集合论：映射
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
大一高代知识点总结
大一高代知识点总结大一高等代数知识点总结高等代数是大一大学数学课程中重要的一部分，它探索了代数结构的各个方面。
在本篇文章中，我将总结大一高等代数课程中的重要知识点，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 集合论：集合是高等代数的基础，它描述了元素的集合和它们之间的关系。
常见的集合运算包括并集、交集和补集等。
2. 映射与函数：映射是将一个集合的元素映射到另一个集合的过程。
函数是一种特殊的映射，它将每个输入值都映射到唯一的输出值上。
函数的定义域、值域、图像以及函数的性质是学习中需要注意的重点。
3. 线性方程组：线性方程组是解决线性关系的重要工具。
高等代数中，我们学习了如何使用消元法、矩阵运算以及向量空间的概念来解决线性方程组。
4. 矩阵与行列式：矩阵是一个二维数组，行列式是矩阵的一个标量。
在高等代数中，我们学习了矩阵的运算规则，包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等，同时也了解了行列式的计算方法和性质。
5. 向量空间：向量空间是一种具有加法和数乘运算的集合，它满足一定的运算规则。
我们学习了向量空间的性质，如闭合性、结合律等，并掌握了子空间、线性无关、张成空间等概念。
6. 线性变换：线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的线性结构。
我们学习了线性变换的表示、特征值与特征向量等概念，并应用于矩阵的对角化和相似变换等问题。
7. 特征值与特征向量：特征值与特征向量是矩阵及线性变换中重要的概念。
它们具有许多重要的性质和应用，如对角化、二次型的正负定性等。
8. 正交性与内积空间：正交性是向量空间中重要的概念，它描述了向量之间的垂直关系。
我们学习了内积的定义和性质，并应用于正交基、正交矩阵和施密特正交化等问题。
9. 特殊矩阵与特殊线性变换：在高等代数中，我们还学习了特殊的矩阵和特殊的线性变换，如对称矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、厄米特矩阵等，它们在许多领域中都有重要的应用。
总结起来，大一高等代数课程中的知识点包括集合论、映射与函数、线性方程组、矩阵与行列式、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交性与内积空间、特殊矩阵与特殊线性变换等内容。
集合运算关于映射的性质定理证明
集合运算关于映射的性质定理证明我们声明几个映射 f:X\rightarrow Y 定义.一个良好的定义就是说 \forall x\in X,\exists! y \inY,f(x)=y\\从关系的角度来说就是：对于关系 R ，如果满足 (xRy_1)\vee (xRy_2)\Rightarrow (y_1=y_2)\\ 则 R 为函数关系。
对于映射关于集合 A\subset X 的像， f(A):=\{y\in Y:\exists x((x\in A)\wedge (y=f(x)))\}\\关于集合 B\subset Y 的原像就是， f^{-1}(B):=\{x\inX:f(x)\in B\}\\满射就是 f(X)=Y单射就是 (f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow(x_1=x_2)\\双射就是既单又满。
如果 f 为双射，则自然诱导一个映射 f^{-1}:Y\rightarrowX\\对于两个映射 f,g ，它们的复合就是 g\circ f(x):=g(f(x))\\ 且复合满足结合律，即对于映射 f,g,h 有 h\circ(g\circf)=(h\circ g)\circ f\\此时有引理： g\circ f = id_X \Rightarrow (g\in Surjection) \wedge(f\in Injection)\\于是有命题： f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X 为互逆的双射 iff f\circ g = Id_Y, g\circ f = Id_X\\下面考虑映射在多大程度上能保持集合论的交并补和从属关系：设 f:X\rightarrow Y, 其中 A,B\subset X,A',B'\subset Y1. (A\subset B)\Rightarrow (f(A)\subset f(B))\not\Rightarrow (A\subset B)2. (A\ne \empty)\Rightarrow (f(A)\ne\empty)3. f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)4. f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)5. (A'\subset B')\Rightarrow (f^{-1}(A')\subsetf^{-1}(B'))6. f^{-1}(A'\cap B')=f^{-1}(A')\cap f^{-1}(B')7. f^{-1}(A'\cup B')=f^{-1}(A')\cup f^{-1}(B')8. B'\subset A'\subset Y,f^{-1}(A'-B')=f^{-1}(A')-f^{-1}(B')9. B'\subset A'\subset Y,f^{-1}(A'^c)=(f^{-1}(A'))^c10. f^{-1}(f(A))\supset A11. f(f^{-1}(B'))\subset B'此时能够明白为何拓扑或者测度里面，定义要需要借助原像来进行，从6、7、8、9条可以看出来，映射原像可以保持集合论的交并补，而拓扑或者测度的关系也是由交并补所刻画。
代数拓扑所需要的基础
代数拓扑所需要的基础代数拓扑是数学中的一个分支，它结合了代数和拓扑的概念与方法。
它的基础包括代数和拓扑的基本概念、定理和方法。
本文将介绍代数拓扑所需要的基础知识。
1. 集合论：集合论是数学中研究集合和它们之间关系的一个分支。
在代数拓扑中，集合论是基础。
它提供了描述拓扑空间和代数结构的语言和符号。
集合论中的概念，如集合的并、交、补等，以及集合的运算和关系，都是代数拓扑研究的基础。
2. 拓扑空间：拓扑空间是代数拓扑的核心概念之一。
在拓扑空间中，我们关注的是空间中的点和它们之间的关系。
拓扑空间的基本概念包括开集、闭集、拓扑基、邻域等。
通过研究拓扑空间的性质和结构，我们可以得到一些重要的拓扑定理和结论。
3. 映射与同胚：映射是代数拓扑中的另一个重要概念。
映射描述了两个拓扑空间之间的关系。
在代数拓扑中，我们关注的是保持拓扑性质的映射，即同胚。
同胚是一个双射映射，它保持了拓扑空间中的邻域关系。
同胚在代数拓扑中有很多重要的应用。
4. 群论：群论是代数拓扑中的一个重要分支。
群是一种代数结构，它是由一组元素以及它们之间的运算组成的。
在代数拓扑中，我们研究的是拓扑空间上的群以及群的作用。
群论提供了一种描述对称性和变换的数学语言，它在代数拓扑中有广泛的应用。
5. 同调论：同调论是代数拓扑中的一个重要工具和方法。
它通过研究拓扑空间中的连续映射和代数结构之间的关系，来研究拓扑空间的性质和结构。
同调论可以用来计算拓扑空间的不变量，揭示空间的拓扑性质。
6. 赋范空间：赋范空间是代数拓扑中的一个重要概念。
赋范空间是一个带有范数的线性空间，它赋予了空间中的向量长度的概念。
赋范空间在分析学和几何学中有重要的应用，它在代数拓扑中也有广泛的应用。
7. 流形：流形是代数拓扑中的一个重要概念。
流形是一种局部与欧几里得空间同胚的空间，它在代数拓扑中用来描述曲线和曲面等几何对象。
流形理论在代数拓扑中有广泛的应用，它为研究高维空间提供了一种有效的方法。
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
集合论与图论第二章
