流体力学第3章-流体力学基本方程组(zhou)
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第三章 流体力学基本方程组2PPT课件
S
r
F：单位质量上的质 量力分布函数
对体积单元τ应用动量矩定理，取任一点为力矩参考点，r为流 体微元到参考点的矢径，则动量矩定理表达式为：
r ( tv ) S r v n v S r F S r p n S
动量矩的变化率
合外力的力矩 16
Lamb-Γpomeko形式的运动方程
τ
n
U
V2 2
d
单位时间内质量力和面力 FvdspnvdS
所做的功： 24
第三节 流体流动的能量方程
dS τ
单位时间内由于热传导通
过表面S传给τ内的热量为：
n
T k dS 傅利叶公式 s n
设q为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单 位质量的热量分布函数，定义为：
lim qdQ Q dm m0 m
w ed dov td d tr(r)
wc 2(vr)
d d vrtF虚w 拟e 质2 量力(vr)div
流体在运动坐标系中的运动方程 23
第三节 流体流动的能量方程
能量守恒定律：体积τ内流体的动能和内能的改变率等于
单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体
积τ内的热量。 dS
内能和动能的总和：
第三章 流体力学基本方程组
1
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
2
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成： 1 单位时间内通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
的质量：
svnS
3
2 由于密度场的不定常性，单位时间内体积τ的 质量减少
绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科氏加速度
r
F：单位质量上的质 量力分布函数
对体积单元τ应用动量矩定理，取任一点为力矩参考点，r为流 体微元到参考点的矢径，则动量矩定理表达式为：
r ( tv ) S r v n v S r F S r p n S
动量矩的变化率
合外力的力矩 16
Lamb-Γpomeko形式的运动方程
τ
n
U
V2 2
d
单位时间内质量力和面力 FvdspnvdS
所做的功： 24
第三节 流体流动的能量方程
dS τ
单位时间内由于热传导通
过表面S传给τ内的热量为：
n
T k dS 傅利叶公式 s n
设q为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单 位质量的热量分布函数，定义为：
lim qdQ Q dm m0 m
w ed dov td d tr(r)
wc 2(vr)
d d vrtF虚w 拟e 质2 量力(vr)div
流体在运动坐标系中的运动方程 23
第三节 流体流动的能量方程
能量守恒定律：体积τ内流体的动能和内能的改变率等于
单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体
积τ内的热量。 dS
内能和动能的总和：
第三章 流体力学基本方程组
1
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
2
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成： 1 单位时间内通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
的质量：
svnS
3
2 由于密度场的不定常性，单位时间内体积τ的 质量减少
绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科氏加速度
高等流体力学-流体力学基本方程组ppt
状态方程
总结词
描述流体状态变化的方程
详细描述
状态方程是流体动力学中描述流体状态变化的方程。它 表达了流体的某些物理属性之间的关系。在流体力学中 常用的状态方程包括理想气体状态方程、理想液体状态 方程和真实气体状态方程等。理想气体状态方程通常可 以表示为：$pV = nRT$，其中$p$是压力，$V$是体积， $n$是摩尔数，$R$是气体常数，$T$是温度。理想液体 状态方程通常可以表示为：$rho = text{常数}$。
非线性性
大多数流体力学方程是非线性的，这 意味着它们不满足叠加原理。非线性 方程的解通常更加复杂，可能需要特 定的初始和边界条件来求解。
定常与非定常性
要点一
定常性
定常或稳态方程描述的是不随时间变化的流动状态。定常 方程通常更容易求解，因为它们不包含时间导数项。
要点二
非定常性
非定常或非稳态方程描述的是随时间变化的流动状态。求 解非定常方程通常需要使用数值方法，因为它们包含时间 导数项，需要追踪流动随时间的变化。
02
流体的运动规律对于理解自然现 象、优化工程设计、提高生产效 率等方面具有重要意义。
流体力学的发展历程
01
流体力学的发展可以追溯到古代，如中国的水利工程和灌溉系 统等。
02
17世纪，牛顿建立了经典力学体系，为流体力学的发展奠定了
基础。
19世纪末到20世纪初，随着工业革命和科技的发展，流体力学
03
03
流体力学基本方程组的推导
连续性方程的推导
总结词
连续性方程描述了流体质量守恒的性质，通过质量守恒原理推导得出。
详细描述
连续性方程基于质量守恒原理，即流入和流出一个封闭系统的质量之差等于系统内质量的增加或减少。在流体力 学中，连续性方程表达了单位时间内流入流出控制体的流体质量流量与控制体内流体质量的变化率之间的关系。
流体力学基本方程组
（7）
du ρ − ρ f − divP δτ = 0 ∫∫∫ dt τ 其中P是应力张量，则， du ρ = ρ f + divP dt
∂ Pij du i ρ = ρfi + dt ∂x j
2011-12-1
（8） （9） （10）
----------微分形式的动量方程。
13
2 微分形式的连续方程 据输运公式， d Φ dτ
dt
∫∫∫ τ
=
∫∫∫ τ
∂Φ + div (Φ u ) d τ ∂t
（1）式变为：
∂ρ + div(ρu )dτ = 0 ∫∫∫ ∂t τ
（3）
假设被积函数连续,
τ 任意,则被积函数一定为0,于是
（4a）
控制体
τ
d 1 ∫∫∫ Φdτ = lim ∫∫∫ [Φ(r , t + ∆t ) − Φ(r , t )]dτ + ∫∫∫ Φ(r , t + ∆t )dτ dt τ ∆t →0 ∆t τ (t ) ∆τ
