第三章结构动力学单自由度体系详解
(结构动力学3)单自由度41解析
1 1 2 (0)] 2 EI E Ek Es k[u (0)] m[u 2 2
无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随 时间变化，等于初始时刻输入的能量。
3.3自由振动过程中的能量
有阻尼体系中的能量: 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为：
)u dt cu dt ED f D du (cu
3.2 有阻尼自由振动
4.自由振动试验
解：
⑤ 阻尼系数c
c c c ccr 2mn 2 m k
0.0276 m 9.24t
c (2 km )
k 1460kN m
0.0276 2 1460 9.24 6.41kN s m
3.2 有阻尼自由振动
3.3自由振动过程中的能量
无阻尼体系中的能量:
u (t ) u (0) cos n t ( 0) u sin n t
Ek 1 (t )] 2 m[u 2 Es 1 k[u (t )] 2 2
n
(0) 1 u 2 E k m n [u(0) sin n t cos n t ]2 2 n (0) 1 u E s k [u(0) cos n t sin n t ]2 2 n
自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性
3.1 无阻尼自由振动
结构自振频率和自振周期及其关系
k 自振圆频率： n (单位：弧度/秒, rad/s) m
自振周期：
Tn
2
n
(单位：秒, sec)
自振频率：
n fn (单位：周/秒, 赫兹, Hz) 2
ui 1 ln 2j ui j
3 单自由度体系1
r n
r 1 1 r2 0
U0 u p (t ) ( 2 )( cos t) r 1
反应与荷载反相位。 动位移可能放大，也可 能缩小。 因为频率比平方减1可小于 1.0，也可大于1.0。 界限频率为
Ds
r
n
2
以1.414为界，当频率比小于1.414，反应放大，大于 1.414，则反应缩小。
2
(3.3)
一般结构阻尼比
结构 钢筋混凝土结构 钢结构 混凝土坝 土石坝 故课程只讲低阻尼情况
阻尼比 0.05 0.02-0.03 0.05-0.10 0.05-0.15
二阶常微分方程的求解：特解+通解
u(t ) u p (t ) u c (t )
求齐次方程，得通解
2 u 2 n u n u 0
uk ln( ) 2 n uk n 1
例题: 图示屋顶系统施加一水平力9.8kN，测得侧移0.5cm， 然后突然放开使结构方式水平自由振动。再测得周期为 1.5s及一个周期后的侧移为0.4cm。求结构的阻尼比和阻 尼系数。
解：
u 1 1 0.5 ln( k )= ln( )=0.0355 2 uk 1 2 0.4
u1 (t ) u2 (t ) u1 (t )= 2C cos nt 2
u1 (t ) u2 (t ) u2 (t )= 2C sin nt 2i
u1 (t )、u2 (t ) 及其组合仍然是方程的解
u(t ) A1 cos nt A2 sin nt
将初始条件代入上式
用求极值的方法确定放大倍数的最大值发生在
r 1 2 2
Ds ,max 1 2 1 2
第3章 单自由度体系1(时域)
第三章单自由度体系自由振动和强迫振动时域分析3.1力学模型•单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom ）System•结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定•分析单自由度体系的意义：1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。
2、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系统进行分析重力的影响1、考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。
在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。
2、当需要考虑重力影响时，结构的总位移为总位移=静力解+动力解应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。
在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。
重力的影响3、注意1：由于应用了叠加原理，上述结论是用于线弹性体系。
4、注意2，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。
如果重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。
1.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：121212()n n i ti ts ts tu t c e c ec ec eωω−=+=+指数函数与三角函数的关系：cos sin cos sin ixixe x i x ex i x−=+=−运动方程的解：()cos sin n n u t A t B tωω=+A ，B —待定常数，由初始条件确定。
一些重要性质：（1）自振周期只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。
（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
结构动力学单
m
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。
m
l m EI
EI
l/2
2EI
l
l
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。 m EI1=∞
EI=C EI m
l
EI
刚度系数计算方法
