北师大版初二数学下册分式的加减法(三)
北师版八年级下册数学第5章 分式与分式方程 异分母分式的加减法
整1数)＋，其1结＋果为1__＋____＋_____1____． 1 3 2 4 3 5 n(n＋2)
3n2＋5n 4(n＋1)(n＋2)
知1－练
感悟新知
知识点 2 分式加减的应用及分式混合运算
知2－练
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是 平路，骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、 2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下 坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
知1－讲
特别解读： 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简 公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
感悟新知
例1 计算：
(1) (32) (3a) 15 ; a 5a
1 1; x3 x3
知1－练
2a 1
a2
4
a
. 2
解：(1) 3 a 15 15 a 15 15 a 15 a 1 ;
(2)分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
课堂小结
异分母分式的加减 法
某学生化简分式出1现了＋错误1 ，解答过程如下：
原式
x＋1 x2－1
＝（x＋1）1（x－1）＋（x＋1）2（x－1）(第一步)
＝（x＋1）1＋（2 x－1）(第二步)
＝
3 x2－1
.(第三步)
课堂小结
异分母分式的加减 法
C．D.
－x x＋2
x x－ 2
知1－练
感悟新知
3. 计算的结a2＋果2是ab(＋b2 －) b
A
a2－b2 a－b
2024北师大版数学八年级下册5.3.1《同分母分式的加减法》教案
2024北师大版数学八年级下册5.3.1《同分母分式的加减法》教案一. 教材分析《同分母分式的加减法》是北师大版数学八年级下册第五章第三节的一部分。
本节内容是在学生已经掌握了分式的基本概念、分式的乘除法运算的基础上进行的，是分式运算的一个重要组成部分。
通过本节的学习，使学生掌握同分母分式的加减法运算法则，进一步提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了分式的基本概念，分式的乘除法运算，因此对于同分母分式的加减法有一定的认知基础。
但学生在解决实际问题时，对于如何运用同分母分式的加减法法则还是会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解和掌握同分母分式的加减法法则，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解同分母分式的加减法法则，并能够熟练运用。
2.能够解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.同分母分式的加减法法则的掌握和运用。
2.解决实际问题，将理论知识运用到实际中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究，合作学习，提高学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例3.分组讨论的准备七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题，引导学生思考如何解决这些问题。
例如，计算下列分式的和：（1）34+14；（2）25+35。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示同分母分式的加减法法则，引导学生理解并掌握。
同分母分式的加减法法则是：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组给出几个同分母分式的加减法问题，并求解。
例如，计算下列分式的和：（1）34+14；（2）25+35；（3）47+27；（4）5 9−19。
4.巩固（5分钟）让每个小组选出一个问题，向全班展示他们的解题过程和结果，教师进行点评，巩固学生对同分母分式的加减法法则的掌握。
数学八年级下北师大版5.3分式的加减法(3)课件(17张)
y)
y2
x2 x2 y2
x y
2
原式
（2 y）2 (2y)2 y2
4y2 3y2
4 3
x 2y
巩固练习
5、先化简，再求值：
(1)
当x
3
y，求
x
4xy 2y
2
x x
y y
的值；
(2)
已知m
1 5
n，求
2n m 2n
m 2n
m
n2
m2 m2
的值.