4)式的意义: 体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一 项表明 Φ 随 t 变化而引起,第二项代表由于流体体积改 变了 ∆τ 后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为: ∂Φ ∫∫∫ ∂t dτ （5） τ 再看4）式右边第二项： 因为： 于是：
d 1 ρ e + 2 u i u i = ρ dt
( )
i
∫∫ qi ni ds = ∫∫∫
s
∂ qi
τ ∂ xi
dτ
f u
+ i
∂ ∂
x
(u
流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
23
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
2021/7/22
12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
2021/7/22
1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
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13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
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于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
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1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
03第三章 流体力学的基本方程
15
江苏大学
Jiangsu University
：从1至2断面的能量损 hw
失（单位重量流体）
六、实际微小流束的伯努利方程 1. 急变流与缓变流 缓变流：流线之间的夹角很小，流线间几乎是平行的，且流线曲率半径 很大。即：流线近似平行直线的流动。 急变流：不满足缓变流条件之一的流动。
( v )v 0?
2．动能修正系数
1 2 dQv A 2 2 1 Q v 2
v2 A 2 g gdQ v gQ 2g
2
3．总流伯努利方程的导出 总流是无数微小流束的总和，总流的 伯努利方程只要对微小流束的伯努利 积分在整个断面上积分便可求出：
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g 2 p1 v12 p2 v2 ) gdQ A1 ( z1 g 2g )gdQ A2 ( z 2 g 2g hw 1 p x x PF 1 p y y PF 1 p z z
4
江苏大学
Jiangsu University
v2 (W PF ) 2(v z y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(v x z v z x ) y 2
2 1 1
2 2
方程的意义：断面1单位重量流体的机械能=断面2单位重量流体的机械能+ 断面之间单位重量流体的机械能损失 伯努利方程的适用条件： 1）定常流动 ；2）不可压缩均质流体 ；3）重力流体，质量力只受重力 4）缓变流断面 伯努利方程应用注意： 1）方程式不是对任何流动都适用的，注意其使用条件；2）常常和一元 连续性方程连用 ；3）方程中的位置水头是相对的，通常取在轴线或较 低断面上；4）两个断面的压强标准必须一致，一般用表压（相对压强） ；5）在选取二个过流断面时，尽可能只包含一个未知数，如水库水面、 大容器水面、出口断面等；6）方程要求二个断面都是缓变流断面，但并 不要求二个断面之间是缓变流 ；7）在多数工程计算中，位置水头或压 20 强水头都较大，而流速水头都较小 ，动能修正系数为1.0
第3章-流体力学基本方程组
习题四
4、试推导理想流体平面二维运动欧拉微分方程式。 推导： 平面二维理想流动微元dxdy上的应力及单位质量力分布如图所示 dυ F =m 根据动量定律： ∑
dt ⎡ ⎛ ∂p dx ⎞ ∂p dx ⎞ ⎤ ∂p ⎛ Fx = ⎢ − ⎜ p + dy + ⎜ p − dy ⎥ + f x ρ dxdy = − dxdy + f x ρ dxdy 在x方向： ∑ ⎣ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎦ ∂x ⎠ ⎠ ⎛ ∂υ ∂υ ∂υ ⎞ dυ m x = ρ dxdy ⎜ x + υ x x + υ y x ⎟ ∂υ x ∂υ x ∂υ x 1 ∂p ∂x ∂y ⎠ dt ⇒ + υx +υy = fx − ⎝ ∂t ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂υ y ∂υ y ⎞ ⎫ ⎛ ∂υ y = ρ dxdy ⎜ + υx +υy ⎟⎪ dt ∂t ∂x ∂y ⎠ ⎪ ⎝ ⎬ ∂p ∑ Fy = − ∂y dydx + f y ρ dxdy ⎪ ⎪ ⎭ ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⇒ + υx +υy = fy − ∂t ∂x ∂y ρ ∂y dυ y
∂v ⇒ = −2ax ∂y
积分
v = −2axy + vc ( x)
y=0 v=0
⇒ vc ( x) = 0
⇒ v = −2axy
习题四
2、假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上 的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式：
∂ ∂ ρ A ) + ( ρ Au ) = 0 ( ∂t ∂s
υ1方向与图中所示y方向相反。将坐标系建立在 平板上，方向设置如图所示，在平板上选择如图 所示的薄层为控制体，此时控制体内的流动就可 看作定常流动，根据积分形式的动量方程：
《流体力学第三章》PPT课件
第三章 流体动力学基础
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利 用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及 总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能 量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程 在工程应用上的分析计算方法。
