条件概率独立事件习题
条件概率的独立性1
条件概率的独⽴性1第三章条件概率的独⽴性习题3 ⼀．填空题1.设A.B 为两个互相独⽴事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)=2.在⼀次实验中A 发⽣的概率为p ，现在进⾏n 次独⽴重复试验，那么事件A ⾄少发⽣1次的概率为3.设A.B.C 构成⼀完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=4.若P(A)=21,P(B)=31，P(A B )=32,则P(B A )= 5.某⼈向同⼀⽬标重复独⽴射击，每次命中⽬标的概率为P(02次命中⽬标的概率为⼆．选择题1. 同⼀⽬标进⾏5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.05122. 5⼈以摸彩的⽅式决定谁从五张彩票中摸的⼀张电影票，设Ai 表⽰“第i 次个⼈摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（） (A) P(1A 2A )=41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 53)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取⼀个，⽆放回的抽取两次，则第⼆次取到新球的概率为（ )53)(A 43)(B 42)(c 103)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下⾯结论正确的是（） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对⽴ (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独⽴三，计算题1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=41,31)(=A B P ,21)(=B A P ,试求P(B A ?). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ?).3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独⽴重复试验中⾄少成功⼀次的概率为2719，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独⽴，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ?=97,求a 的值. 四．应⽤题1.三⼈独⽴的同时解答⼀道题，他们每⼈能够解出的概率为21，4131，，求此题能破解出的概率.2.设在全部产品中有2％是废品，⽽合格产品中有85％是⼀级品，求随机抽出⼀个产品是⼀级品的概率.3.汽车保险公司得到投保⼈资料如表3-1所⽰：5.设10个考签中4个难签，今有3⼈按甲先，⼄次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求：（1）甲没有抽到难签⽽⼄抽到难签的概率；（2）甲，⼄，丙都抽到难签的概率.6.设有4个独⽴⼯作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的⽅式联接，求整个系统的可靠性.7.甲，⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知⽬标被击中，求他是甲击中的概率。
条件概率、超几何分布、独立事件概率总结卷
北师大版2---3系列概率计算问题总结卷超几何分布】1、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ D）超几何分布问题转化： 10件产品3件次品，抽出3件恰有1件次品的概率1、某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ A ）5件产品2件次品，抽出3件至少有1件次品的概率条件概率】1、两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)＝__________.解析：由题意知P(B)＝，P(A∩B)＝，故P(A|B)＝＝＝. 答案：市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285解析：选A.记A为事件“甲厂产品”，B为事件“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.独立事件概率】．(2009年高考上海卷)若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于( )A．0 B. C. D.解析：选B.EF表示E与F同时发生∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝.故选B.2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. B. C. D.解析：选A.由独立事件发生的概率得3．(2010年厦门市高中调研)如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A. B. C. D.解析：选A.理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.5.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 ( )解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为()3×.7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：记事件A为“甲闹钟准时响”，事件B为“乙闹钟准时响”．P＝1－P()＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98.答案：0.98某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用的分布列．分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．时，即；时，要求第一次没射中，第二次射中，故；时，要求前两次没有射中，第三次射中，；；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为：01230.90.090.0090.0001说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，．当然，还有一种算法：即．好题6．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai、Bi(i＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件12A3，且三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.∴甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一：∵C＝A1∪B1∪A1B1，且A1、B1、A1B1彼此互斥，∴P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.次独立重复实验】1．(2008年高考福建卷)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生， 故P(X＝2)＝C32·()2·(1－)＝.2．(原创题)设X～B(2，p)，Y～B(4，p)，已知P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.解析：由1－C20p0(1－p)2＝得p＝，由1－C40()0()4＝. 答案：1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ C ）1、甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（A）1、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 【答案】0.784（设每次命中的环数都是自然数）1、一名篮球运动员投篮命中率为，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 【答案】 0.0461、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 【答案】6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}∶an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )2、某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率（1）（2）9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率⑴； ⑵；⑶； ⑷6．（2010·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试。
条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案
4 B.B.223 C.C.335 D.123．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.125．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝îïíïì1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.14D.126．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12B.13C.14D.257．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于条件概率与独立事件、二项分布1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.A.33________．9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率概率为________．10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2； (2)记结束试验时的摸球次数为X ，求X 的分布列．的分布列．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，每名下每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．的分布列．12．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．的分布列．2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 3．选B 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864. 4．选B P (A )＝C 23＋C 2C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 2C 25＝1)＝110410＝14. 5．选C 依题意得知，“S 4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面，因此“S 4＝2”的概率为C 34èæøö123·12＝14. 6．选C 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 5＝110，于是P (B |A )＝11025＝14. 7．解析：设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1.所以p ＝35. 答案：358．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 9．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B .出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 故P (AB )＝0.9×0.8＝0.72. 答案：0.72 10．解：(1)一次摸球结束试验的概率P 1＝36＝12；两次摸球结束试验的概率 P 2＝36×46＝13. 1．选B P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 2．选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率概率P 1＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A1，＝1，＝3×2×5＝5，＝3×2×1×6＝1X 1 2 3 4 P1213536136X 0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.729 ＝C 3C 2·C 2C 2＝15. ＝C 3C 2·C 2C 2＋C 3C 2C 2·C 2C 2＝12，且＝12＋15＝710. øö，710øö－7102＝9100；C 12710×øö－710＝2150；èæøö710＝49100. X 0 1 2 P9100215049100(A B )(A )·(B )。
