数论课程标准10.10

《数论基础》课程标准英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：407021050适用专业：数学与应用数学学分数：2一、课程性质《数论基础》课程属于数学一级学科下的基础数学二级学科，是数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台下专业方向系列中的一门限选课程。

二、课程理念1、加强数论理论修养，培养数学教学能力初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，是数论的一个最古老的分支。

它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，所以称为初等数论。

数论与数学其它分支相结合产生了代数数论、几何数论、解析数论、完备的数论理论。

《数论基础》是数学与应用数学专业中教学方向的一门选修课程。

开设本课程的目的，是为了使学生掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。

同时在学习数论基础知识的过程中，培养学生在深层次上钻研数学教材的能力，使他们在今后的数学教学工作中能驾驭教材，做好教学工作。

2、理解近代数学思想，提高学生的数学素养《数论基础》课程的授课对象是数学与应用数学专业三年级的学生，学生通过前两年的专业学习，已经有了《高等代数》、《近世代数》等理论基础，掌握了一些数学论证的基本技能。

《数论基础》对于理解和掌握近代数学思想是必不可少的，对于深入学习现代数学等后续课程起着承上启下的作用。

通过本课程的学习，使学生掌握初等数论的基础知识和基本方法，学会如何数学地思考问题和解决问题，感受和体会推理与证明在学习数学以及日常生活中的意义和作用，提高数学素养。

3、理论与实际相结合，提高学生的综合能力本课程的教学内容基本上是该书的前四章。

整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础。

本课程在课堂教学中，在保持数论课程传统精髓思想的基础上，注重了数论的实际应用，使学生了解各类“数学竞赛”中常涉及到初等数论的问题，特别是近年来数论在计算机科学、编码理论、通讯等领域中的应用。

注重理论与实践相结合，提高学生综合能力和解决实际问题的能力，不断创新的能力。

4、教学方式多样，培养学生的自主学习能力整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，但这部分内容，学生较为熟悉，因此除个别地方外，鼓励学生自学。

课堂教学主要是通过大量例题的讲解，使学生加深对定义和定理的理解，学会解题和设计新题的基本技巧，注意对逻辑推理的严密性，数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。

同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础。

对这一部分的教学，要着重使学生充分理解概念、定义的内涵、掌握基本方法、了解重要结论以及应用这些知识去解决问题，因此，在课堂教学中教师精讲内容，辅以学生研讨或自学。

对数论的应用，以及超越数和代数数的基本知识，除个别内容外，自学较为困难，因此应以课堂教学为主。

5、注重考查能力，提高学生的综合素质本课程通过课堂讲授、课堂讨论、课内外结合的学习方式，使学生掌握数论基础的基本思想，加深对数论知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识，达到学生能力培养的目标，同时为今后学习提供必要的理论基础。

因此，本课程的考核目标是要求学生掌握初等数论的基本理论和方法，用更高的观点去理解和掌握与中学数学有关的内容，为学习后继课程和现代数学打下基础，并进一步提高学生的数学修养，培养他们的抽象思维和逻辑思维能力。

主要包括三部分内容，一是要考核学生对基本概念、基本理论的掌握程度；二是考核学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力；三是结合平时考核，通过课堂讨论、学期小论文、校园网络提供授课教案等形式来指导、考核学生，让学生根据不同需要进一步拓展有关知识，以此调动学生主动参与的积极性，发挥学生学习的自主性。

三、课程目标1、总目标通过本课程的学习，学生能够全面了解数论基础的知识内容和知识结构；引导学生在学习过程中，掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力；培养学生思维的灵活性，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力；形成良好的数学素质和文化素养，为后继课程的学习奠定良好的基础。

四、课程内容根据教材特点，本课程内容划分为三个单元，每一单元根据章节内容进一步划分为基础性内容、提五、课程实施1、学时安排本课程总学时为32学时，在第六学期完成，按每周2学时进行教学，并根据教学要求每章至少安排一次习题课，以学生讨论、教师答疑、学生讲解习题等方式为主。

为了使教学效果能够达到比较理想的水平，每周对学生进行一定的课外学习，阅读与教学内容相关的学术著作与文章。

教师的实践性教学内容安排有作业（包括小论文、小测验等形式）、上课讨论交流、布置课后阅读书目等。

2、教学建议（1）教学组织与形式为达到《数论基础》课程的总目标，建议课程采取理论教学与实践相结合的教学形式进行组织教学。

理论教学采用课堂教学、课堂讨论与实践等多种形式教学，其中课堂讲授24课时，习题课8课时。

各教学环节的重点都是在于通过学生积极主动参与课堂教学，培养学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性，提高学生综合运用和解决问题的能力。