— 利用位移基本体系
l
罗健
l
l
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
上面方程可写成
(t ) y(t ) 0 y
2
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
⑵、柔度法
由达朗伯尔原理，质点m在t时刻的位移y(t)可以看成是t 时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成： y(t)
m
FI
1
y(t ) 11 FI (t ) (t )) 11 (m y
2
罗健
结构动力学
北京建筑 (小阻尼)情况：
1,2 i 1 2
令： d 1 2
称为有阻尼自振频率。
y(t ) et (C1 cos d t C2 sin d t )
由初始条件确定任意常数C1和C2： 设 t=0 时，
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
3.3 有阻尼体系的自由振动 无阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征， 没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过 程中总能量保持不变。 与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。 但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总 是逐渐衰减额，最终消失。质量m静止在静力平衡位置 这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。
结构力学-单自由度体系
K2
EI=∞ C
D
E
F
G K1 x G
m
A K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F m dx
由∑MG=0 得：
R
K1y(t)/2
y (t ) R 2 L K1 L 2
2L
0
xy (t ) m dx ( ) x 0 2L
3）考虑ABDE部分的受力
A
x
m dx
D
E y(t)
(t ) m( j d ) y y y 惯性力：I (t ) m
其中 或
j d ) k ( y j yd ) W ……………(a) m( y y j 0 上式可以简化为 y kyj=W 及 d kyd 0 m y ky 0 m y .......... .......... .......... ......(b)
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
振动方程的建立：
考虑图示单质点的振动过程。杆 件的刚度为EI，质点的质量为
P(t)
y(t)
EI
m, 时刻 t 质点的位移y(t)
1. 阻尼力
(t ) 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反 FD Cy
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括: ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量
m FD FE FI P(t)
P(t)
y(t)
EI
FD+ FE+ FI+ P(t) = 0
例题1:
K2
EI=∞ C
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
结构动力学第三章
x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
第3章 单自由度体系
• 单自由度体系，就是只有1个自由度的结构动力系统，是最 简单也是最重要的结构振动系统。其重要性体现在：
– 工程实际中许多结构体系简化为单自由度体系，得到的 结果具有相当高的精度，完全满足工程误差要求，而对 单自由度体系的研究比对多自由度体系的研究简便得 多；
– 单自由度体系振动的研究和结论是研究多自由度体系和 无限自由度体系的基础。
弯矩图如右下图所示，由结构力学的图乘法
1
l/2
1
EI
δ
M
l/4
δ = 1 (1 ⋅ l ⋅l × 2 ⋅ l + 1 ⋅ l ⋅ l × 2 ⋅ l × 2) = 5l 3
EI 2 2 3 2 2 4 2 3 4
48EI
将柔度系数带入变形方程并化简得
m&y& +
48EI 5l 3
y
=0
例3.9 简支梁的右端为弹簧支承，跨中有一集中质量。
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)
单自由体系名词解释
单自由体系名词解释
单自由度系统（Single Degree of Freedom System）是指工程动力学和振动学中常用的一个概念，用来描述一个仅有一个自由度运动的系统。
这个自由度通常是指系统的一个独立运动参数，如质点在一维空间内的位移或者转角。
在单自由度系统中，该自由度的运动可以完全描述整个系统的动态特性。
单自由度系统的经典例子是弹簧质点振子系统，也就是简谐振动系统。
这种系统由一个质点 （质量为m）通过一根弹簧 （弹性系数为k）与一个固定支点相连构成。
该质点在弹簧的作用下可以在水平方向上作简谐振动。
单自由度系统的重要特征包括：
- 自由度： 单自由度系统中仅有一个运动自由度。
- 动力学方程： 可以使用牛顿运动定律和哈克定律等原理来建立该系统的运动方程，描述质点运动的规律。
- 简谐振动： 如果系统的回复力服从胡克定律，并且没有阻尼和外力的作用，系统将表现出理想的简谐振动。
- 阻尼和非线性： 通常情况下，单自由度系统可能会有阻尼和非线性因素的存在，这会使得其振动特性发生变化。
单自由度系统的研究对于理解振动学原理、分析结构动力学响应、设计工程结构等方面都具有重要意义。
它为工程师和研究人员提供了一种简化模型来分析和预测结构或系统的振动行为，对于许多工程应用和设计过程都具有指导意义。
1/ 1。