条件概率与事件独立性(教师版)
条件概率与事件的相互独立性一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( C )A.56B.910C.215D.1152．假日期间，甲去黄山的概率是14，乙去黄山的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( C )A.320B.15C.25D.9203．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( A )A.12B.13C.14D.154．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )A.18B.14C.25D.125．已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.3，现用n 门这样的大炮同时对某一目标射击一次，若要使目标被击中的概率超过95%，则n 的最小整数值为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11把每门大炮射击一次看成做了一次试验，击中目标看成试验成功，则试验成功的概率为0.3，用X 表示这n 门大炮击中目标的次数．事件“目标被击中”即{X >0}，则“目标被击中”的概率为P (X >0)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－0.3)n .为使目标被击中的概率超过95%，则有1－(1－0.3)n >95%，解得n >8.4.根据实际意义，至少要用9门这样的大炮才能使目标被击中的概率超过95%，即n 的最小整数值为9.二、填空题6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于___0.128_____．[解析] 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由概率乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是____②④____(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误； ④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件． 三、解答题8．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？9．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(1)(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； (3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝35×35＋25×25 ＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.10．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙在一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解析] 记A 1表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B 1表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36， P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.。
(完整版)条件概率独立事件习题
条件概率与独立事件习题课1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）A ．B ．C ．D ．2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ．3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A ．B ．C ．D ．5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．条件概率与独立事件答案1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；则第二次抽到正品的概率为P=4.解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P（A）=，P （）=1﹣=，P（B）=P，P （）=1﹣P ，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y012P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：0.1；0.2；0.3；0.2；0.1；0.1．由组距为10，可得小矩形的高分别为0.01；0.02；0.03；0.02；0.01；0.01．由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．P（ξ=0）=•=；P（ξ=1）=•+•=；P（ξ=2）=•+•=；P（ξ=3）=•=．∴ξ的分布列是：ξ0123Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=9. 解：（Ⅰ）用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立．…（1分）===．…（4分）（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）P（x=2）=，P（x=3）=，P（x=4）=，P（x=5）=，…（9分）所以X的分布列为X2345P…（11分）EX==．…（13分）10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，则P（A）=（1﹣）（1﹣）=即甲、乙两人均不能译出密码的概率是（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为=即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。
考点测试 事件的独立性、条件概率与全概率公式
取到白球的概率为( )
1
2
A.3
B.3
C.25
D.35
解析 设第一次取到白球记为事件 A，第二次取到白球记为事件 B，
43 则 P(B|A)＝PP（（AAB））＝6×45＝35.故选 D.
6
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答案 解析
3．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为 0.4，0.6，汽车和
B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 β(1 －β)2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当 0<α<0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大
于采用单次传输方案译码为 0 的概率
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案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输
是指每个信号重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次
传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的
即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1)( )
A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的 概率为(1－α)(1－β)2
A．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
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高中数学同步练习 条件概率与独立事件
[A 组 基础巩固]1．某人一周晚上值班2次,在已知他星期日一定值班的前提下,其余晚上值班所占的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.16解析：本题为条件概率,在星期日一定值班的前提下,只需再从其余6天中选一天值班即可,概率为16.答案：D2．甲、乙两人独立解答某道题,解不出来的概率分别是a 和b,那么甲、乙两人都解出这道题的概率是( ) A ．1－abB ．(1－a)(1－b)C ．1－(1－a)(1－b)D ．a(1－b)＋b(1－a)解析：设甲解出该题为事件A,乙解出该题为事件B,则P(A )＝a,P(B )＝b, ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－a)(1－b)． 答案：B3．打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射一个目标,则他们都中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.35解析：P ＝810×710＝56100＝1425.答案：A4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为13、12、23,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C,则P(A)＝13,P(B)＝12,P(C)＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ,故概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D5.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,x,y 构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy ＝4的概率为( ) A.116 B.18 C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1,y ＝4；x ＝2,y ＝2；x ＝4,y ＝1. 所以,所求事件的概率P ＝P(x ＝1,y ＝4)＋P(x ＝2,y ＝2)＋P(x ＝4,y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C6．在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下：第一局,甲对乙；第二局,第一局胜者对丙；第三局,第二局胜者对第一局败者；第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09. 