第一节 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场 中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综 合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流 动。——质点系法
ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,试求t =
dx xt dt
dy y t dt
求解
0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 t = 0 时过
M(-1,-1)：
x C1 e t t 1 y C2 e t t 1
运动的轨迹，是与 拉格朗日观点相对 应的概念。
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方程。
t 是变数，a,b,c 是参
数。
18
(2)迹线的微分方程
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数， 且t是自变量。 注意：恒定流时流线和迹线重合； 非恒定流时流线和迹线不重合；
举例
已知直角坐标系中的速度场
（3）流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程, 设ds为流线上A处的一微元弧长:
u为流体质点在A点的流速:
因为
所以
——流线方程
【例】
有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky， uy = kx， uz=0， 试求其流线方程。 解: uz =0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
高等流体力学—流体力学基本方程组
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数， 即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数
展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴 方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
图 3-1 流场中的微元平行六面体
0.5 (m/s) 2 0 . 5 1
21
图 3-14 输水管道
22
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
23
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：
1 通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
程。
11
若流体是定常流动，则
0， t
上式成为
u v w 0 x y z
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续 性方程。
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
19
【例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布
规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-8）
所以
u 2 x sin y x
v 2 x sin y y
u v 2 x sin y (2 x sin y ) 0 x y
( x, y, z, t dt ) dt t
10
则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
Chapter 3 流体运动的基本方程组
Chapter 3 流体运动的基本方程组本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。
§3.1系统和控制体系统（sys ）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。
系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。
控制体（CV ）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（CS ）。
控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。
物质体元即流体微团。
物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
时间线就是物质线。
（三者如同面团、薄饼和面条） §3.2雷诺输运定理设(),f r t 代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），t 时刻某流体团（即系统）占据空间τ，取该空间为控制体。
t 时刻该流体团的总f 为()(),I t f r t d ττ=⎰。
（3-1）此I 也是t 时刻控制体内的总f 。
设t t δ+时刻（0t δ→）该系统运动到如图所示位置，占据空间τ'，此时系统的总f 为()(),I t t f r t t d τδδτ'+=+⎰。
（3-2）该系统总f 的随体导数()()()0lim t I t t I t DI t Dt tδδδ→+-=。
（3-3）将空间II τ分为与空间I τ重合的部分2τ和其余部分1τ，空间I τ去除2τ后剩余部分记为3τ，于是13ττττ'=+-，（3-4）进而()()()()13I t t I t t I t t I t t τττδδδδ+=+++-+，（3-5）可得()()()()()130lim t I t t I t t I t t I t DI t Dt tττττδδδδδ→+++-+-=()()()()31000lim lim lim t t t I t t I t t I t t I t t t tττττδδδδδδδδδ→→→+++-=+-， （3-6）其中第一项()()()0limt I t t I t I t t t ττδδδ→+-∂=∂。
第三章 流体力学基本方程组
s
s
pij p ji
微分形式的动量矩定理 —— 应力张量的对称性
§3-3 能量方程
第三章 流体力学基本方程组 9
§3-3-1 能量所依据的物理定律 — 能量守恒定律
— 能量守恒定理：在物质体内的内能和机械能的增加率等于外力对该物
质体所做的功及其它形式的能量（包括传热或辐射等）的输入率
§3-2-2 能量守恒定律的量化描述—能量方程
