第5课时：因式分解
因式分解数学教案优秀5篇
因式分解数学教案优秀5篇更多因式分解数学教案资料，在搜索框搜索因式分解数学教案（篇1）教学目标1.学问与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.2.过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，把握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用.3.情感、态度与价值观在探究因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养乐观的进取意识，体会数学学问的内在含义与价值.重、难点与关键：1.重点：了解因式分解的意义，感受其作用.2.难点：整式乘法与因式分解之间的关系.3.关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解.教学方法：采用“激趣导学”的教学方法.教学过程：一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除?谈谈你的想法.问题2：当a=102，b=98时，求a2-b2的值.二、丰富联想，展示思维探究：你会做下面的填空吗?1.ma+mb+mc=()();2.x2-4=()();3.x2-2xy+y2=()2.【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.三、小组活动，共同探究【问题牵引】(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①(x+1)(x-1)=x2-1;②a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).(2)在下列括号里，填上适当的项，使等式成立.①9x2(______)+y2=(3x+y)(_______);②x2-4xy+(_______)=(x-_______)2.四、随堂练习，巩固深化课本练习.【探研时空】计算：993-99能被100整除吗?五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，老师提出如下纲目：1.什么叫因式分解?2.因式分解与整式运算有何区别?六、布置作业，专题突破选用补充作业。
因式分解数学教案（篇2）【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义;2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
《因式分解》ppt课件人教版初中数学1
(2)4(2x－1) ＝8x－4. 2 第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4)
1 第二十一章 一元二次方程 x ＝1，x ＝ 1 2 第二十一章 一元二次方程 2 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次
方程
第5课时 一元二次方程的解法 (4)
——因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念． 2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次” 的数学思想方法.
知识要点
知识点一：回顾因式分解的概念
(1)提公因式法 ma＋mb＝ m(a＋b) ； (a＋b)m＋(a＋b)n＝ (a＋b)(m＋n)． (2)公式法 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2； 平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b).
7.【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－ 7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x2－7x＋10＝0，可化为(x－2)(x－5)＝0，得x＝2 或5， ∴第三边长为2或5.
∵边长为2,3,6不能构成三角形， 而3,5,6能构成三角形， ∴三角形的周长为3＋5＋6＝14.
对点训练
(a＋b)(m＋n)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
1.把下列各式进行因式分解： 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4)
华师大版八年级数学上册第12章第5节《因式分解》优秀课件 - 副本
自主 合作 创新
填空题： （1） m（a＋b＋c）= （2）（5a＋b）（5a－b）= （3）（a＋b）2 =
反过来： （1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
例题
例1、分解因式 x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗?(用我们刚 学的方法)
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
(x 2)(x 3) x2 5x 6
特点：
(1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形
式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。 数学表达式：
x2 px q (x a)(x b)
当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
九年级数学上册第24章一元一次方程 解一元二次方程5因式分解法说课稿新版冀教版
因式分解法一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看,学生通过一元二次方程的学习,可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固,同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中,一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想,在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看,学习一元二次方程对其他学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题,首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程,这就是降次。
本节课由简到难的展开学习,使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
2、学生学情任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。
这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。
分析初中学生的心理特征,他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时,发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时,他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。
而从学生的认知结构上来看,前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式,用配方法公式法后,这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验,本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：（1）理解因式分解法的思想,掌握用因式分解法解一元二次方程;（2）能利用方程解决实际问题,并增强学生的数学应用意识和能力。
过程与方法目标：通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程,体会“等价转化”的数学思想方法。
情感与态度目标：培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