答案：0.097．由长期统计资料可知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为415,刮风(用B 表示)的概率为715,既刮风又下雨的概率为110,则P(A|B)＝________,P(B|A)＝________.解析：P(A|B)＝P (AB )P (B )＝110715＝314,P(B|A)＝P (AB )P (A )＝110415＝38.答案：314 388．若A,B 为相互独立事件,则下列式子成立的是__________．(把你认为正确的序号都填上) ①P(AB)＝P(A)P(B)；②P(A B)＝P(A )P(B)；③P(A B )＝P(A)－P(A)P(B)；④P(A B )＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)． 解析：①②正确．③P(A B )＝P(A)P(B )＝P(A)[1－P(B))] ＝P(A)－P(A)P(B)．④P(A B )＝P(A )P(B )＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)． 答案：①②③④9．甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5. (1)求甲、乙都未击中敌机的概率； (2)求敌机被击中的概率．解析：设“甲击中敌机”为事件A,“乙击中敌机”为事件B,“甲、乙都未击中敌机”为事件C,“敌机被击中”为事件D.由题意可知A,B 相互独立,则A 与B 也相互独立． (1)P(C)＝P(A B )＝P(A )·P(B ) ＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.(2)P(D)＝1－P(A B )＝1－0.2＝0.8.10．甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%.问： (1)乙地为雨天时,甲地为雨天的概率为多少？ (2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为多少？ 解析：设A ＝“甲地为雨天”,B ＝“乙地为雨天”, 则根据题意有P(A)＝0.20,P(B)＝0.18,P(AB)＝0.12, 所以(1)P(A|B)＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67,(2)P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60.[B 组 能力提升]1．据统计,大熊猫的平均寿命是12～20岁,一只大熊猫从出生起,活到10岁的概率为0.8,活到20岁的概率是0.4,北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了,它能活到20岁的概率为( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.8解析：设A ＝“能活到10岁”,B ＝“能活到20岁”．即P(A)＝0.8,P(B)＝0.4,所求概率为P(B|A),由于B ⊆A,故AB ＝B,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.答案：B2.在如图所示的电路图中,开关a,b,c 闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ) A.18 B.38 C.14D.78解析：设开关a,b,c 闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C,且A,B,C 相互独立,ABC,AB C ,A B C 互斥, 所以P(E)＝P(ABC)∪P(AB C )∪P(A B C) ＝P(ABC)＋P(AB C )＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C )＋P(A)P(B )P(C) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：B3．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25,12,35,现3人各投篮1次,则3人中恰有2人投进的概率为________．解析：甲、乙、丙投进分别记作事件A 、B 、C,它们相互独立,则3人中恰有2人投进的概率为 P ＝P(AB C ＋A B C ＋A BC)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝P(A)P(B)P(C )＋P(A)P(B )P(C)＋P(A )P(B)P(C) ＝25×12×(1－35)＋25×(1－12)×35＋(1－25)×12×35＝1950. 答案：19504．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是________． 解析：解法一 先求出成功次数X 的分布列,再求均值．由题意可知每次试验不成功的概率为14,成功的概率为34,在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2,则P(X ＝0)＝116,P(X ＝1)＝C 12×14×34＝38,P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.所以在2次试验中成功次数X 的分布列为X 0 1 2 P11638916则在2次试验中成功次数X 的均值为 E(X)＝0×116＋1×38＋2×916＝32.解法二 此试验满足二项分布,其中p ＝34,所以在2次试验中成功次数X 的均值为E(X)＝np ＝2×34＝32.答案：325．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34,用满10 000小时未坏的概率是12,现有一个此种元件,已经用满6 000小时未坏,求它能用满10 000小时的概率． 解析：设A ＝“用满10 000小时未坏”, B ＝“用满6 000小时未坏”, 则P(A)＝12,P(B)＝34,由于A ⊆B, 故P(AB)＝P(A)．∴P(A|B)＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝1234＝23.∴这个元件能用满10 000小时的概率为23.6.如图所示,用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B,C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2. 解析：由题图可知P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝0.80×0.90×0.90＝0.648P2＝P(A∩(B∪C))＝P(A)·[1－P(B C)] ＝0.8×[1－P(B)·P(C)]＝0.8×[1－(1－0.9)(1－0.9)]＝0.8×(1－0.01)＝0.8×0.99＝0.792.。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
条件概率与独立事件
P( AB) 当P(B)>0时，P( A | B) (其中，A B可以记成AB) P( B)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率 P( AB) P( B | A) P( A)
问题 2
从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机取 出1张,用A表示取出的牌是“Q”,用B表示取出的 牌是红桃.试利用P(B)及P(AB)计算p(A|B).
四个射手独立地进行射击,设每人中靶的概率都 是0.9.试求下列各事件的概率.
(1)4人都没有中靶; 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0001 (2)4人都中靶; 0.9 0.9 0.9 0.9 0.6561 (3)2人中靶,另2人没有中靶.
0.9 0.9 0.1 0.1 0.0081
P( AB) P( A) P( B)
对于两个事件A, B, 如果P ( AB) P ( A) P ( B ), 则称A, B相互独立.
通过调查发现,某班学生患近视的概率为0.4, 现随机抽取该班级的2名同学进行体检,求他 们近视的概率.
解:如果用Ai(i=1,2)表示抽取的第i名学生患近视, 则P( A1 ) P( A2 ) 0.4
可以认为2名同学是否近视是相互独立的,因此
P(两位同学都近视） P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.4 0.4 0.16
如果 A1 , A2 ,, An 相互独立， 则P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
问题 1
100个产品中有93个产品的长度合格,90个产品 的重量合格,85个产品的长度、重量都合格.现在,任 取一个产品,若已知它的重量合格,那么它的长度合 格的概率是多少?
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）例题 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
先从中随机取出一个球，不放回，再取一个球。
已知第一次取出的是红球，求第二次取出红球的概率。
解析：第一次取出红球后，盒子里剩下 4 个红球和 3 个白球。
此时总球数为 7 个。
所以第二次取出红球的概率为 4/7。
知识点总结：1、条件概率的本质是在新的信息（即已知某个事件发生）的基础上，重新评估另一个事件发生的可能性。
2、计算条件概率时，要先确定已知条件所限制的样本空间，再计算在这个新样本空间中目标事件发生的概率。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 称为相互独立事件。
即P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B) 。
例题 2：掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 A ＝“第一次掷出的点数是1”，事件 B ＝“第二次掷出的点数是2”，判断事件 A 和事件 B是否独立。
解析：因为第一次掷骰子的结果不影响第二次掷骰子的结果，所以P(B|A) ＝ P(B) ＝ 1/6 ，P(A) ＝ 1/6 ，满足独立事件的条件，所以事件A 和事件B 是独立事件。
知识点总结：1、独立事件的判断关键在于看一个事件的发生是否会改变另一个事件发生的概率。
2、对于两个独立事件 A 和 B ，它们同时发生的概率为 P(AB) ＝P(A)×P(B) 。
三、条件概率与独立事件的综合例题例题 3：一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。
高考数学一轮单元复习：条件概率与事件的独立性
变式题 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问 题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已 知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分 别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【思路】各轮问题能否正确回答互不影响，即四个 事件相互独立．第(1)问是前三轮回答正确且第四轮回 答不正确这四个事件同时发生，利用相互独立事件同时 发生的概率乘法公式就可以解决；第(2)问至多进入第 三轮考核是进入第一轮被淘汰，进入第二轮被淘汰，进 入第三轮被淘汰这三个互斥事件的和，而进入第二轮被 淘汰又是第一轮通过，第二轮没通过这两个相互独立事 件同时发生，进入第三轮被淘汰是第一、第二轮通过， 第三轮没通过这三个相互独立事件同时发生，利用互斥 事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘 法公式就可以解决．
再设事件B表示工作被完成, 则 B A1 A2
PB 1 PB,
A3, 因
B A1 A2 A3 A1A2 A3,
所以
PB P A1A2A3 P A1 P A2 P A3
0.5 0.4 0.3 0.06.