第三章结构动力学单自由度体系详解
无阻尼体系的自振频率。若结 构阻尼比为0.03，求解结构的 自振频率、阻尼系数及自由振
k
P u0
98103 0.5102
1.96104
kN / m
动
反
应
表
达
式
。
n
k m
1.96107 44.2719 rad / s 104
当 0.03 ，自振频率
D n 1 2 44.2719 1 0.032 44.2520rad / s
EI ， 屋 盖 系 统 和 横 梁 重 量 以及柱子的部分重量可以认为
集中在横梁处，设总重
为 m 1104 kg 。为了确定水平
振动时门架的动力特性，我们
进行以下振动实验：在横梁处
加一水平力 P 98kN ，门架发 生侧移 u0 0.5cm；然后突然释放， 使结构自由振动。求解相应的
图3.5 单层建筑计算简图
其中
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
s
in
nt
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） ωn——自振频率。
3.1.1 无阻尼自由振动
图3.1 无阻尼体系的自由振动
Tn
2 n
um maxu(t)
[u(0)]2 [u(0) ]2
n
3.1.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性
3.1.2 有阻尼自由振动
临界阻尼和阻尼比定义 ccr 2mn 2 km
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
第三章_单自由度机械系统动力学
2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
单自由度机械系统的动力学方程2 q
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解
注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
2-1结构动力学(单自由度)解析
2. 有阻尼自由振动
cy ky FP (t ) m y
FP(t)=0
cy ky 0 m y
k c , 2 m m
2
2y y 0 y
2
2. 有阻尼自由振动
2 y 2y y 0
特征方程
y 0 y0 y 0 v0
y (t ) y 0 cost
v0
sin t
（1）方程的解
y(t ) y0 cost v0
sin t
y(t ) A sin t
振幅
（amplitude of vibration）
A
y0
2
0 y v0 2 ＝ y0
m/2
EI EI EI
m
l
2 l3 11 3 EI
l
1 3 2l 3 m 2 3EI
EI ml 3
3. 质点重W，求图示体系的自振频率。
k11 k
EI k
3EI l3
l
m W / g
3EI k 3 l g W
4. 求图示体系的自振频率。
m
EI EI1=∞ EA l
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
结构动力学单自由度
300
400
2 Acceleration (cm/s )
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
动荷载→结构产生弹性变形 荷载变化→结构变形变化 变形变化→结构上质点振动 质点振动→惯性力 独立参数确定质量的位置 独立参数的数量：振动自由度
m y m y m y
W=m g W=m g
m y
W=m g W=m g
定义
在振动过程的任一时刻，为了表示全部有意义的 惯性力的作用，所必须考虑的独立位移分量的个 数，称为体系的动力自由度。
直接平衡法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。 根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 法和柔度法。
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立
k 1
n
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。 nπ x ( x ) bn sin l n 1
结构动力学3-2
(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
&& & (mu )udt
m[−ω u0 sin(ωt − φ )][ωu0 cos(ωt − φ )]dt = 0
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析 计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更 为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第3章 单自由度体系
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
制，或说衰减规律可以明显反应出 阻尼比ζ的影响。而动力放大系数同 样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
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3.1.1 无阻尼自由振动
结构自振频率和自振周期及其关系
自振圆频率：n
k m
(单位：弧度/秒, rad/s)
自振周期： 自振频率：
Tn
2 n
fn
n 2
(单位：秒, sec) (单位：周/秒, 赫兹, Hz)
例题
1.（国家一级注册结构师试题）图示三个单跨梁的自
振频率之间关系分别为:
m
m
(a)
EI
图3.1 单自由度体系
3.1 自由振动反应
自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 即 P(t)
运动方程：
mu(t) cu(t) ku(t) 0