4、教学重点与难点教学重点：运用因式分解法解一些能分解的一元二次方程。
因式分解教案9篇
因式分解教案9篇因式分解教案篇1教学目标:1、理解运用平方差公式分解因式的方法。
2、掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。
3、进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。
教学重点:运用平方差公式分解因式。
教学难点:高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。
教学案例:我们数学组的观课议课主题:1、关注学生的合作交流2、如何使学困生能积极参与课堂交流。
在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示:1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么①-2+y2 ②-2-y2 ③4-92④ (+y)2-(-y)2 ⑤ a4-b43、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么4、仿照例4的分析及旁白你能把3y-y因式分解吗5、试总结因式分解的步骤是什么师巡回指导，生自主探究后交流合作。
生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。
生展示自学成果。
生1: -2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+)(y-)生2: -2+y2=-(2-y2)=-(+y)(-y)师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。
生3:4-92 也能用平方差公式分解，可分解为(2+9)(2-9)生4:不对，应分解为(2+3)(2-3)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。
生5: a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2)生6:不对，a2-b2 还能继续分解为a+b)(a-b)师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。
反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生练习很少，作业有很大一部分同学不能独立完成，反思这节课主要有以下几个问题:(1) 我在备课时，过高估计了学生的能力，问题2中的③、④、⑤ 多数学生刚预习后不能熟练解答，导致在小组交流时，多数学生都在交流这几题该怎样分解，耽误了宝贵的时间，也分散了学生的注意力，导致难点、重点不突出，若能把问题2改为:下列多项式能用平方差公式因式分解吗为什么可能效果会更好。
1.3公式法(第5课时)--分组分解法.doc
1.3公式法（第5课时）--分组分解法学习目标1、初步了解用分组分解法来分解因式的方法。
2、进一步培养自己的观察、推理、联想及逆向思维的能力。
学习重点对一个多项式正确分组。
学习难点对一个多项式正确分组。
学习过程【一】学生自学1、因式分解的一般步骤是什么？平方差公式、完全平方公式分别是什么？能用这两公式来分解因式的多项式的特点是什么？2、以下各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.〔1〕x2+3x+4=〔x+2〕〔x+1〕+2〔2〕6x2y3=3xy·2xy2〔3〕〔3x－2〕〔2x+1〕=6x2－x－2〔4〕4ab+2ac=2a〔2b+c〕3、因式分解〔1〕〔ax－bx〕－〔ay－by〕〔2〕y2－〔x2－10x+25〕【二】尝试练习请同学们仔细观察下面两题与刚才所做的两题的异同，尝试因式分解。
〔1〕ax－bx－ay＋by〔2〕y2－x2＋10x－25同学们，说说你有什么发现？这类多项式有什么特点？我们是怎样处理的？提示：当一个多项式没有公因式可提,也不能够直接用公式法进行因式分解时,可尝试分组分解法。
分组后的两种情况:一是分组后可提公因式如题〔1〕,二是分组后可运用公式如〔2〕。
注意的是分组后用提公因式或运用公式进行第一次分解后，还要保证能进行后续的分解。
思考：第1题除了这种分法外，还有其他分法吗？在下面完成。
【三】拓展延伸分解因式2a ab ac bc -+-2222a ab b c -+-x 4+4〔提示x 4+4=x 4+4x 2+4-4x 2〕【四】课堂小结 分组分解法一般适用于多项式有四项或四项以上，①分组后能直接提公因式②分组后能直接运用公式。
有时还可以用拆、添项分组分解法【五】达标测试必做题：把以下各式分解因式:(1)2269x y x --+(2)2242510b a a --+ (3)255m n mn m +--(4)2212m n mn --+ 选做题：因式分解1、222221x xy y x y -+-++2、22221ab ab b a b --++-3、1+x+x 〔1+x 〕+x 〔1+x 〕24、三角形的三边长,,a b c 满足2220a b c ab bc ac ++---=,试判断这个三角形的形状.学习反思。
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
21.2.5 用因式分解法解一元二次方程
D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
返回
13．(中考· 潍坊)定义[x]表示不超过实数x的最大整
数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函
数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x2的
1 2
解为( A )
A． 0 或
2 2
B． 0 或 2 D． 2 或－
2
返回
C．1或－
题型
1 解一元二次方程的方法在解方程中的应用
返回
知识点
2 用适当的方法解一元二次方程
9．一元二次方程的四种解法为： 直接开平方法 (1)____________________ ； 配方法 (2)____________________ ； 公式法 (3) ____________________ ； 因式分解法 (4) ____________________ ．
返回
A． 1 C．－1
7．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程 y2－7y＋10＝0的一个根，则该菱形的周长为( B ) A． 8 B．20
C．8或20
D．10
返回
8．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个
实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰
△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为( D ) A． 7 C．11 B．10 D．10或11
2
2
2
＋ ＋
3
3
)x＋ 6 ＝0； )x＋
3
2
6 ＝ 0，
)(x－ ，x2＝
)＝0，
3.Biblioteka (3)(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0. (2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0， [(2x＋1)－7][(2x＋1)＋4]＝0， (2x－6)(2x＋5)＝0， x1＝3，x2 ＝
湘教版数学九年级上册教学课件 一元二次方程的解法(第5课时)
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
于是得
r1
5 2
1
,
r2
5 1 2
(舍去).
答：小圆形场地的半径是 5 m.
2 1
课堂小结
概念
因 式 分 原理 解 法
步骤
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程：
1 3x2 6x 3； 2 4x2 121 0.
解：化为一般式为
解：因式分解，得
x2－2x+1 = 0. ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
因式分解，得
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
解： 10x-4.9x2=0.