所以
PB 0.94.
► 典型题3 独立重复试验与二项分布
例 3 [2009·江西卷] 某公司拟资助三位大学生自主创 业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进 行评审．假设评审结果为 “支持”或“不支持”的概率都是12. 若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只 获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”， 则不予资助．求：
2．条件概率的性质 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间， 即 0≤P(B|A)≤1 . 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． 3．事件的相互独立性 设 A、B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事 件 B 相互独立．
条件概率,事件独立性
条件概率,事件独⽴性条件概率，事件独⽴性⼀．选择题（共11⼩题）1．在⼀个坛⼦中装有10个除颜⾊外完全相同的玻璃球，其中有1个红球，2个蓝球，3个黄球，4个绿球．现从中任取⼀球后（不放回），再取⼀球，则已知第⼀个球为红⾊的情况下第⼆个球为黄⾊的概率为（）A．B．C．D．2．将3封不同的信投⼈3个不同的信箱，记事件A为“⾄少有1个信箱为空”，事件B为“恰好有2个信箱为空”则P（B|A）＝（）A．B．C．D．3．将3颗骰⼦各掷⼀次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“⾄少出现⼀个1点”，则条件概率P（A|B）和P（B|A）分别为（）A．B．C．D．4．袋中装有标号为1、2、3的三个⼩球，从中任取⼀个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A＝“三次抽到的号码之和为6”，事件B＝“三次抽到的号码都是2”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．5．掷两颗均匀的⼤⼩不同的骰⼦，记“两颗骰⼦的点数和为10”为事件A，“⼩骰⼦出现的点数⼤于⼤骰⼦出现的点数”为事件B，则P（B|A）为（）A．B．C．D．6．甲、⼄、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀⽼⼈、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项⽬，每⼈限报其中⼀项，记事件A为4名同学所报项⽬各不相同”，事件B为“只有甲同学⼀⼈报关怀⽼⼈项⽬”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．已知ABCD为正⽅形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正⽅形ABCD内随机抛掷⼀枚⾖⼦，记事件A：⾖⼦落在圆I内，事件B：⾖⼦落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．8．设A，B为两个事件，且P（A）＞0，若，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．相互独⽴事件9．某中学组织⾼三学⽣进⾏⼀项能⼒测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题⽬的个数分别占总数的．现有3名同学独⽴地从中任选⼀个题⽬作答，则他们选择的题⽬所属类型互不相同的概率为（）A．B．C．D．10．某电视台的夏⽇⽔上闯关节⽬中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前⼀关才能进⼊下⼀关，且通过每关相互独⽴．⼀选⼿参加该节⽬，则该选⼿能进⼊第四关的概率为（）A．B．C．D．11．电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A．B．C．D．12．甲⼄两队正在⾓逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局⽐赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局⽐赛中获胜的概率均为，且各局⽐赛结果相互独⽴，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为．⼆．解答题13．某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5⼈，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，⼥青年志愿者3⼈，分别记为b1，b2，b3现从这8⼈中远4⼈参加某项公益活动．（1）求男青年志愿者a1或⼥青年志愿者b1被选中的概率；（2）在男青年志愿者a1被选中的情况下，求⼥青年志愿者b1被也被选中的概率．14．某班从6名班⼲部（男⽣4⼈，⼥⽣2⼈）中，任选3⼈参加学校的义务劳动．（1）求选中的3⼈都是男⽣的概率；（2）求男⽣甲和⼥⽣⼄⾄少有⼀个被选中的概率；（3）设“男⽣甲被选中”为事件A，“⼥⽣⼄被选中”为事件B，求P（B|A）．15．某班包括男⽣甲和⼥⽣⼄在内共有6名班⼲部，其中男⽣4⼈，⼥⽣2⼈，从中任选3⼈参加义务劳动．（1）求男⽣甲或⼥⽣⼄被选中的概率；（2）设“男⽣甲被选中”为事件A，“⼥⽣⼄被选中”为事件B，求P（A）和P（AB）．16．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4⼈，⼥教师3⼈）中选3⼈去边区⽀教．（Ⅰ）设所选3⼈中⼥教师的⼈数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）若选派的三⼈依次到甲、⼄、丙三个地⽅⽀教，求甲地是男教师的情况下，⼄地为⼥教师的概率．事件独⽴性17．某中学为了丰富学⽣的业余⽣活，开展了⼀系列⽂体活动，其中⼀项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲⼄两队进⾏⽐赛，甲队每场获胜的概率为．且各场⽐赛互不影响．（1）若采⽤三局两胜制进⾏⽐赛，求甲队获胜的概率；（2）若采⽤五局三胜制进⾏⽐赛，求⼄队在第四场⽐赛后即获得胜利的概率．18．某校开展学⽣社会法治服务项⽬，共设置了⽂明交通，社区服务，环保宣传和中国传统⽂化宣讲四个项⽬，现有该校的甲、⼄、丙、丁4名学⽣，每名学⽣必须且只能选择1项．（Ⅰ）求恰有2个项⽬没有被这4名学⽣选择的概率；（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学⽣选择的⼈数ξ的分布列19．甲、⼄两名射击运动员在进⾏射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，，，⼄命中10环，9环，8环的概率分别是，，，任意两次射击相互独⽴．（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、⼄两⼈进⾏射击⽐赛，每⼀轮⽐赛两⼈各射击1次，环数⾼于对⽅为胜，环数低于对⽅为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选⼿为最终的胜者，⽐赛结束，求恰好进⾏3轮射击后⽐赛结束的概率20．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步⾛⼊⼤家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．⼴元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每⼩时2元（不⾜1⼩时的部分按1⼩时计算）．甲、⼄两⼈各租⼀辆电动车，若甲、⼄不超过⼀⼩时还车的概率分别为；⼀⼩时以上且不超过两⼩时还车的概率分别为；两⼈租车时间都不会超过三⼩时．（Ⅰ）求甲、⼄两⼈所付租车费⽤相同的概率；（Ⅱ）求甲、⼄两⼈所付的租车费⽤之和⼤于或等于8的概率．21．西安世园会志愿者招聘正如⽕如荼进⾏着，甲、⼄、丙三名⼤学⽣跃跃欲试，已知甲能被录⽤的概率为，甲、⼄两⼈都不能被录⽤的概率为，⼄、丙两⼈都能被录⽤的概率为．（1）⼄、丙两⼈各⾃能被录⽤的概率；（2）求甲、⼄、丙三⼈⾄少有两⼈能被录⽤的概率．22．随着⼩汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代⼊“必考”证件之⼀．若某⼈报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科⽬的考试，其中科⽬⼆为场地考试在每⼀次报名中，每个学员有5次参加科⽬⼆考试的机会（这5次考试机会中任何⼀次通过考试，就算顺利通过，即进⼊下⼀科⽬考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科⽬⼆考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科⽬⼆考试都需要交200元的补考费．某驾校通过⼏年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科⽬⼆考试，每次通过的概率均为，⼥性学员参加科⽬⼆考试，每次通过的概率均为．现有⼀对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科⽬⼆考试的原则为：通过科⽬⼆考试或者⽤完所有机会为⽌，（1）求这对夫妻在本次报名中参加科⽬⼆考试都不需要交补考费的概率；（2）求这对夫妻在本次报名中参加科⽬⼆考试产⽣的补考费⽤之和为200元的概率．。