S
§3-3 能量方程 §3-2-2 能量守恒定律的量化描述 — 微分形式能量方程
第三章 流体力学基本方程组 11
2 T s V d F V q p V s k ( ) ( ) U n n dt 2 S S 面积分→体积分 pn Vs (n P) Vs n ( P V )s ( P V )
d V F p ns dt
s
积分形式的 d r 动量矩定理 V r F r pns dt s ( V ) r t r vnVs r F r pns
积分形式的 动量方程
s
§3-2 运动方程
第三章 流体力学基本方程组 6
§3-2-2 动量定律及动量矩定律的量化描述—运动方程
1. 动量定律的量化描述 —— 微分形式的动量方程
d V dt F n Ps s F P
cijklalk 0
ij ij kl slj ( ik jl il jk ) slk ij s kk ( s ji sij ) ij ij s kk 2 s ij
s
pij p ji
微分形式的动量矩定理 —— 应力张量的对称性
§3-3 能量方程
第三章 流体力学基本方程组 9
§3-3-1 能量所依据的物理定律 — 能量守恒定律
— 能量守恒定理：在物质体内的内能和机械能的增加率等于外力对该物
质体所做的功及其它形式的能量（包括传热或辐射等）的输入率
§3-2-2 能量守恒定律的量化描述—能量方程
S
§3-3 能量方程 §3-2-2 能量守恒定律的量化描述 — 微分形式能量方程
第三章 流体力学基本方程组 11
2 T s V d F V q p V s k ( ) ( ) U n n dt 2 S S 面积分→体积分 pn Vs (n P) Vs n ( P V )s ( P V )
d V F p ns dt
s
积分形式的 d r 动量矩定理 V r F r pns dt s ( V ) r t r vnVs r F r pns
积分形式的 动量方程
s
§3-2 运动方程
第三章 流体力学基本方程组 6
§3-2-2 动量定律及动量矩定律的量化描述—运动方程
1. 动量定律的量化描述 —— 微分形式的动量方程
d V dt F n Ps s F P
cijklalk 0
ij ij kl slj ( ik jl il jk ) slk ij s kk ( s ji sij ) ij ij s kk 2 s ij
第三章流体力学--流体力学基本方程
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v ay t u x v y w z
az
w t
u
w x
v
w y
dx dy dz x 2y 5z
dx1d(2y)d(5z) x 2 2y 5z
dx x
1 2
d(2 y) 2y
dx x
d(5 z) 5 z
由上述两式分别积分，并整理得：
§3-1 描述流体运动的方法
x
y c1
①
xc2z5c2 0
即流线为曲面 x y c1 和平面 xc2z5c20的交线。
§3-1 描述流体运动的方法
动
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
例1：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0
求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：
dx dy x y
因此：
d dt
d
dM dt
t
d
A
vndA
对于任一物理量φ（如动量）：
d dt
d
t
d
vndA
A
φ——单位体积的某物理量。
§3-2 连续性方程
d dt
d
t
d
vndA
A
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的 时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。
第三章-流体力学基本方程
力为
px dxdydz x
同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的
合力分别为
py dxdydz y
pz dxdydz z
3.3.1 流体的表面应力张量
综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力
的合力
px x
dxdydz
py y
dxdydz
pz z
dxdydz
dxdydz
px py pz x y z
t xi
使用恒等式 ( u) (u ) u ，连续性方程可写 成
D u 0
Dt
其中：
D (u )
Dt t
3.2 连续性方程
对于定常流动， 0 ，连续性方程变成
t
( u) 0
按求和约定，上式表示成
(ui ) 0
xi
它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于 流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内 的流体密度不随时间而改变。
方程为
1 ( r ur ) 1 ( u ) ( uz ) 0
t r r
r
z
在球坐标系(r,θ,φ)中，流体流动的连续性方
程为
1 ( r 2ur ) 1 ( sin u ) 1 ( u ) 0
t r 2 r
rsin
rsin
3.3 本构方程
一般而言，所谓本构方程是指描述物质对所受力的力 学响应的方程。对运动的粘性流体而言，应力与变形速度 之间的关系称为本构方程。
3.2 连续性方程
对于不可压缩流体的流动问题，D 0 ，不可
Dt
压缩流体流动的连续性方程为
u 0
按求和约定，上式表示成
ui 0 xi
上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过 程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不 会改变。
工程流体力学 第3章 流体运动基本概念和基本方程PPT课件
η表示单位质量流体所具有的该种物理量。 N dV
V
t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为
d dN td dtVd V lt i0m (V' d )V t tt(Vd )V t
V ：系统在t时刻的体积；
VVIIVIII
V’ ：系统在t＋δt时刻的体积。 完整编辑ppt
VVIIIII
25
工程流体力学
第三章 流体动力学基础
(Fundamental of Fluid Dynamics)
流体力学基本方程
连
动伯
续动量 努能
性量矩 利量
方方方 方方
程程程 程程
完整编辑ppt
1
第一节 流体运动的描述方法
一 Euler法（欧拉法 ） 基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。