无阻尼自由振动：不考虑阻尼
有阻尼自由振动：考虑阻尼
3.1.1 无阻尼自由振动 运动方程（无阻尼）
mu ku 0
初始条件：
3.1.2 有阻尼自由振动
临界阻尼和阻尼比定义 ccr 2mn 2 km
1 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现振荡所 需的最小阻尼值。
临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。
2 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，
用ζ表示
c c ccr 2mn
3.1.2 有阻尼自由振动
（1）当称c为低c阻cr 时尼，（ζU＜nd1e，r damped），
)
e n t
[u(0)
cosDt
(
u(0)
D
nu(0)
)
sin
Dt]
ωD—阻尼体系的自振频率
图3.4 不同阻尼比对自由振动运动过程的影响
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
D n 1 2
ωD—阻尼体系的自振频率
2
TD
n
1 2
Tn
1 2
TD—阻尼体系的自振周期
ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小
3.1.2 有阻尼自由振动
低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系（Underdamped Systems）
将： c 2m n
代入：
s1,2
c 2m
( c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.1.1 无阻尼自由振动
设无阻尼自由振动解的形式为： u(t) Aest
其中：s 为待定系数； A 为常数 mu ku 0
系数方程： (ms2 k)Aest 0
s2 k / m n2
两个虚根： s1 in, s2 in
i
1，
n
k m
3.1.1 无阻尼自由振动
EI
(b)
EI
EI
m
(c)
EI
EI
a
a
a
a
a
a
A. ωa>ωc> ωb C. ωb>ωa> ωc
B. ω a>ωb > ωc D. ωc> ωa> ωb
解：体系的约束越强，刚度越大,
所以（ A ）
2. 图a所示刚架不计分布质量，则其自振频率为：
A. 12 EI 11ml 3
B. 12 EI 7ml 3
3.1.1 无阻尼自由振动
将位移 u(t) Acosnt B sin nt
和速度 u(t) n Asinnt nB cosnt
u t0 u(0) A
初始条件代入：
u t0 u(0) nB
得待定常数为： A u(0), B u(0) n
3.1.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解
c 2m
(
c )2 2m
2 n
n k m
3.1.2 有阻尼自由振动
u(t) Aest
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
当
(
c 2m
)2
n 2
0
体系不发生往复的振动
当
(
c )2 2m
n
2
0
体系产生往复的振动
使
(
c )2 2m
n 2
0
成立的阻尼c称为临界阻尼
临界阻尼记为ccr： ccr 2mn 2 km
C.
3EI
ml 3
D. 10 EI
7ml 3
A
B
m
EI
EI
C
A
B
m C
l
EA= ∞
EI=∞ D
l
l
（a）
（b）
解:此结构相当于图b。
3.1.2 有阻尼自由振动 运动方程：
初始条件：
u t0 u(0), u t0 u(0)
3.2 有阻尼自由振动
令u(t) Aest ，代入运动方程
得：
s1,2
u(t) Aest
运动方程的通解为
s1 in, s2 in
u(t) A1es1t A2es2t A1eint A2eint 指数函数与三角函数的关系：
eix cosx i sin x
eix cosx i sin x 运动方程的解：
u(t) Acosnt B sinnt
A，B—待定常数，由初始条件确定。
其中
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
s
in
nt
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） ωn——自振频率。
3.1.1 无阻尼自由振动
图3.1 无阻尼体系的自由振动
Tn
2 n
um maxu(t)
[u(0)]2 [u(0) ]2
n
3.1.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性
(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长，
当ζ＝1时，自振周期TD=∞
3.1.2 有阻尼自由振动
3.低阻尼体系
现场实测：ωD 和 TD 理论计算：ωn 和 Tn
D n
1 2
TD
Tn
1 2
工程中结构的阻尼比ζ 在1—5%之间， 一般不超过20%，
因此可以用 无阻尼体系的结果
结构体系称为低阻尼体系；
（2）称当为c 临 界ccr阻时尼，（ζ＝Cr1i，tically damped），
（3）称当为c 过 阻ccr尼时（，Oζv＞er1d，amped），
结构体系称为过阻尼体系。
对于钢结构： 0.02左右 钢筋混凝土结构： 0.05左右 减震结构： 0.10 ~ 0.20
第三章：
单自由度体系
主要内容
• 单自由度体系的自由振动反应 • 单自由度体系简谐荷载的反应 • 单自由度体系周期荷载的反应 • 单自由度体系冲击荷载的反应 • 单自由度体系任意荷载的反应 • 振动的能量 • 结构振动试验 • 地震反应分析
单自由度体系：动力自由度数为一个的动力系统
分析单自由度体系的意义： 第一、具有一般动力系统的基本特征 第二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。 第三，是多自由度体系分析的基础。