条件概率与独立事件(一)
问题4：怎样计算B发生时A发生的概率？
A
B
例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不 放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科 题的概率．
跟踪训练1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每 次从中不放回地任取 1个，连取两次，求第一次取 到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． 例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字 都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机 上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概 率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2 次就按对的概率．
选修2-3 第二章 概率
条件概率与独立事件（一）
问题一：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名 同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券 的概率是否比其他同学小？
问题二：如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券， 那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少？
条件概率
问题三：100件产品中有93件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85件产品的长度和质量都合格。 现在任取一件产品，若已知它的质量合格，那么它，从20道题中随机抽取 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道即可通过； 若至少能答对其中 5道就获得优秀．已知某考生能 答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经 通过，求他获得优秀成绩的概率．
2020北师大版高中数学选修1-2：第一章 条件概率与独立事件
§2独立性检验2.1条件概率与独立事件课时过关·能力提升1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解出这个问题的概率是p1,乙解出这个问题的概率为p2,那么恰好有一人解决了这个问题的概率是()A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.1-p1p2D.1-(1-p1)(1-p2)答案:B2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡除灯口外,其他均相同,且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从盒中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A解析:记事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)答案:D3.设M,N为两个随机事件,给出以下命题:1①若M,N为互斥事件,且P(M)则∪N)②若P(M)则为相互独立事件③若P则为相互独立事件④若P(M)则为相互独立事件⑤若P(M)则为相互独立事件其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A表示“出现偶数点”,事件B表示“出现3点或6点”,则事件A与B的关系为()A.互斥事件B.相互独立事件C.既是互斥事件又是相互独立事件D.既不是互斥事件又不是相互独立事件解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)所以A与B是相互独立事件.答案:B5.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是()2A答案:C6.若两个独立事件A和B都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同则事件发生的概率A解析:由P(得P(A)P即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],得P(A)=P(B).又P则P故P(A)答案:D7.★先后两次掷一枚质地均匀的骰子,再次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=()A解析:由题意知,若事件A“x+y为偶数”发生,则x,y两个数均为奇数或均为偶数,其有2×3×3=18个基本事件.故P(A)而A,B同时发生的基本事件有“2+4”“2+6”“4+2”“4+6”“6+2”“6+4”共6个基本事件.故P(AB)所以在事件A发生的情况下,事件B发生的概率P(B|A)答案:B38.在一次三人象棋对抗赛中(无平局结果),甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,若比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为.解析:乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,概率为(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09.答案:0.099.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=.解析:依题意,得P(A)则由条件概率的意义可知P(B|A)答案:10.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人不放回地依次各抽1题,在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?分析:本题为条件概率,事件A为甲抽到选择题,事件B为乙抽到判断题.本题所求为在事件A发生的条件下事件B发生的概率.4解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,则P(A)所以P(B|A)即所求概率为11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为若对这三名短跑运动员跑的成绩进行一次检测求(1)三人成绩都合格的概率;(2)三人成绩都不合格的概率;(3)出现几人成绩合格的概率最大.解:设甲、乙、丙三人100 m跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立, 则P(A)设恰有k人成绩合格的概率为P k(k=0,1,2,3).(1)三人成绩都合格的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)(2)三人成绩都不合格的概率为P0=P5(3)恰有两人成绩合格的概率为P2=P(A恰有一人成绩合格的概率为P1=1-P0-P2-P3=1结合(1)(2)可知P1最大.故出现恰有一人成绩合格的概率最大.12.★一个元件能正常工作的概率叫这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为P(0<P<1),且每个元件能否正常工作是相互独立的.现有6个元件按如图所示的两种联接方式构成两个系统(Ⅰ),(Ⅱ),试分别求出它们的可靠性,并比较它们可靠性的大小.解:系统(Ⅰ)有两条道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件都能正常工作.系统(Ⅰ)每条道路正常工作的概率是P3,不能正常工作的概率是1-P3,系统(Ⅰ)不能正常工作的概率为(1-P3)2.故系统(Ⅰ)正常工作的概率是P1=1-(1-P3)2=P3(2-P3).系统(Ⅱ)由3对并联元件串联而成,它能正常工作当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件不能正常工作的概率为(1-P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1-(1-P)2,故系统(Ⅱ)正常工作的概率是P2=[1-(1-P)2]3=P3(2-P)3.又P1-P2=P3(2-P3)-P3(2-P)3=-6P3(P-1)2<0,所以P1<P2,故系统(Ⅱ)的可靠性大.6。