独立变量：空间点坐标 (x, y, z) 和时间参数 t
1 和 2 分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：
11A122A2
一维定常流动积分形式的连续性方程
方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流 量等于常数。
对于不可压缩流体： A A 1 1 完整2编辑2ppt
29
第七节 动量方程 动量矩方程
——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩
d (v) dt t
随当 迁 体地 移 导导 导 数数 数
压强的质点导数
dppvp
dt t
密度的质点导数
dv
dt t
完整编辑ppt
5
二 Lagrange法（拉格朗日法）
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。 独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
V
t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为
d dN td dtVd V lt i0m (V' d )V t tt(Vd )V t
V ：系统在t时刻的体积；
VVIIVIII
V’ ：系统在t＋δt时刻的体积。 完整编辑ppt
VVIIIII
25
工程流体力学
第三章 流体动力学基础
(Fundamental of Fluid Dynamics)
流体力学基本方程
连
动伯
续动量 努能
性量矩 利量
方方方 方方
程程程 程程
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1
第一节 流体运动的描述方法
一 Euler法（欧拉法 ） 基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。
独立变量：空间点坐标 (x, y, z) 和时间参数 t
1 和 2 分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：
11A122A2
一维定常流动积分形式的连续性方程
方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流 量等于常数。
对于不可压缩流体： A A 1 1 完整2编辑2ppt
29
第七节 动量方程 动量矩方程
——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩
d (v) dt t
随当 迁 体地 移 导导 导 数数 数
压强的质点导数
dppvp
dt t
密度的质点导数
dv
dt t
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5
二 Lagrange法（拉格朗日法）
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。 独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
高等流体力学 第三章 流体力学基本方程组-3
p xx P p yx p zx p xy p yy p zy
P pI P
p xz p p yz 0 p zz 0
0 p 0
xx 0 0 yx p zx
xy
(3) 固壁处：
当固壁与流体一起运动时：
v f vs
Tm1 Tm 2
T T k k n m1 n m 2 T T k k n m1 n m 2
16
当固壁静止时：
v f vs 0
Tm1 Tm 2
第七节 初始条件和边界条件
(b) 边界条件：流体运动边界上方程组的解应该满足的条件：
(4) 自由边界处，对理想流体：
p p0
17
随堂作业
(1) 粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在 二维直角坐标系中的形式 (2) P200 (3) P202 (4) P140 第9题（1）；P201 第22题 第二题1（2）； P141 第三题1（3）； 第13题（1）
1 u v 2 y x
1 v w 2 z y
1 P pI 2 S I v 3
1，i=j
Ⅰ= 0，i≠j
i,j=1,2,3
5
1 P pI 2 S I v 3
1 u w 2 z x u x 1 v w 1 u 2 z y 2 y 1 u 0 2 z 1 u v 2 y x v x w x v y 1 v w 2 z y 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
P pI P
p xz p p yz 0 p zz 0
0 p 0
xx 0 0 yx p zx
xy
(3) 固壁处：
当固壁与流体一起运动时：
v f vs
Tm1 Tm 2
T T k k n m1 n m 2 T T k k n m1 n m 2
16
当固壁静止时：
v f vs 0
Tm1 Tm 2
第七节 初始条件和边界条件
(b) 边界条件：流体运动边界上方程组的解应该满足的条件：
(4) 自由边界处，对理想流体：
p p0
17
随堂作业
(1) 粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在 二维直角坐标系中的形式 (2) P200 (3) P202 (4) P140 第9题（1）；P201 第22题 第二题1（2）； P141 第三题1（3）； 第13题（1）
1 u v 2 y x
1 v w 2 z y
1 P pI 2 S I v 3
1，i=j
Ⅰ= 0，i≠j
i,j=1,2,3
5
1 P pI 2 S I v 3
1 u w 2 z x u x 1 v w 1 u 2 z y 2 y 1 u 0 2 z 1 u v 2 y x v x w x v y 1 v w 2 z y 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
流体力学的基本方程
流体力学的基本方程流体力学的基本方程是描述流体运动的方程，它包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程是基于质点系的力学定律和热力学原理推导得到的。
质量守恒方程，也称为连续性方程，描述了流体的质量在空间和时间上的守恒。
简单来说，它表达了流体在任意两点之间的流入流出质量之和等于质量的变化率。
质量守恒方程的数学表达式为∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0，其中ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表流体的速度向量。