合作交流
ⅱ、根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120
北师大版八年级(下)
5.3 分式的加减法(3)
范例讲解
例1、计算：
y xy
x
1 xy
x
解：
y xy
x
1 xy
x
y x( y 1)
1 x( y 1)
y( y 1) x( y 1)( y 1)
x( y
y 1 1)( y
1)
y( y 1) y 1 x( y 1)( y 1)
y2 1 xy2 x
m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建 盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期， 假设原计划每天修建盲道xm，那么 (1)原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条 盲道用了多少天？ (2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
巩固练习
6、一项工程，甲单独做ah完成，乙单独做bh完成， 甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？
巩固练习
4、先化简，再求值：
(1)
当a
1 10
时，求
a 1 a2 1
a 1 1 a
的值；
北师大版八年级数学下册课件：5.3分式的加减(共15张PPT)
答 (1)1 案：
(2) 3 x x1
(3) m 2n n 2n nm mn nm
(3) 1
例3 计算：
（1）3 a 15 a 5a
解：原式 15 a 15 a 1 5a 5a 5a 5
(2) 1 1 x3 x3
解：原式＝
x3 x2 9
x3 x2 9
(3)
a
2a 2
4
a
1
2
x3x3 6 x2 9 x2 9
解：原式 =
2a (a-2)(a+2)
a+2 - (a-2)(a+2)
2a-(a+2) = (a-2)(a+2)
a-2
1
= (a2)(a+2) = a+2
帮忙算时间
小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中 小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需 要走1km 的上坡路、2km 的下坡路，在上坡路 上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速 度为3vkm/h．那么 （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用 多长时间？
示意图
3v
v 1 2v 2
课堂检测
• 1.把下列各式通分
•
(1)
x-1 ,
2 ; (2)
1,
1
;
3x2 ax
a 2 -9 a2 6a 9
2、计算：
(1) b a 3a 2b 12
(2) a 1 1 a2 a2
(3) a 1 a1
1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加 减。分母不变，把分子相加减。
再见
第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法
分式的加减法教案 北师大版(优秀教案)_
分式的加减法教案北师大版(优秀教案)_分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)（分式的加减法）教案●教学目的〔一〕教学知识点.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用..简单的异分母的分式相加减的运算.〔二〕能力训练要求.经历用字母表示数量关系的经过，发展符号感..会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的考虑及其语言表达能力.〔三〕情感与价值观要求.从现实情境中提出问题，提高“用数学〞的意识..结合已有的数学经历，解决新问题，获得成就感以及克制困难的方法和勇气.●教学重点.同分母的分式加减法..简单的异分母的分式加减法.●教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.●教学方法启发与探究相结合●教具准备投影片四张：第一张：提出问题，〔记作§〕;第二张：想一想，做一做，〔记作§3.3.1〕；第三张：想一想，〔记作§3.3.1〕;第四张：议一议，〔记作§3.3.1〕;第五张：例，记作〔§3.3.1〕；第六张：补充练习，〔记作§3.3.1〕.●教学经过Ⅰ.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)〔〕当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为〔v1v32〕.〔〕走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比拟〔v1v32〕与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.［生］假如要比拟〔v1v32〕与v23的大小，就比拟难了，由于它们的分母中都含有字母.［生］比拟两个数的大小，我们能够用作差法.例如有两个数.假如－＞，则＞;假如－,则；假如－＜,则＜.［师］这位同学想得方法很好，显然〔v1v32〕和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我以为能够用实数比拟大小的方法来做.［生］假如用作差的方法，例如〔v1v32〕－v23，怎样判定它大于零，等于零，小于零呢？［师］我们不妨观察〔v1v32〕－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法〔板书课题〕我们再来看一下问题二.［生］问题二中这个人用电脑录入字的文稿需a33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄字文稿则需用a3000小时，因而这个人录入字的文稿比手抄少用〔a3000－a1000〕小时.［生］a3000,a1000是分式，a3000－a1000是分式的加减法.［师］但和问题一中加减法比拟一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法.分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)Ⅱ.讲授新课.同分母的加减法［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如1313－1313－1310.我以为分母一样的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.［师］谁能试着到黑板上板演“做一做〞中的三个小题.［生］解：〔〕a1a2a21+a3;［生］解：〔〕22-xx－24-x242--xx;［生］解：12++xx－11+-xx13+-xx1312+-+--+xxxx12+-xx.