人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值

1.4.

2.2正、余弦函数的单调性与最值

基础知识和技能训练(九)

1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，3π4 C.⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π

2＋k π(k ∈Z )．

∴⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而⎣

⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π2显然是上述区间中的一个．

答案 C

2．函数y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤

－32，12

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－12，32

C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

32，1 D.⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π

3， ∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤3

2，选B.

答案 B

3．设M 和m 分别表示函数y ＝1

3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )

A.23 B ．－23 C ．－43

D ．－2

解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1

3－1 ＝－4

3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D

4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°

解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C

5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23

B.32

C. 2

D. 3

解析 由题意知函数f (x )在x ＝π

3处取得最大值， ∴ωπ3＝2k π＋π2，ω＝6k ＋3

2，k ∈Z .故选B. 答案 B

6．若a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数y ＝sin 2x ＋2a sin x 的最大值为( )

A ．2a ＋1

B ．2a －1

C ．－2a －1

D ．a 2

解析 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，原函数变形为y ＝t 2＋2at ＝(t ＋a )2－a 2.∵a >1，∴当t ＝1时，y max ＝12＋2a ×1＝2a ＋1，故选A.

答案 A

7．函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是________，此时x 的取值集合是________．

解析 ∵x ∈R ，∴y ＝sin2x 的最大值为1，此时2x ＝2k π＋π

2，x ＝k π＋π

4(k ∈Z )．

答案 1 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ＝k π＋π4，k ∈Z 8．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为__________．

解析 由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π

2＋2k π，

即2π3＋2k π≤x ≤5π

3＋2k π.

又x ∈[0，π]，故2π

3≤x ≤π.

即递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2π3，π.

答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

2π3，π 9．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________.

解析 由2sin ωx ≤2，知sin ωx ≤22，又0<ω<1,0≤x ≤π

3，∴0≤ωx ≤π4，∴0≤x ≤π4ω，令π4ω＝π3，得ω＝3

4.

答案 34

10．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是________． 解析 y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝－2cos 2x ＋2cos x －1＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12≤－1

2. 答案 －12

11．已知ω＞0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π3，π4上递增，求ω的范

围．

解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π

2＋2k π知，2k π－π2ω≤x ≤2k π＋π2

ω. 令k ＝0知－π2ω≤x ≤π

2ω，

故

⎭

⎪⎬⎪⎫－π2ω≤－π3，

π2ω≥π4，ω＞0

⇒0＜ω≤32. ∴ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝

⎛

⎭

⎪⎫2x －π3.

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)求f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值． 解 (1)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12(k ∈Z )．

∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)当sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x －π3＝1时，f (x )有最大值2. 此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π

12(k ∈Z )．

13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b 的值．

解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π

3. ∴－3

2≤sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3≤1.