2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
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2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
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2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
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2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
集合论(拓扑学)
关系之子偏序、逆偏序
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Definition 设(X , )是偏 序集， A ⊆ X ，则 A = (A × A)∩ 是 个偏 序，称 (A, A )为(X , )的偏序 子集． 为 的 是 A上的一 上
如 实数集 合R关于 通常的 大小关 系是一 个 偏序集 ，有理 关 数 集Q关于通 常的大 小关系 就是R的 偏序子 集． 关 的 设 是X 上的 一个偏 序，则 −1 = {(x, y )|(y , x) ∈ }也 是 也 一个偏序，称为 的逆偏序或对偶偏序，常记为 ．
集合与映射之集合的原像
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
关于集合在映射下的像与原像，我们有： Theorem 设f : X → Y ，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则 （1）． A ⊆ f −1 [f (A)]． 当f 是单 射时，A = f −1 [f (A)]； ） ． ； （2）． f f −1 (B) ⊆ B．当f 是 满射时 ，f f −1 (B) = B． ） ． ．
关系之积偏序
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Definitions 设(Xi , i )， i = 1, 2是两个 非空 偏序集 ， 是X = X1 × X2 上 ， 是 的关系，定义如下： (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ⇔ x1
1
y1 , x2
2
y2 ,
则 是X 上的一个偏序关系，常记为 1 × 序 ，偏序 集(X1 × X2 , 1 × 2 )称为 偏序 称 集 (X1 , 1 )与(X2 , 2 )的积． 与 的
关系之偏序集
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设R是集 合X 上的 一个关 系．若 xRy 和yRx不 能同时 成立（ 除 是 不 非x = y ）， 则称 R是反 对称的 ．X 上 的一个 偏序R是X 上 的 是 是 一个自反、传递和反对称的关系．给定偏序关系的集合称 为偏序集． 设 X = {1, 2, 3}， R = ， {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1), (1, 2), (3, 2)}，则R是X 上的偏 ， 是 序 关系， R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1)}也是偏 序关 也 系 ，(X , R)和(X , R )是 两个不同的偏 序集． 和 是 注 意，R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1), (1, 2)}不 是偏序 不 关系，因为不满足传递性．
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映射的概念分析
映射的概念分析映射是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
在数学中，我们可以将映射理解为函数，其中一个集合是定义域，另一个集合是值域。
映射可以用于描述数学模型、图论、集合论等各种数学领域中的概念与关系。
映射有很多种形式，可以分为单射、满射和双射三种类型。
首先，单射是指一个集合中的不同元素在映射的结果中有不同的映射元素。
换句话说，映射的结果中不存在重复的映射元素。
对于集合A到集合B的映射f：A →B，如果对于集合A中的任意两个不同的元素a1和a2，有f(a1)≠f(a2)，那么这个映射就是单射。
可以通过绘制函数图像来判断一个映射是否为单射，如果函数的图像没有任何两点在同一水平线上，那么这个函数是单射。
其次，满射是指映射的结果包含了值域中的每一个元素。
也就是说，对于集合A 到集合B的映射f：A→B，如果对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A 中的元素a，使得f(a)=b，那么这个映射就是满射。
可以通过在值域上滑动水平线来判断一个映射是否为满射，如果水平线与函数的图像相交于每个y值上至少一个点，那么这个函数就是满射。
最后，双射是指一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素存在唯一的对应关系。
也就是说，对于集合A到集合B的映射f：A→B，既是单射又是满射，那么这个映射就是双射。
可以通过绘制函数的图像并判断是否为一一映射来判断一个映射是否为双射。
映射还有一些衍生的概念。
首先是像、原像和逆映射。
对于映射f：A→B，如果b是集合B中的一个元素，a是集合A中满足f(a)=b的元素，那么b是元素a的像，元素a是元素b的原像。
逆映射是指如果映射f：A→B是双射，那么可以构造一个逆映射f^(-1)：B →A，满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y。
其次是复合映射。
如果映射f：A→B和映射g：B→C都存在，那么可以定义一个复合映射h：A→C，使得h(x)=g(f(x))。
集合论
例2：求出在1和90之间(包括90)能被2，3，5 任一 数整除的整数个数。 解：设A1，A2，A3分别为表示1和90之间能被2，3，5 任一数整除的整数集合。
90 90 90 | A1 | 45 | A2 | 30 | A3 | 18 2 3 5 90 90 | A1 A2 | 15 | A1 A3 | 9 2 3 2 5 90 90 | A2 A3 | 6 | A1 A2 A3 | 3 3 5 2 3 5 可得 | A1 A2 A3 | ＝ | A1 | ＋ | A2 | ＋ | A3 | － | A1 A2 | － | A2 A3 | － | A1 A3 | | A1 A2 A3 | ＝45＋30＋18－15－9－6＋3＝66
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3.2 关 系
定理2：设A, B, C，D是任意四个集合；则 若AB且CD，则A×CB×D 规定： A×A×A … ×A,记为An＝An-1×A
例：A＝{1,2}
A3=A2×A= {1,2}2 ×{1,2}
={ <<1,1>,1>, <<1,1>,2>, <<1,2>,1>,<<1,2>,2>,
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笛卡儿积运算的性质:
1. 若A，B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 ×A＝A×＝ A
2. 当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不满足交换律。
3. 当A,B,C都不是空集时,有
(A×B)×C≠A×(B×C).