49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac
x
50 49
2
50 49
x1
11, 2
x2
11. 2
x1=x2=1.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
九年级上册数学课时安排
九年级上册数学课时安排一、一元二次方程（约13课时）1. 21.1 一元二次方程（2课时）- 第1课时：- 通过实际问题（如面积问题、增长率问题等）引出一元二次方程的概念，让学生理解一元二次方程的一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例让学生判别哪些是一元二次方程，加深对概念的理解。
- 第2课时：- 根据一元二次方程的一般形式，讲解方程的各项系数a、b、c的确定方法。
- 进行简单的一元二次方程概念的巩固练习，如已知方程求系数，根据系数写方程等。
2. 21.2 解一元二次方程（6课时）- 第1 - 2课时：配方法。
- 第1课时：- 通过简单的完全平方公式(x + m)^2=x^2+2mx + m^2的复习引入配方法的概念。
- 以x^2+6x + 5 = 0为例，讲解如何将方程左边配成完全平方式，即x^2+6x+9 - 9+5 = 0，转化为(x + 3)^2=4的形式，进而求解。
- 第2课时：- 进行配方法解一元二次方程的练习，包括二次项系数为1和不为1的情况。
- 总结配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开方、求解。
- 第3 - 4课时：公式法。
- 第3课时：- 利用配方法推导一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 强调求根公式使用的前提是b^2-4ac≥slant0。
- 第4课时：- 进行公式法解一元二次方程的练习，让学生熟练掌握公式的代入计算。
- 通过对比配方法和公式法，让学生理解两种方法的联系与区别。
- 第5 - 6课时：因式分解法。
- 第5课时：- 复习因式分解的知识，如提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。
- 以(x + 1)(x - 2)=0为例，引出因式分解法解一元二次方程的原理：若ab = 0，则a = 0或b = 0。
- 讲解如何将一元二次方程通过因式分解转化为两个一次因式乘积为0的形式来求解，如x^2-3x + 2 = 0因式分解为(x - 1)(x - 2)=0。
用因式分解法解一元二次方程
感悟新知
(3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0， 因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
知1－练
感悟新知
知1－练
2 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程
x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( B )
A．5
B．7 C．5或7
D．10
3 △ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则
C ． 4 ， 21
D．－8，69
习题链接
温馨提示：点击 进入讲评
1C 2D 3B 4A
5A 6A 7 8
答案呈现
9
方法技巧练
先阅读下面的内容，再解决问题．
8 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的 最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
知2－练
(3) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0，
即 (3x－1)(3x－3)＝0，
∴x1＝
1 3
，x2＝1.
感悟新知
总结
知2－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首 先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数 较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶 数，可选用配方法.
一元二次方程
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
2022秋九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程5因式分解法解方程课件新版新人教版
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 ___换__元___法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
13．解下列方程： (1)【2019·无锡】x2－2x－5＝0；
解：x2－2x－5＝0， (x－1)2＝6，
∴x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6.
(2)x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0； 解：x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0，
(x－ 2)(x－ 3)＝0， ∴x1＝ 2，x ＝ 3.
(3)x2－8x＋4＝0. 解：x2－8x＋4＝0，x2－8x＋16＝12， (x－4)2＝12，x－4＝±2 3， ∴x1＝4＋2 3，x2＝4－2 3.