动量守恒方程描述了流体的运动和力的作用。
它可以从质点系的动力学定律推导得到，考虑到流体的体积力和表面力。
动量守恒方程的数学表达式为ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + F，其中p代表流体的压力，τ代表应力张量，F代表体积力。
能量守恒方程描述了流体的能量在空间和时间上的守恒。
它可以从热力学原理和能量转换定律推导得到。
能量守恒方程的数学表达式为∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = ∇·(κ∇T) + q + Q，其中e代表单位质量流体的内能，κ代表热传导系数，T代表温度，q代表单位质量流体的热源，Q代表单位质量流体的体积热源。
这些基本方程可以用来描述不可压缩流体和可压缩流体的运动。
对于不可压缩流体，质量守恒方程可以简化为∇·v = 0，其中v代表速度向量。
对于可压缩流体，需要结合状态方程来求解，常见的状态方程有理想气体状态方程和液体状态方程。
基于基本方程，我们可以通过数值方法或解析方法求解流体的运动。
其中，有限差分法、有限元法和谱方法等是常用的数值方法。
解析方法则是通过求解偏微分方程来得到流体的解析解。
这些方法在工程和科学研究中具有广泛的应用，如飞行器设计、气候模拟和地下水流动等领域。
流体力学的基本方程是描述流体运动的重要工具。
质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程是基于质点系的力学定律和热力学原理推导得到的。
工程流体力学 第3章 流体运动基本概念和基本方程
迹线和流线：
第四节 流管 流束 流量 水力半径
1. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线 上的所有流线组成的管状表面。
流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。 总流——无限多微元流束组成总的流束。
3. 缓变流和急变流 缓变流— 流线近似平行； 急变流— 流线不平行；
缓变流
急变流
缓变流 急变流
4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面—在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3 / s） 质量流量（kg /）s
qv v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
qm v dA v cos(v, n)dA vndA
0 t
0
t
定常流动：
（1）流动过程中所有的物理量都不随时间变化而变化。 非定常流动：
（2）流动过程中任意一个物理量随时间变化而变化。
判断的唯一依据：运动参数是否随时间变化。
定常流动 （steady and unsteady flow)
非定常流动 （unsteady flow)
2. 一维流动、二维流动和三维流动
流体质点的运动方程
质点物理量： 速度： x y
x y
(a，b，c，t (a，b，c，t
)＝ )
x(a，b，c，t t
y(a，b，c，t t
) )
z
z (a，b，c，t)
z (a，b，c，t ) t
流体质点的加 速度：
ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
第四节 流管 流束 流量 水力半径
1. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线 上的所有流线组成的管状表面。
流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。 总流——无限多微元流束组成总的流束。
3. 缓变流和急变流 缓变流— 流线近似平行； 急变流— 流线不平行；
缓变流
急变流
缓变流 急变流
4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面—在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3 / s） 质量流量（kg /）s
qv v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
qm v dA v cos(v, n)dA vndA
0 t
0
t
定常流动：
（1）流动过程中所有的物理量都不随时间变化而变化。 非定常流动：
（2）流动过程中任意一个物理量随时间变化而变化。
判断的唯一依据：运动参数是否随时间变化。
定常流动 （steady and unsteady flow)
非定常流动 （unsteady flow)
2. 一维流动、二维流动和三维流动
流体质点的运动方程
质点物理量： 速度： x y
x y
(a，b，c，t (a，b，c，t
)＝ )
x(a，b，c，t t
y(a，b，c，t t
) )
z
z (a，b，c，t)
z (a，b，c，t ) t
流体质点的加 速度：
ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
《水力学》课件——第三章 流体力学基本方程
解 由式
dx dy ux uy
得
dx dy xt yt
积分后得到：
ln x t ln y t ln c
y x
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
三．流管, 流束与总流
流管 --- 由流线组成的管状曲面。 流束 --- 流管内的流体。 总流 ------多个流束的集合。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
t --- 时间变量。
质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度：
u
x t
速度:
v y t
例
x
u u(x,t)
二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。
z B
M
M
s
B
y
u u(s, z,t)
三元流动(空间流动) -- 流动参数与三个坐标变量有关。
3-3 连续性方程
一 微分形式的连续方程 流入的流体-流出的流体 =微元体内流体的增加
z
uy
u y y
dy 2
z
uy
y
x
uy
u y y
dy 2
1
不可压
u1dA1 u2dA2 dQ u1dA1 u2dA2 const.
对于总流
dQ A
A u1dA1
A u2dA2
Q A1v1 A2v2.