（2）教学方法与手段①在教学内容上加强与实际相联系，介绍简单密码的编制，连分数的有理近似值，日历的推算，排比赛日程表等，既增加学生对本门课程在应用方面的了解又提高他们运用数论知识解决实际问题的能力。

②采用启发式教学，在课堂教学过程中，有意识地在例题中设置“陷阱”，这样不仅能让学生看清数学思维不是一蹶而就的，而是有一个渐进的过程；还能培养学生独立思考问题的能力，做到“举一反三”，对教材上的知识“不盲从”。

此外，在教学中，在解决问题后，总是引导学生进行“回头看”，即认真进行反思；这样的方法是否最优？这个问题的条件或结论能否做一些修改，进而改进结论？这个问题与我们以前所学或与其它课程是否有某种联系？经过寥寥数语的点拨，让学生将所学知识升华到数学思想方法和数学科研方法的高度，从而学会发现问题，进而解决问题。

③运用历史法教学，教材采用的格式基本上是定义―定理―证明―举例“四步曲”，让初学者抓不住要领，难以激发学生学习和钻研的热情，使得大多数学生对教学内容没有很好地理解和掌握，没有领悟知识的内涵以及数学内部各分支之间，数学与其他学科之间的紧密联系，而仅仅是学了一些表面的知识。

引入历史法教学，就能使学生真正理解课本上形式化推理体系背后所包含的实际内涵。

④在数学教学中适当采用研究性教学模式，改变教师传统教的方式和学生传统学的方式，学生通过自己探索，研究，构建，然后转化为自己的行动，变为自己的知识，同时能唤起学生的学习兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到充分发展。

（3）教学环境与策略①教学环境理论教学环境，采用多媒体、录像等电子化设备教学，并结合课堂讲授的重点内容，提供课外扩展学习的科研文献资料。

提供网络教学环境，建设课程网站，提供竞赛试题、视频、PPT、网站、科技进展新闻等补充资料，供课外扩展学习。

②教学策略教学过程一定要根据学生的具体情况、教学的内容、教学的条件综合考虑进行。

每节课的教学策略都应不同，充分利用学生已经掌握的前置课程的知识和技能，结合多种方式（讲授、自学、讨论等）组织教学。

（4）能力培养方案在教学中要注重学生对于理论学习的兴趣和自学能力的培养，注重学生将实际问题抽象成数学问题的能力的培养，从而提高学生抽象思维能力、灵活思维能力、基本运算能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养。

①给学生自学的机会，培养学生自学的能力。

教师以学生为主体，扮演研究者，组织者，指导者，帮助者的角色，引导学生从一个问题挖掘另一个问题，从一个结论联想到另一个结论，提高学生的数学素养。

②采取激励措施，让学生创造出尽可能多的方法解答同一个题目，使学生能从不同角度，方向，方面思考问题，用多种方法解决问题，培养学生思维的灵活性。

③注重课堂提问、课后辅导、小组学习等方式。

要求教师根据教学中的重点、难点设计问题或研究内容，进行课堂提问，集中辅导和随机答疑，组织学生课堂讨论，学生代表讲解，或课后研究，提交书面总结或学期小论文。

训练学生的自学能力，组织教材能力，表达能力、写作能力及合作意识等。

④注重理论与实际相结合。

组织学生运用所学的基本理论与方法解决实际问题。

体现数学理论、方法的应用价值，提高学习兴趣3、学业考核与评定（1）试卷题型及分值分布：题型有填空题、单项选择题、计算题、证明题。

试卷满分值为100分，由填空题（20％）、选择题（ 20％）、计算题（40％）、证明（20％）组成。

其中基础知识一般要占50%左右，稍难的题目要占35%左右，较难的题目占15%左右。

（2）成绩评定方式的主要构成及比例：采用百分制评分，期末成绩由平时成绩20%、考试成绩80%组成。

其中，平时成绩由出勤、课堂表现、回答问题情况、作业、学期小论文的成绩组成，考试成绩为试卷成绩。

（3）考试形式与时间：闭卷、笔试，120分钟。

六、教材选用及参考书1、建议教材建议使用的教材是由高等教育出版社出版的闵嗣鹤、严士健编的《初等数论》，本书更适合地方院校的教学，并配套习题课教材，习题集。

2、教学参考书[1] 潘承洞,潘承彪. 初等数论[M]. 北京：北京大学出版社，1992[2] 华罗庚. 数论导引[M]. 北京：科学出版社，1979[3] 边红平. 初等数论(高中数学竞赛专题讲座)[M]. 浙江大学出版社，2007[4] (美)罗森. 初等数论及其应用[M]. 机械工业出版社，2009[5] 朱萍. 初等数论及其在信息科学中的应用[M]. 北京：清华大学出版社，2010[6] 柯召,孙琦.初等数论100例[M]. 哈尔滨工业大学出版社，2011。