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
错解：C 诊断设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0， 分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y2＝1. 当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋ x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实 数x是否存在而错选C. 正解：A
14．【中考·湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋ b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法” 进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x ＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋___2_)(x＋___4_)；
5．【2019·怀化】一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是( C )
A．x1＝1，x2＝－1 C．x1＝x2＝－1
B．x1＝x2＝1 D．x1＝－1，x2＝2
6．【中考·凉山州】若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3＝ x－1 a有一个解相同，则 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－3 C．－1 D．－1 或 3
《第5课时解一元二次方程—配方法优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
第5课时解一元二次方程—配方法预设目标1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
教学重难点重点：掌握配方法解一元二次方程。
难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教具准备教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2⑵x2+8x+ =(x+ )2⑶x2-12x+ =(x- )2⑷x2-x52+=(x- )2⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹a2-2ab+ =(a- )2【问题2】解下列方程：⑴x2-4x+7=0 ⑵2x2-8x+1=0二、自主交流探究新知【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？⑴3x2－6x + 4 = 0；⑵2x2+1=3x ⑶(2x-1)(x+3)=5．【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程：⑴x(2x-5)=4x-10 ⑵4x2-12x-1=0四、当堂练习：教材P35练习题五、自主总结拓展新知（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．（6）如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
【苏教版】初中八年级数学课件 第5讲_因式分解
＝－2xy(x＋y) (4)原式＝a2－1－8＝a2－9＝(a＋3)(a－3) (5)原式＝a(a2＋b2－2ab)＝a(a－b)2 (6)原式＝(4x2＋9)(4x2－9)＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)
22．(8 分)先分解因式，再计算求值．
(1)(2009 中考变式题)9x2＋12xy＋4y2，其中 x＝43，
y＝－12；
(2)(2011 中考预测题)(a＋2 b)2－(a－2 b)2，其中
a＝－18，b＝2. 解：(1)原式＝(3x＋2y)2
当 x＝43，y＝－21时，
原式＝[3×43＋2×(－12)]2＝(4－1)2＝9
【点拨】在分解因式时，首先考虑用提公因式法，若不能再考虑用公式法，用公式法分 解时一定要先化成标准形式，再灵活选用公式．
【解答】(1)原式＝a(a－1) (2)原式＝xy(x2－1)＝xy(x＋1)(x－1) (3)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2 (4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)
因式是( )
A．3a2b
B．3ab2
C．3a3b3
D．3a2b2
【解析】公因式的确定包括系数、相同字母的确定，取各系数的最大公约数，取相同字 母的最低次幂．
【答案】B
4．(2009 中考变式题)下列从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A．(x＋3)(x－3)＝x2－9 B．x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋x C．3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1 D．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
因式分解教学设计教案
长兴中学集备教学设计《因式分解》
（一）教学目标：
1、目标：
（1）、了解因式分解、公因式等概念；了解因式分解的作用。
（2）、理解因式分解和多项式乘法之间的互逆关系。
（3）、运用提公因式法、公式法等方法分解因式。
2、过程性目标：
（1）、让学生体会因式分解与多项式乘法之间的互逆关系，利用这种关系解答因式分解的问题。
（2）、让学生通过观察、分析、归纳分解因式的方法。
（二）教学重点、难点：
教学重点：因式分解的目的，因式分解的方法。
（学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成多项式的乘法。
让学生理解因式分解的目的是很重要的。
讲讲因式分解的作用可以帮助学生理解因式分解的目的。
）
教学难点：因式分解的方法，特别是公式法。
（在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错。
原因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公式只是两种计算规律。
学生的思维往往被公式中a、b这两个字母迷惑。
）
教学突破点：
1、强调因式分解的目的，强调因式分解与多项式乘法的互逆关系，要求学生使用这种互逆关系检验因式分解的结果。
2、用“规律”来解释“公式”，强调公式只是描述了一种运算规律；用符号来描述这种规律。
持笔人：肖晔2006、12、9。
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初三数学第一轮总复习
第5课时：因式分解
主备：韩俊元 王 静 王 洪 班级 姓名 学号 【中考要求】
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系，会用提公因式法和公式法两种基本方法进行因式分解；
2、能根据题目的形式和特征选择恰当的方法进行因式分解，以提高综合解题的能力. 【典型例题】
知识点一、因式分解的意义
因式分解与整式的乘法在意义上正好相反，结果的特征是 ，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解和整式的乘法. 问题1、（1）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A 、a ab a b a a +-=+-2)1(
B 、2)1(22--=--a a a a
C 、)32)(32(9422b a b a b a ++-=+-
D 、9)2(5422--=--x x x （2）下列因式分解中，结果正确的是（ ） A 、)2)(2(42-+=-x x x
B 、)3)(1()2(12++=+-x x x
C 、)4(2822232n m n n n m -=-
D 、)4111(4
12
2
2
x
x
x x x +
-
=+-
知识点二、因式分解的方法
（1）提公因式法： ；（2）公式法： . 问题2、把下列各式因式分解
（1）x x 823- （2）3322
+-x x （3）3652
--x x
（4）14-x （5）a a a +-2344 （6）)3(9)3(2
---a a a
知识点三、选用恰当的方法因式分解
注意：（1）在运用公式法因式分解时要先提净公因式；（2）一定要分解到底；（3）结果是积的形式.
问题3、把下列各式因式分解
（1）()22
2164x x -+ （2）)32()23()1(2
x x x -+-- （3）2
2
)3()49(b a b a --+
（4）1
1
8146-++-n n n x
x x （5）()112
+--x x （6）2
2244z y xy x -+-
知识点四、因式分解的应用
问题4、（1）2223274627+⨯-= ；200799101200722⨯-⨯= . （2）若,1,2007=-=+b a b a 则22b a -=___________. （3）若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ .
（4）若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是 .