［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算经过.［生］第〔〕小题是正确的.第〔〕小题没有把结果化简.应该为原式242--xx2)2)(2(--+xxx.［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，假如分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.［生］第〔〕小题，我以为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得〔〕分母不变，做得对，但三个分式的分子、－、－相加减应为〔〕－〔－〕〔－〕.分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)［师］确实如此，我们知道列代数式时，〔－〕÷〔〕要写成分式的形式即11+-xx，因而分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体.［生］教师，是我做错了.第〔〕题应为：〔〕12++xx－11+-xx13+-xx1)3()1()2(+++--+xxxx1312+-++-+xxxx1+xx［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会获得更大进步.通过前面做一做，想一想，我们能够得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：ca±cbcba±〔其中、既能够是数，可以以是整式，是含有字母的非零的整式〕.前面问题二如今能够完成了吧！大胆地试一试.［生］a3000－a1000a10003000-a2000，所以这个人录入字文稿比手抄少用a2000个小时..简单的异分母的分式相加减［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，假如分式的分母不同，那么该怎样加减呢？同学们不妨凭借本人的数学经历，合作沟通，找到一个可行的方法.法化成同分母的分数加减法［生］我以为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减能否可以以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：6141.假如6141464?646?2442462410125，这样计算就比拟费事；假如找和的最小公倍数，算起来就很方便，即6141262?343?122123125.［生］我以为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式能够化为同分母的分式，这一经过称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母〔简称最简公分母〕作为它们的公分母.例如a3a41，和的最简公分母是.下面我们再来看几个例子.分，转化成同分母的就能够完成.［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.［例］中的第〔〕题，一个分母是,另一个分母是，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a3化成a553?a515即可.解：〔〕a3aa515-a515aa515-aa5)15(15-+aa551;［生］我们组也已完成了第〔〕题.两个分式相加，一个分式的分母是－,另一个分式的分母是－，我们注意到了－－〔－〕，所以要把xx--11化成分母为－的分式，利用分式的基本性质，得xx--11)1()1()1()1(-?--?-xx11--xx.所以第〔〕题的解法如下：〔〕12-xxx--1112-x11--xx1)1(2--+xx13--xx分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)［师］同学们能凭借本人的数学经历，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起.［生］问题一能够出来结果啦.〔〕小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v1v32v33v32v323+v35.〔〕小丽走第一条路所用的时间为v23.作差可知v35－v23v610－v69v61＞.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61.Ⅲ.应用、升华.随堂练习第题计算：〔〕xb3－xb;〔〕a1a21;〔〕baa-－aba-解：〔〕xb3－xbxbb-3xb2;〔〕a1a21a22a21a212+a23;〔〕baa-－aba-baa-－baa--baaa---)(baa-2.［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大.［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做〞中犯的错误，在今后做此类题的经过中，一定不会犯同样的错误.［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法.……Ⅴ.课后作业分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)习题第、、题.Ⅵ.活动与探究已知y1x1,求z1的值.［经过］已知条件实际上是一个方程组，我们能够取其中两个方程y1x1，由这两个方程把、都用表示后，再求代数式的值.［结果］由y1,得x-11,由x1,得xx1-.所以z1x-111-xx11--x1-xx11--xx.分式的加减法教案北师大版(优秀教案) 分式的加减法教案北师大版(优秀教案)。
第五章第03讲 分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。
八年级数学下册 5.3 分式的加减法 方法茶座 通分技巧大放送素材 (新版)北师大版
