上海理工大学大学物理第十章静电场中的导

第十章 静电场中的导体和电介质一．选择题［ B ］1、（基训2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21-， σ 2 =σ21+． (C) σ 1 = σ21-， σ 1 = σ21-． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【解析】由静电平衡平面导体板B 内部的场强为零，同时根据原平面导体板B 电量为零可以列出σ 1S+σ 2S=0022202010=-+εσεσεσ［ C ］2、（基训4）三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两个带有等量同号电荷，丙球不带电，已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F ；现用带绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此后甲、乙两球间的静电力为 (A)3F/4； (B)F/2； (C)3F/8； (D)F/4。

【解析】设甲、乙两球带有电量为q ，则用带绝缘柄的丙球先与甲球接触后，甲球带电量为q/2，丙球再与乙球接触，乙球带电量为3q/4。

根据库仑定律可知接触后甲、乙两球间的静电力为原来的3/8。

［ C ］3、（基训6）半径为R 的金属球与地连接。

在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。

如图10-6所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q '为：(A) 0． (B)2q ． (C) -2q． (D) -q ． 【解析】利用金属球是等势体，球体上处电势为零。

球心电势也为零。

0442q o o dq qR R πεπε''+=⎰ R q R q d o q oo 244πεπε-='⎰'RqR q 2-=' 2qq -='∴［ C ］4、（基训8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把它们充电到 1000 V ，AB+σσ1σ2OR dq然后将它们反接(如图10-8所示)，此时两极板间的电势差为：(A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【解析】C U C U C Q Q Q 32121106-⨯=-=-=V FC C C Q C Q U 600101106''5321=⨯⨯=+==--［ B ］5、（自测4）一导体球外充满相对介电常量为r ε的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度0σ为(A) E 0ε． (B) E r εε0 ． (C) E r ε． (D) E r )(00εεε- 【解析】导体表面附近场强ro o E εεσεσ0==,E r o εεσ0=.［ D ］6、（自测5）一空心导体球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷q ，如图所示。

当球壳中心处再放一电荷为q 的点电荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为 (A)104R q επ ． (B)204R q επ ． (C)102R q επ . (D)20R q ε2π【解析】2042rqE επ= 20202422R qdr rq U R εεπ=π=⎰∞二、填空题1、（基训12）半径为R 的不带电的金属球，在球外离球心O 距离为l 处有一点电荷，电荷为q ．如图所示，若取无穷远处为电势零点，则静电平衡后金属球的电势U =lq 04πε．【解析】由静电平衡条件，球心o 处的场强为零，则球壳的电势也是球心处的电势。

球心处的电势为点电荷+q 在该点的电势和金属球产生的感应电荷‘q ±在该点的电势叠加。

C 1C2lq U RqU R q U l qU q 000044,4,4πεπεπεπε=-===‘外’内 qlR OqqR 1 R 22、（基训14）一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极板间相互作用力为F ．则两极板间的电势差为C Fd /2，极板上的电荷为FdC 2．【解析】求两极板间相互作用力对应的电场强度E 是一个极板的电场强度，而求两极板间的电势差对应的电场强度E ’是两个极板的电场强度叠加。

000,2'Sq F Eq q C SdqU E d d Sεεε=====根据公式可求得极板上的电荷；根据公式可求得两极板的电势差。

3、（基训15）如图10—13所示，把一块原来不带电的金属板B ，移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置．设两板面积都是S ，板间距离是d ，忽略边缘效应．当B 板不接地时，两板间电势差U AB =SQd02ε ；B 板接地时两板间电势差='AB U SQd0ε． 【解析】 不接地：12340,22AB Q Qd U Ed S Sσσσσε==-==== 接地后：SQd Ed U S Q AB 03241',,0εσσσσ====== 4、（自测11）一平行板电容器，极板面积为S ，相距为d ，若 B 板接地，且保持 A 板的电势 U A = U 0 不变，如图，把一块面积相同的带电量为 Q 的导体薄板 C 平行的插入两板中间，则导体薄板的电势0042εS QdU U C +=. 【解析】设感应的电荷面密度如图中所示。

2202010d d U εσεσ+=，202dU C εσ= SQ=+-21σσ 因此A B SSd2222002020d S Q U d d S QU cεεσεσ-=+-=042εS Qd U U C +=5、（自测16）在相对介电常量εr = 4的各向同性均匀电介质中，求：与电能密度w e =2×106 J/cm 3相应的电场强度的大小E =3.36×1011 V/m 。

[真空介电常量ε0 = 8.85×10-12 C 2/(N ·m 2)]【解析】202121E DE w r e εε==rew E εε02==3.36×1011 V/m6、（自测19）如图10-29所示，一“无限大”接地金属板，在距离板面d 处有一电荷为q 的点电荷，则板上离点电荷最近一点处的感应电荷面密度'σ= 22qd π- 【解析】根据静电平衡条件，图中A 点的电场强度为0。

