二次函数回顾与思考课件北师大版九年级下

顾与思考
1. 你在哪些情况下见到过抛物线的
“身0 ?用语皆或J开进行描述.
2. 你能用二次函数的知识解决哪些实
际问题？与同伴交流.
3.｛象的方法.
4.1象有哪些性质？如何
确定它的开口方向，对称轴和顶点坐
标？讲用具体例子进行说明.
九年级數学（下）第二章
《二次因數》
第二章《回顾与思考》
二次函数小结
想一叫Ta顾与思考
5.用具体例子说明如何莫?恰当或更有效地
利用二次函数的表达式，表格和图象刻画变量之间的关系. 6•用自己的语皆描述二次函数
y=ax2+bx+c的图象与方程
ax2+bx+c=0的根之间的关系.
2
b
d X ---------
(2a
函数y=ax2+bx+t 的顶点式
2 4ac-b 2
c
H ----------------- t
4a • ■
一般地，对于二次函数y=ax 2
+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和码点坐标.
y 二 ax 2
+ bx+c ( 1 \
2
—U X H ------ X + C )
、2ct 丿 4«2 4ac-b 例.求次函数
y=ax 2
+bx+c 的对
称轴和顶点坐标・ 1・配方:
这个结果通 常称为求顶 V a (
2 b H ——x+
a
X H --- I la
(b} =a x-\ ----- I la) /
2 + 4a
提取二次项系数
配方:加上再 减去一次项系 + C 数绝对值一半 的平方
整理:前三项化为平方形 式，后两项合并同类项 化简:去掉中括号
Q越一赳P49［卜函数丫=3x Ubx+c的图象？
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y二3x2可以得到二次函数y二3x2 - 6x+5的图象.
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
!.配方尸3（宀2也）+5勰器；需
=3［（兀_1）2_"+5 =3（x — 1）2 +
2.
整理:前三项化为平方形式，
化简:去掉中括号
Q赳一赳出真r知
直接画函数丫=ax2+bxM的图象？
2. 根据配方式（顶点式）确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
Va=3>0, 开口向上;对称轴:直线x=l;顶点坐标：（1, 2）. 3. 列表:根据对称性，选取适当值列表计算.
4.画对称轴，描点，连线:作出二次函数ys3（x-
ip+2 的图象.
做一做
P50Q
( b \ y = a 兀 ---------
I 2d 丿
此，二次函^cy=ax 2
+bx+c 的 图象是一条抛物线 它的对称轴是直线X = ---------------- ・
2a
务顶点坐标公式
2
4ac — b 2
H ----------------------
4a
(b 4ac - b?、
9 2/ 4a 丿
9
w 它的顶点是
-
做一做p二誓小试牛刀
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
二次函«fcy=ax 2
+bxtc (a^O)的图象和性质
1 •顶点坐标与对称轴
2 .位置与开口方向
3 .增减性与最值 根据图形
填表：
抛物线 I
y=ax 2
+bx+c(a>0)
y=ax 2
+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 4a
c — b~ ]
b 4a
c — b~ 2〃，4〃 )
2a 4/7
对称轴 位置 由a ，b 和c 的符号确定
由a ，b 和c 的符号确定
开口方向 向上
向下
增减性 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减
小. 在对称轴的右侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增
大. 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.
最值
当2—2时,最小值为兰—
______ 2" 4c
当一汕，最大值为4宀
7,
1 2 3
7
6
2
7
二次函4fcy=ax2+bx+c (a=#0)与丫二宓?的关系仁
相同点：
⑴形状相同(图像都是抛物线，开口方向相同).
(2) 都是轴对称图形.
(3) 都有最(大或小)值.
⑷a>0时，开口向上，在对称轴左侧,y都随x的增大而减小，在对称轴右侧,y都随x的增大而增大. a<0时，开口向下，在对称轴左侧,y都随x的增大而增大，在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.
二次函数y 二ax2+bx+c （a#=0）与y 二ax?的关系
2 •不同点:（1）位置不同
. ..（b 4ac-b2}
⑵顶点不同：分别是和（ao）.
⑶对称轴不同:分别是兀=-2和y轴（xR）・
2a
（4）最值不同：分别是4。

（?-炭和0.
3•联系：y=a （x-h ）2+k （a#O ）的图象可以看成y
二ax?的
― b
图象先沿X 轴整体左（右）平移I I 个单位 （当-?>0时,向右平移;当-亍vO 时,向左平移人 2d
2a
再沿对称轴整体上（下）平移I 也』I 个单位
4。

（当理』>0时向上平移;当乜二，vO 时，向下平移） ' 4d
得
到的.
4d 二次函 数y 二 ax2+bx+c （a=/=0）与 y 二ax?
的关系
⑶•二次函|&y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
的思
解决“最值问题"如: “最大利润”“最大面积”，解决此类问题的基本思路足: 仁理解问题;
2分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系3・用数学的方式表示出它们之间的关系；
4做数学求解；
5•检验结果的合理性,拓展，注重逆向思维。

二次函数的象和性质
仁确定二次函数的开口方向•对称轴和顶点.
（P73A组第］题）
2.确定函数的解析式，作函数图象,求指定的对应值.
（P73A 组第3,4,5,7^P75B 组第2,3,5 题）
妙能补扯
二次函数的象和性质
3. 二次函数的应用求最大值或最小值
P74A 组第4,5,6” 7 题,
P75B 组第4,5,6题，
P77C 组第1,2,3,4,5,6题.
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
的坐标与一元二次方穆ax2+bx+c=0的根
的关系.
（P73A组第2题,P75B组第1题）
I。