条件概率与事件的独立性【题集】-讲义(教师版)
条件概率与事件的独立性【题集】1. 条件概率A.B.C.D.1.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）．【答案】D【解析】事件：四月份下雨，事件：四月份吹东风，，，，条件概率公式有，故选．【标注】【知识点】条件概率A.B.C.D.2.某小区有名歌手，其中名男歌手，名女歌手．从中选出人参加区组织的社区演出．在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（ ）．【答案】D【解析】若从中选出人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，又因为小区有名歌手，其中名男歌手，名女歌手，此时若女歌手乙被选择，则被选中的概率为．故选．【标注】【知识点】条件概率A.B.C.D.3.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于”为事件，“两颗骰子的点数之和等于”为事件，则（ ）．【答案】D【解析】由题意，为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于时两骰子的点数之和等于的概率，∵抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于，基本事件有个，红骰子的点数小于时两骰子的点数之和等于，基本事件有个，分别为，，，∴．故选：．【标注】【知识点】条件概率；古典概型A. B. C. D.4.从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（）．【答案】C【解析】因为共有个红球个白球，所以先后取个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：，第一、二次都取到红球的取法数为：，故所求的概率．故选：．【标注】【知识点】条件概率A. B. C. D.5.小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设表示事件“个人去的景点各不相同”，表示事件“小赵独自去一个景点”，则（）．【答案】A【解析】小赵独自去一个景点，则有个景点可选，其余人只能在小赵剩下的个景点中选择，可能性为种，所以小赵独自去一个景点的可能性为种．因为个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选．【标注】【知识点】条件概率（1）（2）6.某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会，学生篮球队准备假期集训，集训前共有个篮球队，其中个是新球（即没有用过的球），个是旧球（即至少用过次的球）．每次训练，都从中任意取出个球，用完后放回．设第次训练时至少取到个新球，第次训练时也取到个新球的概率．在第次训练时至少取到个新球的条件下，求第次训练时恰好取到个新球的概率．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）设“第次训练时取到个新球”为事件，则，．设“从个球中任意取出个球，恰好取到个新球”为事件，则“第次训练时恰好取到个新球”就是事件，而事件，互斥，于是．由条件概率公式，得，又因为，所以，第次训练时恰好取到个新球的概率为（2）．设在第次训练时至少取到个新球，第次训练时恰好取到个新球，则在第次训练时至少取到个新球的条件下，第次训练时恰好取到个新球的概率为．因为，又，所以．【标注】【知识点】条件概率2. 乘法公式7.已知，，．【答案】【解析】∵，∴．【标注】【知识点】条件概率；相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.8.已知号箱中有个白球和个红球，号箱中有个白球和个红球，现随机地从号箱中取出个球放入号箱中，然后从号箱中随机地取出个球，则两次都取到红球的概率是（）．【答案】C【解析】设从号箱取到红球为事件，从号箱取到红球为事件．由题意，可得，，所以．所以两次都取到红球的概率是．故选．【标注】【知识点】古典概型的概率计算（不涉及计数原理）；条件概率【素养】数学运算；数据分析3. 事件的独立性A.B.C.D.9.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为．甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）．【答案】B【解析】设甲中靶为事件，乙中靶为事件，，为相互独立事件，根据相互独立事件的乘法公式可得：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A.B.C.D.10.已知盒中装有个红球、个白球、个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）．【答案】B【解析】设“第一次拿到白球”为事件，“第二次拿到红球”为事件B∴，，则所求概率为，故选：．【标注】【知识点】条件概率11.A.B.C.D.袋中有红黑个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）．【答案】B【解析】设”第一次摸到红球”为事件，”第二次摸到红球”为事件．∴，∴．故选．【标注】【知识点】条件概率4. 互斥事件与独立事件A.事件和互斥B.事件和互相对立C.事件和相互独立D.事件和相等12.抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则（ ）．【答案】C【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：由于事件，能同时发生，则事件，不为互斥事件，故错误；由于事件，能同时发生，则事件，不为对立事件，故错误；第一枚正面朝上和第二枚反面朝上是相互独立事件，故正确；由于事件，中有不同的样本点，则事件，不相等，故错误；故选 C .【标注】【知识点】相互独立事件13.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中的是（ ）．不.正.确.A.B.C.D.事件与事件不相互独立，，是两两互斥的事件【答案】D【解析】由题意、、是两两互斥事件，，，，，，，，所以不正确．故选．【标注】【知识点】条件概率14.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为；且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了局的概率为．【答案】【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了局的概率为，∴所求概率为．故答案为：．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.15.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）．【答案】B【解析】根据题意得：恰有一个一等品的概率．故选．【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式16.为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的个问题中，选手若能连续正确回答出个问题，即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了个问题晋级下一轮的概率等于．【答案】【解析】该选手至少回答了个问题晋级，包含两种情况：回答了五个或者留六个问题．一、回答了五个问题晋级，则第三、四、五个问题都回答正确，而第二个问题回答错误．．二、回答了六个问题晋级，则第四、五、六个问题都回答正确，而第三个问题回答错误．，综上：，该选手至少回答了个问题晋级的概率为．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.17.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率是（）．【答案】C【解析】甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.18.某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）．【答案】C【解析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而，二人也有可能是由感染的，，设，，直接受感染为事件，，，则，，是相互独立的，并且，，，表明除了外，，二人中恰有人是由感染的，∴，∴、、中直接受传染的人数为的概率为．