b =，20190.9c =，则 A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
1A
1D
1
C 1B
D B
C
A
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
10．执行如图所示的程序框图，则输出的T 的值为
A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
2018
2019
D ．
2019
2020
11．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，点M 的坐标为(3,0)a ，若以
AM 为直径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率e = A
B
C
．
3
D
．
4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=
，则AB 等于．
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为
3
π， 则双曲线C 的离心率为 ． 14．(理科
)(2n
x 的展开式中各项二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 .
15．如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
1111ABCD A B C D -12AA AB =1A B 1AD
16．已知曲线()()e x f x x a =-在1x =处的切线方程为e y x b =+，则a b +=________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是42,a a 的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若n
n n a a b 1
log 2
+=，求}{n b 的前n 项和为n S 18．（本小题满分12分）某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：
（Ⅰ）从这5年中随机抽取2年，求至少有1年维修费用高于2万元的概率； （Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程．
参考公式：1
12
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx ====---=
=
--∑∑∑∑，ˆˆa
b y x =-． 19．（文科）（12分）如图，四棱锥P
﹣ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，AB=2，
BC=，PC=．E 、H 分别为PA 、AB 的中点． （I ）求证：PH ⊥AC ；
（Ⅱ）求三棱锥P ﹣EHD 的体积．
19．（理科）(本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x
，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （1
）求椭圆C 的方程；
（2）直线与椭圆交于P,Q 两点，P 点位 于第一象限，A,B 是椭圆上位于直线
两侧的 动点.当点A,B 运动时，满足，
问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数2
()ln f x x a x =-．
（Ⅰ）试判断函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当0a >时，若对任意的1(,)e
x ∈+∞，2()e x
f x x a >-+恒成立，求a 的取值
范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为315
(45x t t y t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos 0ρθ-θ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2|f x x =+．
（Ⅰ）求不等式()2|1|f x x ≤+-的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，求实数a 的取值范围．
2x =2x =2x =APQ BPQ ∠=∠。