所以,笛卡儿积运算不满足结合律。
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双射 满射 映射关系
双射满射映射关系
双射、满射和映射关系是集合论和数学中的基本概念，它们描述了函数或映射的不同特性。
具体如下：
1.映射：映射是指两个集合之间的一种对应关系。
如果按照某种规则，集合X
中的每个元素都能在集合Y中找到唯一的元素与之对应，那么这个规则就是从集合X到集合Y的一个映射。
2.单射：如果映射f满足对于集合X中的任意两个不同元素x1和x2，它们的像
f(x1)和f(x2)也是不同的，即f的逆像具有唯一性，则称f为单射。
3.满射：如果映射f满足对于集合Y中的任意元素y，都存在集合X中的元素x
使得f(x)=y，即Y中的每个元素都有原像，则称f为满射。
4.双射：如果一个映射既是单射又是满射，则称这个映射为双射，也叫做一一
对应。
双射意味着集合X中的每个元素在集合Y中有唯一的对应元素，同时集合Y中的每个元素在集合X中也有唯一的对应元素。
综上所述，这些概念是函数理论的基础，对于理解数学中的函数、序列、级数等有着重要的意义。
在实际应用中，如编程、数据分析等领域，这些概念也经常被用来描述数据之间的关系和转换。
集合论
第一篇集合论第一章集合及其运算1.1 集合的概念1.2 子集、集合的相等1.3 集合的基本运算1.4 余集、De Morgan公式1.5 笛卡尔乘积1.6 有穷集合的基数第二章映射2.1 函数的一般概念——映射定义::映射(法则),映射(笛卡尔乘积),限制和扩张,部分映射,映射相等,单射,满射,双射,恒等映射2.2 抽屉原理2.3 映射的一般性质定义::象f(A),原象f-1(A)[定理2.3.1](1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D);(2)f-1(C∩D)=f-1(C)∪f-1(D);(3)f-1(CΔD)=f-1(C)Δf-1(D);(4)f-1(C C)=(f-1(C))C⊆⊇⊇[定理2.3.2]∪∪(5)f(A B)=f(A)f(B);(6)f(A∩B)f(A)∩f(B);(7) f(AΔB)f(A)Δf(B);(8) f(A\B)f(A)\f(B)2.4 映射的合成定义::映射的合成[定理2.4.1]合成符合结合律,但不符合交换律[定理2.4.2]设f:X→Y,则f∘I X=I Y∘f =f[定理2.4.3]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若f与g都是单射,则g∘f也是单射:f是单射,∀x1x2且x1≠x2 y1=f(x1),y2=f(x2)且y1≠y2有g(f(x1))≠g(f(x2))(2)若f与g都是满射,则g∘f也是满射:f满射,∀y必有x∈X使f(x)=y.∀z∈Z必有y∈Y使g(y)=z.则∀z∈Z必有x∈X使g(f(x))=z.(3)若f与g都是双射,则g∘f也是双射[定理2.4.4]设f:X→Y,g:Y→Z, 则(1)若g∘f是单射,则f是单射;∀x1,x2∈X且x1≠x2有g(f(x1)) ≠g(f(x2))(2)若g∘f是满射,则g是满射;反证:∃z∈Z使∀y∈Y,g(y)≠z则有∀x∈X有g(f(x)) ≠z推出矛盾(3)若g∘f是双射,则f是单射且g是满射[定理2.4.5]设f与g都是X到X的映射,则I m (f)⊆I m(g)的充分必要条件是存在一个映射h:X→X使得f=g∘h2.5 逆映射定义::逆映射,左逆映射,右逆映射[定理2.5.1]逆映射存在的充要条件是f是双射::⇒ Ix,Iy+定理2.4.4⇐构造g(y)=x当且仅当f(x)=y[定理2.5.2]逆映射唯一::假设不唯一,推出g=I x°g=(h°f)°g=h°(f°g)=h°I x=h[定理2.5.3] (gf)-1=f-1g-1,(f-1)-1=f:(gf)(f-1g-1)=g(ff-1) g-1= gg-1=I z, (f-1g-1) (gf)=f(gg-1)f-1= ff-1=I x[定理2.5.4](1)f是左可逆的充分必要条件是f为单射:⇒定义+定理⇐f:X→I m(f)的双射,建立g:I m(f)→X双射,在扩充到Y上,y∉I m(x)随便映射一个(2)f是右可逆的充分必要条件是f为满射:⇒定义+定理⇐构造2.6 置换定义::n次置换,k-循环置换,对换,奇置换,偶置换[定理2.6.1][定理2.6.2][定理2.6.3]置换α,β没有共同数字时可以交换[定理2.6.4]置换可进行唯一循环分解[定理2.6.5]置换分解成若干对换的乘积,分解个数的奇偶性不变[定理2.6.6]奇偶置换个数相等,都等于n!/22.7 二元和n元运算定义::有限序列,无限序列,子序列,二元运算,一元运算,n元运算,交换律,结合律,代数系的同构2.8 集合的特征函数定义::集合的特征函数第三章关系3.1 关系的概念定义::关系(映射),关系(笛卡尔乘积),定义域,值域,多部映射,关系(多部映射),多值二元关系3.2 关系的性质定义::自反,反自反,对称(R对称⟺R=R-1),反对称,传递,相容,逆3.3 关系的合成运算定义::关系的合成,[定理3.3.1]关系的合成不符合交换律,但符合结合律[定理3.3.2](1)R1°(R2∪ R3 )=(R1°R2)∪(R1°R3);(2)R1° (R2∩ R3 )⊆(R1°R2)∩(R1°R3);(3)(R2∪R3 )°R4 = (R2°R4) ∪(R3°R4);(4)(R2∩R3 ) °R4⊆(R2°R4) ∩(R3°R4) [定理3.3.3](1)(R∘S)-1 = S-1∘R-1:(2)R∘R-1 是对称的[定理3.3.4]R是传递关系⟺R°R⊆R[定理3.3.5]R0=I x;R1=R;R n+1=R n°R;R m°R n=R m+n;(R m)n=R mn[定理3.3.6]设X是一个有限集合且|X|=n,R为X上的任一二元关系,则存在非负整数s,t,使得0≤s<t≤2n^2且R s= R t[定理3.3.7]设R是X上的二元关系,若存在非负整数s,t,s<t,使得且R s= R t ,则(1)R s+k= R t+k ,k为非负整数(2)R s+kp+i= R s+i ,其中p=t-s,而k,i为非负整数(3)令S={R0,R,R2 ,…,R t-1},则对任意的非负的整数q,有R q ∈S[定理3.3.8]R对称且传递⟺R=R°R-13.4 关系的闭包定义::传递闭包(所有包含R的传递关系的交,可以类似定义自反传递闭包等),自反传递闭包,自反闭包,对称闭包[定理3.4.1]关系R的传递闭包是传递关系(如果R是传递关系,R+=R):[定理3.4.2]R+=∪R i=R∪R2∪R3∪…:: R+⊆∪R i只要证明∪R i是包含R的传递关系, ∪R⊆R+只要证明(a,b)∈R m,(b,c)∈R n.