小试牛刀以致用，勤能补拙島
6.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大？解：如图,设矩形的一边AB N叫那么__ 另一边BC=(15・
x)cm,面积为SE, 贝5= X(15-X)=-X2+15X Ff-_- z 15、2 225 …
= -(x-—)2+--・
2 4
0a = -l<O, /.当兀=7・5(cnt)0寸，
to JL—1 Th
y最大值=
小试牛刀以致用,勤能补拙
6.如图,假设篱笆（虚线部分）的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大？
解:如图,设矩形的一边ABnm,那么
另一边BC=(15-x)cm,面积为Scm2^ ________ S = X(15-X)=-X2+15X Ff-"-""" Q a = —
l<0.
当x = —— = — = 7.5(c 加肘，
2a 2 v r
_ 4ac-b2
= ^ = 56.25(cm2) y最大值=
6.竖直向上发射物体的h (m)满足关系式h=-5t 2
+v 0t,其 中t (s)
是物体运动的时间,v 0 (m/s)是物体被发射时的速 度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到 15m,那么喷水的速度应该达到多少？(精确到0. 01 m/s).
解法1:根据题意,y=-5t*Qt 顶点的纵坐标为15m.
2
—=15. v 0 = 10A /3 Q 17.32(m/s\ 20
以致用， 勤能补拙
由y = -5尸+吋二—5 t ——
+兰得.
10丿 20
?
O小试牛刀以致用#勤能补拙炕
6.竖直向上发射物体的h (m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t (s)是物体运动的时间,V。

(m/s)是物体被发射时的速度•某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(精确到0. 01 m/s)・
解法2:根据题意,丫亠5七却耳七顶点的纵坐标
为15m.
I 4QC —b? 由= 15,得
牝4<5）= 15>
/. v0 = 10A/3 Q 17.32（m/s）・
勤能补扯
C2. 一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面
宽度是4m,拱高是2m■当水面下降1m后,水面的宽度是多少?（结果精确到
解:建立如图所示的坐标系J 则可设抛物线表达式^Jy = ax2.「则有4点坐标为（2,-2）, B点坐标为（* 由
此可得函数表达式为y = --X2.
1 2 当y 二
—3 时，得—3 = —x1.
2
/. x = ••:水面宽=2 衙« 4.9（m）.
C2. 一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面 宽度是4m,拱高是2m •当水面下降1m 后.水面 的宽度是多少？(结果精确到0・1m)
解:建立如图所示的坐标系
则可设抛物线表达式为：
y 二 ax 2
+ c
则有4点坐标为(2,0), C 点坐标为(0,2).
B 点坐标为(兀,一1)・
C?小试牛刀L?
用，勤能补挫
►
•1)
勤能补
0小试牛刀
3.⑴如图，第n个图形中有多少个小正方形?你是如何
计算的？
(2)求1+3, 1+3+5, 1+3+5+7,
1+3+5+7+9,…，1+3+5+7+9+…+ (2ri-l) •
解:(1)借助表格来找规律
序号1234• • •n
探寻1 1 + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 5 + 7/\ 1 + 3 + 5+ A +(2〃
-1)
规律显然，其规律是求〃个求连续奇数的和.
求数14916n2
字和显而易见第〃个图形中小正方形的他为自然数〃的平方
Q小试牛刀、毎以致用"勤能补
3.⑴如图，第n个图形中有多少个小正方溜你是如何计算的？rRn
(2)求1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, □ Nhh I I I I 2
1+3+5+7+9, ・・・，1+3+5+7+9+...+(2n-1)・(2):探寻求和的规律
序号1234• • •n
规律 1 + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 5 + 7/\ 1 + 3+5+ A +（2/i-
l）
求和4916八41 +（2n-l）］^2
上述规律也可以借助”高斯巧算”来思考：
将所求数组倒过来得到一组新数，与原数组对应相加，这样可
得到〃对由首,尾两个数字组成的数对,再除以2即得结果
二次函数的应用C 组:5题？
5・⑴如图，下面每个图形中有多少个小圆圈?第5个图
O O O O OO © O O O 0O © OO 探寻求和的规律。

Vee*
oo oo
号
ff-
2 3 4
5
&一
律 规
1± 6 +
1±
X 6 + ■ 亠
+ 6 + 11 //^\
形中有多少个小圆圈?你是如何计算的? (2)完成下表：
OOOO OO © OO OO O OO O oeo • oeo o oo o© o o ©oa o
勤能补
5・⑴如图，下面每个图形中有多少个小圆圈?第 5个图形中有多少个小圆圈?你是如何计算的?
(2)完成下表：
O O
探寻求和的规律題°o e o° 序号 1 2 3 4 • • • n
规律 1 1 + 6 1 + 6 + 12 1 + 6 + 12 + 1E /\ 1+6+12+ A +6(〃求和 1 1+6x1 *+6(1+2)
116(1+2+3+4) A l+6[l + 2+ A + (M -1)] 上述括号内部分可以借助”高斯巧算”来计算.
值的注意的是:对照序号可知数组中的首数为 1,但尾数应为G -
1). 且括号内应有⑺-1)对数对
勤能补拙用壓
0000 • • • • O OO OO o oo o ®o ® o© oeo ® oeo oo oo o oo oo o ®©• oo cc cc
茫成天才的决定应该是勤奋.
作。