故答案为：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.19.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）．【答案】B【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了局的概率，∴所以概率为．故选．【标注】【知识点】条件概率A. B.C. D.以上都不对20.甲、乙、丙三名同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为, 三人各检测一次，则三人中只有一人及格的概率为（）．【答案】C【解析】由题意可知分三种情况且三人及格与否相互独立，则．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.21.已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都为止，则经过次测试恰好将个次品全部的概率（）．【答案】C【解析】找.到.找.出.11由题意可得：前次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，或前次抽到的全是正品，若前次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，概率为，若前四次抽到的全是正品，概率为，故所求事件的概率为．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型；互斥事件与对立事件的概念辨析；互斥事件的概率加法公式5. 全概率公式22.（敏感性问题调查）要调查蔡老板在学生心目中是不是一个胖子，制作问卷 ：蔡老板是胖子么？回答方式为“是”和“否”．由于这是一个敏感性问题学生没法当面回答，现采取如下策略进行调查．现同时制作问卷 ：蔡老板是胖子么？问卷 ：给你一枚硬币，你丢一次是正面朝上么？学生将从一个只装有红球和白球的盒子中抽球决定回答哪个问题，如果抽到红球，回答 问题，抽到白球，回答 问题，假设抽到红球的概率是．现在对名学生进行调查，发现收到的答案中有个是，你认为根据统计结果，蔡老板是一个胖子么？【答案】是．【解析】 ：抽到的球是红球， ：回答是，设选择蔡老板是胖子的概率为，，，，，，解得．【标注】【素养】数学运算【知识点】条件概率。
条件概率与独立事件
概括
求B发生的条件下，A发生的概率，称为B发
P( A B ) ，其中， P( B )
生时A发生的条件概率，记为 P( A B)。 当 P( B ) 0 时， P( A B )
A B 可记为 AB 。
P( AB) 类似地 P( A ) 0 时， P( B A) 。 P( A )
知识回顾 1.古典概型的概念
1)试验的所有可能结果(即基本事件)只 有有限个,每次试验只出现其中的一个结 果;2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P( A) 试验的所有可能结果 n
问题1：
100个产品中有93个产品的长度合格，90 个产品的质量合格，85个产品的长度、 质量都合格。现在任取一个产品，若已
P( AB ) P( A) P( B ) 0.4 0.4 0.16
推广： 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式，
若 A 、B 相互独立，则有 P( AB ) P( A) P( B )
事实上，对于多个独立事件，公式也是成立的。 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n ， 则有 P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A )
练习1.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥 事件,(2)是否为对立事件,并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各4张) 中任取1张: （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
1.1互斥事件
一、基本概念
问题1:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A 为“出现奇数点”,B为“出现2点”.事件A和事 不可能同时发生 件B可以同时发生吗？
条件概率及相互独立事件典型例题
条件概率及相互独立事件【典型例题】例1甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有1个人译出密码的概率；（4）至多1个人译出密码的概率；（5）至少1个人译出密码的概率．分析：我们把“甲独立地译出密码”记为事件，把“乙独立地译出密码”记为事件，显然为相互独立事件，问题（1）两个都译出密码相当于事件、同时发生，即事件．问题（2）两人都译不出密码相当于事件．问题（3）恰有1个人译出密码可以分成两类：发生不发生，不发生发生，即恰有1个人译出密码相当于事件．问题（4）至多1个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码，即事件．由于、是独立事件，上述问题中，与，与，与是相互独立事件，可以用公式计算相关概率．解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，、为相互独立事件，且．（1）两个人都译出密码的概率为：．（2）两个人都译不出密码的概率为：（3）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：（4）“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：．（5）“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：．说明：如果需要提高能译出密码的可能性，就需要增加可能译出密码的人，现在可以提出这样的问题：若要达到译出密码的概率为99％，至少需要像乙这样的人多少个？我们可以假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，此问题相当于次独立重复试验，要译出密码相当于至少有1个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，能译出密码的概率为，按要求，，故，可以计算出，即至少有像乙这样的人16名，才能使译出密码的概率达到99％．例2如图，开关电路中，某段时间内，开关开或关的概率均为，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．分析：我们把“开关合上”记为事件，“开关合上”记为事件，“开关合上”记为事件C，是相互独立事件且由已知，它们的概率都是，由物理学知识，要求灯亮，有两种可能性，一个是、两开关合上，即事件发生，另一个是开关合上，即事件发生，也就是灯亮相当于事件发生．解：分别记“开关合上”、“开关合上”、“开关合上”为事件，由已知，是相互独立事件且概率都是．开关、合上或开关合上时灯亮，所以这段时间内灯亮的概率为：说明：本题的解题过程中，灵活使用了概率中的一些符号，比如，表示事件与事件同时发生，表示事件与事件至少有一个发生，表示与至少有一个发生，所以分成了三个互斥事件：发生不发生，不发生发生，与都发生，而其中不发生发生即，又不发生即与至少有一个不发生，从而又分成了三个互斥事件：、、，符号语言的正确理解与使用，不仅是提高数学能力的需要，而且也使数学解题过程简便明了，一些数学结论表述更加方便．我们可以尝试理解并领会下列结论：。
条件概率练习题
条件概率练习题一、基本概念题1. 设事件A和事件B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A|B)。
2. 已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.7，P(A ∩ B) = 0.3，求P(A|B)和P(B|A)。
3. 在一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的条件下，取出第二个球也是红球的概率。
4. 某班级有50名学生，其中30名喜欢篮球，20名喜欢足球，10名既喜欢篮球又喜欢足球。
随机选取一名学生，求该学生喜欢篮球的条件下，也喜欢足球的概率。
二、应用题1. 一批产品中有10%的次品，现随机抽取10件产品，求恰好有2件次品的概率。
3. 抛掷一枚硬币3次，求恰好出现2次正面的概率。
4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，求抽到的都是红桃的概率。
三、综合题1. 甲、乙、丙三人独立解同一道数学题，甲解出的概率为0.4，乙解出的概率为0.5，丙解出的概率为0.3。
求至少有两人解出这道题的概率。
2. 一批产品中有20%的次品，现随机抽取5件产品，求恰好有1件次品且第2件是正品的概率。