(a,c)∈R m+n,(a,c) ∈R+[定理3.4.3]R+=∪R n=R∪R2∪R3∪…R n::证明R k⊆∪R i,如果k>n,x仅有n个元素,由抽屉原理得存在b i=b j重复以上过程证明.[定理3.4.5]R*=R0∪R+3.5 关系矩阵和关系图定义:: (1)R是自反的,当且仅当B的对角线上的全部元素都为1;(2) R是反自反的当且仅当B的对角线上的全部元素都为0;(3) R是对称的当且仅当B是对称矩阵;(4) R是反对称的当且仅当b i j与b j i不同时为1,i≠j;(5) R是传递的当且仅当若b i j=1且b j k=1,则b i k=1; (6) R-1的矩阵是B T3.6 等价关系和集合划分定义::等价关系(1.自反2.对称3.传递),等价类,商集[定理3.6.3]3.7 映射按等价关系划分3.8 偏序关系和偏序集定义::偏序关系(自反,反对称,传递),偏序集,全序集,Hasse图,上下界,最大最小元素,链与反链第四章无穷集合及其基数4.1可数集定义::可数集(从自然数集N到集合A有一一映射),无限集(能与自身的真子集对等的集合),代数数,超越数[定理4.1.1]集合A为可数集⟺A的全部元素可以排成无重复项的序列[定理4.1.2]无限集中包含可数子集[定理4.1.3]两个可数集的并是可数集[定理4.1.4]有限个可数集的并是可数集[定理4.1.7]可数个可数集的并是可数集:写成无穷阶方阵,按对角线游历[定理4.1.8]有理数集Q是可数集[定理4.1.10]一列有限个集合的笛卡尔乘积为可数集4.2连续统集定义::连续统(与[0,1]实数集对等)[定理4.2.1]区间[0,1]内的全体实数构成不可数无穷集::康托对角线第二篇图论第六章图的基本概念6.1图论的产生与发展概述6.2基本定义定义::无向图,G(p,q),平凡图,零图,有向图,定向图,子图,生成子图,导出子图,图的同构,度(degv),δ(G),Δ(G),正则图(推论三次图的顶点个数为偶数)[定理6.2.1]欧拉定理:Σ(degv)=2q推论度为奇数的点的个数必为偶数6.3路、圈、连通图定义::通道,闭通道,迹,闭迹,路,圈(回路),连通图,支[定理6.3.1]uv有路⟺u≅v[定理6.3.2]degu+degv≥p–1⟹G连通::拆成两个支用结论反证,degu≤n1-1,degv≤p-n1-1推出与结论的矛盾[定理6.3.3]∀v∈V,degv为偶数⟹G中有圈::设最长路证明[定理6.3.4]∃u,v中有两条不同路⟹G有圈::6.4补图、偶图定义::补图,自补图,三角形,偶图,完全偶图(Km,n), 图上两点间的距离d(u,v)[定理6.4.1]R(3,3)≤6::抽屉原理+[定理6.4.2]偶图判断的充要条件:图上所有的圈的长度都为偶::⇒将圈上的奇偶序的点放入两个顶点划分中⇐取定一点按距离奇偶构造[定理6.4.3](Turan定理)p个顶点没有三角形的图至多有[p^2/4]::6.5欧拉图定义::欧拉闭迹,欧拉图,欧拉迹[定理6.5.1]欧拉图存在定理:G的每个顶点的度都为偶::⇒显然⇐结合定理6.3.3造N个圈Zi然后数归证明这些圈相接.推论::欧拉图的等价命题: 1)G是欧拉图2)∀v∈V,degv为偶数3)G的边能划分成若干不相交的圈.[定理6.5.2]欧拉迹存在定理:: ⇒从定理6.5.1获得⇐uv奇数度,加edge(u,v)得欧拉迹C,在C上去掉edge(u,v).6.6哈密顿图定义::哈密顿圈、哈密顿图[定理6.6.1]G是Hamilton⟹∀S∈V有ω(G-S)<|S|[定理6.6.2](Dirac定理)p个顶点的图G,δ(p)≥p/2,⟹G是一个哈密顿图.[定理6.6.3](Ore定理)p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p⟹G是哈密顿图.[定理6.6.4]p个顶点的图,∀u,v(u,v不邻接),均有degu+degv≥p-1⟹G是哈密顿图.6.7图的邻接矩阵[定理6.7.1]图同构的邻接矩阵判定[定理6.7.2]ij顶点间长l的通道条数=A l(i,j)::数归l,[定理6.7.3]G(p,q),连通⟺(A+I)^(p-1)>0::⇒定理6.7.2⇐定理6.7.2第七章树和割集7.1树及其性质定义::树,极小连通图(推论树是极小连通图), 偏心率,树的半径,树的中心[定理7.1.1]树的六个等价命题:1)树;2)G中任两点有且只有一条路;3)G连通且p=q+1; 4)G无圈且p=q+1;5)G无圈且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈;6)连通(p≥3且G非Kp)且其中任意不相邻两点加边得唯一的圈.推论非平凡树至少有两个度为1的顶点且非平凡树是偶图::偶图判断的构造证明法[定理7.1.2]树的中心的位置7.2生成树定义::生成树, 生成森林, 生成树的距离,生成树的基本变换[定理7.2.1]生成树存在⟺G连通::⟹显然⟸破圈法.