第三章结构动力学单自由度体系详解
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结构体系称为低阻尼体系；
（2）称当为c 临 界ccr阻时尼，（ζ＝Cr1i，tically damped），
（3）称当为c 过 阻ccr尼时（，Oζv＞er1d，amped），
结构体系称为过阻尼体系。
对于钢结构： 0.02左右 钢筋混凝土结构： 0.05左右 减震结构： 0.10 ~ 0.20
)
e n t
[u(0)
cosDt
(
u(0)
D
nu(0)
)
sin
Dt]
ωD—阻尼体系的自振频率
图3.4 不同阻尼比对自由振动运动过程的影响
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
D n 1 2
ωD—阻尼体系的自振频率
2
TD
n
1 2
Tn
1 2
TD—阻尼体系的自振周期
ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小
第三章：
单自由度体系
主要内容
• 单自由度体系的自由振动反应 • 单自由度体系简谐荷载的反应 • 单自由度体系周期荷载的反应 • 单自由度体系冲击荷载的反应 • 单自由度体系任意荷载的反应 • 振动的能量 • 结构振动试验 • 地震反应分析
单自由度体系：动力自由度数为一个的动力系统
分析单自由度体系的意义： 第一、具有一般动力系统的基本特征 第二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。 第三，是多自由度体系分析的基础。
图3.1 单自由度体系
3.1 自由振动反应
自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 即 P(t)
运动方程：
mu(t) cu(t) ku(t) 0
无阻尼自由振动：不考虑阻尼
有阻尼自由振动：考虑阻尼
3.1.1 无阻尼自由振动 运动方程（无阻尼）
mu ku 0
初始条件：
3.1.2 有阻尼自由振动
低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系（Underdamped Systems）
将： c 2m n
代入：
s1,2
c 2m
( c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
EI
(b)
EI
EI
m
(c)
EI
EI
a
a
a
a
a
a
A. ωa>ωc> ωb C. ωb>ωa> ωc
B. ω a>ωb > ωc D. ωc> ωa> ωb
解：体系的约束越强，刚度越大,
所以（ A ）
2. 图a所示刚架不计分布质量，则其自振频率为：
A. 12 EI 11ml 3
B. 12 EI 7ml 3
3.1.2 有阻尼自由振动
临界阻尼和阻尼比定义 ccr 2mn 2 km
1 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现振荡所 需的最小阻尼值。
临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。
2 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，
用ζ表示
c c ccr 2mn
3.1.2 有阻尼自由振动
（1）当称c为低c阻cr 时尼，（ζU＜nd1e，r damped），
u(t) Aest
运动方程的通解为
s1 in, s2 in
u(t) A1es1t A2es2t A1eint A2eint 指数函数与三角函数的关系：
eix cosx i sin x
eix cosx i sin x 运动方程的解：
u(t) Acosnt B sinnt
A，B—待定常数，由初始条件确定。
3.1.1 无阻尼自由振动
结构自振频率和自振周期及其关系
自振圆频率：n
k m
(单位：弧度/秒, rad/s)
自振周期： 自振频率：
Tn
2 n
fn
n 2
(单位：秒, sec) (单位：周/秒, 赫兹, Hz)
例题
1.（国家一级注册结构师试题）图示三个单跨梁的自
振频率之间关系分别为:
m
m
(a)
EI
其中
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
s
in
nt
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） ωn——自振频率。
3.1.1 无阻尼自由振动
图3.1 无阻尼体系的自由振动
Tn
2 n
um maxu(t)
[u(0)]2 [u(0) ]2
n
3.1.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性
(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长，
当ζ＝1时，自振周期TD=∞
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
现场实测：ωD 和 TD 理论计算：ωn 和 Tn
D n
1 2
TD
Tn
1 2
工程中结构的阻尼比ζ 在1—5%之间， 一般不超过20%，
因此可以用 无阻尼体系的结果
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.1.1 无阻尼自由振动
设无阻尼自由振动解的形式为： u(t) Aest
其中：s 为待定系数； A 为常数 mu ku 0
系数方程： (ms2 k)Aest 0
s2 k / m n2
两个虚根： s1 in, s2 in
i
1，
n
k m
3.1.1 无阻尼自由振动
C.