通分技巧大放送（一）分式的运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分，但对于某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分，要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分例1 计算：2121111xx x ++++- 分析：本题若采用将各项一起通分后再相加的方法，计算量很大，注意到前后分母之间存在着平方差的关系，则可逐步通分来计算.[来*#源:zz~s&tep.c^om]解：原式=4221412-12x x x -=++. 说明：若一次通分计算量太大，利用分母间的递进关系逐步通分，避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式，可使问题简单化.二、整体通分例2 计算：112++a a -a+1. 分析：本题中既有分式又有整式，不相统一，同学们可以寻求作为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=112++a a -121111)1)(122+=++-+=++-a a a a a a a （. 说明：本题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作是分母为1的代数式，再通分相加，则可使问题的解法更简便.三、分裂整数法例3 计算：2312++-++x x x x . 分析：如果两个分式的分母不同，通分时可使用分裂整数法.解：原式=212111+++=+++x x x x ＝（1＋11+x ）-（1＋21+x ） ＝2111+-+x x ＝)2)(1(1)2)(1()1(2++=+++-+x x x x x x . 说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分.2 四、活用乘法分式例4 计算：（x+x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x）（x 2-1），（x ≠0且x ≠1）. 分析：乍一看本题，同学们可能会感觉要求的式子很长，不知如何下手，仔细观察各式的特点，巧妙运用平方差公式逐步通分，可使运算简便.解：当x ≠0且x ≠1时，原式=[（x-x 1）（x+x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]（x 2-1）÷（x-x1) ＝[(x 2 -21x ）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]·（x 2-1）÷(x-x1) ＝…＝(x 32-321x )·x ＝x 33－311x . 评注：在本题中，原式乘以一个代数式后再除以同一个代数式还原，就可连续运用平方差公式，在分式运算中，若能恰当地运用乘法公式，则可使计算简便.。
北师大版数学八年级下册5.3《分式的加减法》教案
（4）实际问题的应用：将实际问题转化为分式模型时，学生可能会对问题情境的理解和分析出现偏差。
举例：在速度问题中，学生可能不理解速度与时间、路程之间的关系，从而错误地建立分式模型。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式加减法的基本概念。分式加减法是指对分母相同的分式进行加减运算，或者通过通分将分母不同的分式转化为分母相同的分式后再进行加减运算。它在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算合并速度、比较不同单位下的量等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有两辆汽车，一辆以速度\( \frac{60}{2} \)公里/小时行驶，另一辆以\( \frac{50}{3} \)公里/小时行驶，如何计算它们的总速度？通过这个案例，我们将学习如何运用分式加减法解决实际问题。
北师大版数学八年级下册5.3《分式的加减法》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第五章第三节《分式的加减法》。教学内容主要包括以下方面：
1.掌握分式加减法的运算规则。
2.能够正确计算分式加减法，并进行化简。
3.了解分式加减法在实际问题中的应用。
具体内容包括：
（1）同分母分式的加减运算。
（2）异分母分式的加减运算，需要先通分，再进行加减。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过模拟两辆车的行驶，演示如何通过分式加减法计算总速度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式加减法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
数学北师大版八年级下册分式的加减法(三)
2、求分式的最简公分母
y 1 与 ； x y 1 y 1 xy y xy x
a 1 与 2 , a 3 a 9
x2 与x; x 1
a 3a 3
x 1
小组合作
y 1 (1) xy x xy x
x (2) x 1 x 1
2
a 1 a 1 (3) 2 a 3 a 9 a 3
再探分式的应用
x x y y2 例6 已知 2，求 2 2 的值. y x y x y x y
x( x y ) y ( x y ) y 2 x2 2 解;原式 2 2 x y x y2
x y 2
即 x 2y
你还有其他方法？
(2 y ) 2 4 . 原式 2 2 (2 y ) y 3
练习巩固
1.计算： 2 2 ( x 1) 3 x (1) 1 解：原式 x 1 x 1 x 1 1 a 3 ( 2) 2 2 a a a 1 a 1 a(a 3) 解：原式 a(a 1)(a 1) a(a 1)(a 1) a 1 a(a 3) a 2 2a 1 a(a 1)(a 1) a(a 1)(a 1) (a 1) 2 a 1 2 a(a 1)(a 1) a a
学以致用
4 xy x y （1）已知 x 3 y ，求 x 2 y 2 x y 的值.
4 xy x y 解原式 x y x y x y x y
2
4 xy x 2 2 xy y 2 x y x y x y x y x y x y x y
课堂小结
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第五章分式与分式方程
3 •分式的加减法（三）
一、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在前两节课已经学习同分母分式、异分母分式的加减运 算及法
则。
在第四章学习了因式分解，对这节课异分母分式相加减和分式求值及应用内 容的学习都有了充分的铺垫。
学生活动经验基础：从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模 的思
想，用代数式去解决实际问题的经验。
同时在以前的学习中，学生也经历了很多合 作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析
分式的加减法是代数变形的基础之一，分式的化简求值又是代数运算的主要内容， 运用所
学知识解决实际问题是学习的最终目的。
教科书在原有两节课时的基础上，改编 成三节课时，本节课将重点放在运用分式的加减法。
因此本节课的教学目标为：
1、 会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；
2、 提高学生对代数式化简变形的能力；
3、 能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
4、 会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。
‘
三、教学过程设计
本节课设计了 6个教学环节：复习引入一一学习新知一一练习巩固一一再探分式加 减应用
一一巩固提高一一课堂小结。
第一环节复习引入
活动内容 问一问 同分母分式是怎样进行加减运算的？异分母分式呢?