推论G连通⟹q≥p-1[定理7.2.2](Cayley定理)Kp的生成树的个数=p(p-2)[定理7.2.3]生成树中去掉边集E1后必能找到另一不在原生成树中的边集E2使T-E1+E2为生成树[定理7.2.4]距离为k的两个生成树可以经过k次基本变换互相得到::数归,由定理7.2.3知,d(T0,T)=k去掉e1后必然有e2∉T0使(T0-e1)+e2=T1,而d(T1,T)=k-1得到归纳.7.3割点、桥和割集定义::割点,桥,割集(有极小性)[定理7.3.1]割点的等价命题:1)v是割点;2)∃u,w≠v使uw间所有路经过v;3)∃划分{U,W} UW间所有路经过v;[定理7.3.2]桥的等价命题:1)x是桥;2)x不在G的任何圈上3)∃u,v使x在连接uw所有路上;4)∃划分{U,W},使x在连接UW所有路上; [定理7.3.4]割集将图分成两个支(推论有k个支的图G去掉割集后有k+1个支)[定理7.3.5]割集必然包含生成树的某条边::反证[定理7.3.6]割集与G中的圈必有偶数条公共边::G1G2取定一点周游,e(u,v)(u∈G1,v∈G2)是圈与割集相交的边第八章连通度和匹配8.1顶点连通度和边连通度定义::κ(G), λ(G), n-连通,n-边连通[定理8.1.1]κ(G)≤λ(G)≤δ(G)[定理8.1.2]κ(G)=a,λ(G)=b,δ(G)=c的构造方法:构造两个Kc+1,用b条边连接这两个支[定理8.1.3]G(V,E)有p个顶点且δ(G)≥ [p/2]⟹λ(G)=δ(G)::[定理8.1.4][定理8.1.5]∀u,v∈V且u,v∈C⟺G是2-连通[定理8.1.6]8.2门格尔定理8.3匹配、霍尔定理定义::匹配,最大匹配,偶图G的完备匹配,相异代表系, 完美匹配[定理8.3.1](Hall定理)::[推论8.3.1]第九章平面图和图的着色9.1平面图及其欧拉公式定义::平面图,面,内部面,外部面[定理9.1.1]欧拉定理:平面图有p-q+f=2::通过f数归[推论9.1.1]每个面都由长为n的圈围成⟹q=n(p-2)/(n-2)::每条边都与两个面邻接⟹2q=nf拓展最大可平面图[推论9.1.2]G(p,q)的最大可平面图每个面都是三角形且q=3p-6[推论9.1.3]每个面都由长为4的圈围成⟹q=2p-4::拓展没有三角形的边极大图[推论9.1.4]G(p,q),q≤3p-6,G没有三角形q≤2p-4[推论9.1.5]K5和K3,3都是不可平面图::K5,f=7,由于每个面至少三条边, K3,3中每个圈至少为4[推论9.1.6]G可平面⟹ (G)≤5::反证+推论9.1.49.2非哈密顿平面图[定理9.2.1]Grinberg定理:G(V,E)是(p,q)平面哈密顿图,C是哈密顿圈.令fi为C的内部由i条边围成的面的个数,gi为C的外部由i条边围成的面的个数则(1)Σ(i-2)fi=p-2;(2) Σ(i-2)gi=p-2;(3) Σ(i-2)(fi-gi)=0;9.3库拉托斯基定理、对偶图定义::细分,同胚,初等收缩,对偶图[定理9.3.1](Kuratowski定理)G可平面⟺G没有同胚于K5或K3,3的子图[定理9.3.2](Wagner定理) G可平面⟺G没有收缩到K5或K3,3的子图9.4顶点的着色定义::n-可着色,色数(有极小性),χ(G)[定理9.4.2]Δ=Δ(G),G是(Δ+1)- 可着色的.[定理9.4.3-定理9.4.5]平面图可以4着色9.5边的着色定义::n-边着色,边色数(有极小性), χ’(G)第十章有向图10.1有向图的概念定义::有向图,弧,对称弧,定向图,带环图,多重有向图,有向图的反图,入度(id(v)),出度(od(v)),完全有向图,有向图的补图,有向图的同构[定理10.1.1]Σid(v)= Σod(v)=q且Σ(id(v)+od(v))=2q10.2有向路和有向圈定义::有向通道,有向闭通道,生成通道,有向迹,有向闭迹,生成(闭)轨迹,有向路,有向圈,有向回路,可达,半(弱)通道,强连通,强支,单连通,弱连通,有向图的连通[定理10.2.1]有向图D是强连通的⟺D有一条闭生成通道[定理10.2.2]uRv当且仅当uv可互达⟹R是V上的等价关系[定理10.2.3]有向图D的每个顶点都在D的一个强支中[定理10.2.4]一个没有有向圈的有向图至少有一个出度为0的顶点[定理10.2.5]有向图D没有圈⟺D中每条有向通道都是有向路[定理10.2.6]有向图D有有向圈⟺D的子图D1(V1,E1),∀v∈V1,id(v)>0,od(v)>0[定理10.2.7]连通有向图D,∀v∈V,od(v)=1,D中恰有一个有向圈10.3强连通图的应用10.4有向图的邻接矩阵定义::有向图的邻接矩阵,可达矩阵,关联矩阵10.5有向树与有序树定义::有向树,有根树,入树,父,子,祖先,真祖先,深度,高度,子树,有序树,m元有序树,正则m元有序树,正则二元树,二元树,满二元树,完全二元树(高为h的二元树,去掉深度为h一层,得到满树,而且h层从左向右排布)[定理10.5.1]有向图D是有根树⟺D没有弱圈且D中存在一个可以到达其他顶点的顶点(root)::⇒化为无向图证明没有弱圈,用除根以外的点入度为1证可达.⇐[定理10.5.3]高为h的二元树至多有2 (h+1)-1个顶点[定理10.5.4]高为h的完全二元树的顶点数满足2h≤p≤2(h+1)-110.6判定树10.7比赛图定义::比赛图[定理10.7.1]每个比赛图必有生成有向路(有哈密顿路)::。
高等代数 集合与映射
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换
§6.1 集合·映射
一、集合 二、映射
§6.1 集合 映射
一、集合(set)
1、定义
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素（element）． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合；
（8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射） （双射）
§6.1 集合 映射
4、可逆映射
定义 设映射 : M M ', 若有映射 : M ' M , 使得 IM , IM
则称σ为可逆映射（invertible mapping），τ为σ的 逆映射，记作σ－1．
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法
描述法（description）： 给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
列举法（enumeration）： 把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝
§6.1 集合 映射
例1 M {( x, y) x2 y2 4, x, y R}
用小写字母a、b、c 等表示集合的元素．
当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 a A ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 a A .