（5）如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为 . （6）若542=-x ，则161642+-x x 的值是________.若1=+y x ，那么2
2
2
12
1y
xy x +
+的值为__________. （7）m 、n 满足042=-+
+n m ，分解因式)()(2
2
n mxy y x +-+＝ .
（8）一个长方形的面积为)1(22>-+m m m ，其长为m+1，则宽为__________.
问题5、（1）在生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如果对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：162)(,18)(,0)(22=+=+=-y x y x y x ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式234xy x -，取10,10==y x 时，用上述方法产生的密码是：______________.（写出一个即可）
（2）从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b （b ＜a ）的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形，上述操作能验证的等式是（ ）
A 、))((2
2
b a b a b a -+=- B 、2
2
2
2)(b ab a b a +-=-
C 、2
2
2
2)(b ab a b a ++=+ D 、)(2
b a a ab a +=+ （3）计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
2
2221011911311211
（4）计算：2
22
2
2
2
2
121998
1999
2000
2001
2002-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+-+-
（5）如果二次三项式82
--ax x （a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取
那些值？
【课外作业】 1、计算2007
2006
)
2()
2(-+-的结果为（ ）
A 、20062-
B 、20062
C 、2
D 、－2
2、把)2()2(2a m a m -+-分解因式得（ ）
A 、))(2(2m m a --
B 、)1)(2(+-m a m
C 、)1)(2(--m a m
D 、以上答案都不对 3、下列各式中，不能用公式法分解的是（ ） A 、4
12+
+x x B 、22y x +- C 、2244b ab a -- D 、224b a -
4、下列各式中，是完全平方式的是（ ） A 、4a 2-4ab+b 2
B 、x 2+xy+
22
1y C 、x 2-2xy-y 2
D 、a 2-2
9
13
1b ab +
5、若多项式k x x x +--522
3
因式分解后，有一个因式为)2(-x ，则k 的值为（ ） A 、2
B 、－2
C 、6
D 、－6
6、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A 、61、63 B 、61、65 C 、61、67 D 、63、65
8、分解因式：a 3
－a=_________.
9、若)2)(3(2+-=+-x x q px x ，则p=__________,q=__________. 10、已知x=10，x －2y=4，则3x 2－6xy 2的值为____________.
11、若4x 2
+mx+9是完全平方式，则m 的值是_________.
12、如果（2a+2b+1）(2a+2b －1)=63，那么a+b 的值是_________.
13、已知正方形的面积是4x 2+4x+1(x>0)，则正方形的周长是___________. 14、若|m －1|+0)
25(2
=-n ，此时将mx 2－ny 2
分解因式得________________.
15、若点P （a+b, －5）与点Q （1，3a －b ）关于原点对称，则关于x 的二次三项式x 2
－2ax －
2
b 可以分解为__________.
16、用简便方法计算：（1）57×99+44×99－99 （2）1032－972
17、把下列各式因式分解
（1）)()(2
y x y x x --- （2）2
1222
-
+-a a （3）a b a b a 321622
23+-
（4）x 4(a-2b)+x 2y 2(2b-a) （5）(x 2-4y 2)-(x+2y) （6）3a(b 2+9)2-108ab 2
（7）16(a-2b)2-25(a+2b)2 （8）(x 2-y 2)(x+y)-(x-y)3 （9）3a(x 2+4)2-48ax 2
18、（1）已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+3
464
23y x y x ，求代数式2249y x -的值.
（2）已知0258622=+++-y y x x ，求y x 32-的值。
（3）计算：2
22
22
2
1297
9899
100-+⋅⋅⋅+-+-
19、老师在黑板上写出三个算式：278315,4879,2835222222⨯=-⨯=-⨯=-，王华接着又写了两个具有同样规律的算式： ,228715,1285112222⨯=-⨯=- （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式 . （2）用文字写出反映上述算式的规律 . （3）试说明这个规律的正确性.
20、阅读下题的解题过程：
已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足4
4
2
2
2
2
b a
c b c a -=-，试判断△ABC 的形状.
解：4
42222b a c b c a -=-
（A ）
))(()(2
2
2
2
2
2
2
b a b a b a
c -+=-∴ （B ）
2
2
2
b a
c +=∴
（C ） ABC ∆∴是直角三角形
（D ）
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号___________. （2）错误的原因为____________________________________________________. （3）本题正确的结论是________________________________________________. 21、现有边长分别为a 、b 的正方形纸片若干和边长为a 、b 的长方形纸片若干，你能利用这
些纸片用拼图的方法验证等式2
2252)2)(2(b ab a b a b a ++=++吗？画出你所拼成的图形.
b
b
b。