2
u2
dA2
2
流体力学基本方程组输运定理质量守恒原理第三
r i Tyxnx Tyyny Tyznz
r j
r
Tzxnx Tzyny Tzznz k
动量平衡方程
dV
dA
gdV
TdA
V t
( A)
V
( A)
方程左边第一项表示在固定体积V内的动量变化率，第二项表示穿 过控制面的对流动量通量。右边第一项表示体积力，第二项表示作用在 控制面上的表面力。
控制体 V 内 函数变化量等于同一空间内 函数的时间不均匀性
引起的变化量与控制体界面上由于对流引起的 函数的变化量之和。
第二节 质量守恒原理
图4.2 流动流体的物质体积 质量守恒原理指物体质量在运动中保持不变，换言之，物体质量随 时间的变化率为零。
d dV 0
dt Vt
dV dA 0
V
( A)
d dt
rr rdV
V
V
d dt
rr
r
rr
r
div
r
dV
V
rr t
r
rr
r
t
rr
r
t
div
r
dV
d dt
rr rdV
V
V
rr
r
t
g
div
T dV
T
V
rdV
zy yz xz zx yx xy
流体力学的基础方程组
这里首先介绍流体力学的基础方程组：1质量守恒方程在这里我采用拉格朗日法（L 法）下对有限体积和体积元应用质量守恒定律（1） L 法有限体积分析取体积为τ，质量为m 的一定的流体质点团，则有00m t t t t tD D DD D m d d d d d D D D D D ττττττττττρρρρρ=⇒==⇒=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度的随体导数，即1D div d d Dtυττ= d y u v w v dt t x y z tρρρρρρ∂∂∂∂∂=+++=+⋅∇∂∂∂∂∂ (())(())0D D d d v divv d div v d Dt Dt tt ττττρρρτρτρρτρτ∂∂+=+⋅∇+=+=∂∂⎰⎰⎰⎰ 由奥高定理()s u v w d udydz vdzdx wdxdy x y zττ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (cos cos cos )su v w ds αβγ=++⎰⎰ n s sv nds v ds =⋅=⎰⎰⎰⎰ 得 (())0s div v d d vds t t ττρρρττρ∂∂+=+=∂∂⎰⎰⎰假定被基函数连续，而且体积τ是任意选取的，由此可知被基函数必须等于0，即00i iv D D divv Dt Dt x ρρρρ∂+=⇔+=∂ 或()()00i iv div v t t x ρρρρ∂∂∂+=⇔+=∂∂∂ 在直角坐标系中，连续性方程为()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 或()D u v w Dt x y zρρ∂∂∂=-++∂∂∂2.动量守恒方程任取一个体积为τ的流体，他的边界为S 。
根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和应力之和。
单位面积上的应力n P n p =⋅，其中P 是二阶对称应力张量，所以n P 不是通常指的P 在n(单位体积面元的法线方向)方向的分量。
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)
0
t
3.7 初始条件和边界条件
a) 初始条件
t t0
b) 边界条件 ➢无穷远处
河流模拟中, 开边界条件（水边界）：有实测资料时，给定水面或 速度过程。
3.7 初始条件和边界条件
b) 边界条件 ➢ 两介质界面处
理想流体时,切向速度和温度可以间断 (不可入，可滑移)
➢ 固壁处
粘附条件
理想流体时, 可滑移。但不可入，即
能量方程
面力做功
（应力分量的）合力通 过作用点位移作功
应力因流体 变形而做功
（应力分量的）合力通过作用点位移作功,与动能, 势能之间 无耗散地转换,为可逆过程
3.4 本构方程
牛顿内摩擦定律
p yx
du dy
切向应力与速度梯度（角变形速度，剪切变形速度）成正比
推导应力张量与变形速度张量的关系（广义牛顿内摩擦定律）
转换到欧拉型, 利用随体导数公式
3.3 能量方程
拉氏型积分形式能量方程为
欧拉型积分形式能量方程
单位时间内传给控制体内的热量 + 外界对控制体内流体所 做的功 + 通过控制面流入的流体总能量==控制体内流体总 能量对于时间的变化率。
3.3 能量方程
微分形式能量方程推导
微分形式能量方程
3.3 能量方程
粘性(偏)应力张量
流体膨胀或压缩时压力所做的功 粘性应力张量(通过流体变形) 所做的功
能量方程 不考虑外界传热
3.6 流体力学基本方程组
能量方程
➢不可压
(不考虑外界传热)
不可压时，内能只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性应 力通过流体变形所做的功转化为内能，而不再恢复为机械能。
➢可压缩情况
d
ur
(V
)
0
t
dU
ur p( V )
(T )
q
dt
3.6 流体力学基本方程组
C) 粘性不可压缩流体情况 ur
V 0
dU (T ) q
dt
dU CvdT
d) 理想可压缩流体情况
ur
(V
广义牛顿内摩擦定律 不可压时
3.4 本构方程
广义牛顿内摩擦定律
粘性流体运动中, 法向应力大小与和作用面方位有关。 粘性附加法向应力由线变形速率和体积变化率引起.