§6.1 集合 映射
注意
关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为： 所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有 明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果； 集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中 的元素具有：确定性、互异性、无序性.
集合关系、映射的观点和方法与中学数学
文本解读新课程NEW CURRICULUM在例3中，虽然和例2一样是属于A、ω出现一个负数的情况，但由于出现负数的是ω，因此，在解不等式的过程中涉及改变不等号的问题，因此，对学生的基础知识的掌握程度提出了更高的要求，对学生的逻辑思维能力是一个全新的挑战。
四、根据认知结构的迁移理论，通过把三角函数y=A sin（ωx+φ）+b图象的单调性研究过程迁移到对三角函数y=A cos（ωx+φ）+ b和y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性研究与学习中去，让学生发现规律，提高自主探究的能力通过引导，让学生对比三角函数y=A sin（ωx+φ）+b图象的单调性的探究学习过程去自主探究三角函数y=A cos（ωx+φ）+b和y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性，学生很好的总结归纳出：1.函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调性与函数y=A sin（ωx+φ）+b的图象的单调性结论完全一致。
（1）当Aω>0时，若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调增区间，则必须在y=cos x中取其增区间；若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调减区间，则必须在y=cos x中取其减区间。
简称“问什么，取什么”。
（2）当Aω<0时，若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调增区间，则必须在y=cos x中取其减区间；若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调减区间，则必须在y=cos x中取其增区间。
简称“问增取减，问减取增”。
2.函数y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性。
由于函数y=tan x的图象中只存在增区间，不存在减区间，因此：（1）当Aω>0时，题目中要求的一定是函数y=A tan（ωx+φ）+b 的图象的单调增区间。
（2）当Aω<0时，题目中要求的一定是函数y=A tan（ωx+φ）+b 的图象的单调减区间。
数学学习的认知过程分为“学”和“习”两个方面以及“学、思、习、行”四个阶段。
集合论 第2章 映射
……………
……………
都是映射
都不是映射
二、映射关系图
有限集合X到Ｙ的映射也可以用图示方法给出：先列出X和Y 的元素，在图上用点表示；若f（x）=y，则在代表x的点画一条 带箭头的线指向代表y的点，如此得到的图就是映射关系图。这 种表示方法形象、直观。
一般情况下，为了使关系图清晰，把X画在左边，Y画在右边。
实际上，函数概念的实质在于它建立了量与量间的单值对应关 系。
然而，不仅量与量间有单值依赖关系，事物与事物间也可有单 值的对应关系。所以，若把Ｘ和Ｙ理解为具有不同属性的集合， 就得到了函数的一般概念——映射。这样，映射就是函数概念的 推广，它既能描述量与量间的单值联系，又能描述具有任何属性 的事物间的单值联系。
m1,m2,…,mn中至少有一个大于或等于 r 。
2.3 例题
例1一个人步行了十小时，共走45公里，已知他第一个小时走了 6公里，而最后一小时只走了3公里，证明一定存在连续的两个小 时，在这两个小时之内至少走了9公里。
例2 一个园环等分36段，将36个数字1，2，…，36任意地写在 每一段上，使每一段上恰有一个数字，证明：一定存在连续的三 段，在这三段上的数字之和至少为56。
定义4 设 f:X→Y，AX，则称 f是Ｘ上（或X到Y）的一个 部分映射。在这里，我们假定空集Ø到Y有一个唯一映射，它也 是Ｘ到Ｙ的部分映射。
定义5 设f 和g都是Ｘ到Ｙ的映射，则 f=g 当且仅当 xX，总有f (x)=g(x)。
定义6 设f :Ｘ→Y，若x，x1X，只要xx1，就有 f(x)f(x1),则称 f 为从Ｘ到Ｙ的单射(injection)。
第二章 映 射
本章的主要内容 映射的概念及其重要特殊性质 映射的一般性质 映射的合成 逆映射 映射的应用----鸽巢原理、置换、 n（二）元运算、特征函数
§1.2 映射、可数集和基数
{0,1, − 1, 2, − 2,
, n, − n, },
{1, 3, 5, {2, 4, 6,
, 2n − 1, }, , 2n, }.
1
由例 1 知道, 区间 (0, 1 ) 和实数集 R 都不是可数集. 后面我们将要看到更多的可数集, 它们的可数性不是这样显而易见的. 例如我们马上 要证明有理数集是可数集. 以下定理表明, 可数集在无限集中具有最小基数. 定理 1 任何无限集必包含一个可数子集. 换言之, 若 A 为无限集, 则 ω ≤ A . 证明 在 A 中任取一个元 , 记为 a1 . 假定 a1 ,
f . 显然复合映射是复合函数
f
−1
f = iX ,
f
f
−1
= iY .
其中 i X 和 iY 分别为 X 和 Y 上的恒等映射. 设 A 是 X 的子集 , f 和 f 分别是 A 到 Y 的和 X 到 Y 的映射 . 若对每个 x ∈ A 成立
~
~ ~ ~ ~ f ( x) = f ( x), 则称 f 是 f 在 X 上的延拓, 称 f 是 f 在 A 上的限制, 记为 f = f A .
}, , , ,
.
现在考虑小数
x0 = 0. a1 a 2 a3
其 中 a i 是 0,1,
, . ( 例 如 , 若 ai
(i )
( 2) ( 3) , 9 中 的 数 字 , a1 ≠ a1(1) , a 2 ≠ a 2 , a3 ≠ a3 ,
≠ 1 ,令
ai = 1 . 若 ai(i ) = 1, 则令 ai = 2 ). 则 x0 ∈ (0, 1) , 但是 x0 ≠ xi (i = 1, 2, 3,
定义 2 设 A, B 是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一的到上的映射, 则称 A 与 B 是对等的, 记为 A ~ B. 此外规定 ∅ ~ ∅. A 与 B 是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系. 对等关系具有如下性质:
高等代数集合与映射
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y),
∴σ为可逆映射．
即 IM
§6.1 集合 映射
反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x).