3. 抛掷一枚均匀的骰子，求出现偶数点数的条件下，再次抛掷出现奇数点数的概率。
4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取5张，求抽到的牌中至少有一张是红桃的概率。
四、拓展题1. 设事件A和事件B互斥，P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，求P(A|B)。
2. 已知P(A) = 0.6，P(B|A) = 0.8，P(B|非A) = 0.4，求P(A∩ B)。
3. 某班级有60名学生，其中40名喜欢数学，30名喜欢英语，20名既喜欢数学又喜欢英语。
随机选取一名学生，求该学生喜欢数学的条件下，也喜欢英语的概率。
4. 抛掷一枚硬币和一枚骰子，求硬币出现正面且骰子出现6点的概率。
五、逻辑推理题1. 在一个家庭中，有两个孩子，已知至少有一个是女孩，求两个孩子都是女孩的概率。
2. 有三个箱子，分别装有苹果、橘子和苹果橘子混合。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝
“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则
()
A．A与C相互独立
B．B与D相互独立
C．A与D相互独立
D．B与C相互独立
研题型 能力养成 举题说法
【解析】袋中 5 个球，有放回地随机取两次，每次取 1 个，样本空间 Ω＝{(x，y)|1≤x≤5，
点击对应数字即可跳转到对应题目
1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 激活思维
5．(人A 选必三P52练习4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红
球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1
或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球. 7
k＝1
研题型 能力养成
研题型 能力养成 举题说法
举题说法
目标 1 相互独立事件的判断
1 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙
＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁
总结 提炼
求条件概率的常用方法： (1) 定义法：P(B|A)＝PP((AAB)).(2) 样本点法：P(B|A)＝nn((AAB)).(3) 缩样法：去掉第一次抽 到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
研题型 能力养成 举题说法
变式 某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名
相互独立，A 错误；
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1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）
A．B．C．D．
2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）
A．B．C．D．
3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）
A．B．C．D．
4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A．B．C．D．
5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．
二．解答题
6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）[15，
25）
[25，
35）
[35，
45）
[45，
55）
[55，
65）
[65，
75]
频数510151055
赞成人数469634
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列
8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x
1
，x
2
，x
3
，
随机变量X表示x
1
，x
2
，x
3
中的最大数，求X的概率分布．
9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．
（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；
（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．
条件概率与独立事件答案
1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，
则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．
其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==
事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，
2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．
3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；
则第二次抽到正品的概率为P=
4.
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，
则P（A）=，P（）=1﹣=，P（B）=P，P（）=1﹣P，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．
5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，
∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中
∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，
∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，
∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=
6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（×5+×5）=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
，，，
Y的分布列为
Y012
P
（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，
重量不超过505克的概为1﹣=；
恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．
7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：；；；；；．
由组距为10，可得小矩形的高分别为；；；；；．
由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．
P（ξ=0）=•=；
P（ξ=1）=•+•=；
P（ξ=2）=•+•=；
P（ξ=3）=•=．
∴ξ的分布列是：
ξ
0123
P
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．
8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=
9. 解：（Ⅰ）用事件A
i
表示第i局比赛甲获胜，
则A
i
两两相互独立．…（1分）
===．…（4分）
（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）
P（x=2）=，
P（x=3）=，
P（x=4）=，
P（x=5）=，…（9分）
所以X的分布列为
X2345
P
…（11分）
EX==．…（13分）
10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，
则P（A）=（1﹣）（1﹣）=
即甲、乙两人均不能译出密码的概率是
（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，
相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是
∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为
=
即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。