即200'042q d σπεε+= 7、（自测20）A 、B 两个电容值都等于C 的电容器，已知A 带电量为Q ，B 带电量为2Q ，现将A 、B 并联后，系统电场能量的增量W ∆= -Q 2/（4C ）。

【解析】电容器的电场能量为：CQ 2W 2=A 、B 并联前：()CQ C Q 222W W W 22B A +=+= A 、B 并联后：()()C 23W 2'+==C Q系统电场能量的增量4CQ -W -W 2'==∆W 三、计算题1、（基训19）假定从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电。

（1）当球已带有电荷q 时，再将一个电荷元dq 从无穷远处移到球上的过程中，外力作功多少？（2）使球上电荷从零开始增加Q 的过程中,外力共作功多少？ 【解析】（1）dq Rq dA 04πε=（2）RQ dq Rq A Q020084πεπε==⎰2、（基训21）如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．(3) 球心O 点处的总电势． 【解析】（1） 球壳内空间点电荷q 偏离圆心，使得球壳内表面电荷分布不均匀，但球壳内表面上感应生成的负电荷总量由静电平衡条件得知应为-q ，球壳外表面处电荷分布不均匀，外表面处总电量为Q+q 。

（2） 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势为：04q U aπε-=内（3）球心O 点处的总电势是由点电荷q ，球壳内、外表面电荷在O 点产生的电势叠加。

⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+=-==b q Q a q r q U bqQ U aq U rq U q 0000414,4,4πεπεπεπε外内3、（基训22）两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 【解析】因两球间距离比两球的半径大得多,这两个带电球可视为点电荷.设两球各带电荷Q , 若选无穷远处为电势零点, 则两带电球之间的电势能为式中d 为两球心间距离。

当两球接触时，电荷将在两球间重新分配。

因两球半径之比为1 : 4。

故两球电荷之比Q l : Q 2 = 1 : 4。

Q 2 = 4 Q lQ l +Q 2 =Q 1+4Q 1 =5Q 1 =2Q Q l = 2Q/5, Q 2 = 8Q / 5当返回原处时,电势能为q Qa bO r002125164W d Q Q W ==πε4、（基训23）半径为R 1=1.0厘米的导体球，带有电荷q 1=1.0×10-10库仑，球外有一个内、外半径分别为R 2=3.0厘米、R 3=4.0厘米的同心导体球壳，壳上带有电荷Q=11×10-10库仑，试计算：（1）两球的电势U 1和U 2；（2）用导线把球和壳联接在一起后U 1和U 2分别是多少？（3）若外球接地，U 1和U 2为多少？ 【解析】（1）VR qQ dr r q Q U U VR qQ R R qdr r q Q dr r q r d E U U R R R R R R R 270443304114443032032302102132020111=+=+===++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=⋅==⎰⎰⎰⎰∞∞∞→→πεπεπεπεπεπε （2）用导线把球和壳联接后，Q+q 均匀分布在同心球壳的外表面上，内表面的电荷与球的电荷相中和，因此电量均为零,整个是等势体。

V R qQ dr r q Q U R 2704430320=+=+=⎰∞πεπε（3）外球接地，则：02=U ，外表面上Q+q=0，所以：V R R q dr r q U R R 60114421021201=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰πεπε5、（基训25）三个电容器如图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求： (1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ 【解析】 (1) ()F C C C C C C C C C C C AB μ72.3321321312312=++⋅+=+⋅=(2)如果当C 3被击穿而短路，则电压加在C 1 和C 2上，C U C q V U 31111101,100-⨯===6、（基训27）一圆柱形电容器，内圆柱的半径为R 1，外圆柱的半径为R 2，长为L [L >> (R 2 – R 1)]，两圆柱之间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．设内外圆柱单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为λ和-λ，求：(1) 电容器的电容；(2) 电容器储存的能量． 【解析】（1）圆柱体的场强分布为rE r επελ02=ABC 1C 2C 3U两极板间电势差为120210ln 22R R dr r U r R R r επελεπελ==⎰电容器的电容为120ln 2R R LUq C r επε==（3） 电容器储存的能量为1202ln 421R R LUq W r επελ==7、（自测21）一空气平行板电容器，极板面积为S ， 两极板之间距离为d ．试求∶(1) 将一与极板面积相同而厚度为d / 3的导体板平行地插入该电容器中，其电容将改变多大？(2) 设两极板上带电荷±Q ，在电荷保持不变的条件下，将上述导体板从电容器中抽出，外力需作多少功？ 【解析】（1）设导体板两侧离二极板的距离为d 1和d 2，空隙中场强为E 0，导体板中静电平衡时场强为零。