所以σ为满射.
其次，对 x1, x2 M ,若 (x1) (x2 ) ，则
§6.1 集合 映射
又 h ( f 1 g1 ) ( g f ) ( f 1 g1) IC 同理 ( f 1 g1 ) h I A. h1 f 1 g1
§6.1 集合 映射
h(a1) g f (a1) g( f (a1)) g( f (a2)) g f (a2 ) h(a2 ) 这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 证： ∵ h 是满射，c C,a A,使h(a) c ，即 c h(a) g f (a) g( f (a)) 又∵ f (a) B ，∴ g 是满射．
则称σ是M到M´的一个单射（injection）或称σ 为1-1（one to one）；
（3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射 （bijection）, （或称σ为 1-1对应）.
§6.1 集合 映射
例6 判断下列映射的性质
（1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
乘积 定义为：
(a)＝τ(σ(a)) a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
映射．
§6.1 集合 映射
注意
映射的复合运算满足结合律的证明
映射的复合运算满足结合律的证明映射是数学中很重要的一个概念，指的是从一个集合到另一个集合的函数。
在集合论中，映射被定义为把一个元素从一个集合映射到另一个集合的规则。
例如，我们可以定义一个函数 f(x) = x + 2，其中 x 可以代表任何数字。
如果我们将集合 A 定义为 {1, 2, 3}，那么 f(A) 就是 {3, 4, 5}。
映射的复合即指的是将一个映射作用于另一个映射，也就是将一个函数作为另一个函数的输入。
例如，如果我们有两个函数 f(x) = x + 2 和g(x) = x × 3，那么它们的复合函数 f(g(x)) 就是(x × 3) + 2。
结合律是数学中很重要的一个运算规则，指的是在进行连续操作时，无论操作的顺序如何，最终得到的结果都是相同的。
例如，对于加法来说，(1 + 2) + 3 和 1 + (2 + 3) 都等于 6。
结合律是一个很重要的规律，因为它保证了在进行复杂的数学运算时，不会因为操作顺序不同而出现错误的结果。
现在，我们来证明映射的复合运算满足结合律。
具体地，我们要证明，对于三个映射 f、g 和 h，有f(g(h(x))) = (f(g))(h(x))。
首先，我们假设 h(x) 总是能够将集合 X 中的元素映射到集合 Z 中的某个元素。
然后，我们假设 g(y) 总是能够将集合 Y 中的元素映射到集合 W 中的某个元素。
最后，我们假设 f(z) 总是能够将 W 中的元素映射到集合 V 中的某个元素。
现在，我们来证明结合律。
首先，我们将 h(x) 映射到 W 中的某个元素 y，即 g(h(x)) = y。
然后，我们将g(y) 映射到 V 中的某个元素 z，即 f(g(y)) = z。
因此，我们有：f(g(h(x))) = f(g(y)) = z另一方面，我们可以先将 g(y) 映射到集合 W 中的同一个元素 z，然后将 h(x) 映射到 W 中的某个元素 y，即(f(g))(h(x)) = z。
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第二章映射
2.1 函数的一般概念-映射
(1)关于函数和映射：
1.函数是映射的限制(函数的集合定义)(f: X→Y aka y=f(x))
X和Y是两个数集，如果依据某一法则f，使对于X中的每一数x总有Y中的唯一确定的数y与之对应，则称f为定义在X上取值于Y中的函数X称为函数f的定义域，值域是Y的子集
这表明：函数是特殊的映射,是限制于数集上的映射
2.映射是函数的推广(f: X→Y)
设X和Y是两个非空集合，如果根据某一法则f，使对于X中每个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应。
f给x规定的对应元素y称为x在f下的象，而x称为y的原象。
X称为f的定义域。
集合I m(f)={f(x)|x∈X}称为f的值域或象
这表明：映射是函数的推广
3. f: X→Y是X⨯Y的子集
设X和Y是两个非空集合，一个从X到Y的映射是一个满足以下两个条件的X⨯Y的子集f：
(1)对X的每一个元素x,存在一个y∈Y,使得(x,y)∈f
(2)若(x,y)、(x,y')∈f,则y=y'
(2)映射的扩张和限制
设f:X→Y,A⊆X,当把f的定义域限制在A上时,就得到了一个ϕ:A→Y, ∀x∈A,ϕ(x)=f(x),ϕ被称为f在A上的限制(部分映射/偏函数),并且常用f|A来代替ϕ, 反过来,我们说f是ϕ在X上的扩张。
(3)映射相等即(集合相等)
两个映射f与g称为是相等的当且仅当f和g都是X到Y的映射，并且∀x∈X, 总有f(x)=g(x)。
(4)一些特殊的映射
1.单射
设f:X→Y，如果∀x, x'∈X,只要x≠x'，就有f(x)≠f(x'),则称f为从X到Y的单射。
若A、B是有限集，f是单射的一个必要条件是|X|≤|Y|
2.满射
设f：X→Y，如果∀y∈Y,∃x∈X,使得f(x)=y,则称f为从X到Y上的映射，或称为满射。
若A、B是有限集，f是满射的一个必要条件是|X|≥|Y|
若A、B是有限集，f是满射的一个充要条件是f(X)=Y(集合的映射)
3.双射
设f：X→Y,若f既是单射又是满射,则称f为双射,或称为一一对应。
也
称X与Y对等，记为X~Y。
显然的，|X|=|Y|
4.恒等映射
设f：X→ X ,如果∀x∈ X, f(x)=x,则称f为X上的恒等映射。
X上的恒等映射常记为I x或者1x
Tips:
(1)X 上的恒等映射只有一个
(2)恒等映射是双射
5.给出证伪有限集基数相等的一种方法：
设A 和B 是有限集(大前提)且|A |=|B |(小前提)，
f:A →B 是单射当且仅当f 是满射(结论)
Tips:
该定理在无穷集合上不成立。
关于无穷集合的基数，将在之后给出。
(5)映射构成的集合
从X 到Y 的所有映射之集记为Y X ，即：Y X ={f |f:X →Y}