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
a) 状态方程, 热力学参数对流体运动的影响 考虑均匀热力学体系
对于完全气体 对于均质不可压液体 b) 正压流体
微分形式连续性方程
ur
(V
)
0
t
不可压流体 d 0
dt
d
ur
V
0
dt
ur
V 0
3.2 运动方程 (动量定律)
系统的动量对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力
拉氏型动量定律
转换到欧拉型 (对控制体成立), 利用随体导数公式
欧拉型积分形式 运动方程
1 2
(
w x
u z
)
1 2
(
w y
v z
)
w z
szx szy szz
p yx
du dy
pyx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1 2
( u y
v ) x
2
syx
3.4 本构方程
假设:
(1) 应力张量是变形率张量的线性函数. (2) 流体是各向同性的. (3) 流体静止时,应力等于静压力.
➢ 自由面
p p0
切向应力=0 切向可间断
动力学条件 运动学条件（界面保持定理）
加上初始条件、边界条件（ 运动的特殊性） ,可求解方程组。
3.1 连续性方程
系统的质量不随时间变化
拉氏型积分形式连续性方程
利用系统随体导数
欧拉型积分形式连续性方程
物理意义: 单位时间内通过控制面流出的质量等于同时间内 控制体质量的减少.
3.1 连续性方程
随体导数
ur
(V
)
0
函数连续, 区域任意性 t
变形速度张量
sij
1 ( vi 2 x j
v j xi
)
u
S
1 2
x
(
v x
u y
)
1 2
(
u y
v x
)
v y
1 2
1 2
(
u z
(
v z
w x
w y
) )
sxx S syx
sxy syy
sxz
s
yz
流场中密度只是压力的单值函数 例如恒温流场
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
C) 内能和熵 系统能量增加=传给单位质量流体的总热量+流体压缩所做功
热力学第一定律 不可压(不发生膨胀)
等压情况
焓(总热量) 一般情况, q 不能写成全微分形式, 但可写作
熵
3.5 状态方程, 内能和熵的表达式
流体力学
第三章 流体力学基本方程组
第三章 流体力学基本方程组
建立的基础
➢以普遍的力学定律为基础 (质量、动量、能量守恒) ➢采用适合于流体特点的分析方法 (控制体法),
系统到控制体的转换方法 (体积分的随体导数公式)
➢物质的特殊性, 流体本构关系 (广义牛顿内摩擦定律), 把
普遍的力学定律转化为适合于牛顿流体的基本方程
物理意义:作用在控制体上的合外力 加上 单位时间内通过控 制面流入的流体动量 等于控制体内动量对时间的变化率.
3.2 运动方程 (动量定律)
微分形式运动方程推导 考虑到
拉氏型动量定律
其中
微分形式运动方程
3.3 能量方程
对于一个确定的系统, 流体动能和内能对于时间的变化率等于 单位时间内质量力和面力所做的功 加上 单位时间内外界给 予的热量。 拉氏型积分形式能量方程为
一般情况
熵
描述状态的量有 内能U, 焓i, 熵s 不可压 等压情况 一般情况
3.6 流体力学基本方程组
a) 应力形式
ur
(V
)
0
t
3.6 流体力学基本方程组
b) 矢量形式 用本构方程将运动方程和能量方程中的应力张量消去.
运动方程
3.6 流体力学基本方程组
b) 矢量形式 能量方程
ur V
0
dt
可压缩时, 熵只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性耗损 掉机械能使得流体内的熵增加
3.6 流体力学基本方程组
能量方程
➢等压情况
(不考虑外界传热)
等压时，焓只能增加,不能减少, 是不可逆过程。粘性耗损掉 机械能使得流体内的焓增加
3.6 流体力学基本方程组
可压缩流体力学基本方程组
由假设(1)和(2) P a S b I
pyx 2 syx
a 2
b b1( pxx pyy pzz ) b2 (sxx syy szz ) b3 3b1 p b2 V b3
由假设(3),静止时 P p I b I
3.4 本构方程 pxx pyy pzz 2(sxx syy szz ) 3p 3b2 V