练一练
活动目的：通过回忆同分母分式、异分母分式的加减法运算法则，来加深学生对所学知 识的认识，也为这节课铺下理论基础。
同时又通过练一练的三道题，检查学生对法则的 运用情况，加强对法则的理解应用，为本节课的学习扫平障碍。
(1) ⑵・ a -1 a b ab b c
bc
活动的注意事项：学生回答时应视情况帮助辅正，并对法则作再次的解释，让学生真正 理解法则。
对于练一练就根据学生的解答(采取演板形式)情况，对运算中一些问题作 再一次的重申，如分子添括号啊，结果约分等。
第二环节学习新知
活动内容
1 2
例 5 (1)一^ ----------- ；
(2)—
x 1 ； xy + x xy — x x +1 活动目的：这三道题从难度上较上节课有一点攀升，涵盖了分母是多项式要先分解 再通
分、分式与整式的且有整体思想的混合运算、多项但分母间分解后就有公分母的运 算，所以作为例题来讲解，也是本节课所要达到的能力目标之一， 是教科书的基本素材, 同时又能巩固异分母分式加减运算的能力，应该认真讲解。
活动的注意事项：在讲解应该侧重于培养分解因式找公分母的意识，注意通分后分 子的变
化，再次提醒学生要加括号。
第 2小题讲解时应该注重对整体法的引导，而不是 强硬的灌输，因为逐个通分一样可以解决，可以选择在讲解后再让学生自己试试，更能 体会整体思想带来的效果，或许会有更好的教学效果。
第三环节练习巩固
活动内容
计算：
活动目的：通过这三题及时检验学生掌握的情况，同时巩固例题提到的一些事项，检验 学生掌握
的情况，提高学生分式运算的能力。
活动的注意事项：采取学生演板，老师根据情况进行点评，根据学生的表现决定是否增 加相应的练习，主要目的还是巩固异分母分式加减法的运算。
备选题目：
第四环节再探分式加减的应用 活动内容
2 例6已知' =2 ,求亠_ 2y 2
的值•
y x_y x+y x_y 与同伴交流你有几种解法？ 1 a -1 -—2 a - 9 a 3
(1)1 (20 一3 (3) (1)1 _x
1 x -1 (20—^ -7^
2 ； ab — a a 2—b 2 2m 2 -2 2 .
m 一 n
做一做
根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道•由于采用新
的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10m ，从而缩短了工期.
假设原计划每天修建盲道xm ，那么
（1） 原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2） 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
活动目的：例6从一个新的角度来提升分式加减法的运用一一求值，也是我们分式变形 最终的一个落脚点一一分式求值，而此类题型在初一学生就训练了很多，一般都是直接 给出x 、y 的值，这个例题又以新的角度考查，要求学生对代数式的变形能力明显提高。
做一做则从生活实际出发要求学生会用所学习的知识，去建立数学模型并解决实际问 题。
两题都在考查学生的能力，给老师的教学一个明确的风向标。
活动的注意事项：学生在完成例6时刻能会由于基础的原因出现困难，但那是分 式加减法
的问题，前面多次提到，要扎实基础。
本题关键是给学生指明两种变形途径解
决问题：1、变已知，即书中提到的由-=2得x=2y ，消元法的思想去解决；2、变所
y
求，即将要求的式子朝已知的形式去变形。
讲解时老师应该点明这两种主导思想。
而做 一做，大多数同学对第一问没什么大的问题，但在第二问时，有些同学弄不清哪个减哪 个数。
有的用原计划减去实际的，也有的用实际减去原计划。
关键是没把握谁大谁小， 总结时可点明在分子相同的情况下，又都是正数，就看分母，分母越大，分式越小；反 之，分母越小，分式越大。
如 -51
5匕（x 0）而最后的几天一定是正数，所以一
x + 2 x + 4 定用大数减小数。
明白这一点对后面的分式方程有极大的帮助。
第五环节巩固提高
活动内容
1、先化简，再求值：
（1）已知a 二丄，求丄的值•
10 a -1 1 -a
(2) 已知x =3y ,求24Xy 2
_匚^的值• x — y x _ y
2、某蓄水池装有 A , B 两个进水管，每小时可分别进水 a t , b t •若单独开放A 进水 管，ph 可将该水池注满•如果 A , B 两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄 水池注满？
活动目的：通过这两个练习题，检验学生对分式运用的掌握情况，也能知道他们对刚刚所讲解的方法吸收了多少。
同时锻炼学生运用分式表达数量之间的关系并解决实际问题的能力，增强学生用数学解决问题的意识。
活动的注意事项：这两道练习题并不比所讲解的例题难，如果学生做的不好说明还应该
多加练习，以帮助学生更好地掌握分式的这两种应用。
第六环节课堂小结
活动内容：
1、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。
2、分式的化简求值及变形。
3、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。
活动目的：小结本节课的主要内容，让学生对所学习知识有一个整体把握，同时帮助梳理知识，再次点明关键点。
活动的注意事项：拿上课具体实例小结，效果可能更好。
布置作业：P124习题5.6
四、教学反思
1、讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好的发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式。
2、实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升。