性质
(1)设X,Y 均为有穷集合,|X |=n,|Y |=m,且n ≥1,m ≥1,则|Y X |=m n (P22)
(2)设X,Y 均为有穷集合,|X |=n,|Y |=m, n ≥1,m ≥1,则X 到Y 的部分映射有
(m+1)n 个 (多了一个选择)
2.2抽屉原理
(1)抽屉原理
如果把n+1个物体放到n 个抽屉里，则必有一个抽屉里至少放了两个物体
即如果把X 看作m 个物件之集，把Y 看作n 个盒子时。
则一个映射f ：X →Y 就可以看作是把m 个物件放进n 个盒子里的一种放法。
当m>n 时，从X 到Y 的每个映射都不是单射，即至少有两个元素的象相同。
(2)抽屉原理的推广形式
(1)m 只鸽子，n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有不少于
只鸽子 ⌊m -1n ⌋+1(2)若m 1,m 2,…,m n 是n 个正整数，而且则m 1,m 2,…,m n
m 1+m 2+...+m n n >r -1中至少有1个数不小于r 。
(3)抽屉原理常见实例
(1)6个人在一起，其中至少存在3个人或互相认识，或互相不认识(判定树)
(2)在一个n ⨯n 的棋盘的每个方格填上1,2或3，使得棋盘上各行各列以及对
角线上的数字之和都不相等(P33)
2.3映射的一般性质
(1)集合之间的映射
对映射f:X →Y ，若A ⊆X ，那么由f 和A 就唯一地确定了Y 的一个子集,记为
f(A):f(A)={f(x)|x ∈A}
f(A)称为A 在f 下的象。
这样，由f 就确定了一个从2X 到2Y 的映射，习惯上这个映射仍记为f
显然的，有f(∅)=∅，f(X)=I m f
性质
(1)f 是X 到Y 的满射当且仅当f(X)=Y(满射的充要条件)
(2)如果A ⊆B ⊆X ，则f(A)⊆f(B)
(2)原象的扩展
对映射f:X →Y ，如果B ⊆Y ，则由f 和B 唯一确定了X 的一个子集。
{x|f(x)∈B,x∈X}这个子集习惯上用f-1(B)表示。
f-1(B)是X中在f下的象落在B
里的那些元素组成的。
利用这种方法,又得到一个2Y到2X的一个映射,记为f-1
(3)一些规律
1.设f：X→Y,C⊆Y,D⊆Y,则
(1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D)
(2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D)
(3)f-1(C∆D)=f-1(C)∆f-1(D)
(4)f-1(C c)=(f-1(C)) c
2.设f：X→Y,A⊆X,B⊆X,则:
(5)f(A∪B)=f(A)∪f(B);
(6)f(A∩B)⊆f(A)∩f(B);
(7)f(A∆B)⊇f(A)∆f(B)(P47)
Tips:
(1)本节中的f和f-1是求象和原象，事实上，后文中的逆映射也用到了f-1，
要注意区分
(2)上述规律可用集合简单的理解，如(1)求C∪D的原象，即C∪D中元素在
f下的原象的集合，即C和D中元素在f下的原象的集合的并集，就是f-1(C)∪f-
1(D)，当然，严谨的证明还是要从集合相等入手
2.4映射的合成(函数意义上的复合)
定义映射：h:X→Z，∀x∈X, h(x)=g(f(x))。
h称为f与g的合成, “映射f与g的合成”h记为g︒f,省略中间的“︒”，简记为gf
性质
1.h(gf)=(hg)f(映射合成满足结合律)
2.n个映射的合成
设f1:A1→A2, f2:A2→A3,...,f n:A n→A n+1，这n个映射的合成就可
以记为:f n f n-1...f1
3.设f:X→Y,则f︒I X=I Y︒f
4.设f:X→Y, g:Y→Z,则
(1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的
(2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的
(3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的
5.设f:X→Y, g:Y→Z,则
(1)如果gf是单射，则f是单射。
(2)如果gf是满射，则g是满射。
(3)如果gf是双射，则f是单射且g是满射。
6.设f与g是X到X的映射，则I m(f)⊆I m(g)的充分必要条件是存在一个
映射h:X→X,使得f=gh
2.5逆映射与左(右)逆映射
设f:X→Y,如果存在一个映射g:Y→X,使得:fg=I Y且gf=I X,则称映射f是可逆的，而g称为f的逆映射
设f:X→Y,如果存在一个映射g:Y→X,使得:gf=I X,则称映射f是左可逆的，g称为f的左逆映射
设f:X→Y,如果存在一个映射h:Y→X, 使得:fh=I Y,则称映射f是右可逆的，h 称为f的右逆映射
1.性质
(1)设f:X →Y,则如果f 是可逆的,则f 的逆映射是唯一的。
f 的逆记作f -1(逆映射的唯一性)
(2)设f:X →Y, g:Y →Z 都是可逆的,则gf 也可逆且:(gf)-1=f -1g -1,(f -1)-1=f 。
2.判定
(1)设f:X →Y,则f 是可逆的充分必要条件是f 为双射(f 确定了X 到Y 的一个一一对应)
(2)设f:X →Y,则:
1.f 左可逆的充分必要条件是f 为单射；
2.f 右可逆的充分必要条件是f 为满射
2.8 集合的特征函数
设X 是一个集合，E ⊆X 。
从X 到{0,1}的如下的一个映射χE 称为E 的特征函数：∀x ∈X,
, 可见,集合E 和集合的特征函数χE 之间相互唯一确定。
χE (x)={1,如果x ∈E,0,如果x ∉E.
(1)性质
1.若E 和F ⊆X 。
且E ≠F ，则χE ≠χF
2.E ⊆F 的一个充要条件为∀x ∈X, χE (x)≤χF (x) (有用的一条性质)
3.χ∅≡0,即∀x ∈X, χ∅(x)=0
4.χX ≡1,即∀x ∈X, χX (x)=1
(2)特征函数的集合(映射的集合)
Ch(X)是X 中所有子集构成的特征函数的集合。
即
Ch(X)={χ|χ:X →{0,1}}
不那么显然地， Ch(X)与X 的幂集2X 存在一一对应(::若E 和F ⊆X 。
且E ≠F ，则χE ≠χF )。