3EI
ml 3
D. 10 EI
7ml 3
A
B
m
EI
EI
C
A
B
m C
l
EA= ∞
EI=∞ D
l
l
（a）
（b）
解:此结构相当于图b。
3.1.2 有阻尼自由振动 运动方程：
初始条件：
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.2 有阻尼自由振动
令u(t) Aest ，代入运动方程
得：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
2 n
n k m
3.1.2 有阻尼自由振动
u(t) Aest
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
当
(
c 2m
)2
n 2
0
体系不发生往复的振动
当
(
c )2 2m
n
2
0
体系产生往复的振动
来自百度文库
使
(
c )2 2m
n 2
0
成立的阻尼c称为临界阻尼
临界阻尼记为ccr： ccr 2mn 2 km
3.1.1 无阻尼自由振动
将位移 u(t) Acosnt B sin nt
和速度 u(t) n Asinnt nB cosnt
u t0 u(0) A
初始条件代入：
u t0 u(0) nB
得待定常数为： A u(0), B u(0) n
3.1.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解
（2）称当为c 临 界ccr阻时尼，（ζ＝Cr1i，tically damped），
（3）称当为c 过 阻ccr尼时（，Oζv＞er1d，amped），
结构体系称为过阻尼体系。
对于钢结构： 0.02左右 钢筋混凝土结构： 0.05左右 减震结构： 0.10 ~ 0.20
)
e n t
[u(0)
cosDt
(
u(0)
D
nu(0)
)
sin
Dt]
ωD—阻尼体系的自振频率
图3.4 不同阻尼比对自由振动运动过程的影响
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
D n 1 2
ωD—阻尼体系的自振频率
2
TD
n
1 2
Tn
1 2
TD—阻尼体系的自振周期
ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小
第三章：
单自由度体系
主要内容
• 单自由度体系的自由振动反应 • 单自由度体系简谐荷载的反应 • 单自由度体系周期荷载的反应 • 单自由度体系冲击荷载的反应 • 单自由度体系任意荷载的反应 • 振动的能量 • 结构振动试验 • 地震反应分析
单自由度体系：动力自由度数为一个的动力系统
分析单自由度体系的意义： 第一、具有一般动力系统的基本特征 第二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。 第三，是多自由度体系分析的基础。
图3.1 单自由度体系
3.1 自由振动反应
自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 即 P(t)
运动方程：
mu(t) cu(t) ku(t) 0
无阻尼自由振动：不考虑阻尼
有阻尼自由振动：考虑阻尼
3.1.1 无阻尼自由振动 运动方程（无阻尼）
mu ku 0
初始条件：
3.1.2 有阻尼自由振动
低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系（Underdamped Systems）
将： c 2m n
代入：
s1,2
c 2m
( c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
EI
(b)
EI
EI
m
(c)
EI
EI
a
a
a
a
a
a
A. ωa>ωc> ωb C. ωb>ωa> ωc
B. ω a>ωb > ωc D. ωc> ωa> ωb
解：体系的约束越强，刚度越大,
所以（ A ）
2. 图a所示刚架不计分布质量，则其自振频率为：
A. 12 EI 11ml 3
B. 12 EI 7ml 3
3.1.2 有阻尼自由振动
临界阻尼和阻尼比定义 ccr 2mn 2 km
1 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现振荡所 需的最小阻尼值。
临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。
2 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，
用ζ表示
c c ccr 2mn
3.1.2 有阻尼自由振动
（1）当称c为低c阻cr 时尼，（ζU＜nd1e，r damped），
u(t) Aest
运动方程的通解为
s1 in, s2 in
u(t) A1es1t A2es2t A1eint A2eint 指数函数与三角函数的关系：
eix cosx i sin x
eix cosx i sin x 运动方程的解：
u(t) Acosnt B sinnt
A，B—待定常数，由初始条件确定。
3.1.1 无阻尼自由振动
结构自振频率和自振周期及其关系
自振圆频率：n
k m
(单位：弧度/秒, rad/s)
自振周期： 自振频率：
Tn
2 n
fn
n 2
(单位：秒, sec) (单位：周/秒, 赫兹, Hz)
例题
1.（国家一级注册结构师试题）图示三个单跨梁的自
振频率之间关系分别为:
m
m
(a)
EI
其中
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
s
in
nt
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） ωn——自振频率。
3.1.1 无阻尼自由振动
图3.1 无阻尼体系的自由振动
Tn
2 n
um maxu(t)
[u(0)]2 [u(0) ]2
n
3.1.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性
(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长，
当ζ＝1时，自振周期TD=∞
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
现场实测：ωD 和 TD 理论计算：ωn 和 Tn
D n
1 2
TD
Tn
1 2
工程中结构的阻尼比ζ 在1—5%之间， 一般不超过20%，
因此可以用 无阻尼体系的结果
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.1.1 无阻尼自由振动
设无阻尼自由振动解的形式为： u(t) Aest
其中：s 为待定系数； A 为常数 mu ku 0
系数方程： (ms2 k)Aest 0
s2 k / m n2
两个虚根： s1 in, s2 in
i
1，
n
k m
3.1.1 无阻尼自由振动
C.
3EI
ml 3
D. 10 EI
7ml 3
A
B
m
EI
EI
C
A
B
m C
l
EA= ∞
EI=∞ D
l
l
（a）
（b）
解:此结构相当于图b。
3.1.2 有阻尼自由振动 运动方程：
初始条件：
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.2 有阻尼自由振动
令u(t) Aest ，代入运动方程
得：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
2 n
n k m
3.1.2 有阻尼自由振动
u(t) Aest
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
当
(
c 2m
)2
n 2
0
体系不发生往复的振动
当
(
c )2 2m
n
2
0
体系产生往复的振动
来自百度文库
使
(
c )2 2m
n 2
0
成立的阻尼c称为临界阻尼
临界阻尼记为ccr： ccr 2mn 2 km
3.1.1 无阻尼自由振动
将位移 u(t) Acosnt B sin nt
和速度 u(t) n Asinnt nB cosnt
u t0 u(0) A
初始条件代入：
u t0 u(0) nB
得待定常数为： A u(0), B u(0) n
3.1.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解